文档内容
2013年四川省泸州市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题2分，共24分）
1．（2分）﹣2的相反数是（ ）
A．﹣ B．﹣2 C． D．2
2．（2分）某校七年级有5名同学参加射击比赛，成绩分为为7，8，9，10，8（单位：环）．则这5
名同学成绩的众数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2分）下列各式计算正确的是（ ）
A．（a7）2＝a9 B．a7•a2＝a14
C．2a2+3a3＝5a5 D．（ab）3＝a3b3
4．（2分）如图所示为某几何体的示意图，则该几何体的主视图应为（ ）
A． B． C． D．
5．（2分）第六次全国人口普查数据显示：泸州市常住人口大约有4220000人，这个数用科学
记数法表示正确的是（ ）
A．4.22×105 B．42.2×105 C．4.22×106 D．4.22×107
6．（2分）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平
行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC
7．（2分）函数 自变量x的取值范围是（ ）
第1页（共24页）A．x≥1且x≠3 B．x≥1 C．x≠3 D．x＞1且x≠3
8．（2分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值
范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
9．（2分）已知 O的直径CD＝10cm，AB是 O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则
AC的长为（⊙ ） ⊙
A． cm B． cm C． cm或 cm D． cm或
cm
10．（2分）设x 、x 是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，则 的值为（ ）
1 2
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
11．（2分）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F
恰好落在BC上，已知折痕AE＝10 cm，且tan∠EFC＝ ，那么该矩形的周长为（ ）
A．72cm B．36cm C．20cm D．16cm
12．（2分）如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB＝90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直
角边AC、BC上，且∠DOE＝90°，DE交OC于点P．则下列结论：
（1）图形中全等的三角形只有两对；
（2）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；
（3）CD+CE＝ OA；
（4）AD2+BE2＝2OP•OC．其中正确的结论有（ ）
第2页（共24页）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
13．（4分）分解因式：x2y﹣4y＝ ．
14．（4分）在一只不透明的口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n个，这些球除颜色不同外，
其它无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为 ，则放入口袋中的黄球
总数n＝ ．
15．（4分）如图，从半径为9cm的圆形纸片上剪去 圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一
个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为 cm．
16．（4分）如图，点P（x ，y ），点P（x ，y ），…，点P（x ，y ）在函数 （x＞0）的图象上，
1 1 1 2 2 2 n n n
△P 1 OA 1 ，△P 2 A 1 A 2 ，△P 3 A 2 A 3 ，…，△P n A n﹣1 A n 都是等腰直角三角形，斜边OA 1 、A 1 A 2 、
A 2 A 3 ，…，A n﹣1 A n 都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P 3 的坐标是 ；点
P 的坐标是 （用含n的式子表示）．
n
三、（共3个小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）计算： ．
18．（6分）先化简： ，再求值，其中a＝ ．
19．（6分）如图，已知 ▱ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点
E．求证：AB＝BE．
第3页（共24页）四、（共2个小题，每小题7分，共14分）
20．（7分）某校开展以感恩教育为主题的艺术活动，举办了四个项目的比赛，它们分别是演
讲、唱歌、书法、绘画．要求每位同学必须参加，且限报一项活动．以九年级（1）班为样本进
行统计，并将统计结果绘成如图1、图2所示的两幅统计图．请你结合图示所给出的信息
解答下列问题．
（1）求出参加绘画比赛的学生人数占全班总人数的百分比？
（2）求出扇形统计图中参加书法比赛的学生所在扇形圆心角的度数？
（3）若该校九年级学生有600人，请你估计这次艺术活动中，参加演讲和唱歌的学生各有
多少人？
21．（7分）某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打
造“书香校园”，计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型
两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组
建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．
（1）符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；
（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说
明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？
五、（共2个小题，每小题8分，共16分）
22．（8分）如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶
D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶
D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．
第4页（共24页）（1）求点B到AD的距离；
（2）求塔高CD（结果用根号表示）．
23．（8分）如图，已知函数y＝ x与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A．将y＝ x的图
象向下平移6个单位后与双曲线y＝ 交于点B，与x轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）若 ＝2，求反比例函数的解析式．
六、（共2个小题，其中第24小题10分，第25小题12分，共22分）
24．（10分）如图，D为 O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD2＝CA•⊙CB；
（2）求证：CD是 O的切线；
⊙
（3）过点B作 O的切线交CD的延长线于点E，若BC＝12，tan∠CDA＝ ，求BE的长．
⊙
第5页（共24页）25．（12分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，﹣ ），已知
抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过三点A、B、O（O为原点）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的
坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么△PAB是否有最大面积？若有，求
出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保
留根号）
第6页（共24页）2013年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题2分，共24分）
1．【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案．
【解答】解：﹣2的相反数是2，
故选：D．
【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．
2．【分析】根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数求解即可．
【解答】解：数据8出现2次，次数最多，所以众数是8．
故选：B．
【点评】考查众数的概念．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一
个．
3．【分析】A、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
B、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式不能合并，错误；
D、利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、（a7）2＝a14，本选项错误；
B、a7•a2＝a9，本选项错误；
C、本选项不能合并，错误；
D、（ab）3＝a3b3，本选项正确，
故选：D．
【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，以及合并同类项，熟练掌握运
算法则是解本题的关键．
4．【分析】几何体的主视图就是从正面看所得到的图形，注意所有的看到的棱都应表现在主
视图中．
【解答】解：从正面看可得到图形 ．
故选：A．
第7页（共24页）【点评】本题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，关键是掌
握主视图所看的位置．
5．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将4220000用科学记数法表示为：4.22×106．
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．【分析】根据平行四边形判定定理进行判断．
【解答】解：A、由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四
边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“AB＝DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边
形．故本选项不符合题意；
C、由“AO＝CO，BO＝DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是
平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB∥DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此
不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定．
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
7．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0且x﹣3≠0，
解得x≥1且x≠3．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
8．【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出不等式，且二次
第8页（共24页）项系数不为0，即可求出k的范围．
【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，且k≠0，
解得：k＞﹣1且k≠0．
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等
的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方
程没有实数根．
9．【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【解答】解：连接AC，AO，
∵ O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，
⊙
∴AM＝ AB＝ ×8＝4cm，OD＝OC＝5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，
∴OM＝ ＝ ＝3cm，
∴CM＝OC+OM＝5+3＝8cm，
∴AC＝ ＝ ＝4 cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，
∵OC＝5cm，
∴MC＝5﹣3＝2cm，
在Rt△AMC中，AC＝ ＝ ＝2 cm．
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的
第9页（共24页）关键．
10．【分析】先利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，所求式子通分并利用同分母分
式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将两根之和与两根之积代入计算即可求出
值．
【解答】解：∵x 、x 是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝﹣3，x x ＝﹣3，
1 2 1 2
则原式＝ ＝ ＝﹣5．
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的
关键．
11．【分析】根据矩形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，再根据翻折变换的性
质可得∠AFE＝∠D＝90°，AD＝AF，然后根据同角的余角相等求出∠BAF＝∠EFC，然后
根据tan∠EFC＝ ，设BF＝3x、AB＝4x，利用勾股定理列式求出AF＝5x，再求出CF，根
据tan∠EFC＝ 表示出CE并求出DE，最后在Rt△ADE中，利用勾股定理列式求出x，即
可得解．
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，
∵△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，
∴∠AFE＝∠D＝90°，AD＝AF，
∵∠EFC+∠AFB＝180°﹣90°＝90°，
∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∵tan∠EFC＝ ，
∴设BF＝3x、AB＝4x，
在Rt△ABF中，AF＝ ＝ ＝5x，
∴AD＝BC＝5x，
∴CF＝BC﹣BF＝5x﹣3x＝2x，
第10页（共24页）∵tan∠EFC＝ ，
∴CE＝CF•tan∠EFC＝2x• ＝ x，
∴DE＝CD﹣CE＝4x﹣ x＝ x，
在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2，
即（5x）2+（ x）2＝（10 ）2，
整理得，x2＝16，
解得x＝4，
∴AB＝4×4＝16cm，AD＝5×4＝20cm，
矩形的周长＝2（16+20）＝72cm．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的对边相等，四个角都是直角的性质，锐角三角函数，勾股定理的
应用，根据正切值设出未知数并表示出图形中的各线段是解题的关键，也是本题的难点．
12．【分析】结论（1）错误．因为图中全等的三角形有3对；
结论（2）正确．由全等三角形的性质可以判断；
结论（3）正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．
结论（4）正确．利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断．
【解答】解：
结论（1）错误．理由如下：
图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．
由等腰直角三角形的性质，可知OA＝OC＝OB，易得△AOC≌△BOC．
∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD＝∠COE．
在△AOD与△COE中，
∴△AOD≌△COE（ASA）．
同理可证：△COD≌△BOE．
结论（2）正确．理由如下：
∵△AOD≌△COE，
第11页（共24页）∴S△AOD ＝S△COE ，
∴S四边形CDOE ＝S△COD +S△COE ＝S△COD +S△AOD ＝S△AOC ＝ S△ABC ，
即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．
结论（3）正确，理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴CE＝AD，
∴CD+CE＝CD+AD＝AC＝ OA．
结论（4）正确，理由如下：
∵△AOD≌△COE，∴AD＝CE；∵△COD≌△BOE，∴BE＝CD．
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2＝DE2，∴AD2+BE2＝DE2．
∵△AOD≌△COE，∴OD＝OE，
又∵OD⊥OE，∴△DOE为等腰直角三角形，∴DE2＝2OE2，∠DEO＝45°．
∵∠DEO＝∠OCE＝45°，∠COE＝∠COE，
∴△OEP∽△OCE，
∴ ，即OP•OC＝OE2．
∴DE2＝2OE2＝2OP•OC，
∴AD2+BE2＝2OP•OC．
综上所述，正确的结论有3个，
故选：C．
【点评】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理
等重要几何知识点．难点在于结论（4）的判断，其中对于“OP•OC”线段乘积的形式，可
以寻求相似三角形解决问题．
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
13．【分析】先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解．
【解答】解：x2y﹣4y，
第12页（共24页）＝y（x2﹣4），
＝y（x+2）（x﹣2）．
故答案为：y（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是
解本题的难点，也是关键．
14．【分析】根据口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n个，故球的总个数为6+2+n，再根据
黄球的概率公式列式解答即可．
【解答】解：∵口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n个，
∴球的总个数为6+2+n，
∵搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为 ，
＝ ，
解得，n＝4．
故答案为：4．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其
中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
15．【分析】首先求得扇形的弧长，即圆锥的底面周长，则底面半径即可求得，然后利用勾股定
理即可求得圆锥的高．
【解答】解：圆心角是：360×（1﹣ ）＝240°，
则弧长是： ＝12 （cm），
π
设圆锥的底面半径是r，则2 r＝12 ，
解得：r＝6， π π
则圆锥的高是： ＝3 （cm）．
故答案是：3 ．
【点评】正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆
锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
16．【分析】过点P 作P E⊥x轴于点E，过点P 作P F⊥x轴于点F，过点P 作P G⊥x轴于
1 1 2 2 3 3
第13页（共24页）点G，根据△P OA ，△P A A ，△P A A 都是等腰直角三角形，可求出P ，P ，P 的坐标，
1 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3
从而总结出一般规律得出点P 的坐标．
n
【解答】解：过点P 作P E⊥x轴于点E，过点P 作P F⊥x轴于点F，过点P 作P G⊥x轴
1 1 2 2 3 3
于点G，
∵△P OA 是等腰直角三角形，
1 1
∴P E＝OE＝A E＝ OA ，
1 1 1
设点P 的坐标为（a，a），（a＞0），
1
将点P （a，a）代入y＝ ，可得a＝1，
1
故点P 的坐标为（1，1），
1
则OA ＝2，
1
设点P 的坐标为（b+2，b），将点P （b+2，b）代入y＝ ，可得b＝ ﹣1，
2 2
故点P 的坐标为（ +1， ﹣1），
2
则A F＝A F＝ ﹣1，OA ＝OA +A A ＝2 ，
1 2 2 1 1 2
设点P 的坐标为（c+2 ，c），将点P （c+2 ，c）代入y＝ ，可得c＝ ﹣ ，
3 3
故点P 的坐标为（ + ， ﹣ ），
3
综上可得：P 的坐标为（1，1），P 的坐标为（ +1， ﹣1），P 的坐标为（ + ， ﹣
1 2 3
），
总结规律可得：P 坐标为：（ + ， ﹣ ）．
n
故答案为：（ + ， ﹣ ），（ + ， ﹣ ）．
【点评】本题考查了反比例函数的综合，涉及了点的坐标的规律变化，解答本题的关键是
根据等腰三角形的性质结合反比例函数解析式求出P ，P ，P 的坐标，从而总结出一般规
1 2 3
律，难度较大．
三、（共3个小题，每小题6分，共18分）
第14页（共24页）17．【分析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项先利用平方根的定义化简，再计算除
法运算，最后一项先计算零指数幂及特殊角的三角函数值，再计算乘法运算，即可得到结
果．
【解答】解：原式＝3﹣2÷4+1× ＝3﹣ + ＝3．
【点评】此题考查了实数的运算，涉及的知识有：零指数、负指数幂，平方根的定义，绝对值
的代数意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值，把x的值代入进行
计算即可．
【解答】解：原式＝ ÷
＝ ×
＝﹣ ，
当a＝ 时，原式＝﹣ ＝1﹣ ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19．【分析】根据平行四边形性质得出AB＝DC，AB∥CD，推出∠C＝∠FBE，∠CDF＝∠E，
证△CDF≌△BEF，推出BE＝DC即可．
【解答】证明：∵F是BC边的中点，
∴BF＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥CD，
∴∠C＝∠FBE，∠CDF＝∠E，
∵在△CDF和△BEF中
∴△CDF≌△BEF（AAS），
∴BE＝DC，
∵AB＝DC，
∴AB＝BE．
第15页（共24页）【点评】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，关
键是推出△CDF≌△BEF．
四、（共2个小题，每小题7分，共14分）
20．【分析】（1）各个项目的人数的和就是总人数，然后利用参加绘画比赛的学生数除以总人
数即可求解；
（2）利用对应的百分比乘以360度即可求解；
（3）利用总人数600乘以对应的百分比即可求解．
【解答】解：（1）学生的总数是： ×100%＝50（人），
参加书法比赛的学生所占的比例是： ×100%＝20%，
则参加绘画比赛的学生所占的比例是：1﹣28%﹣40%﹣20%＝12%，
（2）参加书法比赛的学生所占的比例是20%，
则扇形的圆心角的度数是：360×20%＝72°；
（3）参加演讲比赛的人数是：600×28%＝168（人），
参加唱歌比赛的人数是：600×40%＝240（人）．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．【分析】（1）设组建中型两类图书角x个、小型两类图书角（30﹣x）个，由于组建中、小型
两类图书角共30个，已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组
建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．若组建一个中型图书角的费用
是 860 本，组建一个小型图书角的费用是 570 本，因此可以列出不等式组
，解不等式组然后去整数即可求解．
（2）根据（1）求出的数，分别计算出每种方案的费用即可．
【解答】解：（1）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（30﹣x）个．
由题意，得 ，
第16页（共24页）化简得 ，
解这个不等式组，得18≤x≤20．
由于x只能取整数，∴x的取值是18，19，20．
当x＝18时，30﹣x＝12；当x＝19时，30﹣x＝11；当x＝20时，30﹣x＝10．
故有三种组建方案：
方案一，中型图书角18个，小型图书角12个；
方案二，中型图书角19个，小型图书角11个；
方案三，中型图书角20个，小型图书角10个．
（2）方案一的费用是：860×18+570×12＝22320（元）；
方案二的费用是：860×19+570×11＝22610（元）；
方案三的费用是：860×20+570×10＝22900（元）．
故方案一费用最低，最低费用是22320元．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组在实际生活中的应用，解题的关键是首先正确
理解题意，然后根据题目的数量关系列出不等式组解决问题，同时也利用了一次函数．
五、（共2个小题，每小题8分，共16分）
22．【分析】（1）过点B作BE⊥AD于点E，然后根据AB＝40m，∠A＝30°，可求得点B到AD
的距离；
（2）先求出∠EBD的度数，然后求出AD的长度，然后根据∠A＝30°即可求出CD的高度．
【解答】解：（1）过点B作BE⊥AD于点E，
∵AB＝40m，∠A＝30°，
∴BE＝ AB＝20m，AE＝ ＝20 m，
即点B到AD的距离为20m；
（2）在Rt△ABE中，
∵∠A＝30°，
∴∠ABE＝60°，
∵∠DBC＝75°，
∴∠EBD＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∴DE＝EB＝20m，
第17页（共24页）则AD＝AE+EB＝20 +20＝20（ +1）（m），
在Rt△ADC中，∠A＝30°，
∴DC＝ ＝（10+10 ）m．
答：塔高CD为（10+10 ）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是根据仰角构造直
角三角形并解直角三角形．
23．【分析】（1）根据一次函数图象的平移问题由y＝ x的图象向下平移6个单位得到直线
BC的解析式为y＝ x﹣6，然后把y＝0代入即可确定C点坐标；
（2）作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F点，易证得Rt△OAE∽△RtCBF，则 ＝ ＝
＝2，若设A点坐标为（a， a），则CF＝ a，BF＝ a，得到B点坐标为（ + a， a），然
后根据反比例函数上点的坐标特征得a• a＝（ + a）• a，解得a＝3，于是可确定点A
的坐标为（3，4），再利用待定系数法确定反比例函数的解析式．
【解答】解：（1）∵y＝ x的图象向下平移6个单位后与双曲线y＝ 交于点B，与x轴交于
点C，
∴直线BC的解析式为y＝ x﹣6，
把y＝0代入得 x﹣6＝0，解得x＝ ，
∴C点坐标为（ ，0）；
第18页（共24页）（2）作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F点，如图，
∵OA∥BC，
∴∠AOC＝∠BCF，
∴Rt△OAE∽Rt△CBF，
∴ ＝ ＝ ＝2，
设A点坐标为（a， a），则OE＝a，AE＝ a，
∴CF＝ a，BF＝ a，
∴OF＝OC+CF＝ + a，
∴B点坐标为（ + a， a），
∵点A与点B都在y＝ 的图象上，
∴a• a＝（ + a）• a，解得a＝3，
∴点A的坐标为（3，4），
把A（3，4）代入y＝ 得k＝3×4＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝ ．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐
标满足两函数的解析式．也考查了相似三角形的判定与性质以及一次函数图象的平移问
题．
六、（共2个小题，其中第24小题10分，第25小题12分，共22分）
第19页（共24页）24．【分析】（1）通过相似三角形（△ADC∽△DBC）的对应边成比例来证得结论；
（2）如图，连接OD．欲证明CD是 O的切线，只需证明OD⊥CD即可；
（3）通过相似三角形△EBC∽△ODC⊙的对应边成比例列出关于BE的方程，通过解方程来
求线段BE的长度即可．
【解答】（1）证明：∵∠CDA＝∠CBD，∠C＝∠C，
∴△ADC∽△DBC，
∴ ＝ ，即CD2＝CA•CB；
（2）证明：如图，连接OD．
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，
∴∠1+∠3＝90°．
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠3，
∴∠1+∠2＝90°．
又∠CDA＝∠CBD，即∠4＝∠1，
∴∠4+∠2＝90°，即∠CDO＝90°，
∴OD⊥CD．
又∵OD是 O的半径，
∴CD是 O⊙的切线；
⊙
（3）解：如图，连接OE．
∵EB、CD均为 O的切线，
∴ED＝EB，OE⊙⊥DB，
∴∠ABD+∠DBE＝90°，∠OEB+∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠OEB，
∴∠CDA＝∠OEB．
而tan∠CDA＝ ，
∴tan∠OEB＝ ＝ ，
第20页（共24页）∵∠ODC＝∠EBC＝90°，∠C＝∠C，
∴Rt△CDO∽Rt△CBE，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴CD＝8，
在Rt△CBE中，设BE＝x，
∴（x+8）2＝x2+122，
解得x＝5．
即BE的长为5．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；
也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质．
25．【分析】（1）直接将A、O、B三点坐标代入抛物线解析式的一般式，可求解析式；
（2）因为点A，O关于对称轴对称，连接AB交对称轴于C点，C点即为所求，求直线AB的
解析式，再根据C点的横坐标值，求纵坐标；
（3）设P（x，y）（﹣2＜x＜0，y＞0），用割补法可表示△PAB的面积，根据面积表达式再求
取最大值时，x的值．
【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（1，﹣ ），O（0，0）三点的坐标代入y＝ax2+bx+c（a≠0），
第21页（共24页）可得： ，
解得： ，
故所求抛物线解析式为y＝﹣ x2﹣ x；
（2）存在．理由如下：
如答图 所示，
①
∵y＝﹣ x2﹣ x＝﹣ （x+1）2+ ，
∴抛物线的对称轴为x＝﹣1．
∵点C在对称轴x＝﹣1上，△BOC的周长＝OB+BC+CO；
∵OB＝2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，
∵点O与点A关于直线x＝﹣1对称，有CO＝CA，
△BOC的周长＝OB+BC+CO＝OB+BC+CA，
∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时
△BOC的周长最小．
设直线AB的解析式为y＝kx+t，则有：
，解得： ，
∴直线AB的解析式为y＝﹣ x﹣ ，
当x＝﹣1时，y＝﹣ ，
∴所求点C的坐标为（﹣1，﹣ ）；
（3）设P（x，y）（﹣2＜x＜0，y＞0），
第22页（共24页）则y＝﹣ x2﹣ x
①
如答图 所示，过点P作PQ⊥y轴于点Q，PG⊥x轴于点G，过点A作AF⊥PQ轴于点
F，过点②B作BE⊥PQ轴于点E，则PQ＝﹣x，PG＝y，
由题意可得：S△PAB ＝S梯形AFEB ﹣S△AFP ﹣S△BEP
＝ （AF+BE）•FE﹣ AF•FP﹣ PE•BE
＝ （y+ +y）（1+2）﹣ y•（2+x）﹣ （1﹣x）（ +y）
＝ y+ x+
②
将 代入 得：S△PAB ＝ （﹣ x2﹣ x）+ x+
① ②
＝﹣ x2﹣ x+
＝﹣ （x+ ）2+
∴当x＝﹣ 时，△PAB的面积最大，最大值为 ，
此时y＝﹣ × + × ＝ ，
∴点P的坐标为（﹣ ， ）．
第23页（共24页）【点评】本题考查了坐标系中点的坐标求法，抛物线解析式的求法，根据对称性求线段和
最小的问题，也考查了在坐标系里表示面积及求面积最大值等问题；解答本题（3）也可以
将直线AB向上平移至与抛物线相切的位置，联立此时的直线解析式与抛物线解析式，可
求唯一交点P的坐标．
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