文档内容
2014年四川省泸州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分.只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）5的倒数为（ ）
A． B．5 C． D．﹣5
2．（3分）计算x2•x3的结果为（ ）
A．2x2 B．x5 C．2x3 D．x6
3．（3分）如图的几何图形的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）某校八年级（2）班6名女同学的体重（单位：kg）分别为35，36，38，40，42，42，则这
组数据的中位数是（ ）
A．38 B．39 C．40 D．42
5．（3分）如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
6．（3分）已知实数x、y满足 +|y+3|＝0，则x+y的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4
7．（3分）一个圆锥的底面半径是6cm，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
8．（3分）已知抛物线y＝x2﹣2x+m+1与x轴有两个不同的交点，则函数y＝ 的大致图象是（
第1页（共25页））
A． B．
C． D．
9．（3分）“五一节”期间，王老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们家的距
离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象，当他们离目的地还有20千米时，汽
车一共行驶的时间是（ ）
A．2小时 B．2.2小时 C．2.25小时 D．2.4小时
10．（3分）如图， O ， O 的圆心O ，O 都在直线l上，且半径分别为2cm，3cm，O O ＝
1 2 1 2 1 2
8cm．若 O 以⊙1cm/s的⊙速度沿直线l向右匀速运动（ O 保持静止），则在7s时刻 O 与
1 2 1
O 的位⊙置关系是（ ） ⊙ ⊙
2
⊙
A．外切 B．相交 C．内含 D．内切
11．（3分）如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB＝90°，AC⊥BC，AC＝BC，∠ABC的
平分线分别交AD、AC于点E，F，则 的值是（ ）
第2页（共25页）A． B． C． D．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中， P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x
的图象被 P截得的弦AB的长为 ⊙，则a的值是（ ）
⊙
A．4 B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.请将最后答案直接填在题中横线上.）
13．（3分）分解因式：3a2+6a+3＝ ．
14．（3分）使函数y＝ + 有意义的自变量x的取值范围是 ．
15．（3分）一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和2 ，则它的面积为
．
16．（3分）如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F
在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数 的图象与边AC交于点E，直线
EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：
若k＝4，则△OEF的面积为 ；
①
若 ，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；
②
满足题设的k的取值范围是0＜k≤12；
③
若DE•EG＝ ，则k＝1．
④
其中正确的命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）．
第3页（共25页）三、（本大题共3小题，每题6分，共18分）
17．（6分）计算： ﹣4sin60°+（ +2）0+（ ）﹣2．
π
18．（6分）计算（ ﹣ ）÷ ．
19．（6分）如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．
求证：AE＝BF．
四、（本大题共1小题，每题7分，共14分）
20．（7分）某中学积极组织学生开展课外阅读活动，为了解本校学生每周课外阅读的时间量t
（单位：小时），采用随机抽样的方法抽取部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜2，
2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并分别用A、B、C、D表示，根据调查结果统计数据
绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：
第4页（共25页）（1）求出x的值，并将不完整的条形统计图补充完整；
（2）若该校共有学生2500人，试估计每周课外阅读时间量满足2≤t＜4的人数；
（3）若本次调查活动中，九年级（1）班的两个学习小组分别有3人和2人每周阅读时间量
都在4小时以上，现从这5人中任选2人参加学校组织的知识抢答赛，求选出的2人来自
不同小组的概率．
五、（本大题共3小题，每题8分，共16分）
21．（7分）某工厂现有甲种原料380千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A、B
两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利
700元；生产一件B产品需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元．设生产
A、B两种产品总利润为y元，其中A种产品生产件数是x．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）如何安排A、B两种产品的生产件数，使总利润y有最大值，并求出y的最大值．
22．（8分）海中两个灯塔A、B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在
点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东
航行30海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A、B间的距离．（计
算结果用根号表示，不取近似值）
23．（8分）已知x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根．
1 2
第5页（共25页）（1）若（x ﹣1）（x ﹣1）＝28，求m的值；
1 2
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x ，x 恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形
1 2
的周长．
六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．（12分）如图，四边形ABCD内接于 O，AB是 O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2
＝CE•CA． ⊙ ⊙
（1）求证：BC＝CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，
CD＝ ，求DF的长．
25．（12分）如图，已知一次函数y ＝ x+b的图象l与二次函数y ＝﹣x2+mx+b的图象C′都
1 2
经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣ ，0）．
（1）求二次函数的最大值；
（2）设使y ＞y 成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程 ＝
2 1
0的根，求a的值；
（3）若点F、G在图象C′上，长度为 的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行
于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐
标．
第6页（共25页）第7页（共25页）2014年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分.只有一项是符合题目要求的.）
1．【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
【解答】解：5的倒数是 ，
故选：A．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．
【解答】解：原式＝x2+3
＝x5．
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，底数不变指数相加是解题关键．
3．【分析】根据从上面看到的图形是俯视图，可得俯视图．
【解答】解：从上面看：里边是圆，外边是矩形，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
4．【分析】根据中位数的定义求解，把数据按大小排列，第3个数为中位数．
【解答】解：题目中数据共有6个，按从小到大排列后取第3、4个数的平均数作为中位数，
故这组数据的中位数是 ＝39．
故选：B．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．要明确定义：将一组数据
从小到大（或从大到小）重新排列后，若这组数据的个数是奇数，则最中间的那个数叫做
这组数据的中位数；若这组数据的个数是偶数，则最中间两个数的平均数是这组数据的中
位数，比较简单．
5．【分析】根据等边三角形的性质，可得∠C的度数，根据三角形中位线的性质，可得DE与
BC的关系，根据平行线的性质，可得答案．
【解答】解：由等边△ABC得∠C＝60°，
由三角形中位线的性质得DE∥BC，
第8页（共25页）∴∠DEC＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一
半．
6．【分析】根据非负数的性质，可求出x、y的值，然后将代数式化简再代值计算．
【解答】解：∵ +|y+3|＝0，
∴x﹣1＝0，y+3＝0；
∴x＝1，y＝﹣3，
∴原式＝1+（﹣3）＝﹣2
故选：A．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
7．【分析】圆锥的母线长＝圆锥的底面周长× ．
【解答】解：圆锥的母线长＝2× ×6× ＝12cm，
π
故选：B．
【点评】本题考查圆锥的母线长的求法，注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点．
8．【分析】根据抛物线与x轴有两个不同的交点，可得判别式大于零，可得m的取值范围，根
据m的取值范围，可得答案．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x+m+1与x轴有两个不同的交点，
∴△＝（﹣2）2﹣4（m+1）＞0
解得m＜0，
∴函数y＝ 的图象位于二、四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象，先求出m的值，再判断函数图象的位置．
9．【分析】根据待定系数法，可得一次函数解析式，根据函数值，可得相应自变量的值．
【解答】解：设AB段的函数解析式是y＝kx+b，
y＝kx+b的图象过A（1.5，90），B（2.5，170），
，
解得
第9页（共25页）∴AB段函数的解析式是y＝80x﹣30，
离目的地还有20千米时，即y＝170﹣20＝150km，
当y＝150时，80x﹣30＝150
解得：x＝2.25h，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量
的值．
10．【分析】根据两圆的半径和移动的速度确定两圆的圆心距的最小值，从而确定两圆可能出
现的位置关系，找到答案．
【解答】解：∵O O ＝8cm， O 以1cm/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动，
1 2 1
∴7s后两圆的圆心距为：1cm，⊙
此时两圆的半径的差为：3﹣2＝1cm，
∴此时两圆内切，
故选：D．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是根据圆的移动速度确定两圆的圆心
距，然后根据圆心距和两圆的半径确定答案．
11．【分析】作FG⊥AB于点G，由AE∥FG，得出 ＝ ，求出Rt△BGF≌Rt△BCF，再由
AB＝ BC求解．
【解答】解：作FG⊥AB于点G，
∵∠DAB＝90°，
∴AE∥FG，
∴ ＝ ，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
又∵BE是∠ABC的平分线，
∴FG＝FC，
在Rt△BGF和Rt△BCF中，
∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），
第10页（共25页）∴CB＝GB，
∵AC＝BC，
∴∠CBA＝45°，
∴AB＝ BC，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ +1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，全等三角形及角平分线的知识，解题的关
键是找出线段之间的关系，CB＝GB，AB＝ BC再利用比例式求解．
12．【分析】PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC＝3，PC＝a，易得D
点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，
根据垂径定理得AE＝BE＝ AB＝2 ，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE＝1，
则PD＝ PE＝ ，所以a＝3+ ．
【解答】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，
∵ P的圆心坐标是（3，a），
∴⊙OC＝3，PC＝a，
把x＝3代入y＝x得y＝3，
∴D点坐标为（3，3），
∴CD＝3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE＝BE＝ AB＝ ×4 ＝2 ，
在Rt△PBE中，PB＝3，
∴PE＝ ，
第11页（共25页）∴PD＝ PE＝ ，
∴a＝3+ ．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也
考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.请将最后答案直接填在题中横线上.）
13．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：3a2+6a+3，
＝3（a2+2a+1），
＝3（a+1）2．
故答案为：3（a+1）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取
公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以
求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x+2≥0且（x﹣1）（x+2）≠0，
解得x≥﹣2，且x≠1，x≠﹣2，
故答案为：x＞﹣2，且x≠1．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
15．【分析】根据平行四边的性质，可得对角线互相平分，根据勾股定理的逆定理，可得对角线
互相垂直，根据菱形的判定，可得菱形，根据菱形的面积公式，可得答案．
第12页（共25页）【解答】解：∵平行四边形两条对角线互相平分，
∴它们的一半分别为2和 ，
∵22+（ ）2＝32，
∴两条对角线互相垂直，
∴这个四边形是菱形，
∴S＝ 4×2 ＝4 ．
故答案为：4 ．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，利用了对角线互相垂直的平行四边形是菱形，菱
形的面积是对角线乘积的一半．
16．【分析】（1）若k＝4，则计算S△OEF ＝ ≠ ，故命题 错误；
①
（2）如答图所示，若 ，可证明直线EF是线段CN的垂直平分线，故命题 正确；
②
（3）因为点F不经过点C（4，3），所以k≠12，故命题 错误；
（4）求出直线EF的解析式，得到点D、G的坐标，然后求出线③段DE、EG的长度；利用算式
DE•EG＝ ，求出k＝1，故命题 正确．
④
【解答】解：命题 错误．理由如下：
∵k＝4， ①
∴E（ ，3），F（4，1），
∴CE＝4﹣ ＝ ，CF＝3﹣1＝2．
∴S△OEF ＝S矩形AOBC ﹣S△AOE ﹣S△BOF ﹣S△CEF
＝S矩形AOBC ﹣ OA•AE﹣ OB•BF﹣ CE•CF
＝4×3﹣ ×3× ﹣ ×4×1﹣ × ×2＝12﹣2﹣2﹣ ＝ ，
∴S△OEF ≠ ，故命题 错误；
①
命题 正确．理由如下：
②
∵k＝ ，
第13页（共25页）∴E（ ，3），F（4， ），
∴CE＝4﹣ ＝ ，CF＝3﹣ ＝ ．
如答图，过点E作EM⊥x轴于点M，则EM＝3，OM＝ ；
在线段BM上取一点N，使得EN＝CE＝ ，连接NF．
在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN＝ ＝ ＝ ，
∴BN＝OB﹣OM﹣MN＝4﹣ ﹣ ＝ ．
在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF＝ ＝ ＝ ．
∴NF＝CF，
又∵EN＝CE，
∴直线EF为线段CN的垂直平分线，即点N与点C关于直线EF对称，
故命题 正确；
命题 ②错误．理由如下：
由题③意，点F与点C（4，3）不重合，所以k≠4×3＝12，故命题 错误；
命题 正确．理由如下： ③
为简④化计算，不妨设k＝12m，则E（4m，3），F（4，3m）．
设直线EF的解析式为y＝ax+b，则有
第14页（共25页），解得 ，
∴y＝ x+3m+3．
令x＝0，得y＝3m+3，∴D（0，3m+3）；
令y＝0，得x＝4m+4，∴G（4m+4，0）．
如答图，过点E作EM⊥x轴于点M，则OM＝AE＝4m，EM＝3．
在Rt△ADE中，AD＝OD﹣OA＝3m，AE＝4m，由勾股定理得：DE＝5m；
在Rt△MEG中，MG＝OG﹣OM＝（4m+4）﹣4m＝4，EM＝3，由勾股定理得：EG＝5．
∴DE•EG＝5m×5＝25m＝ ，解得m＝ ，
∴k＝12m＝1，故命题 正确．
综上所述，正确的命题④是： ，
故答案为： ． ②④
【点评】本题②综④合考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k
的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，有一定的难度．本题计算量较
大，解题过程中注意认真计算．
三、（本大题共3小题，每题6分，共18分）
17．【分析】本题涉及零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．
针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝2 ﹣4× +1+4
＝5．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目
的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对
值等考点的运算．
18．【分析】首先把除法运算转化成乘法运算，然后找出最简公分母，进行通分，化简．
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）•
＝（ ﹣ ）•（﹣ ），
第15页（共25页）＝﹣ • ，
＝﹣ ．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
19．【分析】根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，
可得∠AGB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABG与∠BAG的关系，根据同角
的余角相等，可得∠BAG与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角
形的性质，可得答案．
【解答】证明：∵正方形ABCD，
∴∠ABC＝∠C，AB＝BC．
∵AE⊥BF，
∴∠AGB＝∠BAG+∠ABG＝90°，
∵∠ABG+∠CBF＝90°，
∴∠BAG＝∠CBF．
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，直角三角形的性质，
余角的性质，全等三角形的判定与性质．
四、（本大题共1小题，每题7分，共14分）
20．【分析】（1）根据所有等级的百分比的和为1，则可计算出x＝30，再利用A等级的人数除
以它所占的百分比得到调查的总人数为200人，然后分别乘以30%和20%得到B等级和
C等级人数，再将条形统计图补充完整；
（2）满足2≤t＜4的人数就是B和C等级的人数，用2500乘以B、C两等级所占的百分比
的和即可；
（3）3人学习组的3个人用甲表示，2人学习组的2个人用乙表示，画树状图展示所有20
种等可能的结果数，其中选出的2人来自不同小组占12种，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）∵x%+15%+10%+45%＝1，
第16页（共25页）∴x＝30；
∵调查的总人数＝90÷45%＝200（人），
∴B等级人数＝200×30%＝60（人）；C等级人数＝200×10%＝20（人），
如图：
（2）2500×（10%+30%）＝1000（人），
所以估计每周课外阅读时间量满足2≤t＜4的人数为1000人；
（3）3人学习组的3个人用甲表示，2人学习组的2个人用乙表示，画树状图为：
，
共有20种等可能的结果数，其中选出的2人来自不同小组占12种，
所以选出的2人来自不同小组的概率＝ ＝ ．
【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画
成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以很容易看出数据
的大小，便于比较．也考查了扇形统计图、列表法与树状图法．
五、（本大题共3小题，每题8分，共16分）
21．【分析】（1）根据等量关系：利润＝A种产品的利润+B种产品的利润，可得出函数关系式；
（2）这是一道只有一个函数关系式的求最值问题，可根据等量关系：总利润＝A种产品的
利润+B种产品的利润，可得出函数关系式，然后根据函数的性质确定自变量的取值范围，
由函数y随x的变化求出最大利润．
第17页（共25页）【解答】解：（1）由题意：y＝700x+1200（50﹣x），
即y＝﹣500x+60000；
（2）由题意得 ，
解得30≤x≤36，
∵y＝﹣500x+60000，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝30时，y最大 ＝45000，
故生产B种产品20件，A种产品30件时，总利润y有最大值，y最大 ＝45000元．
【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意
利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变
量的取值范围确定最值．
22．【分析】根据方向角的定义以及锐角三角函数关系得出AN、NC的长进而求出BN即可得
出答案．
【解答】解：过点A作AF⊥CD，垂足为F，过点D作DE⊥CD，如图所示：
由题意可得出：∠FCA＝∠ACN＝45°，∠NCB＝30°，∠ADE＝60°，
则∠FAD＝60°，∠FAC＝∠FCA＝45°，∠ADF＝30°，
∴AF＝FC＝AN＝NC，
设AF＝FC＝x，
∴tan30°＝ ＝ ＝ ，
解得：x＝15（ +1），
∵tan30°＝ ，
∴ ＝ ，
解得：BN＝15+5 ，
∴AB＝AN+BN＝15（ +1）+15+5 ＝30+20 ，
答：灯塔A、B间的距离为（30+20 ）海里．
第18页（共25页）【点评】此题主要考查了方向角以及锐角三角函数关系，得出NC的长是解题关键．
23．【分析】（1）根据判别式的意义可得m≥2，再根据根与系数的关系得x +x ＝2（m+1），
1 2
x x ＝m2+5，接着利用（x ﹣1）（x ﹣1）＝28得到m2+5﹣2（m+1）+1＝28，解得m ＝6，m ＝
1 2 1 2 1 2
﹣4，于是可得m的值为6；
（2）分类讨论：若x ＝7时，把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，解得m ＝10，m
1 1 2
＝4，当m＝10时，由根与系数的关系得x +x ＝2（m+1）＝22，解得x ＝15，根据三角形三
1 2 2
边的关系，m＝10舍去；当m＝4时，x +x ＝2（m+1）＝10，解得x ＝3，则三角形周长为
1 2 2
3+7+7＝17；若x ＝x ，则m＝2，方程化为x2﹣6x+9＝0，解得x ＝x ＝3，根据三角形三边
1 2 1 2
的关系，m＝2舍去．
【解答】解：（1）根据题意得△＝4（m+1）2﹣4（m2+5）≥0，解得m≥2，
x +x ＝2（m+1），x x ＝m2+5，
1 2 1 2
∵（x ﹣1）（x ﹣1）＝28，即x x ﹣（x +x ）+1＝28，
1 2 1 2 1 2
∴m2+5﹣2（m+1）+1＝28，
整理得m2﹣2m﹣24＝0，解得m ＝6，m ＝﹣4，
1 2
而m≥2，
∴m的值为6；
（2）当腰长为7时，则x＝7是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的一个解，
把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，
整理得m2﹣14m+40＝0，解得m ＝10，m ＝4，
1 2
当m＝10时，x +x ＝2（m+1）＝22，解得x ＝15，而7+7＜15，故舍去；
1 2 2
当m＝4时，x +x ＝2（m+1）＝10，解得x ＝3，则三角形周长为3+7+7＝17；
1 2 2
当7为等腰三角形的底边时，则x ＝x ，所以m＝2，方程化为x2﹣6x+9＝0，解得x ＝x ＝
1 2 1 2
3，则3+3＜7，故舍去，
所以这个三角形的周长为17．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根
1 2
第19页（共25页）时，x +x ＝﹣ ，x x ＝ ．也考查了根的判别式和等腰三角形的性质．
1 2 1 2
六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．【分析】（1）求出△CDE∽△CAD，∠CDB＝∠DAC得出结论．
（2）连接OC，先证AD∥OC，由平行线分线段成比例性质定理求得PC＝ ，再由割线
定理 PC•PD＝PB•PA 求得半径为 4，根据勾股定理求得 AC＝ ，再证明
△AFD∽△ACB，得 ，则可设FD＝x，AF＝ ，在Rt△AFP中，利
用勾股定理列出关于x的方程，求解得DF．
【解答】（1）证明：∵DC2＝CE•CA，
∴ ＝ ，
∵∠DCE＝∠ACD，
∴△CDE∽△CAD，
∴∠CDB＝∠DAC，
∵四边形ABCD内接于 O，
∴BC＝CD； ⊙
（2）解：方法一：如图，连接OC，
∵BC＝CD，
∴∠DAC＝∠CAB，
又∵AO＝CO，
∴∠CAB＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
第20页（共25页）∴ ＝ ，
∵PB＝OB，CD＝ ，
∴ ＝
∴PC＝4
又∵PC•PD＝PB•PA
∴4 •（4 +2 ）＝OB•3OB
∴OB＝4，即AB＝2OB＝8，PA＝3OB＝12，
在Rt△ACB中，
AC＝ ＝ ＝2 ，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°
∴∠FDA+∠BDC＝90°
∠CBA+∠CAB＝90°
∵∠BDC＝∠CAB，
∴∠FDA＝∠CBA，
又∵∠AFD＝∠ACB＝90°，
∴△AFD∽△ACB
∴
在Rt△AFP中，设FD＝x，则AF＝ ，
∴在Rt△APF中有， ，
求得DF＝ ．
方法二；连接OC，过点O作OG垂直于CD，
第21页（共25页）易证△PCO∽△PDA，可得 ＝ ，
△PGO∽△PFA，可得 ＝ ，
可得， ＝ ，由方法一中PC＝4 代入 ，
即可得出DF＝ ．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理及圆周角的有关知识的综合运
用能力，关键是找准对应的角和边求解．
25．【分析】（1）首先利用待定系数法求出二次函数解析式，然后求出其最大值；
（2）联立y 与y ，求出点C的坐标为C（ ， ），因此使y ＞y 成立的x的取值范围为0
1 2 2 1
＜x＜ ，得s＝1+2+3＝6；将s的值代入分式方程，求出a的值；
（3）第1步：首先确定何时四边形DEFG的面积最大．
如答图1，四边形DEFG是一个梯形，将其面积用含有未知数的代数式表示出来，这个代
数式是一个二次函数，根据其最值求出未知数的值，进而得到面积最大时点D、E的坐标；
第2步：利用几何性质确定PD+PE最小的条件，并求出点P的坐标．
如答图2，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E，与x轴交于点P．根据轴对称及两点
之间线段最短可知，此时PD+PE最小．利用待定系数法求出直线D′E的解析式，进而求
出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵二次函数y ＝﹣x2+mx+b经过点B（0，1）与A（2﹣ ，0），
2
∴ ，
第22页（共25页）解得
∴l：y ＝ x+1；
1
C′：y ＝﹣x2+4x+1．
2
∵y ＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，
2
∴y ＝5；
max
（2）联立y 与y 得： x+1＝﹣x2+4x+1，解得x＝0或x＝ ，
1 2
当x＝ 时，y ＝ × +1＝ ，
1
∴C（ ， ）．
使y ＞y 成立的x的取值范围为0＜x＜ ，
2 1
∴s＝1+2+3＝6．
代入方程得
解得a＝ ；
经检验a＝ 是分式方程的解．
（3）∵点D、E在直线l：y ＝ x+1上，
1
∴设D（p， p+1），E（q， q+1），其中q＞p＞0．
如答图1，过点E作EH⊥DG于点H，则EH＝q﹣p，DH＝ （q﹣p）．
第23页（共25页）在Rt△DEH中，由勾股定理得：EH2+DH2＝DE2，即（q﹣p）2+[ （q﹣p）]2＝（ ）2，
解得q﹣p＝2，即q＝p+2．
∴EH＝2，E（p+2， p+2）．
当x＝p时，y ＝﹣p2+4p+1，
2
∴G（p，﹣p2+4p+1），
∴DG＝（﹣p2+4p+1）﹣（ p+1）＝﹣p2+ p；
当x＝p+2时，y ＝﹣（p+2）2+4（p+2）+1＝﹣p2+5，
2
∴F（p+2，﹣p2+5），
∴EF＝（﹣p2+5）﹣（ p+2）＝﹣p2﹣ p+3．
S四边形DEFG ＝ （DG+EF）•EH＝ [（﹣p2+ p）+（﹣p2﹣ p+3）]×2＝﹣2p2+3p+3
∴当p＝ 时，四边形DEFG的面积取得最大值，
∴D（ ， ）、E（ ， ）．
如答图2所示，过点D关于x轴的对称点D′，则D′（ ，﹣ ）；
第24页（共25页）连接D′E，交x轴于点P，PD+PE＝PD′+PE＝D′E，
由两点之间线段最短可知，此时PD+PE最小．
设直线D′E的解析式为：y＝kx+b，
则有 ，
解得
∴直线D′E的解析式为：y＝ x﹣ ．
令y＝0，得x＝ ，
∴P（ ，0）．
【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系
数法、函数最值、分式方程的解、勾股定理、轴对称﹣最短路线等知识点，涉及考点众多，
难度较大．本题难点在于第（3）问，涉及两个最值问题，第1个最值问题利用二次函数解
决，第2个最值问题利用几何性质解决．
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