文档内容
2014 年四川省泸州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分.只有一项是符合题目要求的.）
1． 5的倒数为（ ）
A． B．5 C． D．﹣5
3．如图的几何图形的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
6．已知实数x、y满足 +|y+3|=0，则x+y的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4
7．一个圆锥的底面半径是6cm，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
8．已知抛物线y=x2﹣2x+m+1与x轴有两个不同的交点，则函数y= 的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
9． “五一节”期间，王老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们家的距离y（千
米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象，当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶
的时间是（ ）
1 / 2310．如图，⊙O ，⊙O 的圆心O ，O 都在直线l上，且半径分别为2cm，3cm，O O =8cm．若⊙O
1 2 1 2 1 2 1
以1cm/s的速度沿直线l向右匀速运动（⊙O 保持静止），则在7s时刻⊙O 与⊙O 的位置关系
2 1 2
是（ ）
A．外切 B．相交 C．内含 D．内切
11．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分
别交AD、AC于点E，F，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被
⊙P截得的弦AB的长为 ，则a的值是（ ）
A．4 B． C． D．
2 / 23二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.请将最后答案直接填在题中横线上.）
13．分解因式：3a2+6a+3= ．
14．使函数y= + 有意义的自变量x的取值范围是 ．
15．一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和 ，则它的面积为 ．
16．（3分）（2014•泸州）如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，
3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数 的图象与边AC交于点E，
直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：
①若k=4，则△OEF的面积为 ；
②若 ，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；
③满足题设的k的取值范围是0＜k≤12；
④若DE•EG= ，则k=1．
其中正确的命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）．
三、（本大题共3小题，每题6分，共18分）
17．（6分）（2014•泸州）计算： ﹣4sin60°+（π+2）0+（ ）﹣2．
18．（6分）（2014•泸州）计算（ ﹣ ）÷ ．
3 / 2319．（6分）（2014•泸州）如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足
为点G．
求证：AE=BF．
四、（本大题共1小题，每题7分，共14分）
20．（7分）（2014•泸州）某中学积极组织学生开展课外阅读活动，为了解本校学生每周课外阅
读的时间量t（单位：小时），采用随机抽样的方法抽取部分学生进行了问卷调查，调查结果按
0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并分别用A、B、C、D表示，根据调查结果统计数据
绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求出x的值，并将不完整的条形统计图补充完整；
（2）若该校共有学生2500人，试估计每周课外阅读时间量满足2≤t＜4的人数；
（3）若本次调查活动中，九年级（1）班的两个学习小组分别有3人和2人每周阅读时间量都在4
小时以上，现从这5人中任选2人参加学校组织的知识抢答赛，求选出的2人来自不同小组的
概率．
4 / 23五、（本大题共3小题，每题8分，共16分）
21．（7分）（2014•泸州）某工厂现有甲种原料280千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料
生产A、B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获
利700元；生产一件B产品需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元．设生产A、
B两种产品总利润为y元，其中A种产品生产件数是x．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）如何安排A、B两种产品的生产件数，使总利润y有最大值，并求出y的最大值．
22．（8分）（2014•泸州）海中两个灯塔A、B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向
东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继
续向东航行30海里到达点D，这是测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A、B间的距离．
（计算结果用根号表示，不取近似值）
23．（8分）（2014•泸州）已知x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．
1 2
（1）若（x ﹣1）（x ﹣1）=28，求m的值；
1 2
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x ，x 恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的
1 2
周长．
5 / 23六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．（12分）（2014•泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于
点E，且DC2=CE•CA．
（1）求证：BC=CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=
，求DF的长．
25．（12分）（2014•泸州）如图，已知一次函数y = x+b的图象l与二次函数y =﹣x2+mx+b的图
1 2
象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣ ，0）．
（1）求二次函数的最大值；
（2）设使y ＞y 成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程 =0
2 1
的根，求a的值；
（3）若点F、G在图象C′上，长度为 的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，
当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．
6 / 232014 年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分.只有一项是符合题目要求的.）
1． 5的倒数为（ ）
A． B．5 C． D．﹣5
解答：
解：5的倒数是 ，
故选：A．
点评：本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．计算x2•x3的结果为（ ）
A．2x2 B．x5 C．2x3 D．x6
解答：解：原式=x2+3
=x5．
故选：B．
点评：本题考查了同底数幂的乘法，底数不变指数相加是解题关键．
3．如图的几何图形的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
解答：解：从上面看：里边是圆，外边是矩形，
故选：C．
点评：本题考查了简单组合体的三视图，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
4．某校八年级（2）班5名女同学的体重（单位：kg）分别为35，36，40，42，42，则这组数据的中
位数是（ ）
A．38 B．39 C．40 D．42
解答：解：题目中数据共有5个，中位数是按从小到大排列后第3个数作为中位数，故这组数据
的中位数是40．
故选C．
点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．要明确定义：将一组数据从小
到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组
数据的中位数，比较简单．
5．如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
7 / 23解答：解：由等边△ABC得∠C=60°，
由三角形中位线的性质得DE∥BC，
∠DEC=180°﹣∠C=180°﹣60°=120°，
故选：C．
点评：本题考查了三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
6．已知实数x、y满足 +|y+3|=0，则x+y的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4
解答：解：∵ +|y+3|=0，
∴x﹣1=0，y+3=0；
∴x=1，y=﹣3，
∴原式=1+（﹣3）=﹣2
故选：A．
点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
7．一个圆锥的底面半径是6cm，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
解答：
解：圆锥的母线长=2×π×6× =12cm，
故选B．
点评：本题考查圆锥的母线长的求法，注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点．
8．已知抛物线y=x2﹣2x+m+1与x轴有两个不同的交点，则函数y= 的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
解答：解：抛物线y=x2﹣2x+m+1与x轴有两个不同的交点，
∴△=（﹣2）2﹣4（m+1）＞0
解得m＜0，
∴函数y= 的图象位于二、四象限，
故选：A．
点评：本题考查了反比例函数图象，先求出m的值，再判断函数图象的位置．
9． “五一节”期间，王老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们家的距离y（千
米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象，当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶
的时间是（ ）
8 / 23A．2小时 B．2.2小时 C．2.25小时 D．2.4小时
解答：解：设AB段的函数解析式是y=kx+b，
y=kx+b的图象过A（1.5，90），B（2.5，170），
，
解得
∴AB段函数的解析式是y=80x﹣30，
离目的地还有20千米时，即y=170﹣20=150km，
当y=150时，80x﹣30=150
x=2.25h，
故选：C．
点评：本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值．
10．如图，⊙O ，⊙O 的圆心O ，O 都在直线l上，且半径分别为2cm，3cm，O O =8cm．若⊙O
1 2 1 2 1 2 1
以1cm/s的速度沿直线l向右匀速运动（⊙O 保持静止），则在7s时刻⊙O 与⊙O 的位置关系
2 1 2
是（ ）
A．外切 B．相交 C．内含 D．内切
解答：解：∵O O =8cm，⊙O 以1cm/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动，
1 2 1
∴7s后两圆的圆心距为：1cm，
此时两圆的半径的差为：3﹣2=1cm，
∴此时内切，
故选D．
点评：本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是根据圆的移动速度确定两圆的圆心距，然
后根据圆心距和两圆的半径确定答案．
11．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分
别交AD、AC于点E，F，则 的值是（ ）
9 / 23A． B． C． D．
解答：解：作FG⊥AB于点G，
∵∠DAB=90°，
∴AE∥FG，
∴ = ，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
又∵BE是∠ABC的平分线，
∴FG=FC，
在RT△BGF和RT△BCF中，
∴RT△BGF≌RT△BCF（HL），
∴CB=GB，
∵AC=BC，
∴∠CBA=45°，
∴AB= BC，
∴ = = = = +1．
故选：C．
点评：本题主要考查了平行线分线段成比例，全等三角形及角平分线的知识，解题的关键是找
出线段之间的关系，CB=GB，AB= BC再利用比例式求解..
12．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被
⊙P截得的弦AB的长为 ，则a的值是（ ）
A．4 B． C． D．
10 / 23解答：解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，
∵⊙P的圆心坐标是（3，a），
∴OC=3，PC=a，
把x=3代入y=x得y=3，
∴D点坐标为（3，3），
∴CD=3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE=BE= AB= ×4 =2 ，
在Rt△PBE中，PB=3，
∴PE= ，
∴PD= PE= ，
∴a=3+ ．
故选B．
点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了
勾股定理和等腰直角三角形的性质．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.请将最后答案直接填在题中横线上.）
13．分解因式：3a2+6a+3= 3 （ a+ 1 ） 2 ．
解答：解：3a2+6a+3，
=3（a2+2a+1），
=3（a+1）2．
故答案为：3（a+1）2．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因
式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．使函数y= + 有意义的自变量x的取值范围是 x ＞﹣ 2 ，且 x≠ 1 ．
解答：解：根据题意得：x+2≥0且（x﹣1）（x+2）≠0，
解得x≥﹣2，且x≠1，x≠﹣2，
故答案为：x＞﹣2，且x≠1．
点评：本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表
达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为
0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
15．一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和 ，则它的面积为 4
．
解答：解：∵平行四边形两条对角线互相平分，
11 / 23∴它们的一半分别为2和 ，
∵22+（ ）2=32，
∴两条对角线互相垂直，
∴这个四边形是菱形，
S= 4×2 =4 ．
点评：本题考查了菱形的判定与性质，利用了对角线互相垂直的平行四边形是菱形，菱形的面
积是对角线乘积的一半．
16．（3分）（2014•泸州）如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，
3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数 的图象与边AC交于点E，
直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：
①若k=4，则△OEF的面积为 ；
②若 ，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；
③满足题设的k的取值范围是0＜k≤12；
④若DE•EG= ，则k=1．
其中正确的命题的序号是 ②④ （写出所有正确命题的序号）．
考点：反比例函数综合题．
菁优网版权所有
分析：
（1）若k=4，则计算S = ≠ ，故命题①错误；
△OEF
（2）如答图所示，若 ，可证明直线EF是线段CN的垂直平分线，故命题②正确；
（3）因为点F不经过点C（4，3），所以k≠12，故命题③错误；
（4）求出直线EF的解析式，得到点D、G的坐标，然后求出线段DE、EG的长度；利用算
式DE•EG= ，求出k=1，故命题④正确．
解答：解：命题①错误．理由如下：
∵k=4，
∴E（ ，3），F（4，1），
∴CE=4﹣ = ，CF=3﹣1=2．
∴S
△OEF
=S矩形AOBC ﹣S
△AOE
﹣S
△BOF
﹣S
△CEF
12 / 23=S矩形AOBC ﹣ OA•AE﹣ OB•BF﹣ CE•CF
=4×3﹣ ×3× ﹣ ×4×1﹣ × ×2=12﹣2﹣2﹣ = ，
∴S ≠ ，故命题①错误；
△OEF
命题②正确．理由如下：
∵k= ，
∴E（ ，3），F（4， ），
∴CE=4﹣ = ，CF=3﹣ = ．
如答图，过点E作EM⊥x轴于点M，则EM=3，OM= ；
在线段BM上取一点N，使得EN=CE= ，连接NF．
在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN= = = ，
∴BN=OB﹣OM﹣MN=4﹣ ﹣ = ．
在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF= = = ．
∴NF=CF，
又∵EN=CE，
∴直线EF为线段CN的垂直平分线，即点N与点C关于直线EF对称，
故命题②正确；
命题③错误．理由如下：
由题意，点F与点C（4，3）不重合，所以k≠4×3=12，故命题③错误；
命题④正确．理由如下：
为简化计算，不妨设k=12m，则E（4m，3），F（4，3m）．
设直线EF的解析式为y=ax+b，则有
，解得 ，
∴y= x+3m+3．
令x=0，得y=3m+3，∴D（0，3m+3）；
令y=0，得x=4m+4，∴G（4m+4，0）．
如答图，过点E作EM⊥x轴于点M，则OM=AE=4m，EM=3．
在Rt△ADE中，AD=AD=OD﹣OA=3m，AE=4m，由勾股定理得：DE=5m；
13 / 23在Rt△MEG中，MG=OG﹣OM=（4m+4）﹣4m=4，EM=3，由勾股定理得：EG=5．
∴DE•EG=5m×5=25m= ，解得m= ，
∴k=12m=1，故命题④正确．
综上所述，正确的命题是：②④，
故答案为：②④．
点评：本题综合考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几
何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，有一定的难度．本题计算量较大，
解题过程中注意认真计算．
三、（本大题共3小题，每题6分，共18分）
17．（6分）（2014•泸州）计算： ﹣4sin60°+（π+2）0+（ ）﹣2．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
菁优网版权所有
分析：本题涉及零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每
个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：
解：原式=2 ﹣4× +1+4
=5．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键
是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考
点的运算．
18．（6分）（2014•泸州）计算（ ﹣ ）÷ ．
考点：分式的混合运算．
菁优网版权所有
分析：首先把除法运算转化成乘法运算，然后找出最简公分母，进行通分，化简．
解答：
解：原式=（ ﹣ ）•
=（ ﹣ ）•（﹣ ），
=﹣ • ，
=﹣ ．
点评：此题主要考查了分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
19．（6分）（2014•泸州）如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足
为点G．
求证：AE=BF．
14 / 23考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
菁优网版权所有
专题：证明题．
分析：根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可
得∠AGB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABG与∠BAG的关系，根据同
角的余角相等，可得∠BAG与∠CBF的关系，根据ASA，可得三角形全等，根据全等三
角形的性质，可得答案．
解答：证明：∵正方形ABCD，
∴∠ABC=∠C，AB=BC．
∵AE⊥BF，
∴∠AGB=90°∠ABG+∠CBF=90°，
∵∠ABG+∠FNC=90°，
∴∠BAG=∠CBF．
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE=BF．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，直角三角形的性质，余角
的性质，全等三角形的判定与性质．
四、（本大题共1小题，每题7分，共14分）
20．（7分）（2014•泸州）某中学积极组织学生开展课外阅读活动，为了解本校学生每周课外阅
读的时间量t（单位：小时），采用随机抽样的方法抽取部分学生进行了问卷调查，调查结果按
0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并分别用A、B、C、D表示，根据调查结果统计数据
绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求出x的值，并将不完整的条形统计图补充完整；
15 / 23（2）若该校共有学生2500人，试估计每周课外阅读时间量满足2≤t＜4的人数；
（3）若本次调查活动中，九年级（1）班的两个学习小组分别有3人和2人每周阅读时间量都在4
小时以上，现从这5人中任选2人参加学校组织的知识抢答赛，求选出的2人来自不同小组的
概率．
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；列表法与树状图法．
菁优网版权所有
分析：（1）根据所有等级的百分比的和为1，则可计算出x=30，再利用A等级的人数除以它所
占的百分比得到调查的总人数为200人，然后分别乘以30%和20%得到B等级和C等级
人数，再将条形统计图补充完整；
（2）满足2≤t＜4的人数就是B和C等级的人数，用2500乘以B、C两等级所占的百分比
的和即可；
（3）3人学习组的3个人用甲表示，2人学习组的2个人用乙表示，画树状图展示所有20
种等可能的结果数，其中选出的2人来自不同小组占12种，然后利用概率公式求解．
解答：解：（1）∵x%+15%+10%+45%=1，
∴x=30；
∵调查的总人数=90÷45%=200（人），
∴B等级人数=200×30%=60（人）；C等级人数=200×10%=20（人），
如图：
（2）2500×（10%+30%）=1000（人），
所以估计每周课外阅读时间量满足2≤t＜4的人数为1000人；
（3）3人学习组的3个人用甲表示，2人学习组的2个人用乙表示，画树状图为：
，
共有20种等可能的结果数，其中选出的2人来自不同小组占12种，
所以选出的2人来自不同小组的概率= = ．
点评：本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短
不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以很容易看出数据的大
小，便于比较．也考查了扇形统计图、列表法与树状图法．
五、（本大题共3小题，每题8分，共16分）
21．（7分）（2014•泸州）某工厂现有甲种原料280千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料
生产A、B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获
16 / 23利700元；生产一件B产品需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元．设生产A、
B两种产品总利润为y元，其中A种产品生产件数是x．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）如何安排A、B两种产品的生产件数，使总利润y有最大值，并求出y的最大值．
考点：一次函数的应用．
菁优网版权所有
分析：（1）根据等量关系：利润=A种产品的利润+B中产品的利润，可得出函数关系式；
（2）这是一道只有一个函数关系式的求最值问题，可根据等量关系总利润═A种产品的
利润+B中产品的利润，可得出函数关系式，然后根据函数的性质确定自变量的取值范
围，由函数y随x的变化求出最大利润．
解答：解：（1）y=700x+1200（50﹣x），
即y=﹣500x+60000；
（2）由题意得 ，
解得16≤x≤30
y=﹣500x+60000，
y随x的增大而减小，
当x=16时，y最大=58000，
生产B种产品34件，A种产品16件，总利润y有最大值，y最大=58000元．
点评：本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一
次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取
值范围确定最值．
22．（8分）（2014•泸州）海中两个灯塔A、B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向
东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继
续向东航行30海里到达点D，这是测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A、B间的距离．
（计算结果用根号表示，不取近似值）
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
菁优网版权所有
分析：根据方向角的定义以及锐角三角函数关系得出AN，NC的长进而求出BN即可得出答
案．
解答：解：如图所示：
由题意可得出：∠FCA=∠ACN=45°，∠NCB=30°，∠ADE=60°，
过点A作AF⊥FD，垂足为F，
则∠FAD=60°，∠FAC=∠FCA=45°，∠ADF=30°，
∴AF=FC=AN=NC，
设AF=FC=x，
∴tan30°= = = ，
解得：x=15（ +1），
∵tan30°= ，∴ = ，
17 / 23解得：BN=15+5 ，
∴AB=AN+BN=15（ +1）+15+5 =30+20 ，
答：灯塔A、B间的距离为（30+20 ）海里．
点评：此题主要考查了方向角以及锐角三角函数关系，得出NC的长是解题关键．
23．（8分）（2014•泸州）已知x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．
1 2
（1）若（x ﹣1）（x ﹣1）=28，求m的值；
1 2
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x ，x 恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的
1 2
周长．
考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
菁优网版权所有
分析：（1）利用（x ﹣1）（x ﹣1）=x •x ﹣（x +x ）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，求得m的值即可；
1 2 1 2 1 2
（2）分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．
解答：解：（1）∵x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根，
1 2
∴x +x =2（m+1），x •x =m2+5，
1 2 1 2
∴（x ﹣1）（x ﹣1）=x •x ﹣（x +x ）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，
1 2 1 2 1 2
解得：m=﹣4或m=6；
当m=﹣4时原方程无解，
∴m=6；
（2）当7为底边时，此时方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个相等的实数根，
∴△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=0，
解得：m=2，
∴方程变为x2﹣6x+9=0，
解得：x =x2=3，
1
∵3+3＜7，
∴不能构成三角形；
当7为腰时，设x =7，
1
代入方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，
解得：m=10或4，
当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，
解得：x=7或15
∵7+7＜15，不能组成三角形；
当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，
解得：x=3或7，
此时三角形的周长为7+7+3=17．
点评：本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之
积分别与系数的关系．
六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．（12分）（2014•泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于
点E，且DC2=CE•CA．
18 / 23（1）求证：BC=CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=
，求DF的长．
考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．
菁优网版权所有
分析：（1）求出△CDE∽△CAD，∠CDB=∠DBC得出结论．
（2）连接OC，先证AD∥OC，由平行线分线段成比例性质定理求得PC= ，再由割线
定理PC•PD=PB•PA求得半径为4，根据勾股定理求得AC= ，再证明
△AFD∽△ACB，得 ，则可设FD=x，AF= ，在Rt△AFP中，求得
DF= ．
解答：（1）证明：∵DC2=CE•CA，
∴ = ，
△CDE∽△CAD，
∴∠CDB=∠DBC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴BC=CD；
（2）解：如图，连接OC，
∵BC=CD，
∴∠DAC=∠CAB，
又∵AO=CO，
∴∠CAB=∠ACO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD∥OC，
∴ = ，
∵PB=OB，CD= ，
19 / 23∴ =
∴PC=4
又∵PC•PD=PB•PA
∴PA=4也就是半径OB=4，
在RT△ACB中，
AC= = =2 ，
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°
∴∠FDA+∠BDC=90°
∠CBA+∠CAB=90°
∵∠BDC=∠CAB
∴∠FDA=∠CBA
又∵∠AFD=∠ACB=90°
∴△AFD∽△ACB
∴
在Rt△AFP中，设FD=x，则AF= ，
∴在RT△APF中有， ，
求得DF= ．
点评：本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理及圆周角的有关知识的综合运用能
力，关键是找准对应的角和边求解．
25．（12分）（2014•泸州）如图，已知一次函数y = x+b的图象l与二次函数y =﹣x2+mx+b的图
1 2
象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣ ，0）．
（1）求二次函数的最大值；
（2）设使y ＞y 成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程 =0
2 1
的根，求a的值；
（3）若点F、G在图象C′上，长度为 的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，
当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．
考点：二次函数综合题．
菁优网版权所有
分析：（1）首先利用待定系数法求出二次函数解析式，然后求出其最大值；
（2）联立y 与y 得，求出点C的坐标为C（ ， ），因此使y ＞y 成立的x的取值范围
1 2 2 1
20 / 23为0＜x＜ ，得s=1+2+3=6；将s的值代入分式方程，求出a的值；
（3）第1步：首先确定何时四边形DEFG的面积最大．
如答图1，四边形DEFG是一个梯形，将其面积用含有未知数的代数式表示出来，这个代
数式是一个二次函数，根据其最值求出未知数的值，进而得到面积最大时点D、E的坐
标；
第2步：利用几何性质确定PD+PE最小的条件，并求出点P的坐标．
如答图2，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E，与x轴交于点P．根据轴对称及两点之
间线段最短可知，此时PD+PE最小．利用待定系数法求出直线D′E的解析式，进而求出
点P的坐标．
解答：解：（1）∵二次函数y =﹣x2+mx+b经过点B（0，1）与A（2﹣ ，0），
2
∴ ，
解得
∴l：y = x+1；
1
C′：y =﹣x2+4x+1．
2
y =﹣x2+4x+1=﹣（x﹣2）2+5，
2
∴y =5；
max
（2）联立y 与y 得： x+1=﹣x2+4x+1，解得x=0或x= ，
1 2
当x= 时，y = × +1= ，
1
∴C（ ， ）．
使y ＞y 成立的x的取值范围为0＜x＜ ，
2 1
∴s=1+2+3=6．
代入方程得
解得a= ；
（3）∵点D、E在直线l：y = x+1上，
1
∴设D（p， p+1），E（q， q+1），其中q＞p＞0．
如答图1，过点E作EH⊥DG于点H，则EH=q﹣p，DH= （q﹣p）．
21 / 23在Rt△DEH中，由勾股定理得：DE2+DH2=DE2，即（q﹣p）2+[ （q﹣p）2=（ ）2，
解得q﹣p=2，即q=p+2．
]
∴EH=2，E（p+2， p+2）．
当x=p时，y =﹣p2+4p+1，
2
∴G（p，﹣p2+4p+1），
∴DG=（﹣p2+4p+1）﹣（ p+1）=﹣p2+ p；
当x=p+2时，y =﹣（p+2）2+4（p+2）+1=﹣p2+5，
2
∴F（p+2，﹣p2+5）
∴EF=（﹣p2+5）﹣（ p+2）=﹣p2﹣ p+3．
S四边形DEFG = （DG+EF）•EH= [（﹣p2+ p）+（﹣p2﹣ p+3） ×2=﹣2p2+3p+3
∴当p= 时，四边形DEFG的面积取得最大值， ]
∴D（ ， ）、E（ ， ）．
如答图2所示，过点D关于x轴的对称点D′，则D′（ ，﹣ ）；
连接D′E，交x轴于点P，PD+PE=PD′+PE=D′E，
由两点之间线段最短可知，此时PD+PE最小．
设直线D′E的解析式为：y=kx+b，
则有 ，
解得
∴直线D′E的解析式为：y= x﹣ ．
令y=0，得x= ，
∴P（ ，0）．
点评：本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、
函数最值、分式方程的解、勾股定理、轴对称﹣最短路线等知识点，涉及考点众多，难度
22 / 23较大．本题难点在于第（3）问，涉及两个最值问题，第1个最值问题利用二次函数解决，
第2个最值问题利用几何性质解决．
23 / 23
