文档内容
2016年四川省泸州市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分
1．（3分）6的相反数为（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣ D．
2．（3分）计算3a2﹣a2的结果是（ ）
A．4a2 B．3a2 C．2a2 D．3
3．（3分）下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）将5570000用科学记数法表示正确的是（ ）
A．5.57×105 B．5.57×106 C．5.57×107 D．5.57×108
5．（3分）下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）数据4，8，4，6，3的众数和平均数分别是（ ）
A．5，4 B．8，5 C．6，5 D．4，5
7．（3分）在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中
白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取
出黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图， ▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝16，CD＝6，则△ABO的
周长是（ ）
A．10 B．14 C．20 D．22
9．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（
第1页（共21页））
A．k≥1 B．k＞1 C．k＜1 D．k≤1
10．（3分）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距（圆心到边的距离）
为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）如图，矩形ABCD的边长AD＝3，AB＝2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝
2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），
当a﹣b为整数时，ab的值为（ ）
A． 或1 B． 或1 C． 或 D． 或
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分
13．（3分）分式方程 ﹣ ＝0的根是 ．
14．（3分）分解因式：2a2+4a+2＝ ．
15．（3分）若二次函数y＝2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x ，0）、B（x ，0）两点，则 +
1 2
的值为 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P
在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值是
．
三、本大题共3小题，每小题6分，共18分
第2页（共21页）17．（6分）计算：（ ﹣1）0﹣ ×sin60°+（﹣2）2．
18．（6分）如图，C是线段AB的中点，CD＝BE，CD∥BE．求证：∠D＝∠E．
19．（6分）化简：（a+1﹣ ）• ．
四．本大题共2小题，每小题7分，共14分
20．（7分）为了解某地区七年级学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情
况，从该地区随机抽取部分七年级学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问
卷调查的每名同学只能选择其中一类节目），并调查得到的数据用下面的表和扇形图来表
示（表、图都没制作完成）
节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲
人数 36 90 a b 27
根据表、图提供的信息，解决以下问题：
（1）计算出表中a、b的值；
（2）求扇形统计图中表示“动画”部分所对应的扇形的圆心角度数；
（3）若该地区七年级学生共有47500人，试估计该地区七年级学生中喜爱“新闻”类电视
节目的学生有多少人？
21．（7分）某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件
B商品共用了880元．
（1）A、B两种商品的单价分别是多少元？
（2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A、B
两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，
那么该商店有哪几种购买方案？
第3页（共21页）五．本大题共2小题，每小题8分，共16分
22．（8分）如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60 米的点D（点D与楼底C
在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i＝1： 的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处
测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，
tan53°≈ ，计算结果用根号表示，不取近似值）．
23．（8分）如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）与反比例函数y＝ 的图象相交于A、B两点，一次
函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．
六．本大题共2小题，每小题12分，共24分
24．（12分）如图，△ABC内接于 O，BD为 O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线
与过点B的直线相交于点E，⊙且∠A＝∠E⊙BC．
（1）求证：BE是 O的切线；
（2）已知CG∥EB，⊙且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG•BA＝48，FG＝ ，DF＝
2BF，求AH的值．
第4页（共21页）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y＝mx2+nx相交于
A（1，3 ），B（4，0）两点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，
求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限
内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积
S△BCN 、S△PMN 满足S△BCN ＝2S△PMN ，求出 的值，并求出此时点M的坐标．
第5页（共21页）2016年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分
1．【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：6的相反数为：﹣6．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数的定义，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．【分析】直接利用合并同类项的知识求解即可求得答案．
【解答】解：3a2﹣a2＝2a2．
故选：C．
【点评】此题考查了合并同类项的法则．注意合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所
得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
3．【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：根据轴对称图形的概念可知：A，B，D是轴对称图形，C不是轴对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿
对称轴折叠后可重合．
4．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是
易错点，由于5570000有7位，所以可以确定n＝7﹣1＝6．
【解答】解：5570000＝5.57×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
5．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得图形的主视图．
【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，符合题意；
B、球的主视图是圆，不符合题意；
C、圆柱的主视图是矩形，不符合题意；
D、正方体的主视图是正方形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现
第6页（共21页）在三视图中．
6．【分析】根据众数的定义找出出现次数最多的数，再根据平均数的计算公式求出平均数即
可．
【解答】解：∵4出现了2次，出现的次数最多，
∴众数是4；
这组数据的平均数是：（4+8+4+6+3）÷5＝5；
故选：D．
【点评】此题考查了众数和平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止
一个．
7．【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点： 符合条件的情况数目； 全部情况的
总数．二者的比值就是其发生的概率的大小． ① ②
【解答】解：根据题意可得：口袋里共有12只球，其中白球2只，红球6只，黑球4只，
故从袋中取出一个球是黑球的概率：P（黑球）＝ ＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法与运用．一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事
件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
8．【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO＝CO，BO＝DO，DC＝AB＝6，再利用已知求
出AO+BO的长，进而得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，DC＝AB＝6，
∵AC+BD＝16，
∴AO+BO＝8，
∴△ABO的周长是：14．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，正确得出AO+BO的值是解题关键．
9．【分析】直接利用根的判别式进而分析得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝﹣8k+8≥0，
解得：k≤1．
第7页（共21页）故选：D．
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出关于k的等式是解题关键．
10．【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分
别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
【解答】解：如图1，
∵OC＝1，
∴OD＝1×sin30°＝ ；
如图2，
∵OB＝1，
∴OE＝1×sin45°＝ ；
如图3，
∵OA＝1，
∴OD＝1×cos30°＝ ，
第8页（共21页）则该三角形的三边分别为： ， ， ，
∵（ ）2+（ ）2＝（ ）2，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积是 × × ＝ ，
故选：D．
【点评】本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概
念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．
11．【分析】过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH＝AB＝2，根据勾股定理得到AF
＝ ＝ ＝2 ，根据平行线分线段成比例定理得到OH＝ AE＝ ，由
相似三角形的性质得到 ＝ ＝ ，求得AM＝ AF＝ ，根据相似三角形的性
质得到 ＝ ＝ ，求得AN＝ AF＝ ，即可得到结论．
【解答】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH＝AB＝2
∵BF＝2FC，BC＝AD＝3，
∴BF＝AH＝2，FC＝HD＝1，
∴AF＝ ＝ ＝2 ，
∵OH∥AE，
∴ ＝ ＝ ，
∴OH＝ AE＝ ，
∴OF＝FH﹣OH＝2﹣ ＝ ，
∵AE∥FO，
∴△AME∽FMO，
第9页（共21页）∴ ＝ ＝ ，
∴AM＝ AF＝ ，
∵AD∥BF，
∴△AND∽△FNB，
∴ ＝ ＝ ，
∴AN＝ AF＝ ，
∴MN＝AN﹣AM＝ ﹣ ＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，准确
作出辅助线，求出AN与AM的长是解题的关键．
12．【分析】首先根据题意确定a、b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a﹣b为整数
确定a、b的值，从而确定答案．
【解答】解：依题意知a＞0，﹣ ＞0，a+b﹣2＝0，
故b＞0，且b＝2﹣a，a﹣b＝a﹣（2﹣a）＝2a﹣2，
于是0＜a＜2，
∴﹣2＜2a﹣2＜2，
又∵a﹣b为整数，
∴2a﹣2＝﹣1，0，1，
故a＝ ，1， ，
b＝ ，1， ，
第10页（共21页）∴ab＝ 或1．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据图象经过的点确定a+b+c的
值和a、b的符号，难度中等．
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分
13．【分析】把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再代入x（x﹣3）进行检验即可．
【解答】解：方程两边都乘以最简公分母x（x﹣3）得：4x﹣（x﹣3）＝0，
解得：x＝﹣1，
经检验：x＝﹣1是原分式方程的解，
故答案为：x＝﹣1．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转
化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
14．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2+2a+1）
＝2（a+1）2，
故答案为：2（a+1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题
的关键．
15．【分析】设y＝0，则对应一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，利用根与系数的
关系即可求出 + 的值．
【解答】解：
设y＝0，则2x2﹣4x﹣1＝0，
∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即x ，x ，
1 2
∴x +x ＝﹣ ＝2，x ，•x ＝﹣ ，
1 2 1 2
∴ + ＝ ＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数与x轴的交点的横坐
第11页（共21页）标就是对应的一元二次方程的根是解题关键．
16．【分析】首先证明AB＝AC＝a，根据条件可知PA＝AB＝AC＝a，求出 D上到点A的最大
距离即可解决问题． ⊙
【解答】解：∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），
∴AB＝1﹣（1﹣a）＝a，CA＝a+1﹣1＝a，
∴AB＝AC，
∵∠BPC＝90°，
∴PA＝AB＝AC＝a，
如图延长AD交 D于P′，此时AP′最大，
∵A（1，0），D⊙（4，4），
∴AD＝5，
∴AP′＝5+1＝6，
∴a的最大值为6．
故答案为6．
【点评】本题考查圆、最值问题、直角三角形性质等知识，解题的关键是发现PA＝AB＝AC
＝a，求出点P到点A的最大距离即可解决问题，属于中考常考题型．
三、本大题共3小题，每小题6分，共18分
17．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及结合零指数幂的性质以及二次根式的性质分
别化简进而求出答案．
【解答】解：（ ﹣1）0﹣ ×sin60°+（﹣2）2
＝1﹣2 × +4
＝1﹣3+4
＝2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确利用相关性质化简各数是解题关键．
18．【分析】由CD∥BE，可证得∠ACD＝∠B，然后由C是线段AB的中点，CD＝BE，利用
SAS即可证得△ACD≌△CBE，继而证得结论．
第12页（共21页）【解答】证明：∵C是线段AB的中点，
∴AC＝CB，
∵CD∥BE，
∴∠ACD＝∠B，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴∠D＝∠E．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质．注意证得
△ACD≌△CBE是关键．
19．【分析】先对括号内的式子进行化简，再根据分式的乘法进行化简即可解答本题．
【解答】解：（a+1﹣ ）•
＝
＝
＝
＝2a﹣4．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．
四．本大题共2小题，每小题7分，共14分
20．【分析】（1）先求出抽取的总人数，再求出b的值，进而可得出a的值；
（2）求出a的值与总人数的比可得出结论；
（3）求出喜爱新闻类人数的百分比，进而可得出结论．
【解答】解：（1）∵喜欢体育的人数是90人，占总人数的20%，
∴总人数＝ ＝450（人）．
∵娱乐人数占36%，
∴b＝450×36%＝162（人），
∴a＝450﹣162﹣36﹣90﹣27＝135（人）；
第13页（共21页）（2）∵喜欢动画的人数是135人，
∴ ×360°＝108°；
（3）∵喜爱新闻类人数的百分比＝ ×100%＝8%，
∴47500×8%＝3800（人）．
答：该地区七年级学生中喜爱“新闻”类电视节目的学生有3800人．
【点评】本题考查的是扇形统计图，熟知通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量
同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总
数的百分数是解答此题的关键．
21．【分析】（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，根据等量关系： 购买60
件A商品的钱数+30件B商品的钱数＝1080元， 购买50件A商品的钱数+20①件B商品
的钱数＝880元分别列出方程，联立求解即可．②
（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m﹣4）件，根据不等关系：
购买A、B两种商品的总件数不少于32件， 购买的A、B两种商品的总费用不超过2①96
元可分别列出不等式，联立求解可得出m的②取值范围，进而讨论各方案即可．
【解答】解：（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，由题意得：
，
解得 ．
答：A种商品的单价为16元、B种商品的单价为4元．
（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m﹣4）件，由题意得：
，
解得：12≤m≤13，
∵m是整数，
∴m＝12或13，
故有如下两种方案：
方案（1）：m＝12，2m﹣4＝20 即购买A商品的件数为12件，则购买B商品的件数为20件；
方案（2）：m＝13，2m﹣4＝22 即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．
第14页（共21页）【点评】此题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答此类应用类题目的
关键是仔细审题，得出等量关系，从而转化为方程或不等式解题，难度一般，第二问需要
分类讨论，注意不要遗漏．
五．本大题共2小题，每小题8分，共16分
22．【分析】如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M，先在RT△BDN中求出线段BN，在
RT△ABM中求出AM，再证明四边形CMBN是矩形，得CM＝BN即可解决问题．
【解答】解：如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．
在RT△BDN中，BD＝30，BN：ND＝1： ，
∴BN＝15，DN＝15 ，
∵∠C＝∠CMB＝∠CNB＝90°，
∴四边形CMBN是矩形，
∴CM＝BN＝15，BM＝CN＝60 ﹣15 ＝45 ，
在RT△ABM中，tan∠ABM＝ ＝ ，
∴AM＝60 ，
∴AC＝AM+CM＝15+60 ．
故楼房AC的高度为（15+60 ）米．
【点评】本题考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，解题的关键是添加辅助线构造直角三
角形，记住坡度的定义，属于中考常考题型．
23．【分析】（1）由点A的坐标结合反比例函数系数k的几何意义，即可求出m的值；
（2）设点B的坐标为（n， ），将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，利用根与系数
的关系可找出n、k的关系，由三角形的面积公式可表示出来b、n的关系，再由点A在一次
函数图象上，可找出k、b的关系，联立3个等式为方程组，解方程组即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴m＝4×1＝4，
第15页（共21页）∴反比例函数的解析式为y＝ ．
（2）∵点B在反比例函数y＝ 的图象上，
∴设点B的坐标为（n， ）．
将y＝kx+b代入y＝ 中，得：
kx+b＝ ，整理得：kx2+bx﹣4＝0，
∴4n＝﹣ ，即nk＝﹣1 ．
①
令y＝kx+b中x＝0，则y＝b，
即点C的坐标为（0，b），
∴S△BOC ＝ bn＝3，
∴bn＝6 ．
∵点A（②4，1）在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴1＝4k+b ．
③
联立 成方程组，即 ，
①②③
解得： ，
∴该一次函数的解析式为y＝﹣ x+3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数系数k的几何意义、三
角形的面积公式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）利用反比例函数系数k的几何
意义求出m的值；（2）根据各关系量找出关于k、b、n的三元一次方程组．本题属于中档题，
难度不大，但考到的知识点较多，解决该题型题目时，综合根与系数的关系、三角形的面
积公式以及一次函数上点的坐标特征得出方程组是关键．
六．本大题共2小题，每小题12分，共24分
24．【分析】（1）欲证明BE是 O的切线，只要证明∠EBD＝90°．
⊙ 第16页（共21页）（2）由△ABC∽△CBG，得 ＝ 求出BC，再由△BFC∽△BCD，得BC2＝BF•BD求出
BF，CF，CG，GB，再通过计算发现CG＝AG，进而可以证明CH＝CB，求出AC即可解决问
题．
【解答】（1）证明：连接CD，
∵BD是直径，
∴∠BCD＝90°，即∠D+∠CBD＝90°，
∵∠A＝∠D，∠A＝∠EBC，
∴∠CBD+∠EBC＝90°，
∴BE⊥BD，
∴BE是 O切线．
（2）解⊙：∵CG∥EB，
∴∠BCG＝∠EBC，
∴∠A＝∠BCG，
∵∠CBG＝∠ABC
∴△ABC∽△CBG，
∴ ＝ ，即BC2＝BG•BA＝48，
∴BC＝4 ，
∵CG∥EB，
∴CF⊥BD，
∴△BFC∽△BCD，
∴BC2＝BF•BD，
∵DF＝2BF，
∴BF＝4，
在RT△BCF中，CF＝ ＝4 ，
∴CG＝CF+FG＝5 ，
在RT△BFG中，BG＝ ＝3 ，
∵BG•BA＝48，
∴ 即AG＝5 ，
第17页（共21页）∴CG＝AG，
∴∠A＝∠ACG＝∠BCG，∠CFH＝∠CFB＝90°，
∴∠CHF＝∠CBF，
∴CH＝CB＝4 ，
∵△ABC∽△CBG，
∴ ＝ ，
∴AC＝ ＝ ，
∴AH＝AC﹣CH＝ ．
【点评】本题考查切线的判定、圆的有关知识、相似三角形的判定和性质、勾股定理．等腰
三角形的判定和性质等知识，解题的关键是巧妙利用相似三角形的性质解决问题，属于中
考压轴题．
25．【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）分D在x轴上和y轴上，当D在x轴上时，过A作AD⊥x轴，垂足D即为所求；当D点
在y轴上时，设出D点坐标为（0，d），可分别表示出AD、BD，再利用勾股定理可得到关于
d的方程，可求得d的值，从而可求得满足条件的D点坐标；
（3）过P作PF⊥CM于点F，利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函数，可用PF分别表示
出MF和NF，从而可表示出MN，设BC＝a，则可用a表示出CN，再利用S△BCN ＝2S△PMN ，
可用PF表示出a的值，从而可用PF表示出CN，可求得 的值；借助a可表示出M点的
坐标，代入抛物线解析式可求得a的值，从而可求出M点的坐标．
【解答】解：
（1）∵A（1，3 ），B（4，0）在抛物线y＝mx2+nx的图象上，
第18页（共21页）∴ ，解得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣ x2+4 x；
（2）存在三个点满足题意，理由如下：
当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵A（1，3 ），
∴D坐标为（1，0）；
当点D在y轴上时，设D（0，d），则AD2＝1+（3 ﹣d）2，BD2＝42+d2，且AB2＝（4﹣1）
2+（3 ）2 ＝36，
∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形，
∴AD2+BD2＝AB2，即1+（3 ﹣d）2+42+d2＝36，解得d＝ ，
∴D点坐标为（0， ）或（0， ）；
综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，0）或（0， ）或（0， ）；
（补充方法：可用A，B点为直径作一个圆，圆与坐标轴的交点即为答案）
（3）如图2，过P作PF⊥CM于点F，
第19页（共21页）∵PM∥OA，
∴Rt△ADO∽Rt△MFP，
∴ ＝ ＝3 ，
∴MF＝3 PF，
在Rt△ABD中，BD＝3，AD＝3 ，
∴tan∠ABD＝ ，
∴∠ABD＝60°，设BC＝a，则CN＝ a，
在Rt△PFN中，∠PNF＝∠BNC＝30°，
∴tan∠PNF＝ ＝ ，
∴FN＝ PF，
∴MN＝MF+FN＝4 PF，
∵S△BCN ＝2S△PMN ，
∴ a2＝2× ×4 PF2，
∴a＝2 PF，
∴NC＝ a＝2 PF，
∴ ＝ ＝ ，
∴MN＝ NC＝ × a＝ a，
∴MC＝MN+NC＝（ + ）a，
∴M点坐标为（4﹣a，（ + ）a），
又M点在抛物线上，代入可得﹣ （4﹣a）2+4 （4﹣a）＝（ + ）a，
第20页（共21页）解得a＝3﹣ 或a＝0（舍去），
OC＝4﹣a＝ +1，MC＝2 + ，
∴点M的坐标为（ +1，2 + ）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、勾股定理、相似三角形的
判定和性质、点与函数图象的关系及分类讨论等．在（2）中注意分点D在x轴和y轴上两
种情况，在（3）中分别利用PF表示出MF和NC是解题的关键，注意构造三角形相似．本
题涉及知识点较多，计算量较大，综合性较强，特别是第（3）问，难度很大．
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日期：2020/2/20 22:41:52；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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