文档内容
2016年四川省自贡市中考数学试卷
一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共4分
1．（4分）计算1﹣（﹣1）的结果是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣2
2．（4分）将0.00025用科学记数法表示为（ ）
A．2.5×104 B．0.25×10﹣4 C．2.5×10﹣4 D．25×10﹣5
3．（4分）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2）
C．a（a+2）（a﹣2） D．（a﹣2）2﹣4
5．（4分）如图， O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是（
） ⊙
A．15° B．25° C．30° D．75°
6．（4分）若 +b2﹣4b+4＝0，则ab的值等于（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
7．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根，则m的取值范围是（
）
A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1
8．（4分）如图是几何体的俯视图，所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的正视
图是（ ）
第1页（共19页）A． B．
C． D．
9．（4分）圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（ ）
A．12 cm2 B．26 cm2
C． π cm2 D．（π4 +16） cm2
π π
10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，反比例函数y＝ 与正比例函数y＝bx在同一
坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：共5个小题，每小题4分，共20分
11．（4分）若代数式 有意义，则x的取值范围是 ．
12．（4分）若n边形内角和为900°，则边数n＝ ．
13．（4分）一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一
条路径，则它获取食物的概率是 ．
第2页（共19页）14．（4分）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A、B的坐标分
别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC
扫过的面积为 ．
15．（4分）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，
AB，CD相交于点P，则 的值＝ ，tan∠APD的值＝ ．
三、解答题：共2个题，每小题8分，共16分
16．（8分）计算：（ ）﹣1+（sin60°﹣1）0﹣2cos30°+| ﹣1|
17．（8分）解不等式组 ．请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式 ，得： ；
（2）解不等式①，得： ；
（3）把不等式②和 的解集在数轴上表示出来；
（4）不等式组①的解集②为： ．
第3页（共19页）四、解答题：共2个体，每小题8分，共16分
18．（8分）某校为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔
和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为奖品，若购买2支钢笔和3
本笔记本共需62元，5支钢笔和1本笔记本共需90元，问购买一支钢笔和一本笔记本各
需多少元？
19．（8分）某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，
某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹
角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参
考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5， ≈1.7）
五、解答题：共2个题，每题10分，共20分
20．（10分）我市开展“美丽自贡，创卫同行”活动，某校倡议学生利用双休日在“花海”参
加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的
数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）扇形图中的“1.5小时”部分圆心角是多少度？
（3）求抽查的学生劳动时间的众数、中位数．
21．（10分）如图， O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线
于点E． ⊙
第4页（共19页）（1）求证：∠1＝∠BAD；
（2）求证：BE是 O的切线．
⊙
六、解答题：本题12分
22．（12分）如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝ 的图象
的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出方程kx+b﹣ ＝0的解；
（3）求△AOB的面积；
（4）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣ ＜0的解集．
七、解答题（12分）
23．（12分）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上
的P点处
（Ⅰ）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．若△OCP与△PDA的面积比
为1：4，求边CD的长．
（Ⅱ）如图2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP．动点M在线段AP上（点
M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，
作ME⊥BP于点E．试问当动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若
变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF的长度．
第5页（共19页）八、解答题（14分）
24．（14分）抛物线y＝﹣x2+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过
点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点
为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．
（1）a＝ 时，求抛物线的解析式和BC的长；
（2）如图a＞1时，若AP⊥PC，求a的值；
（3）是否存在实数a，使 ＝ ？若存在，求出a的值，如不存在，请说明理由．
第6页（共19页）2016年四川省自贡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共4分
1．【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
【解答】解：1﹣（﹣1），
＝1+1，
＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关
键．
2．【分析】根据用科学记数法表示较小的数的方法解答即可．
【解答】解：0.00025＝2.5×10﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查的是用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，
n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的
两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）．是否同时满足，同时满
足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：因为 ＝ ＝2 ，因此 不是最简二次根式．
故选：B．
【点评】规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
4．【分析】直接提取公因式a即可．
【解答】解：a2﹣4a＝a（a﹣4），
故选：A．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数
都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且
各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
第7页（共19页）5．【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数．
【解答】解：∵∠A＝45°，∠AMD＝75°，
∴∠C＝∠AMD﹣∠A＝75°﹣45°＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的外角定理，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
6．【分析】根据非负数的和为零，可得a、b的值，根据有理数的乘法，可得答案．
【解答】解：由 +b2﹣4b+4＝0，得
a﹣1＝0，b﹣2＝0．
解得a＝1，b＝2．
ab＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出a、b的值是解题关键．
7．【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根，可知△≥0，从而可以求
得m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×[﹣（m﹣2）]≥0，
解得m≥1，
故选：C．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是明确当一元二次方程有实数根时，△≥0．
8．【分析】根据俯视图中每列正方形的个数，再画出从正面看得到的图形即可．
【解答】解：主视图，如图所示：
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了画几何体的三视图；用到的知识点为：主视图是从物体的正面看
得到的图形；看到的正方体的个数为该方向最多的正方体的个数．
9．【分析】利用勾股定理求得圆锥的母线长，则圆锥表面积＝底面积+侧面积＝ ×底面半径
2+底面周长×母线长÷2． π
【解答】解：底面半径为4cm，则底面周长＝8 cm，底面面积＝16 cm2；由勾股定理得，母
第8页（共1π9页） π线长＝ cm，
圆锥的侧面面积＝ ×8 × ＝4 cm2，∴它的表面积＝16 +4 ＝（4 +16）
π π π π
cm2，故选D．
π【点评】本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．
10．【分析】根据函数图象的开口方向，对称轴，可得a、b的值，根据a、b的值，可得相应的函
数图象．
【解答】解：由y＝ax2+bx+c的图象开口向下，得a＜0．
由图象，得﹣ ＞0．
由不等式的性质，得b＞0．
a＜0，y＝ 图象位于二四象限，
b＞0，y＝bx图象位于一三象限，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，利用函数图象的开口方向，对称轴得出a、b的值是
解题关键．
二、填空题：共5个小题，每小题4分，共20分
11．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0且x≠0，
解得x≥1且x≠0，
所以，x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
12．【分析】由n边形的内角和为：180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）＝900，解此方程即可
求得答案．
【解答】解：根据题意得：180（n﹣2）＝900，
解得：n＝7．
故答案为：7．
【点评】此题考查了多边形内角和公式．此题比较简单，注意方程思想的应用是解此题的
关键．
13．【分析】根据树状图判断出蚂蚁一共有多少种路可以选择，有几种可能可以获取食物即可
第9页（共19页）解决问题．
【解答】解：根据树状图，蚂蚁获取食物的概率是 ＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查树状图、概率等知识，记住概率的定义是解决问题的关键，考虑问题要全
面，属于中考常考题型．
14．【分析】根据题意，线段BC扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是AC的长，底是
点C平移的路程．求当点C落在直线y＝2x﹣6上时的横坐标即可．
【解答】解：如图所示．
∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），
∴AB＝3．
∵∠CAB＝90°，BC＝5，
∴AC＝4．
∴A′C′＝4．
∵点C′在直线y＝2x﹣6上，
∴2x﹣6＝4，解得 x＝5．
即OA′＝5．
∴CC′＝5﹣1＝4．
∴S
▱BCC′B′
＝4×4＝16．
即线段BC扫过的面积为16．
故答案为16．
【点评】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，难度中等．
15．【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边
第10页（共19页）成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得
tan∠BPF的值，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形BCED是正方形，
∴DB∥AC，
∴△DBP∽△CAP，
∴ ＝ ＝3，
连接BE，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CF＝ CD，BF＝ BE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PF＝ CF＝ BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF＝ ＝2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2，
故答案为：3，2．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中，解题的
关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
三、解答题：共2个题，每小题8分，共16分
16．【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的定义化简即可．
【解答】解：原式＝2+1﹣ + ﹣1
＝2．
第11页（共19页）【点评】本题考查负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等知识，熟练掌
握这些知识是解决问题的关键，记住a﹣p＝ （a≠0），a0＝1（a≠0），|a|＝ ，
属于中考常考题型．
17．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：（1）不等式 ，得x＜3；
（2）不等式 ，得x≥﹣4①；
（3）把不等②式 和 的解集在数轴上表示出来，
① ②
4）原不等式组的解集为﹣4≤x＜3．
故答案分别为：x＜3，x≥﹣4，﹣4≤x＜3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；
大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
四、解答题：共2个体，每小题8分，共16分
18．【分析】设购买一支钢笔需要x元，购买一本笔记本需y元，根据题意列出方程组，解方程
组即可．
【解答】解：设购买一支钢笔需要x元，购买一本笔记本需y元，
由题意得， ，
解得， ，
答：购买一支钢笔需要16元，购买一本笔记本需10元．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程
组、正确解出方程组是解题的关键．
19．【分析】过C点作AB的垂线交AB的延长线于点D，通过解Rt△ADC得到AD＝2CD＝
2x，在Rt△BDC中利用锐角三角函数的定义即可求出CD的值．
【解答】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，
设CD＝x米．
第12页（共19页）在Rt△ADC中，∠DAC＝25°，
所以tan25°＝ ＝0.5，
所以AD＝ ＝2x．
Rt△BDC中，∠DBC＝60°，
由tan 60°＝ ＝ ，
解得：x≈3．
即生命迹象所在位置C的深度约为3米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是
解答此题的关键．
五、解答题：共2个题，每题10分，共20分
20．【分析】（1）根据学生劳动“1小时”的人数除以占的百分比，求出总人数，
（2）进而求出劳动“1.5小时”的人数，以及占的百分比，乘以360即可得到结果；
（3）根据统计图中的数据确定出学生劳动时间的众数与中位数即可．
【解答】解：（1）根据题意得：30÷30%＝100（人），
∴学生劳动时间为“1.5小时”的人数为100﹣（12+30+18）＝40（人），
补全统计图，如图所示：
（2）根据题意得：40%×360°＝144°，
则扇形图中的“1.5小时”部分圆心角是144°；
第13页（共19页）（3）根据题意得：抽查的学生劳动时间的众数为1.5小时、中位数为1.5小时．
【点评】此题考查了众数，扇形统计图，条形统计图，以及中位数，弄清题中的数据是解本
题的关键．
21．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得出即可；
（2）连接BO，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可；
【解答】证明：（1）∵BD＝BA，
∴∠BDA＝∠BAD，
∵∠1＝∠BDA，
∴∠1＝∠BAD；
（2）连接BO，
又∵∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCO+∠BCD＝180°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO，
∴∠CBO+∠BCD＝180°，
∴OB∥DE，
∵BE⊥DE，
∴EB⊥OB，
∵OB是 O的半径，
∴BE是⊙O的切线．
⊙
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，切线的判定，熟练掌握切
线的判定定理是解题的关键．
六、解答题：本题12分
22．【分析】（1）把B （2，﹣4）代入反比例函数y＝ 得出m的值，再把A（﹣4，n）代入一次
第14页（共19页）函数的解析式y＝kx+b，运用待定系数法分别求其解析式；
（2）经过观察可发现所求方程的解应为所给函数的两个交点的横坐标；
（3）先求出直线y＝﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB ＝S△AOC +S△BOC 进行计算；
（4）观察函数图象得到当﹣4＜x＜0或x＞2时，一次函数的图象在反比例函数图象下方，
即使kx+b﹣ ＜0．
【解答】解：（1）∵B（2，﹣4）在y＝ 上，
∴m＝﹣8．
∴反比例函数的解析式为y＝﹣ ．
∵点A（﹣4，n）在y＝﹣ 上，
∴n＝2．
∴A（﹣4，2）．
∵y＝kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），
∴ ．
解得： ．
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2．
（2）∵A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝ 的图象的两
个交点，
∴方程kx+b﹣ ＝0的解是x ＝﹣4，x ＝2．
1 2
（3）∵当y＝0时，x＝﹣2．
∴点C（﹣2，0）．
∴OC＝2．
∴S△AOB ＝S△ACO +S△BCO ＝ ×2×4+ ×2×2＝6；
第15页（共19页）（4）不等式kx+b﹣ ＜0的解集为﹣4＜x＜0或x＞2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐
标满足两函数的解析式．也考查了观察函数图象的能力以及用待定系数法确定一次函数
的解析式．
七、解答题（12分）
23．【分析】（1）先证出∠C＝∠D＝90°，再根据∠1+∠3＝90°，∠1+∠2＝90°，得出∠2＝
∠3，即可证出△OCP∽△PDA；
根据△OCP与△PDA的面积比为1：4，得出CP＝ AD＝4，设OP＝x，则CO＝8﹣x，由勾
股定理得 x2＝（8﹣x）2+42，求出x，最后根据AB＝2OP即可求出边AB的长；
（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP＝MQ，BN＝QM，得出MP＝MQ，根据ME⊥PQ，
得出EQ＝ PQ，根据∠QMF＝∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF＝ QB，
再求出EF＝ PB，由（1）中的结论求出PB＝ ，最后代入EF＝ PB即可
得出线段EF的长度不变
【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵由折叠可得∠APO＝∠B＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3，
又∵∠D＝∠C，
∴△OCP∽△PDA；
∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴ ，
∴CP＝ AD＝4，
设OP＝x，则CO＝8﹣x，
第16页（共19页）在Rt△PCO中，∠C＝90°，
由勾股定理得 x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5，
∴AB＝AP＝2OP＝10，
∴边CD的长为10；
（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，
∵AP＝AB，MQ∥AN，
∴∠APB＝∠ABP＝∠MQP．
∴MP＝MQ，
∵BN＝PM，
∴BN＝QM．
∵MP＝MQ，ME⊥PQ，
∴EQ＝ PQ．
∵MQ∥AN，
∴∠QMF＝∠BNF，
在△MFQ和△NFB中，
，
∴△MFQ≌△NFB（AAS）．
∴QF＝ QB，
∴EF＝EQ+QF＝ PQ+ QB＝ PB，
由（1）中的结论可得：PC＝4，BC＝8，∠C＝90°，
∴PB＝ ，
∴EF＝ PB＝2 ，
∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2 ．
第17页（共19页）【点评】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形
的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等和相似的三
角形．
八、解答题（14分）
24．【分析】（1）根据抛物线经过原点b＝0，把a＝ 、b＝0代入抛物线解析式，即可求出抛物
线解析式，再求出B、C坐标，即可求出BC长．
（2）利用△PCB∽△APM，得 ＝ ，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+4ax+b（a＞0）经过原点O，
∴b＝0，
∵a＝ ，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x，
∵x＝2时，y＝8，
∴点B坐标（2，8），
∵对称轴x＝3，B、C关于对称轴对称，
∴点C坐标（4，8），
∴BC＝2．
（2）∵AP⊥PC，
第18页（共19页）∴∠APC＝90°，
∵∠CPB+∠APM＝90°，∠APM+∠PAM＝90°，
∴∠CPB＝∠PAM，
∵∠PBC＝∠PMA＝90°，
∴△PCB∽△APM，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
整理得a2﹣4a+2＝0，解得a＝2± ，
∵a＞1，
∴a＝2+ ．
（3）∵△APM∽△ANO，
∴ ＝ ＝ ，
∵AM＝4a﹣2，OM＝2，
∴ ＝ ，
∴a＝ ．
【点评】本题考查二次函数性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关
键是利用相似三角形性质列出方程解决问题，学会转化的思想，属于中考常考题型．
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日期：2020/2/20 22:35:26；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
第19页（共19页）
