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2020年四川省泸州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）．
1．（3分）2的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
2．（3分）将867000用科学记数法表示为（ ）
A．867×103 B．8.67×104 C．8.67×105 D．8.67×106
3．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度，得到的对应点A'的坐
标为（ ）
A．（2，7） B．（﹣6，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣1）
5．（3分）下列正多边形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）下列各式运算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5 B．x3﹣x2＝x C．x2•x3＝x6 D．（x3）2＝x6
7．（3分）如图， O中， ＝ ，∠ABC＝70°．则∠BOC的度数为（ ）
⊙
第1页（共22页）A．100° B．90° C．80° D．70°
8．（3分）某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如下表所示：
课外阅读时间（小时） 0.5 1 1.5 2
人数 2 3 4 1
那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是（ ）
A．1.2和1.5 B．1.2和4 C．1.25和1.5 D．1.25 和4
9．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直平分
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
10．（3分）已知关于x的分式方程 +2＝﹣ 的解为非负数，则正整数m的所有个数为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（3分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问
题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短
的一段GN的比例中项，即满足 ＝ ＝ ，后人把 这个数称为“黄金分
割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，
BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（ ）
A．10﹣4 B．3 ﹣5 C． D．20﹣8
第2页（共22页）12．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣
b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）．
13．（3分）函数y＝ 的自变量x的取值范围是 ．
14．（3分）若xa+1y3与 x4y3是同类项，则a的值是 ．
15．（3分）已知x ，x 是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x 2+4x x +x 2的值是
1 2 1 1 2 2
．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点
M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为 ．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17．（6分）计算：|﹣5|﹣（ ﹣2020）0+2cos60°+（ ）﹣1．
π
18．（6分）如图，AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：BC＝DC．
19．（6分）化简：（ +1）÷ ．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．（7分）某汽车公司为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况，随机抽取了n辆该型号
汽车耗油1L所行使的路程作为样本，并绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计
图．根据题中已有信息，解答下列问题：
第3页（共22页）（1）求n的值，并补全频数分布直方图；
（2）若该汽车公司有600辆该型号汽车．试估计耗油1L所行使的路程低于13km的该型号
汽车的辆数；
（3）从被抽取的耗油1L所行使路程在12≤x＜12.5，14≤x＜14.5这两个范围内的4辆汽
车中，任意抽取2辆，求抽取的2辆汽车来自同一范围的概率．
21．（7分）某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其
中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？
（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得
总花费最少？
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝ x+b的图象与反比例函数y＝
的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（a，6）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
23．（8分）如图，为了测量某条河的对岸边C，D两点间的距离．在河的岸边与CD平行的直
线EF上取两点A，B，测得∠BAC＝45°，∠ABC＝37°，∠DBF＝60°，量得AB长为70米．
第4页（共22页）求C，D两点间的距离（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ）．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24．（12分）如图，AB是 O的直径，点D在 O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，
E为线段AD上的点，⊙过点E的弦FG⊥A⊙B于点H．
（1）求证：∠C＝∠AGD；
（2）已知BC＝6，CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．
25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD＝5DE．
求直线BD的解析式；
①已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的
②动点，且在l右侧，点R是直线BD上的动点，若△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角
三角形，求点P的坐标．
第5页（共22页）2020年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）．
1．【分析】根据倒数的概念求解．
【解答】解：2的倒数是 ．
故选：A．
【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是倒数的性质：负数的倒数是负
数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：867000＝8.67×105，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】找到从几何体的正面看所得到的图形即可．
【解答】解：从正面看是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线．
故选：B．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．
4．【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，
左移减；纵坐标上移加，下移减．
【解答】解：∵将点A（﹣2，3）先向右平移4个单位，
∴点A的对应点A′的坐标是（﹣2+4，3），即（2，3）．
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：左右移动改变点的横
坐标，左减、右加；上下移动改变点的纵坐标，下减、上加．
5．【分析】根据中心对称图形的概念结合选项的图形进行判断即可．
【解答】解：A．正方形是中心对称图形，故本选项不合题意；
第6页（共22页）B．正五边形不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．正六边形是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．正八边形是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的知识，要注意中心对称图形是要寻找对称中心，旋转
180度后重合．
6．【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断
即可．
【解答】解：A．x2与x3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．x3与﹣x2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．x2•x3＝x5，故本选项不合题意；
D．（x3）2＝x6，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记相关运算法则
是解答本题的关键．
7．【分析】先根据圆周角定理得到∠ABC＝∠ACB＝70°，再利用三角形内角和计算出∠A＝
40°，然后根据圆周角定理得到∠BOC的度数．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠BOC＝2∠A＝80°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于
这条弧所对的圆心角的一半．
8．【分析】根据中位数、众数的计算方法求出结果即可．
【解答】解：10名学生的每天阅读时间的平均数为 ＝1.2；
学生平均每天阅读时间出现次数最多的是1.5小时，共出现4次，因此众数是1.5；
故选：A．
【点评】本题考查平均数、众数的意义和计算方法，掌握平均数的计算方法是正确计算的
前提．
第7页（共22页）9．【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质判断即可．
【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，是真命题；
B、矩形的对角线互相相等，不是垂直，原命题是假命题；
C、菱形的对角线互相垂直平分，是真命题；
D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，是真命题；
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命
题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，
只需举出一个反例即可．
10．【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为非负数，可得不等式，
解不等式，可得答案．
【解答】解：去分母，得：m+2（x﹣1）＝3，
移项、合并，得：x＝ ，
∵分式方程的解为非负数，
∴5﹣m≥0且 ≠1，
解得：m≤5且m≠3，
∴正整数解有1，2，4，5共4个，
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出不等式的解．
11．【分析】作AH⊥BC于H，如图，根据等腰三角形的性质得到BH＝CH＝ BC＝2，则根据
勾股定理可计算出AH＝ ，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到BE＝ BC
＝2 ﹣2，则计算出HE＝2 ﹣4，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH＝ BC＝2，
在Rt△ABH中，AH＝ ＝ ，
∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，
第8页（共22页）∴BE＝ BC＝2（ ﹣1）＝2 ﹣2，
∴HE＝BE﹣BH＝2 ﹣2﹣2＝2 ﹣4，
∴DE＝2HE＝4 ﹣8
∴S△ADE ＝ ×（4 ﹣8）× ＝10﹣4 ．
故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是
AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB
的黄金分割点．其中AC＝ AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考
查了等腰三角形的性质．
12．【分析】求出抛物线的对称轴x＝b，再由抛物线的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B
（2b+c，m），也可以得到对称轴为 ，可得b＝c+1，再根据二次函数的图象与x轴
有公共点，得到b2﹣4c≤0，进而求出b、c的值．
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c的图象与x轴有公共点，
∴（﹣2b）2﹣4×1×（2b2﹣4c）≥0，即b2﹣4c≤0 ，
①
由抛物线的对称轴x＝﹣ ＝b，抛物线经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），
b＝ ，即，c＝b﹣1 ，
②
代入 得，b2﹣4（b﹣1）≤0，即（b﹣2）2≤0，因此b＝2，
②c＝b﹣1①＝2﹣1＝1，
∴b+c＝2+1＝3，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，理解抛物线的对称性、二次函数与一元二次方
程的关系是解决问题的关键．
第9页（共22页）二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）．
13．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．
14．【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，据此可得a的
值．
【解答】解：∵xa+1y3与 x4y3是同类项，
∴a+1＝4，
解得a＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了同类项的概念，同类项与系数的大小无关；同类项与它们所含的字母
顺序无关．
15．【分析】根据根与系数的关系求解．
【解答】解：根据题意得x +x ＝4，x x ＝﹣7
1 2 1 2
所以，x 2+4x x +x 2＝（x +x ）2+2x x ＝16﹣14＝2
1 1 2 2 1 2 1 2
故答案为2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为
x ，x ，则x +x ＝﹣ ，x •x ＝ ．
1 2 1 2 1 2
16．【分析】延长CE、DA交于Q，延长BF和CD，交于W，根据勾股定理求出BF，根据矩形的
性质求出AD，根据全等三角形的性质得出AQ＝BC，AB＝CW，根据相似三角形的判定得
出△QMF∽△CMB，△BNE∽△WND，根据相似三角形的性质得出比例式，求出BN和
BM的长，即可得出答案．
第10页（共22页）【解答】解：延长CE、DA交于Q，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝6，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝6，AD∥BC，
∵F为AD中点，
∴AF＝DF＝3，
在Rt△BAF中，由勾股定理得：BF＝ ＝ ＝5，
∵AD∥BC，
∴∠Q＝∠ECB，
∵E为AB的中点，AB＝4，
∴AE＝BE＝2，
在△QAE和△CBE中
∴△QAE≌△CBE（AAS），
∴AQ＝BC＝6，
即QF＝6+3＝9，
∵AD∥BC，
∴△QMF∽△CMB，
∴ ＝ ＝ ，
∵BF＝5，
∴BM＝2，FM＝3，
第11页（共22页）延长BF和CD，交于W，如图2，
同理AB＝DW＝4，CW＝8，BF＝FW＝5，
∵AB∥CD，
∴△BNE∽△WND，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：BN＝ ，
∴MN＝BN﹣BM＝ ﹣2＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质
和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17．【分析】直接利用绝对值以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性
质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝5﹣1+2× +3
＝5﹣1+1+3
＝8．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADC，可得BC＝DC．
【解答】证明：∵AC平分∠BAD，
第12页（共22页）∴∠BAC＝∠DAC，
又∵AB＝AD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴BC＝CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABC≌△ADC是本题的关键．
19．【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则进行计算．
【解答】解：原式＝ ．
【点评】本题主要考查了分式的混合运算，熟记分式混合运算的顺序和各类运算法则是解
题的关键．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．【分析】（1）由D组的车辆数及其所占百分比求得n的值；求出B组的车辆数，补全频数
分布直方图即可；
（2）由总车辆数乘以360°乘以耗油1L所行使的路程低于13km的汽车的辆数所占的比例
即可；
（3）画出树状图，由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）12÷30%＝40，即n＝40，
B组的车辆为：40﹣2﹣16﹣12﹣2＝8（辆），
补全频数分布直方图如图：
（2）600× ＝150（辆），
即估计耗油1L所行使的路程低于13km的该型号汽车的辆数为150辆；
（3）设行使路程在12≤x＜12.5范围内的2辆车记为为A、B，行使路程在14≤x＜14.5范
围内的2辆车记为C、D，
画树状图如图：
第13页（共22页）共有12个等可能的结果，抽取的2辆汽车来自同一范围的结果有4个，
∴抽取的2辆汽车来自同一范围的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查了列表法或画树状图法、频数分布直方图和扇形统计图的有关知识．列
表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的
事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．【分析】（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，利用购买甲、乙两种奖
品共花费了800元列方程30x+20（30﹣x）＝800，然后解方程求出x，再计算30﹣x即可；
（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，设购买两种奖品的总费用为w
元，由购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，可得出关于x的一元一次不等式，
解之可得出x的取值范围，再由总价＝单价×数量，可得出w关于x的函数关系式，利用一
次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，
根据题意得30x+20（30﹣x）＝800，
解得x＝20，
则30﹣x＝10，
答：甲种奖品购买了20件，乙种奖品购买了10件；
（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，设购买两种奖品的总费用为w
元，
根据题意得 30﹣x≤3x，解得x≥7.5，
w＝30x+20（30﹣x）＝10x+600，
∵10＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴x＝8时，w有最小值为：w＝10×8+600＝680．
答：当购买甲种奖品8件、乙种奖品22件时，总花费最小，最小费用为680元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量
第14页（共22页）为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、
解、答．
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
22．【分析】（1）根据反比例函数y＝ 可得点A的坐标，把A（2，6）代入一次函数y＝ x+b
中可得b的值，从而得一次函数的解析式；
（2）利用面积和可得△AOB的面积．
【解答】解：（1）如图，
∵点A（a，6）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴6a＝12，
∴a＝2，
∴A（2，6），
把A（2，6）代入一次函数y＝ x+b中得： ＝6，
∴b＝3，
∴该一次函数的解析式为：y＝ x+3；
（2）由 得： ， ，
∴B（﹣4，﹣3），
当x＝0时，y＝3，即OC＝3，
∴△AOB的面积＝S△ACO +S△BCO ＝ ＝9．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一
次函数交点坐标同时满足反比例函数与一次函数解析式．解决问题的关键是确定一次函
第15页（共22页）数的解析式．
23．【分析】通过作辅助线，在三个直角三角形中，根据边角关系，分别求出CM、BM、DN、
BN，进而求出答案．
【解答】解：过点C、D分别作CM⊥EF，DN⊥EF，垂足为M、N，
在Rt△AMC中，∵∠BAC＝45°，
∴AM＝MC，
在Rt△BMC中，∵∠ABC＝37°，tan∠ABC＝ ，
∴BM＝ ＝ CM，
∵AB＝70＝AM+BM＝CM+ CM，
∴CM＝30＝DN，
在Rt△BDN中，∵∠DBN＝60°，
∴BN＝ ＝ ＝10 （米），
∴CD＝MN＝MB+BN＝ ×30+10 ＝40+10 （米），
答：C，D两点间的距离为（40+10 ）米．
【点评】本题考查直角三角形的边角关系的应用，掌握直角三角形的边角关系以及几个直
角三角形之间的关系是正确解答的关键．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24．【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据切线的性质得到∠ABC＝
90°，得到∠C＝∠ABD，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接BD，
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵BC是 O的切线，
第16页（共22页）
⊙∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠CAB＝90°，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠AGD＝∠ABD，
∴∠AGD＝∠C；
（2）解：∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴AC＝9，
∴AB＝ ＝3 ，
∵CE＝2AE，
∴AE＝3，CE＝6，
∵FH⊥AB，
∴FH∥BC，
∴△AHE∽△ABC，
∴ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴AH＝ ，EH＝2，
如图2，连接AF，BF，
∵AB是 O的直径，
∴∠AFB⊙＝90°，
∴∠AEH+∠BFH＝∠AFH+∠FAH＝90°，
∴∠FAH＝∠BFH，
∴△AFH∽△FBH，
∴ ＝ ，
第17页（共22页）∴ ＝ ，
∴FH＝ ，
∴EF＝ ﹣2．
【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，正确
的作出辅助线是解题的关键．
25．【分析】（1）根据交点式设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入抛物线交点式中，即可
求出a，即可得出结论；
（2） 先利用待定系数法求出直线AC的解析式，再利用相似三角形得出比例式求出BF，
进而①得出点E坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；
Ⅰ、当点R在直线l右侧时，先确定出点Q的坐标，设点P（x，﹣ x2+x+4）（1＜x＜4），
②
得出PG＝x﹣1，GQ＝﹣ x2+x+3，再利用三垂线构造出△PQG≌△QRH（AAS），得出RH
＝GQ＝﹣ x2+x+3，QH＝PG＝x﹣1，进而得出R（﹣ x2+x+4，2﹣x），最后代入直线BD
的解析式中，即可求出x的值，即可得出结论；
Ⅱ、当R在直线l左侧时，同Ⅰ的方法即可得出结论．
第18页（共22页）【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
将点C坐标（0，4）代入抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）中，得﹣8a＝4，
∴a＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ （x+2）（x﹣4）＝﹣ x2+x+4；
（2） 如图1，
设直线①AC的解析式为y＝kx+b'，
将点A（﹣2，0），C（0，4），代入y＝kx+b'中，得 ，
∴ ，
∴直线AC的解析式为y＝2x+4，
过点E作EF⊥x轴于F，
∴OD∥EF，
∴△BOD∽△BFE，
∴ ，
∵B（4，0），
∴OB＝4，
∵BD＝5DE，
∴ ＝ ＝ ，
∴BF＝ ×OB＝ ×4＝ ，
∴OF＝BF﹣OB＝ ﹣4＝ ，
将x＝﹣ 代入直线AC：y＝2x+4中，得y＝2×（﹣ ）+4＝ ，
∴E（﹣ ， ），
设直线BD的解析式为y＝mx+n，
第19页（共22页）∴ ，
∴ ，
∴直线BD的解析式为y＝﹣ x+2；
Ⅰ、当点R在直线l右侧时，
②∵抛物线与x轴的交点坐标为A（﹣2，0）和B（4，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点Q（1，1），
如图2，设点P（x，﹣ x2+x+4）（1＜x＜4），
过点P作PG⊥l于G，过点R作RH⊥l于H，
∴PG＝x﹣1，GQ＝﹣ x2+x+4﹣1＝﹣ x2+x+3，
∵PG⊥l，
∴∠PGQ＝90°，
∴∠GPQ+∠PQG＝90°，
∵△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，
∴PQ＝RQ，∠PQR＝90°，
∴∠PQG+∠RQH＝90°，
∴∠GPQ＝∠HQR，
∴△PQG≌△QRH（AAS），
∴RH＝GQ＝﹣ x2+x+3，QH＝PG＝x﹣1，
∴R（﹣ x2+x+4，2﹣x）
由 知，直线BD的解析式为y＝﹣ x+2，
①
∴﹣ （﹣ x2+x+4）+2＝2﹣x，
第20页（共22页）∴x＝2或x＝4（舍），
当x＝2时，y＝﹣ x2+x+4＝﹣ ×4+2+4＝4，
∴P（2，4），
Ⅱ、当点R在直线l左侧时，记作R'，
设点P'（x，﹣ x2+x+4）（1＜x＜4），
过点P'作P'G'⊥l于G'，过点R'作R'H'⊥l于H，
∴P'G'＝x﹣1，G'Q＝﹣ x2+x+4﹣1＝﹣ x2+x+3，
同Ⅰ的方法得，△P'QG'≌△QR'H'（AAS），
∴R'H'＝G'Q＝﹣ x2+x+3，QH'＝P'G'＝x﹣1，
∴R'（ x2﹣x﹣2，x），
由 知，直线BD的解析式为y＝﹣ x+2，
①
∴﹣ （ x2﹣x﹣2）+2＝x，
∴x＝﹣1+ 或x＝﹣1﹣ （舍），
当x＝﹣1+ 时，y＝﹣ x2+x+4＝2 ﹣4，
∴P'（﹣1+ ，2 ﹣4），
即满足条件的点P的坐标为（2，4）或（﹣1+ ，2 ﹣4）．
第21页（共22页）【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，全等
三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
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日期：2020/8/14 17:25:58；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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