文档内容
2020年山东省聊城市中考数学试卷
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求）
1．（3分）在实数﹣1，﹣ ，0， 中，最小的实数是（ ）
A．﹣1 B． C．0 D．﹣
2．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作
DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（ ）
A．120° B．130° C．145° D．150°
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a6÷a﹣2＝a﹣3
C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6 D．（2a+b）2＝4a2+b2
5．（3分）为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年
级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（ ）
成绩/分 84 88 92 96 100
人数/人 2 4 9 10 5
A．92分，96分 B．94分，96分 C．96分，96分 D．96分，100分
6．（3分）计算 ÷3 × 的结果正确的是（ ）
A．1 B． C．5 D．9
第1页（共23页）7．（3分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些
小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣ ）2＝ B．（x﹣ ）2＝
C．（x﹣ ）2＝ D．（x﹣ ）2＝
9．（3分）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB．如果OC∥DB，OC
＝2 ，那么图中⊙阴影部分的面积是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
10．（3π分）如图，有一块半径为π 1m，圆心角为90°的扇π形铁皮，要把它做成一π个圆锥形容器
（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）
A． m B． m C． m D． m
11．（3分）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每
一个小正方形表示一块地砖．如果按图 …的次序铺设地砖，把第n个图形用图ⓝ
表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖①的块②数③是（ ）
第2页（共23页）A．150 B．200 C．355 D．505
12．（3分）如图，在 Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，将Rt△ABC绕点A旋转得到
Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，在B′C′上取点D，使B′D＝2，那么点
D到BC的距离等于（ ）
A．2（ +1） B． +1 C． ﹣1 D． +1
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果）
13．（3分）因式分解：x（x﹣2）﹣x+2＝ ．
14．（3分）如图，在 O中，四边形OABC为菱形，点D在 上，则∠ADC的度数是 ．
⊙
15．（3分）计算：（1+ ）÷ ＝ ．
16．（3分）某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺
术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是 ．
17．（3分）如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C
的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD
第3页（共23页）的周长最小，这个最小周长的值为 ．
三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（7分）解不等式组 并写出它的所有整数解．
19．（8分）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为：A“剪
纸”、B“沙画”、C“葫芦雕刻”、D“泥塑”、E“插花”．为了了解学生对每种活动课
的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 ；统计图中的a＝ ，b＝ ；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．
20．（8分）今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗
比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，
而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的 0.9倍和1.2
倍．
（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？
（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗
的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．
21．（8分）如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接
▱
第4页（共23页）BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．
22．（8分）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高
度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼
CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为
16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．（参考数据：
sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈l.43）．
23．（8分）如图，已知反比例函数y＝ 的图象与直线y＝ax+b相交于点A（﹣2，3），B（1，
m）．
（1）求出直线y＝ax+b的表达式；
（2）在x轴上有一点P使得△PAB的面积为18，求出点P的坐标．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作 O，交AC于点D，过点
D作DE⊥BC，垂足为点E． ⊙
（1）试证明DE是 O的切线；
⊙
第5页（共23页）（2）若 O的半径为5，AC＝6 ，求此时DE的长．
⊙
25．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交
于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交
抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴
正方向移动到B点．
（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；
（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；
（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为
顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
第6页（共23页）2020年山东省聊城市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求）
1．【分析】直接利用实数比较大小的方法得出答案．
【解答】解：∵|﹣ |＞|﹣1|，
∴﹣1＞﹣ ，
∴实数﹣1，﹣ ，0， 中，﹣ ＜﹣1＜0＜ ．
故4个实数中最小的实数是：﹣ ．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确掌握实数大小比较方法是解题关键．
2．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的靠右边有一条纵向的实线，
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3．【分析】由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝65°，由平行线的性质得出∠CDE＝∠B＝
65°，再由三角形的外角性质即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝65°，
∴∠B＝∠C＝65°，
∵DF∥AB，
∴∠CDE＝∠B＝65°，
∴∠FEC＝∠CDE+∠C＝65°+65°＝130°；
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握
等腰三角形的性质和平行线的性质是解题的关键．
4．【分析】根据同底数幂的乘法和除法法则，积的乘方法则以及完全平方公式逐一计算判断
即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不合题意；
B、a6÷a﹣2＝a8，原计算错误，故此选项不合题意；
第7页（共23页）C、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，原计算正确，故此选项合题意；
D、（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，原计算错误，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法，幂的乘方与积的乘方的法则以及完全平
方公式，熟记运算法则和公式是解答本题的关键．
5．【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第15、16个数的平均数，
所以全班30名同学的成绩的中位数是： ＝94；
96出现了10次，出现的次数最多，则众数是96，
所以这些成绩的中位数和众数分别是94分，96分．
故选：B．
【点评】此题考查了中位数和众数众数．解题的关键是掌握求中位数和众数的方法，中位
数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的
平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新
排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
6．【分析】根据二次根式的性质化简二次根式后，再根据二次根式的乘除法法则计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘除，熟记二次根式的性质是解答本题的关键．
7．【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AC即可解决问题．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．
第8页（共23页）在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，
∴AC＝ ＝ ＝5，
∴sin∠ACH＝ ＝ ，
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解
决问题．
8．【分析】化二次项系数为1后，把常数项﹣ 移项，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣
的一半的平方．
【解答】解：由原方程，得
x2﹣ x＝ ，
x2﹣ x+ ＝ + ，
（x﹣ ）2＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的
倍数．
9．【分析】连接OD，BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM＝CM，∠COB＝
∠BOD，推出△BOD是等边三角形，得到∠BOC＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结
第9页（共23页）论．
【解答】解：连接OD，BC，
∵CD⊥AB，OC＝OD，
∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，
∵OC∥BD，
∴∠COB＝∠OBD，
∴∠BOD＝∠OBD，
∴OD＝DB，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝60°，
∵DM＝CM，
∴S△OBC ＝S△OBD ，
∵OC∥DB，
∴S△OBD ＝S△CBD ，
∴S△OBC ＝S△DBC ，
∴图中阴影部分的面积＝ ＝2 ，
π
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，圆周角定理，通过解直角三角形得到相关
线段的长度是解答本题的关键．
10．【分析】根据已知条件求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得其高即可．
【解答】解：设底面半径为rm，则2 r＝ ，
π
解得：r＝ ，
第10页（共23页）所以其高为： ＝ m，
故选：C．
【点评】考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面的半径，难度不大．
11．【分析】由图形可知图ⓝ的白色小正方形地砖有（7n+5）块，依此代入数据计算可求图中的
白色小正方形地砖的块数．
【解答】解：由图形可知图ⓝ的白色小正方形地砖有（7n+5）块，
当n＝50时，7n+5＝350+5＝355．
故选：C．
【点评】考查了规律型：图形的变化，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“层
数”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数
量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
12．【分析】根据直角三角形的性质得到BC＝2 ，AC＝4，根据旋转的性质得到AB′＝AB
＝2，B′C′＝BC＝2 ，求得B′C＝2，延长C′B′交BC于F，解直角三角形即可得到
结论．
【解答】解：方法一：∵在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，
∴BC＝2 ，AC＝4，
∵将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，
∴AB′＝AB＝2，B′C′＝BC＝2 ，
∴B′C＝2，
延长C′B′交BC于F，
∴∠CB′F＝∠AB′C′＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠CFB′＝60°，B′F＝ B′C＝ ，
∵B′D＝2，
∴DF＝2+ ，
过D作DE⊥BC于E，
∴DE＝ DF＝ ×（2+ ）＝ +1，
方法二：
第11页（共23页）过B′作B′F⊥BC于F，B′H⊥DE于H，
则B′F＝HE，B′H＝EF，
在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，
∴BC＝2 ，AC＝4，
∵将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，
∴AB′＝AB＝2，B′C′＝BC＝2 ，
∴B′C＝2，
∴B′F＝ AB＝1，
∴HE＝1，
∵∠B′HD＝∠HEC＝90°，
∴∠HB′C＝∠C＝30°，
∴∠DB′H＝60°，
∴∠B′DH＝30°，
∴B′H＝1，DH＝ ，
∴DE＝ ，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
第12页（共23页）二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果）
13．【分析】利用提取公因式法因式分解即可．
【解答】解：原式＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣1）．
故答案为：（x﹣2）（x﹣1）．
【点评】此题考查了提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．【分析】根据菱形的性质得出∠B＝∠AOC，根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠D＝
180°，即可得出∠D+∠AOC＝180°，根据圆周角定理得出3∠D＝180°，即可求得∠ADC＝
60°．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠B+∠D＝180°， ⊙
∵四边形OABC为菱形，
∴∠B＝∠AOC，
∴∠D+∠AOC＝180°，
∵∠AOC＝2∠D，
∴3∠D＝180°，
∴∠ADC＝60°，
故答案为60°．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，菱形的性质，熟练掌握性质定理是
解题的关键．
15．【分析】直接将括号里面通分运算进而结合分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝ •a（a﹣1）
＝ •a（a﹣1）
＝﹣a．
故答案为：﹣a．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确化简分式是解题关键．
16．【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出他们抽到同一类书籍的结果数，然
后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如下：
第13页（共23页）由树状图知，共有9种等可能结果，其中抽到同一类书籍的有3种结果，
所以抽到同一类书籍的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的
概率．
17．【分析】根据平行线的性质得到∠BAC＝45°，得到∠C＝90°，求得AC＝BC＝2，作B关于
y轴的对称点E，连接AE交y轴于D，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的
值＝AC+BC+AE，过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵点A（1，1），点C的纵坐标为1，
∴AC∥x轴，
∴∠BAC＝45°，
∵CA＝CB，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠C＝90°，
∵B（3，3）
∴C（3，1），
∴AC＝BC＝2，
作B关于y轴的对称点E，
连接AE交y轴于D，
则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，
过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，
则EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4，
∴AE＝ ＝ ＝2 ，
∴最小周长的值＝AC+BC+AE＝4+2 ，
第14页（共23页）故答案为：4+2 ．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的作出辅
助线是解题的关键．
三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得．
【解答】解： ，
解不等式 ，x＜3，
①
解不等式 ，得x≥﹣ ，
②
∴原不等式组的解集为﹣ ≤x＜3，
它的所有整数解为0，1，2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；
大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．【分析】（1）从两个统计图可知a组的有18人，占调查人数的15%，可求出调查人数，即
样本容量；进而求出a、b的值；
（2）求出E组的频数即可补全条形统计图；
（3）样本估计总体，样本中喜欢“葫芦雕刻”的占 ，即 ，因此估计总体2500人的
是喜欢“葫芦雕刻”的人数．
【解答】解：（1）18÷15%＝120（人），因此样本容量为120；
a＝120×10%＝12（人），b＝120×30%＝36（人），
故答案为：120，12，36；
（2）E组频数：120﹣18﹣12﹣30﹣36＝24（人），
第15页（共23页）补全条形统计图如图所示：
（3）2500× ＝625（人），
答：该校2500名学生中喜爱“葫芦雕刻”的有625人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量
和数量关系是正确解答的关键．
20．【分析】（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列方程解答即可；
（2）分别求出A种树苗每棵的价格与B种树苗每棵的价格，设购进A种树苗t棵，这批树
苗的费用为w元，根据题意求出w与t的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列方程，得：
，
解这个方程，得x＝20，
经检验，x＝20是原分式方程的解，并符合题意，
答：这一批树苗平均每棵的价格是20元；
（2）由（1）可知A种树苗每棵的价格为：20×0.9＝18（元），B种树苗每棵的价格为：20×1.2
＝24（元），
设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，则：
w＝18t+24（5500﹣t）＝﹣6t+132000，
∵w是t的一次函数，k＝﹣6＜0，
∴w随t的增大而减小，
又∵t≤3500，
∴当t＝3500棵时，w最小，
此时，B种树苗每棵有：5500﹣3500＝2000（棵），w＝﹣6×3500+132000＝111000，
答：购进A种树苗3500棵，B种树苗2000棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费
第16页（共23页）用为111000元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式组的应用，解
决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
21．【分析】根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用AAS判定△ABE≌△FCE，
从而得到AB＝CF；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC＝AF，根据对角线相等的
平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，
∵E为BC的中点，
∴EB＝EC，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF．
∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵BC＝AF，
∴四边形ABFC是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正
确的识别图形是解题的关键．
22．【分析】过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，可得AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC
＝35，再根据锐角三角函数可得BE的长，进而可得AB的高度．
【解答】解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，
则AE＝MN＝CF＝1.6，
EF＝AC＝35，
∠BEN＝∠DFN＝90°，
EN＝AM，NF＝MC，
第17页（共23页）则DF＝DC﹣CF＝16.6﹣1.6＝15，
在Rt△DFN中，
∵∠DNF＝45°，
∴NF＝DF＝15，
∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20，
在Rt△BEN中，
∵tan∠BNE＝ ，
∴BE＝EN•tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43≈28.6，
∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6≈30．
答：居民楼AB的高度约为30米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯
角定义．
23．【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）S△PAB ＝ PE•CA+ PE•BD＝ PE PE＝ PE＝18，即可求解．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝﹣2×3＝﹣6，
故反比例函数表达式为：y＝﹣ ，
将点B的坐标代入上式并解得：m＝﹣6，故点B（1，﹣6），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得 ，解得 ，
故直线的表达式为：y＝﹣3x﹣3；
（2）连接AP、BP，
设直线与x轴的交点为E，当y＝0时，x＝﹣1，故点E（﹣1，0），
分别过点A、B作x轴的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，
第18页（共23页）则S△PAB ＝ PE•CA+ PE•BD＝ PE PE＝ PE＝18，解得：PE＝4，
故点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次
函数，体现了方程思想，综合性较强．
24．【分析】（1）连接OD、BD，求出BD⊥AC，可得AD＝DC，根据三角形的中位线得出
OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）根据题意求得AD，根据勾股定理求得BD，然后证得△CDE∽△ABD，根据相似三角
形的性质即可求得DE．
【解答】（1）证明：连接OD、BD，
∵AB是 O直径，
∴∠ADB⊙＝90°，
∴BD⊥AC，
∵AB＝BC，
∴D为AC中点，
∵OA＝OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是 O的切线；
（2）由（⊙1）知BD是AC的中线，
∴AD＝CD＝ ＝3 ，
∵O的半径为5，
第19页（共23页）∴AB＝6，
∴BD＝ ＝ ＝ ，
∵AB＝AC，
∴∠A＝∠C，
∵∠ADB＝∠CED＝90°，
∴△CDE∽△ABD，
∴ ，即 ＝ ，
∴DE＝3．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾
股定理等知识点的综合运用．
25．【分析】（1）由题意得出方程组，求出二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4，则C（0，4），由
待定系数法求出BC所在直线的表达式即可
（2）证DE∥PF，只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，由二次函数解析式求出点
D的坐标，由直线BC的解析式求出点E的坐标，则DE＝ ，设点P的横坐标为t，则P
的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），由DE＝PF得出方程，解方程进而得出
答案；
（3）由平行线的性质得出∠CED＝∠CFP，当∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，则
＝ ，得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0），代入y＝ax2+bx+4，
得： ，
第20页（共23页）解得： ，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，
当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
设BC所在直线的表达式为：y＝mx+n，
将C（0，4）、B（4，0）代入y＝mx+n，
得： ，
解得： ，
∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+4；
（2）∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，
∴DE∥PF，
只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，
∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣ ）2+ ，
∴点D的坐标为：（ ， ），
将x＝ 代入y＝﹣x+4，即y＝﹣ +4＝ ，
∴点E的坐标为：（ ， ），
∴DE＝ ﹣ ＝ ，
设点P的横坐标为t，
则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），
∴PF＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，
由DE＝PF得：﹣t2+4t＝ ，
解得：t ＝ （不合题意舍去），t ＝ ，
1 2
当t＝ 时，﹣t2+3t+4＝﹣（ ）2+3× +4＝ ，
第21页（共23页）∴点P的坐标为（ ， ）；
（3）存在，理由如下：
如图2所示：
由（2）得：PF∥DE，
∴∠CED＝∠CFP，
又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，
∴∠PCF≠∠DCE，
∴只有∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，
∴ ＝ ，
∵C（0，4）、E（ ， ），
∴CE＝ ＝ ，
由（2）得：DE＝ ，PF＝﹣t2+4t，F的坐标为：（t，﹣t+4），
∴CF＝ ＝ t，
∴ ＝ ，
∵t≠0，
∴ （﹣t+4）＝3，
解得：t＝ ，
当t＝ 时，﹣t2+3t+4＝﹣（ ）2+3× +4＝ ，
∴点P的坐标为：（ ， ）．
第22页（共23页）【点评】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、
二次函数的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、
勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性
质是解题的关键．
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