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专题 08 三角函数、平面向量及解三角形新定义题
1．（23-24高一下·江西·阶段练习）对于分别定义在 ， 上的函数 ， 以及实
数 ，若任取 ，存在 ，使得 ，则称函数 与 具有关
系 .其中 称为 的像.
(1)若 ， ； ， ，判断 与 是否
具有关系 ，并说明理由；
(2)若 ， ； ， ，且 与
具有关系 ，求 的像；
(3)若 ， ； ， ，且 与
具有关系 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)不具有，理由见解析；
(2) 或 或 ；
(3) 或 ，
【分析】（1）根据具有关系 的定义及三角函数的值域判断即可；
（2）根据具有关系 及三角函数的性质计算即可；
（3）利用三角函数的性质先确定 ，根据具有关系 的定义得出
，再根据二次函数的动轴定区间分类讨论计算即可.
【详解】（1） 与 不具有关系 ，
理由如下： 时， ， ，所以
，
则 与 不具有关系 ；
（2）由题意可知
学科网（北京）股份有限公司，
所以 ，
又 ，所以 ，
解之得 或 或 ，
即 的像为 或 或 ；
（3）对于 ，则 ，所以 ，
即 ，
因为 与 具有关系 ，
所以要满足题意需 ，使得 即可.
令 ，
令 ，则 ，设 ，
①若 ，即 时， ，
则 ，
②若 ，即 时， ，
则 ，
③若 ，即 时， ，
则 或 ，显然无解，
④若 ，即 时， ，
学科网（北京）股份有限公司则 或 ，显然无解，
综上所述： 或 ，
2．（23-24高一下·上海·阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所
谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最
终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用
测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点 ， ，则曼
哈顿距离为： ，余弦相似度为：
，余弦距离为
(1)若 ， ，求A，B之间的曼哈顿距离 和余弦距离；
(2)已知 ， ， ，若 ，
，求 的值
(3)已知 ， 、 ，
，若 ， ，求 、 之间的曼哈
顿距离.
【答案】(1) ，余弦距离等于
(2)
(3)
【分析】（1）根据公式直接计算即可.
（2）根据公式得到 ， ，计算得到答案.
（3）利用两角和与差的正弦、余弦公式可求出点 、 的坐标，结合题中定义可求得
、 之间的曼哈顿距离.
【详解】（1） ，
学科网（北京）股份有限公司，故余弦距离等于 ；
（2）
；
故 ， ，则 .
（3）因为 ， ，
所以 .
因为 ，所以 .
因为 ，
所以 .
因为 ，则 ，
所以 .
因为 ，
，所以 .
因为 ，
，
所以 .
因为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 、 之间的曼哈顿距离是 .
3．（23-24高一下·上海杨浦·期中）定义函数 为“正余弦”函数.结合学过
的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明 为该函数的周期，但是否是最小正周期
呢？我们继续探究： .可得： 也
为函数 的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究
的单调性：函数 在 是严格减函数，在 上严格
增函数，再结合 ，可以确定： 的最小正周期为 .进一步
我们可以求出该函数的值域了.定义函数 为“余正弦”函数，根据阅读材
料的内容，解决下列问题：
(1)求“余正弦”函数的定义域；
(2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；
(3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.
【答案】(1)
(2)偶函数，理由见解析
(3) 在 是严格减函数，在 上严
格增函数；最小正周期为 ；理由见解析.值域为 .
【分析】（1）根据函数定义域的求法，求得 的定义域.
（2）根据函数奇偶性的定义，求得 的奇偶性.
（3）结合题目所给的解题思路，求得 的单调区间、最小正周期、值域.
【详解】（1） 的定义域为 .
（2）对于函数 ，
，所以 是偶函数.
（3） ，
在区间 上递减， 在区间 上递增，所以 在
上递减.
在区间 上递增， 在区间 上递增，所以 在
上递增.
学科网（北京）股份有限公司所以 的最小正周期为 ，
在 上是严格减函数，在 上是严格增函数.
结合 的单调性可知， 的值域为 .
4．（23-24高一下·四川巴中·阶段练习）定义非零向量 的“相伴函数”为
，向量 称为为函数 的“相伴
向量”（其中O为坐标原点）．
(1)求 的“相伴向量”；
(2)求（1）中函数 的“相伴向量”模的取值范围；
(3)当向量 时，其“相伴函数”为 ，若 ，方程
存在4个不相等的实数根，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先利用两角和余弦公式展开化简函数，再根据相伴函数的概念求解即可；
（2）结合向量模的坐标运算公式，根据辅助角公式化简函数，利用正弦函数性质求解即
可；
（3）由定义得 并化简（化为一个角的一个三角函数形式），解方程
得 或 ， 求得两根，然后作出函数
， 的图象，由图象可得 且 有两根的 的范围．
【详解】（1）
，
所以函数的“相伴向量” .
（2） ，
学科网（北京）股份有限公司， ，
的取值范围为 ；
（3） ，
当 时， ，
由 ，得： ，
∴ 或 ，
由 ，即 ，而 ，解得 或 ，
即 在 上有两个根，
方程 在 上存在4个不相等的实数根，
当且仅当 且 在 上有两个不等实根，
在同一坐标系内作出函数 在 上的图象和直线 ，如图，
方程 在 上有两个不等实根，
当且仅当函数 在 上的图象和直线 有两个公共点，
观察图象知： 或 ，
解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 .
5．（23-24高二上·北京·期中） 个有次序的实数 所组成的有序数组
称为一个 维向量，其中 称为该向量的第 个分量．特别地，对
一个 维向量 ，若 ，称 为 维信号向量．设
学科网（北京）股份有限公司，则 和 的内积定义为 ，且
．
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．
(3)已知 个两两垂直的2024维信号向量 满足它们的前 个分量都是相同的，求
证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，结合两两垂直的定义，即可求解；
（2）根据题意，不妨设 ，得到 有7
个分量为 ，设 的前7个分量中有 个 ，得到7个分量中有 个 ，进而求得 的
值，即可求解；
（3）任取 ，得到 ，设 的第 个分量
之和为 ，结合 ，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：根据题意，结合维向量的定义，
则两两垂直的4维信号向量可以为： ．
（2）解：假设存在14个两两垂直的14维信号向量 ，
因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向
量的内积不变，
所以，不妨设 ，
因为 ，所以 有7个分量为 ，
设 的前7个分量中有 个 ，则后7个分量中有 个 ，
所以 ，可得 ，矛盾，
所以不存在14个两两垂直的14维信号向量．
（3）解：任取 ，计算内积 ，将所有这些内积求和得到 ，
则 ，
设 的第 个分量之和为 ，
则从每个分量的角度考虑，每个分量为 的贡献为
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
令 所以 ，所以 ．
6．（23-24高一下·山东·阶段练习）克罗狄斯 托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学
家、天文学家和地理学家.他一生有很多发明和贡献，其中托勒密定理和托勒密不等式是欧
几里得几何中的重要定理.托勒密不等式内容如下：在凸四边形 中，两组对边乘积的
和大于等于两对角线的乘积，即 ，当 四点共圆时等号成
立.已知凸四边形 中， .
(1)当 为等边三角形时，求线段 长度的最大值及取得最大值时 的边长；
(2)当 时，求线段
长度的最大值.
【答案】(1) ， 的边长为
(2)
【分析】（1）设 ，由托勒密不等式得到 ，当 四点共圆
时等号成立，从而得到 ，由余弦定理得到 ；
（2）在 中，利用正弦定理得到 ，由余弦定理得到
，两式相减结合基本不等式得到 ，由三
角恒等变换和有界性得到 ，得到 ，求出
，由余弦定理求出 ，利用托勒密不等式得到 .
【详解】（1）设 ，因为 ，所以
，
所以 ，当 四点共圆时等号成立，因为 ， ，
在 中， ，
所以 ，所以 的边长为 ；
（2）设 ，在 中，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以 ，所以 ，
因为 .所以 ，
当且仅当 时等号成立，
因为 ，所以 ，
所以 ，
由 ，故 ，
因为 ， ，
所以 ，所以 .
【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问
题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：
①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角
形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
7．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）在 中， 对应的边分别为
(1)求 ；
(2)奥古斯丁．路易斯．柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学
家．柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯
西不等式､柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应
用．
①用向量证明二维柯西不等式：
②已知三维分式型柯西不等式： ，当且仅当
时等号成立．若 是 内一点，过 作 垂线，垂足分别
为 ，求 的最小值．
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)①证明见解析，②
【分析】（1）根据条件，边转角得到 ，再利用余弦定理，即可求出结
果；
（2）①利用数量积的定义，得到 ，再利用数量积和模的坐标表示，即可证
明结果；②根据条件及三角形面积公式，利用 ，得到
，结合余弦定理，令 ，得到 ，再求出 的范围，即
可求出结果.
【详解】（1）由正弦定理得 即
由余弦定理有 ，若 ，等式不成立，则 ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）①设 ，由 ，得 ，
从而 ，即
② .
又
.
由三维分式型柯西不等式有 .
当且仅当 即 时等号成立.
由余弦定理 得 ，所以 即
，
则 ，令 ，则 .
学科网（北京）股份有限公司因为 ，得 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，则 ，
令 ；则 在 上递减，
当 即 时， 有最大值 ，此时 有最小值 .
8．（23-24高一下·上海·期中）将所有平面向量组成的集合记作 ．如果对于向量
，存在唯一的向量 与之对应，其中坐标 由 确定，
则把这种对应关系记为 或者 ，简记为 ．例如
就是一种对应关系．若在 的条件下 有最大值，则
称此最大值为对应关系 的模，并把 的模记作 ；若存在非零向量 及实数 使
得 ，则称 为 的一个特征值．
(1)如果 ，求 ；
(2)如果 ，计算 的特征值，并求相应的 ；
(3)若 ，要使 有唯一的特征值，实数 应满足什
么条件？试找出一个对应关系 ，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值 ，②
，并验证 满足这两个条件．
【答案】(1)
(2) ，其中 且
(3) ，答案见解析
【分析】（1）利用向量的坐标运算可得 ，可求得 ，可求得 .
（2）利用向量相等的条件可得 ，进而可求得 ，进而可得 其
中 且 ．
学科网（北京）股份有限公司（3）利用 ，可得 ，进而可得
，进而可证明当 时， 有唯一的特征值，且 ．
【详解】（1）由题意 ，所以 ，当 时， ，
最大值也为2，所以 ．
（2）由 ，可得： ，
解此方程组可得： ，解得 ．
当 时，解方程组 ，此时这两个方程是同一个方程 ，
所以此时方程有无穷多个解，为 （写出一个即可），其中 且 ．
（3） ，可得 ．
因为 都不为0，从而向量 与 平行，
所以存在实数 满足 ，即 ．
要使 存在且唯一，则 应满足： ．
当 时， 有唯一的特征值，且 ．具体证明为：
由 的定义可知： ，所以 为特征值．
此时 满足： ，所以有唯一的特征值．
在 的条件下 ，从而有 ．
【点睛】关键点点睛：新定义题型，考查数乘向量的坐标运算，相等向量的坐标的关系，
考查运算求解能力与转化能力，学生的阅读理解能力是解本题的关键.
9．（2024·全国·模拟预测）设有 维向量 ， ，称
为向量 和 的内积，当 ，称向量 和 正交．设
为全体由 和1构成的 元数组对应的向量的集合．
学科网（北京）股份有限公司(1)若 ，写出一个向量 ，使得 ．
(2)令 ．若 ，证明： 为偶数．
(3)若 ， 是从 中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足 ，猜
测 的值，并给出一个实例．
【答案】(1) （答案不唯一）
(2)证明见解析
(3) ，答案见解析.
【分析】（1）根据定义写出满足条件的即可；
（2）根据 ，结合定义，求出 ，即可得证；
（3）利用反证法求证.
【详解】（1）由定义，只需满足 ，不妨取 （答案不唯一）．
（2）对于 ， ，2， ， ，存在 ， ， ， ，
使得 ．
当 时， ；当 时， ．令 ， ．
所以 ．
所以 为偶数．
（3）当 时，可猜测互相正交的4维向量最多有4个，即 ．
学科网（北京）股份有限公司不妨取 ， ， ， ，
则有 ， ， ， ， ， ．
若存在 ，使 ，则 或 或 ．
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正交．
【点睛】关键点点睛：新定义问题，理解定义内容、会运用新定义运算，是解决问题的关
键.
10．（23-24高一下·上海徐汇·）设复平面中向量 对应的复数为 ，给定某个非零实数
，称向量 为 的 向量．
（1）已知 ， ，求 ；
（2）对于复平面中不共线的三点 ， ， ，设 ， ，
，求 ；
（3）设 ， ， 的 向量分别为 ， ， ，已知
， ， ，求 的坐标（结果用 ， ， 表示）．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据新定义求得向量 ，然后由数量积的坐标表示计算；
（2）根据新定义得变换后新三角形与原三角形相似，得相似比，从而得面积比；
（3）根据新定义，得出 的坐标（用 表示），然后由三角形面积计算可得
．
【详解】（1）由题意 ， ，所以 ，同理
，
所以 ；
（2）由（1）知 ， ，
所以 ，所以 与 的三边成比例，比值为 ，
所以 ；
（3）由（1）知 ， ， ，
，所以 ， ， ，
所以 ．
【点睛】本题考查向量与复数的新定义，解题关键是由新定义得出原来点的坐标和新点坐
标的关系，从而得出向量的关系，变换后的三角形与原三角形相似，而利用变换后点的坐
标结合三角形面积易得原坐标．
学科网（北京）股份有限公司
