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专题 08 三角函数、平面向量及解三角形新定义题
1．（23-24高一下·江西·阶段练习）对于分别定义在 ， 上的函数 ， 以及实
数 ，若任取 ，存在 ，使得 ，则称函数 与 具有关
系 .其中 称为 的像.
(1)若 ， ； ， ，判断 与 是否
具有关系 ，并说明理由；
(2)若 ， ； ， ，且 与
具有关系 ，求 的像；
(3)若 ， ； ， ，且 与
具有关系 ，求实数 的取值范围.2．（23-24高一下·上海·阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所
谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最
终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用
测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点 ， ，则曼
哈顿距离为： ，余弦相似度为：
，余弦距离为
(1)若 ， ，求A，B之间的曼哈顿距离 和余弦距离；
(2)已知 ， ， ，若 ，
，求 的值
(3)已知 ， 、 ，
，若 ， ，求 、 之间的曼哈
顿距离.3．（23-24高一下·上海杨浦·期中）定义函数 为“正余弦”函数.结合学过
的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明 为该函数的周期，但是否是最小正周期
呢？我们继续探究： .可得： 也
为函数 的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究
的单调性：函数 在 是严格减函数，在 上严格
增函数，再结合 ，可以确定： 的最小正周期为 .进一步
我们可以求出该函数的值域了.定义函数 为“余正弦”函数，根据阅读材
料的内容，解决下列问题：
(1)求“余正弦”函数的定义域；
(2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；
(3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.4．（23-24高一下·四川巴中·阶段练习）定义非零向量 的“相伴函数”为
，向量 称为为函数 的“相伴
向量”（其中O为坐标原点）．
(1)求 的“相伴向量”；
(2)求（1）中函数 的“相伴向量”模的取值范围；
(3)当向量 时，其“相伴函数”为 ，若 ，方程
存在4个不相等的实数根，求实数 的取值范围．5．（23-24高二上·北京·期中） 个有次序的实数 所组成的有序数组
称为一个 维向量，其中 称为该向量的第 个分量．特别地，对
一个 维向量 ，若 ，称 为 维信号向量．设
，则 和 的内积定义为 ，且
．
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．
(3)已知 个两两垂直的2024维信号向量 满足它们的前 个分量都是相同的，求
证： ．6．（23-24高一下·山东·阶段练习）克罗狄斯 托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学
家、天文学家和地理学家.他一生有很多发明和贡献，其中托勒密定理和托勒密不等式是欧
几里得几何中的重要定理.托勒密不等式内容如下：在凸四边形 中，两组对边乘积的
和大于等于两对角线的乘积，即 ，当 四点共圆时等号成
立.已知凸四边形 中， .
(1)当 为等边三角形时，求线段 长度的最大值及取得最大值时 的边长；
(2)当 时，求线段
长度的最大值.7．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）在 中， 对应的边分别为
(1)求 ；
(2)奥古斯丁．路易斯．柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学
家．柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯
西不等式､柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应
用．
①用向量证明二维柯西不等式：
②已知三维分式型柯西不等式： ，当且仅当
时等号成立．若 是 内一点，过 作 垂线，垂足分别
为 ，求 的最小值．8．（23-24高一下·上海·期中）将所有平面向量组成的集合记作 ．如果对于向量
，存在唯一的向量 与之对应，其中坐标 由 确定，
则把这种对应关系记为 或者 ，简记为 ．例如
就是一种对应关系．若在 的条件下 有最大值，则
称此最大值为对应关系 的模，并把 的模记作 ；若存在非零向量 及实数 使
得 ，则称 为 的一个特征值．
(1)如果 ，求 ；
(2)如果 ，计算 的特征值，并求相应的 ；
(3)若 ，要使 有唯一的特征值，实数 应满足什
么条件？试找出一个对应关系 ，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值 ，②
，并验证 满足这两个条件．9．（2024·全国·模拟预测）设有 维向量 ， ，称
为向量 和 的内积，当 ，称向量 和 正交．设
为全体由 和1构成的 元数组对应的向量的集合．
(1)若 ，写出一个向量 ，使得 ．
(2)令 ．若 ，证明： 为偶数．
(3)若 ， 是从 中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足 ，猜
测 的值，并给出一个实例．10．（23-24高一下·上海徐汇·）设复平面中向量 对应的复数为 ，给定某个非零实数
，称向量 为 的 向量．
（1）已知 ， ，求 ；
（2）对于复平面中不共线的三点 ， ， ，设 ， ，
，求 ；
（3）设 ， ， 的 向量分别为 ， ， ，已知
， ， ，求 的坐标（结果用 ， ， 表示）．
