文档内容
2020年山东省菏泽市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）
1．（3分）下列各数中，绝对值最小的数是（ ）
A．﹣5 B． C．﹣1 D．
2．（3分）函数y＝ 的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠5 B．x＞2且x≠5 C．x≥2 D．x≥2且x≠5
3．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）向右平移3个单位得到点P'，则点P'关于x轴
的对称点的坐标为（ ）
A．（0，﹣2） B．（0，2） C．（﹣6，2） D．（﹣6，﹣2）
4．（3分）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的
数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一
定满足的条件是（ ）
A．互相平分 B．相等
C．互相垂直 D．互相垂直平分
6．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角 ，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，
则∠BED等于（ ） α
第1页（共23页）A． B． C． D．180°﹣
α α α
7．（3分）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k
的值为（ ）
A．3 B．4 C．3或4 D．7
8．（3分）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能
是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相
应区域内．）
9．（3分）计算（ ﹣4）（ +4）的结果是 ．
10．（3分）方程 的解是 ．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，连接CD，若BC＝4，CD＝
3，则cos∠DCB的值为 ．
12．（3分）从﹣1，2，﹣3，4这四个数中任取两个不同的数分别作为a，b的值，得到反比例函
数y＝ ，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是 ．
13．（3分）如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2， O与边AB相切于点D，则图
中阴影部分的面积为 ． ⊙
第2页（共23页）14．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP
并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为 ．
三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．）
15．计算：2﹣1+| ﹣3|+2 sin45°﹣（﹣2）2020•（ ）2020．
16．先化简，再求值：（2a﹣ ）÷ ，其中a满足a2+2a﹣3＝0．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC＝ED，
求证：CE＝DB．
18．某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后
在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为i＝1：2.4，点A到大楼的
距离AD为72米，求大楼的高度CD．
（参考数据：sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ ）
第3页（共23页）19．某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机
抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：
90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图．
（1）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？
（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内？
（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A：60≤x＜70组的学生有多少人？
20．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两
点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．
第4页（共23页）21．今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的
情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5
个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购
买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O与BC相交于点D，过点D作 O的切
线交AC于点E． ⊙ ⊙
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若 O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
⊙
23．如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD．
（1）过点A作AE∥DC交BD于点E，求证：AE＝BE；
（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD'．
求证：BD'∥CD；
①若AD'∥BC，求证：CD2＝2OD•BD．
②
24．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，
直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是 时，求△ABD的面积；
（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以
第5页（共23页）点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若
不存在，请说明理由．
第6页（共23页）2020年山东省菏泽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）
1．【分析】根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．
【解答】解：∵|﹣5|＝5，| |＝ ，|﹣1|＝1，| |＝ ，
∴绝对值最小的数是 ．
故选：B．
【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知绝对值的性质是解答此题的关键．
2．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得x﹣2≥0且x﹣5≠0，
解得x≥2且x≠5．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
3．【分析】先根据向右平移3个单位，横坐标加3，纵坐标不变，求出点P'的坐标，再根据关于
x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反解答．
【解答】解：∵将点P（﹣3，2）向右平移3个单位得到点P'，
∴点P'的坐标是（0，2），
∴点P'关于x轴的对称点的坐标是（0，﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，以及关于x轴、y轴对称点的坐标的关系，熟
练掌握并灵活运用是解题的关键．
4．【分析】从正面看，注意“长对正，宽相等、高平齐”，根据所放置的小立方体的个数画出
图形即可．
【解答】解：从正面看所得到的图形为 ．
故选：A．
第7页（共23页）【点评】考查几何体的三视图的画法，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左
视图，从上面看到的图形是俯视图．
5．【分析】由于顺次连接四边各边中点得到的四边形是平行四边形，有对应边与原对角线平
行，由矩形的性质可知，应为对角线互相垂直的四边形．
【解答】解：由矩形的性质知，矩形的四角为直角，即每组邻边互相垂直，故原四边形的对
角线应互相垂直．
故选：C．
【点评】此题主要考查了矩形的判定定理（有一个角为直角的平行四边形为矩形），难度不
大．
6．【分析】证明∠ABE+∠ADE＝180°，推出∠BAD+∠BED＝180°即可解决问题．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ADE，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ABE+∠ADE＝180°，
∴∠BAD+∠BED＝180°，
∵∠BAD＝ ，
∴∠BED＝α180°﹣ ．
故选：D． α
【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于
中考常考题型．
7．【分析】当3为腰长时，将x＝3代入原一元二次方程可求出k的值，将k值代入原方程可求
出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出k＝3符合题意；当3为底边长时，利用
等腰三角形的性质可得出根的判别式△＝0，解之可得出k值，将k值代入原方程可求出
方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出k＝4符合题意．
【解答】解：当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，
解得：k＝3，
当k＝3时，原方程为x2﹣4x+3＝0，
解得：x ＝1，x ＝3，
1 2
∵1+3＝4，4＞3，
∴k＝3符合题意；
当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝4，
第8页（共23页）当k＝4时，原方程为x2﹣4x+4＝0，
解得：x ＝x ＝2，
1 2
∵2+2＝4，4＞3，
∴k＝4符合题意．
∴k的值为3或4．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系
以及根与系数的关系，分3为腰长及3为底边长两种情况，求出k值是解题的关键．
8．【分析】先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b
的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本
选项错误；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项正确；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性
质．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相
应区域内．）
9．【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝（ ）2﹣42
＝3﹣16
＝﹣13．
故答案为：﹣13．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．
10．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得
到分式方程的解．
【解答】解：方程 ＝ ，
去分母得：（x﹣1）2＝x（x+1），
第9页（共23页）整理得：x2﹣2x+1＝x2+x，
解得：x＝ ，
经检验x＝ 是分式方程的解．
故答案为：x＝ ．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
11．【分析】过点D作DE⊥BC，由平行线平分线段定理可得E是BC的中点，再根据三角函数
的意义，可求出答案．
【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，
∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴DE∥AC，
又∵点D为AB边的中点，
∴BE＝EC＝ BC＝2，
在Rt△DCE中，cos∠DCB＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】考查直角三角形的边角关系，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提，
作高构造直角三角形是常用的方法．
12．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率
公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
第10页（共23页）则共有12种等可能的结果，
∵反比例函数y＝ 中，图象在二、四象限，
∴ab＜0，
∴有8种符合条件的结果，
∴P（图象在二、四象限）＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不
遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以
上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．【分析】连接OD，根据菱形的性质得到OA＝AB，得到△OAB为等边三角形，根据切线的
性质得到OD⊥AB，根据余弦的定义求出OD，根据菱形面积公式、扇形面积公式计算，得
到答案．
【解答】解：连接OD，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠A＝∠AOB＝60°，
∵AB是 O的切线，
∴OD⊥⊙AB，
∴OD＝OA•sinA＝ ，
同理可知，△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
第11页（共23页）∴图中阴影部分的面积＝2× ﹣ ＝2 ﹣ ，
π
故答案为：2 ﹣ ．
π
【点评】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握切线的
性质定理、扇形面积公式是解题的关键．
14．【分析】根据矩形的性质可得BD＝13，再根据BP＝BA可得DQ＝DP＝8，所以得CQ＝3，
在Rt△BCQ中，根据勾股定理即可得BQ的长．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴BD＝ ＝13，
∵BP＝BA＝5，
∴PD＝BD﹣BP＝8，
∵BA＝BP，
∴∠BAP＝∠BPA＝∠DPQ，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠DQP，
∴∠DPQ＝∠DQP，
∴DQ＝DP＝8，
∴CQ＝DQ﹣CD＝DQ﹣AB＝8﹣5＝3，
∴在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得
BQ＝ ＝ ＝3 ．
故答案为：3 ．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解决本题的关键是综合运
用以上知识．
三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．）
15．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及积的乘方运算法则、负整数指数幂的性质、绝
第12页（共23页）对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝ +3﹣ +2 × ﹣（﹣2× ）2020
＝ +3﹣ + ﹣1
＝2 ．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
16．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，将最后结果变形为2（a2+2a），
再由已知等式变形得出a2+2a＝3，继而代入计算可得．
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）÷
＝ •
＝ •
＝2a（a+2）
＝2（a2+2a）
＝2a2+4a，
∵a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
则原式＝2×3＝6．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法
则．
17．【分析】由“AAS”可证△ABC≌△AED，可得AE＝AB，AC＝AD，由线段的和差关系可得
结论．
【解答】证明：∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，BC＝DE，
∴△ABC≌△AED（AAS），
∴AE＝AB，AC＝AD，
∴CE＝BD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABC≌△AED是本题的关键．
18．【分析】如图，过点B作BE⊥AD于点D，BF⊥CD于点F，可得四边形BEDF是矩形，根据
第13页（共23页）斜坡AB的坡度为i＝1：2.4，利用勾股定理可得x的值，再根据锐角三角函数即可求大楼
的高度CD．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于点D，BF⊥CD于点F，
∵CD⊥AD，
∴四边形BEDF是矩形，
∴FD＝BE，FB＝DE，
在Rt△ABE中，BE：AE＝1：2.4＝5：12，
设BE＝5x，AE＝12x，
根据勾股定理，得
AB＝13x，
∴13x＝52，
解得x＝4，
∴BE＝FD═5x＝20，
AE＝12x＝48，
∴DE＝FB＝AD﹣AE＝72﹣48＝24，
∴在Rt△CBF中，CF＝FB×tan∠CBF≈24× ≈32，
∴CD＝FD+CF＝20+32＝52（米）．
答：大楼的高度CD约为52米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题和坡度坡角问题，解决本题的关
键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．
19．【分析】（1）根据B组人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，再根据条形统计
图中的数据，即可得到C组的人数；
（2）根据条形统计图中的数据，可以得到所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出这次竞赛成绩在A：60≤x＜70组的学生有多
少人．
第14页（共23页）【解答】解：（1）本次抽取的学生有：12÷20%＝60（人），
C组学生有：60﹣6﹣12﹣18＝24（人），
即被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有24人；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在C：80≤x＜90这一组内；
（3）1500× ＝150（人），
答：这次竞赛成绩在A：60≤x＜70组的学生有150人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是
明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．【分析】（1）先根据点A坐标求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，继而根据点A、
B坐标可得直线解析式；
（2）先根据直线解析式求出点C的坐标，再设P（n，0），知PC＝|﹣1﹣n|，根据S△ACP ＝
•PC•y ＝4求出n的值即可得出答案．
A
【解答】解：（1）将点A（1，2）代入y＝ ，得：m＝2，
∴y＝ ，
当y＝﹣1时，x＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣1），
将A（1，2）、B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，
得： ，
解得 ，
∴y＝x+1；
∴一次函数解析式为y＝x+1，反比例函数解析式为y＝ ；
（2）在y＝x+1中，当y＝0时，x+1＝0，
解得x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
设P（n，0），
第15页（共23页）则PC＝|﹣1﹣n|，
∵S△ACP ＝ •PC•y
A
＝4，
∴ ×|﹣1﹣n|×2＝4，
解得n＝3或n＝﹣5，
∴点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法
求函数解析式及两点间的距离公式、三角形的面积问题．
21．【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，根据“购买2根跳绳和5
个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元”，即可得出关于x，y的二元一次
方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，根据购买的总费用不能超过260元且购买
跳绳的数量多于20根，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范
围，结合m为正整数即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，
依题意，得： ，
解得： ．
答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元．
（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，
依题意，得： ，
解得：20＜m≤22．
又∵m为正整数，
∴m可以为21，22．
∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽
子．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元
一次不等式组．
第16页（共23页）22．【分析】（1）连接AD、OD．先证明∠ADB＝90°，∠EDO＝90°，从而可证明∠EDA＝
∠ODB，由OD＝OB可得到∠EDA＝∠OBD，由等腰三角形的性质可知∠CAD＝∠BAD，
故此∠EAD+∠EDA＝90°，由三角形的内角和定理可知∠DEA＝90°，于是可得到
DE⊥AC．
（2）由等腰三角形的性质求出BD＝CD＝8，由勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积
得出答案．
【解答】（1）证明：连接AD、OD．
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠ADO+∠ODB＝90°．
∵DE是圆O的切线，
∴OD⊥DE．
∴∠EDA+∠ADO＝90°．
∴∠EDA＝∠ODB．
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD．
∴∠EDA＝∠OBD．
∵AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD．
∵∠DBA+∠DAB＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°．
∴∠DEA＝90°．
∴DE⊥AC．
（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵ O的半径为5，BC＝16，
∴⊙AC＝10，CD＝8，
第17页（共23页）∴AD＝ ＝6，
∵S△ADC ＝ AC•DE，
∴DE＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和
定理，勾股定理，三角形的面积等知识，掌握切线的性质是解题的关键．
23．【分析】（1）证明△AOE≌△COD（AAS），由全等三角形的性质得出CD＝AE，OD＝OE，
则可得出结论；
（2） 过点A作AE∥DC交BD于点E，由（1）得出∠ABE＝∠AEB，由折叠的性质可得出
∠AB①D'＝∠BAE，则BD'∥AE，可得出结论；
过点A作AE∥DC交BD于点E，延长AE交BC于点F，证明△AED∽△BEF，得出
②
，证明△BEF∽△BDC，由相似三角形的性质得出 ＝ ，根据AE＝CD，DE＝
2OD可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AE∥DC，
∴∠CDO＝∠AEO，∠EAO＝∠DCO，
又∵OA＝OC，
∴△AOE≌△COD（AAS），
∴CD＝AE，OD＝OE，
∵OB＝OE+BE，OB＝OD+CD，
∴BE＝CD，
∴AE＝BE；
（2） 证明：如图1，过点A作AE∥DC交BD于点E，
①
由（1）可知△AOE≌△COD，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠AEB，
第18页（共23页）∵将△ABD沿AB翻折得到△ABD'，
∴∠ABD'＝∠ABD，
∴∠ABD'＝∠BAE，
∴BD'∥AE，
又∵AE∥CD
∴BD'∥CD．
证明：如图2，过点A作AE∥DC交BD于点E，延长AE交BC于点F，
②
∵AD'∥BC，BD'∥AE，
∴四边形AD'BF为平行四边形．
∴∠D'＝∠AFB，
∵将△ABD沿AB翻折得到△ABD'．
∴∠D'＝∠ADB，
∴∠AFB＝∠ADB，
又∵∠AED＝∠BEF，
∴△AED∽△BEF，
∴ ，
∵AE＝CD，
∴ ，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BDC，
∴ ＝ ，
∴ ，
∴CD2＝DE•BD，
第19页（共23页）∵△AOE≌△COD，
∴OD＝OE，
∴DE＝2OD，
∴CD2＝2OD•BD．
【点评】本题是相似形综合题，考查了翻折的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形
的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的
判定与性质是解题的关键．
24．【分析】（1）根据OA＝2，OB＝4确定点A和B的坐标，代入抛物线的解析式列方程组解
出即可；
（2）如图1，过D作DG⊥x轴于G，交BC于H，利用待定系数法求直线BC的解析式，设D
（x， x2﹣ x﹣6），则H（x， x﹣6），表示DH的长，根据△BCD的面积是 ，列方程可得
x的值，因为D在对称轴的右侧，所以x＝1不符合题意，舍去，利用三角形面积公式可得
结论；
（3）分两种情况：N在x轴的上方和下方，根据y＝ 确定N的坐标，并正确画图．
【解答】解：（1）∵OA＝2，OB＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣6中得： ，
∴抛物线的解析式为：y＝ x2﹣ x﹣6；
（2）如图1，过D作DG⊥x轴于G，交BC于H，
第20页（共23页）当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
设BC的解析式为：y＝kx+b，
则 ，解得： ，
∴BC的解析式为：y＝ x﹣6，
设D（x， x2﹣ x﹣6），则H（x， x﹣6），
∴DH＝ x﹣6﹣（ x2﹣ x﹣6）＝﹣ ，
∵△BCD的面积是 ，
∴ ，
∴ ，
解得：x＝1或3，
∵点D在直线l右侧的抛物线上，
∴D（3，﹣ ），
∴△ABD的面积＝ ＝ ＝ ；
（3）分两种情况：
第21页（共23页）如图2，N在x轴的上方时，四边形MNBD是平行四边形，
①
∵B（4，0），D（3，﹣ ），且M在x轴上，
∴N的纵坐标为 ，
当y＝ 时，即 x2﹣ x﹣6＝ ，
解得：x＝1+ 或1﹣ ，
∴N（1﹣ ， ）或（1+ ， ）；
如图3，点N在x轴的下方时，四边形BDNM是平行四边形，此时M与O重合，
②
∴N（﹣1，﹣ ）；
第22页（共23页）综上，点N的坐标为：（1﹣ ， ）或（1+ ， ）或（﹣1，﹣ ）．
【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会求函数与坐标轴的交点，会利用待定系数
法求函数解析式，会利用数形结合的思想解决平行四边形的问题，并结合方程思想解决问
题．
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