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2013年四川省乐山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项符合题目要求．
1．（3分）﹣5的倒数是（ ）
A．﹣5 B． C． D．5
2．（3分）乐山大佛景区2013年5月份某周的最高气温（单位：℃）分别为：29，31，23，26，29，
29，29．这组数据的极差为（ ）
A．29 B．28 C．8 D．6
3．（3分）如图，已知直线a∥b，∠1＝131°．则∠2等于（ ）
A．39° B．41° C．49° D．59°
4．（3分）若a＞b，则下列不等式变形错误的是（ ）
A．a+1＞b+1 B． C．3a﹣4＞3b﹣4 D．4﹣3a＞4﹣3b
5．（3分）如图，点E是 ▱ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF＝3，DE＝
2，则 ▱ABCD的周长为（ ）
A．5 B．7 C．10 D．14
6．（3分）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半
轴的夹角 的正切值是 ，则sin 的值为（ ）
α α
第1页（共24页）A． B． C． D．
7．（3分）甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间
的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千
米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均
速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
8．（3分）一个立体图形的三视图如图所示．根据图中数据求得这个立体图形的表面积为（
）
A．2 B．6 C．7 D．8
9．（3分π）如图，圆心在y轴的负π半轴上，半径为5的 πB与y轴的正半轴交于π点A（0，1），过
点P（0，﹣7）的直线l与 B相交于C，D两点．则⊙弦CD长的所有可能的整数值有（ ）
⊙
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第2页（共24页）10．（3分）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝ 的图象上，第二象限内的点B在
反比例函数y＝ 的图象上，且OA⊥OB，cosA＝ ，则k的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣4 C．﹣ D．﹣2
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）如果规定向东为正，那么向西即为负．汽车向东行驶3千米记作+3千米，向西行驶
2千米应记作 千米．
12．（3分）在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球．它们除颜色之外没有任何其他区
别，其中白球有5只，红球3只，黑球1只．袋中的球已经搅匀，闭上眼睛随机地从袋中取
出1只球，取出红球的概率是 ．
13．（3分）把多项式分解因式：ax2﹣ay2＝ ．
14．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°．直线l与边AB，AD分别相交于点M，N，则
∠1+∠2＝ ．
15．（3分）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围
成的“叶状”阴影图案的面积为 ．
16．（3分）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若n﹣
第3页（共24页）≤x＜n+ ，则（x）＝n．如（0.46）＝0，（3.67）＝4．
给出下列关于（x）的结论：
（1.493）＝1；
①（2x）＝2（x）；
②
若（ ）＝4，则实数x的取值范围是9≤x＜11；
③
当x≥0，m为非负整数时，有（m+2013x）＝m+（2013x）；
④（x+y）＝（x）+（y）；
⑤其中，正确的结论有 （填写所有正确的序号）．
三、本大题共3小题．每小题9分，共27分．
17．（9分）计算：|﹣2|﹣4sin45°+（﹣1）2013+ ．
18．（9分）如图，已知线段AB．
（1）用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不要求写出作法）；
（2）在（1）中所作的直线l上任意取两点M，N（线段AB的上方）．连结AM，AN，BM，BN．
求证：∠MAN＝∠MBN．
19．（9分）化简并求值：（ + ）÷ ，其中x，y满足|x﹣2|+（2x﹣y﹣3）2＝0．
四、本大题共2个小题，每小题10分，共20分。
20．（10分）中学生带手机上学的现象越来越受到社会的关注，为此某记者随机调查了某市城
区若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．
反对）．并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2（不完整）．请根据图中提
供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了 名中学生家长；
（2）将图1补充完整；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该市城区6000名中学生家长中有多少名家长持反对态
度？
第4页（共24页）21．（10分）如图，山顶有一铁塔AB的高度为20米，为测量山的高度BC，在山脚点D处测得
塔顶A和塔基B的仰角分别为60°和45°．求山的高度BC．（结果保留根号）
五、（选做题）：从22、23两题中选做一题。每小题10分，共10分，如果两题都做，只按22题
计分。
22．（10分）如图，AB是 O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC＝∠B．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）过点A作直线AB的⊙垂线交BD的延长线于点E．且AB＝ ，BD＝2．求线段AE的长．
23．已知关于x，y的方程组 的解满足不等式组 ，求满足条件的
m的整数值．
第5页（共24页）六、本大题共2个小题，每小题10分，共20分。
24．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当
△ABC是等腰三角形时，求k的值．
25．（10分）如图，已知直线y＝4﹣x与反比例函数y＝ （m＞0，x＞0）的图象交于A，B两点，
与x轴，y轴分别相交于C，D两点．
（1）如果点A的横坐标为1，利用函数图象求关于x的不等式4﹣x＜ 的解集；
（2）是否存在以AB为直径的圆经过点P（1，0）？若存在，求出m的值；若不存在，请说明
理由．
七、本大题共有2小题，第26题12分，第27题13分，共25分。
26．（12分）阅读下列材料：
如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，点M，N分别在边AB，DC上，且MN∥AD，记AD＝a，
BC＝b．若 ＝ ，则有结论：MN＝ ．
请根据以上结论，解答下列问题：
如图2，图3，BE，CF是△ABC的两条角平分线，过EF上一点P分别作△ABC三边的垂线
段PP ，PP ，PP ，交BC于点P ，交AB于点P ，交AC于点P ．
1 2 3 1 2 3
（1）若点P为线段EF的中点．求证：PP ＝PP +PP ；
1 2 3
（2）若点P为线段EF上的任意位置时，试探究PP ，PP ，PP 的数量关系，并给出证明．
1 2 3
第6页（共24页）27．（13分）如图，已知抛物线C经过原点，对称轴x＝﹣3与抛物线相交于第三象限的点M，
与x轴相交于点N，且tan∠MON＝3．
（1）求抛物线C的解析式；
（2）将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，抛物线C′与x轴的另一交点为A，B
为抛物线C′上横坐标为2的点．
若P为线段AB上一动点，PD⊥y轴于点D，求△APD面积的最大值；
①过线段OA上的两点E，F分别作x轴的垂线，交折线O﹣B﹣A于点E
1
，F
1
，再分别以线
②段EE ，FF 为边作如图2所示的等边△EE E ，等边△FF F ．点E以每秒1个单位长度的
1 1 1 2 1 2
速度从点O向点A运动，点F以每秒1个单位长度的速度从点A向点O运动．当△EE E
1 2
与△FF F 的某一边在同一直线上时，求时间t的值．
1 2
第7页（共24页）2013年四川省乐山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项符合题目要求．
1．【分析】直接根据倒数的定义即可得到答案．
【解答】解：﹣5的倒数为﹣ ．
故选：B．
【点评】本题考查了倒数的定义：a（a≠0）的倒数为 ．
2．【分析】根据极差的定义即可求解．
【解答】解：由题意可知，极差为31﹣23＝8．
故选：C．
【点评】本题考查了极差的知识，极差反映了一组数据变化范围的大小，解答本题的关键
是掌握求极差的方法：用一组数据中的最大值减去最小值．
3．【分析】先根据对顶角相等求出∠3，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
【解答】解：如图，∵∠1与∠3是对顶角，
∴∠3＝∠1＝131°，
∵a∥b，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣131°＝49°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
4．【分析】根据不等式的基本性质进行解答．
【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上1，不等式仍成立，即a+1＞b+1．故本选项变
形正确；
第8页（共24页）B、在不等式a＞b的两边同时除以2，不等式仍成立，即 ．故本选项变形正确；
C、在不等式a＞b的两边同时乘以3再减去4，不等式仍成立，即3a﹣4＞3b﹣4．故本选项
变形正确；
D、在不等式a＞b的两边同时乘以﹣3再减去4，不等号方向改变，即4﹣3a＜4﹣3b．故本
选项变形错误；
故选：D．
【点评】主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
5．【分析】根据平行四边形的性质可知DC AB，然后根据E为CD的中点可证DE为△FAB
的中位线，已知DF＝3，DE＝2，可求得AD，AB的长度，继而可求得ABCD的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC AB，AD BC，
∵E为CD的中点，
∴DE为△FAB的中位线，
∴AD＝DF，DE＝ AB，
∵DF＝3，DE＝2，
∴AD＝3，AB＝4，
∴四边形ABCD的周长为：2（AD+AB）＝14．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，属于基础题，解答本题需要同学们熟练掌握平行
四边形的基本性质．
6．【分析】过点P作PE⊥x轴于点E，则可得OE＝3，PE＝m，在Rt△POE中求出OP，继而可
得sin 的值．
【解答α】解：过点P作PE⊥x轴于点E，
第9页（共24页）则可得OE＝3，PE＝m，
在Rt△POE中，tan ＝ ＝ ，
α
解得：m＝4，
则OP＝ ＝5，
故sin ＝ ．
α
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理及同角的三角函数关系，解答本题的关键是求出OP的长度．
7．【分析】设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，
根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间＝乙骑100千米所用时间，根据等量关系
可列出方程即可．
【解答】解：设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意得：
＝ ，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中
的等量关系，列出方程．
8．【分析】从三视图可以看正视图以及俯视图为矩形，而左视图为圆形，可以得出该立体图形
为圆柱，再由三视图可以圆柱的半径，长和高求出体积．
【解答】解：∵正视图和俯视图是矩形，左视图为圆形，
∴可得这个立体图形是圆柱，
∴这个立体图形的侧面积是2 ×3＝6 ，
底面积是： •12＝ ， π π
∴这个立体π图形的π表面积为6 +2 ＝8 ；
故选：D． π π π
【点评】此题考查了由三视图判断几何体，根据三视图的特点描绘出图形是解题的关键，
第10页（共24页）掌握好圆柱体积公式＝底面积×高．
9．【分析】求出线段CD的最小值，及线段CD的最大值，从而可判断弦CD长的所有可能的
整数值．
【解答】解：∵点A的坐标为（0，1），圆的半径为5，
∴点B的坐标为（0，﹣4），
又∵点P的坐标为（0，﹣7），
∴BP＝3，
当CD垂直圆的直径AE时，CD的值最小，
①
连接BC，在Rt△BCP中，CP＝ ＝4；
故CD＝2CP＝8，
当CD经过圆心时，CD的值最大，此时CD＝直径AE＝10；
②所以，8≤CD≤10，
综上可得：弦CD长的所有可能的整数值有：8，9，10，共3个．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂直弦的直径平分弦，
本题需要讨论两个极值点，有一定难度．
10．【分析】过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，由OA与OB垂直，再利用邻补角定义得到一
对角互余，再由直角三角形BOF中的两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，
又一对直角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形 BOF与三角形OEA相
似，在直角三角形AOB中，由锐角三角函数定义，根据cos∠BAO的值，设出AB与OA，利
用勾股定理表示出OB，求出OB与OA的比值，即为相似比，根据面积之比等于相似比的
平方，求出两三角形面积之比，由A在反比例函数y＝ 上，利用反比例函数比例系数的
第11页（共24页）几何意义求出三角形AOE的面积，进而确定出BOF的面积，再利用k的集合意义即可求
出k的值．
【解答】解：过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOF+∠EOA＝90°，
∵∠BOF+∠FBO＝90°，
∴∠EOA＝∠FBO，
∵∠BFO＝∠OEA＝90°，
∴△BFO∽△OEA，
在Rt△AOB中，cos∠BAO＝ ＝ ，
设AB＝ ，则OA＝1，根据勾股定理得：BO＝ ，
∴OB：OA＝ ：1，
∴S△BFO ：S△OEA ＝2：1，
∵A在反比例函数y＝ 上，
∴S△OEA ＝1，
∴S△BFO ＝2，
则k＝﹣4．
故选：B．
【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角
函数定义，勾股定理，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质
是解本题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【解答】解：汽车向东行驶3千米记作3千米，向西行驶2千米应记作﹣2千米．
第12页（共24页）故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确
什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另
一个就用负表示．
12．【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点： 符合条件的情况数目； 全部情况
的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小． ① ②
【解答】解：根据题意可得：有一个口袋里装有白球5个，红球3个，黑球1个；
故从袋中取出一个球，是红球的概率为P（红球）＝3÷（5+3+1）＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查概率的求法与运用．一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事
件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
13．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：ax2﹣ay2，
＝a（x2﹣y2），
＝a（x+y）（x﹣y）．
故答案为：a（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取
公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．【分析】先根据四边形的内角和定理求出∠B+∠C+∠D，然后根据五边形的内角和定理列
式计算即可得解．
【解答】解：∵∠A＝45°，
∴∠B+∠C+∠D＝360°﹣∠A＝360°﹣45°＝315°，
∴∠1+∠2+∠B+∠C+∠D＝（5﹣2）•180°，
解得∠1+∠2＝225°．
故答案为：225°．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和为（n﹣2）•180°是解题的
关键，整体思想的利用也很重要．
15．【分析】连接AB，则阴影部分面积＝2（S扇形AOB ﹣S△ABO ），依此计算即可求解．
第13页（共24页）【解答】解：
由题意得，阴影部分面积＝2（S扇形AOB ﹣S△AOB ）＝2（ ﹣ ×2×2）＝2 ﹣4．
π
故答案为：2 ﹣4．
【点评】此题π主要考查了扇形的面积公式，应用与设计作图，关键是需要同学们仔细观察
图形，将不规则面积转化．
16．【分析】对于 可直接判断， 、 可用举反例法判断， 、 我们可以根据题意所述利
用不等式判断①． ② ⑤ ③ ④
【解答】解： （1.493）＝1，正确；
（2x）≠2（①x），例如当x＝0.3时，（2x）＝1，2（x）＝0，故 错误；
② ②
若（ ）＝4，则4﹣ ≤ x﹣1＜4+ ，解得：9≤x＜11，故 正确；
③ ③
m为整数，故（m+2013x）＝m+（2013x），故 正确；
④（x+y）≠（x）+（y），例如x＝0.3，y＝0.4时，（④x+y）＝1，（x）+（y）＝0，故 错误；
⑤综上可得 正确． ⑤
故答案为①：③ ．
【点评】本题①考③查④了理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题
可得解．
三、本大题共3小题．每小题9分，共27分．
17．【分析】本题涉及绝对值、特殊角的三角函数值、乘方、二次根式化简四个考点．针对每个
考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．．
【解答】解：|﹣2|﹣4sin45°+（﹣1）2013+
＝2﹣4× ﹣1+2
＝2﹣2 ﹣1+2
＝1．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目
第14页（共24页）的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握绝对值、乘方、二次根式等考点的运算．
18．【分析】（1）根据线段垂直平分线的方法作图即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得AM＝BM，AN＝BN，再根据等边对等角可得∠MAB
＝∠MBA，∠NAB＝∠NBA，进而可得∠MAN＝∠MBN．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）∵l是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，AN＝BN，
∴∠MAB＝∠MBA，∠NAB＝∠NBA，
∴∠MAB﹣∠NAB＝∠MBA﹣∠NBA，
即：∠MAN＝∠MBN．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的作法以及性质，关键是掌握垂直平分线上任意
一点，到线段两端点的距离相等．
19．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，
约分得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：∵|x﹣2|+（2x﹣y﹣3）2＝0，
∴|x﹣2|＝0，（2x﹣y﹣3）2＝0，
∴x＝2，y＝1，
原式＝ • ＝ ＝ ＝ ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的
关键．
四、本大题共2个小题，每小题10分，共20分。
20．【分析】（1）根据“基本赞成”的人数除以所占的百分比即可求出总人数；
（2）由总人数减去其它的人数求出“赞成”的人数，补全统计图即可；
（3）根据200人中“反对”的人数为120人求出反对人数所占的百分比，即可求出6000
名中学生家长中持反对态度的人数．
第15页（共24页）【解答】解：（1）根据题意得：40÷20%＝200（人），
则此次抽样调查中，共调查了200名中学生家长；
（2）“赞成”的人数为200﹣（30+40+120）＝10（人），
补全条形统计图，如图所示；
（3）根据题意得：6000× ＝3600（人），
则6000名中学生家长中持反对态度的人数为3600人．
【点评】此题考查了频数（率）分布直方图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是
解本题的关键．
21．【分析】Rt△BCD中，根据∠BDC的正切函数，可用BC表示出CD的长；进而可在
Rt△ACD中，根据∠ADC的正切函数，列出关于BC的等量关系式，即可求出BC的长．
【解答】解：由题意知∠ADC＝60°，∠BDC＝45°，
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，
∴BC＝DC，
在Rt△ACD中，
tan∠ADC＝ ＝ ＝ ，
∴BC＝10（ +1），
答：小山高BC为10（ +1）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是借助俯角构造直
角三角形并解直角三角形．
五、（选做题）：从22、23两题中选做一题。每小题10分，共10分，如果两题都做，只按22题
第16页（共24页）计分。
22．【分析】（1）如图，连接OD，要证明直线CD是 O的切线，只需证明CD⊥OD；
（2）首先，在直角△ADB中，利用勾股定理求得AD⊙＝1；
然后，利用相似三角形△AED∽△BAD的对应边成比例知 ＝ ，则易求AE的长度．
【解答】（1）证明：如图，连接OD．
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，
∴∠1+∠2＝90°；
又∵OB＝OD，
∴∠2＝∠B，
而∠ADC＝∠B，
∴∠1+∠ADC＝∠CDO＝90°，即CD⊥OD．
又∵OD是 O的半径，
∴直线CD⊙是 O的切线；
⊙
（2）解：∵在直角△ADB中，AB＝ ，BD＝2，
∴根据勾股定理知，AD＝ ＝1．
∵AE⊥AB，
∴∠EAB＝90°．
又∠ADB＝90°，
∴△AED∽△BAD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得，AE＝ ，即线段AE的长度是 ．
第17页（共24页）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质．要证某线是圆的切线，
已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
23．【分析】首先根据方程组可得 ，再解不等式组，确定出整数解即可．
【解答】解： + 得：3x+y＝3m+4，
﹣ 得：x+①5y＝②m+4，
② ①
∵不等式组 ，
∴ ，
解不等式组得：﹣4＜m≤﹣ ，
则m＝﹣3，﹣2．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的整数解，关键是用含m的式子表示x、y．
六、本大题共2个小题，每小题10分，共20分。
24．【分析】（1）先计算出△＝1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用公式法求出方程的解为x ＝k，x ＝k+1，然后分类讨论：AB＝k，AC＝k+1，当AB
1 2
＝BC或AC＝BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．
【解答】（1）证明：∵△＝（2k+1）2﹣4（k2+k）＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的解为x＝ ，即x ＝k，x ＝k+1，
1 2
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
当AB＝k，AC＝k+1，且AB＝BC时，△ABC是等腰三角形，则k＝5；
当AB＝k，AC＝k+1，且AC＝BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1＝5，解得k＝4，
综合上述，k的值为5或4．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞
0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有
实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
第18页（共24页）25．【分析】（1）首先求出A点坐标，把将A（1，3）代入y＝ 求出m，联立函数解析式求出B
点坐标，进而求出不等式的解集；
（2）点A、B在直线y＝4﹣x上，则可设A（a，4﹣a），B（b，4﹣b）；以AB为直径的圆经过点
P（1，0），则由圆周角定理得∠APB＝90°，易证Rt△AMP∽Rt△PEB，列比例式求得a、b
的关系式为：5（a+b）﹣2ab＝17 ；而点A、B又在双曲线上，可推出a、b是一元二次方
程x2﹣4x+m＝0的两个根，得a+b①＝4，ab＝m，代入 式求出m的值．
【解答】解：（1）将x＝1代入直线y＝4﹣x得，y＝①4﹣1＝3，
则A点坐标为（1，3），
将A（1，3）代入y＝ （m＞0，x＞0）得，
m＝3，
则反比例函数解析式为y＝ ，
组成方程组得 ，
解得，y＝1，x＝3，则B点坐标为（3，1）．
当不等式4﹣x＜ 时，0＜x＜1或x＞3．
（2）存在．
点A、B在直线y＝4﹣x上，则可设A（a，4﹣a），B（b，4﹣b）．
如右图所示，过点A作AM⊥x轴于点M，则AM＝4﹣a，PM＝1﹣a；
过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4﹣b，PE＝b﹣1．
∵点P在以AB为直径的圆上，
∴∠APB＝90°（圆周角定理）．
易证Rt△AMP∽Rt△PEB，
∴ ＝ ，即 ，
整理得：5（a+b）﹣2ab＝17
①
∵点A、B在双曲线y＝ 上，
第19页（共24页）∴a（4﹣a）＝m，b（4﹣b）＝m，
∴a2﹣4a+m＝0，b2﹣4b+m＝0，
∴a、b是一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个根，
∴a+b＝4，ab＝m．
代入 式得：5×4﹣2m＝17，
①
解得：m＝ ．
∴存在以AB为直径的圆经过点P（1，0），此时m＝ ．
【点评】本题主要考查反比例函数的综合题，解答本题的关键是熟练反比例函数和一次函
数的性质，解答本题（2）问的时候一定注意三点构成圆的条件，此题难度较大．
七、本大题共有2小题，第26题12分，第27题13分，共25分。
26．【分析】（1）如答图1所示，作辅助线，由角平分线性质可知ER＝ES，FM＝FN；再由中位
线性质得到FM＝2PP ，ER＝2PP ；最后，在梯形FMRE中，援引题设结论，列出关系式，
3 2
化简得到：PP ＝PP +PP ；
1 2 3
（2）如答图2所示，作辅助线，由角平分线性质可知ER＝ES，FM＝FN；再由相似三角形比
例线段关系得到：ER＝ PP ；FM＝ PP ；最后，在梯形FMRE中，援引题设结论，
2 3
列出关系式，化简得到：PP ＝PP +PP ．
1 2 3
【解答】（1）证明：如答图1所示，
BE为角平分线，过点E作ER⊥BC于点R，ES⊥AB于点S，则有ER＝ES；
CF为角平分线，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AC于点N，则有FM＝FN．
第20页（共24页）点P为中点，由中位线的性质可知：ES＝2PP ，FN＝2PP ．
2 3
∴FM＝2PP ，ER＝2PP ．
3 2
在梯形FMRE中，FM∥PP ∥ER， ，
1
根据题设结论可知：
PP ＝ ＝ ＝ ＝PP +PP ．
1 2 3
∴PP ＝PP +PP ．
1 2 3
（2）探究结论：PP ＝PP +PP ．
1 2 3
证明：如答图2所示，
BE为角平分线，过点E作ER⊥BC于点R，ES⊥AB于点S，则有ER＝ES；
CF为角平分线，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AC于点N，则有FM＝FN．
点P为EF上任意一点，不妨设 ，则 ， ．
∵PP ∥ES，∴ ＝ ，∴ES＝ PP ；
2 2
∵PP ∥FN，∴ ，∴FN＝ PP ．
3 3
第21页（共24页）∴ER＝ PP ；FM＝ PP ．
2 3
在梯形FMRE中，FM∥PP ∥ER， ，
1
根据题设结论可知：
PP ＝ ＝ ＝ ＝PP +PP ．
1 2 3
∴PP ＝PP +PP ．
1 2 3
【点评】本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质．本题两问
之间体现了由特殊到一般的数学思想，解题思路类似，并且同学们可仔细领会．
27．【分析】（1）先根据tan∠MON＝3求出顶点M的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物
线C的解析式；
（2） 先求出△APD的面积关于点P横坐标的函数关系式，再应用配方法写成顶点式，然
后根①据二次函数的性质即可求出最大值；
分0＜t≤2，2＜t≤4和4＜t＜6三种情况讨论，每种情况又分EE 与FF 在同一直线上，
1 1
②EE 与F F 在同一直线上和E E 与FF 在同一直线上三种情况讨论．
2 1 2 1 2 2
【解答】解：（1）∵对称轴MN的解析式为x＝﹣3，∴ON＝3，
∵tan∠MON＝3，∴MN＝9，
∴M（﹣3，﹣9），
∴设抛物线C的解析式为y＝a（x+3）2﹣9，
∵抛物线C经过原点，∴0＝a（0+3）2﹣9，解得a＝1，
∴抛物线C的解析式为y＝（x+3）2﹣9，即y＝x2+6x；
（2） ∵将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，
∴抛物①线C与抛物线C′关于原点O对称，
∴抛物线C′的解析式为y＝﹣x2+6x，
∵当y＝0时，x＝0或6，
∴点A的坐标为（6，0），
∵点B在抛物线C′上，且其横坐标为2，
∴y＝﹣22+6×2＝8，即点B的坐标为（2，8）．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
第22页（共24页）则 ，
解得 ．
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+12，
∵点P在线段AB上，
∴设点P的坐标为（p，﹣2p+12），
∴S△APD ＝ p（﹣2p+12）＝﹣p2+6p＝﹣（p﹣3）2+9，
∴当p＝3时，△APD面积的最大值为9；
如图，分别过点E 、F 作x轴的垂线，垂足分别为G、H．
2 2
②根据（2） 知，直线OB解析式为y＝4x，直线AB解析式为y＝﹣2x+12．
当0＜t≤2①时，E
1
在OB上，F
1
在AB上，
OE＝t，EE ＝4t，EG＝2 t，OG＝t+2 t，GE ＝2t，
1 2
OF＝6﹣t，FF ＝2t，HF＝ t，OH＝6﹣t﹣ t，HF ＝t，
1 2
∴E（t，0），E （t，4t），E （t+2 t，2t），
1 2
F（6﹣t，0），F （6﹣t，2t），F （6﹣t﹣ t，t）．
1 2
（Ⅰ）若EE 与FF 在同一直线上，由t＝6﹣t，得t＝3，不符合0＜t≤2；
1 1
（Ⅱ）若EE 与F F 在同一直线上，易求得直线EE 的解析式为y＝ x﹣ t，
2 1 2 2
将F （6﹣t，2t）代入，得2t＝ ×（6﹣t）﹣ t，
1
解得t＝ ；
（Ⅲ）若E E 与FF 在同一直线上，易求得E E 的解析式为y＝﹣ x+4t+ t，
1 2 2 1 2
将F（6﹣t，0）代入，得0＝﹣ ×（6﹣t）+4t+ t，
解得t＝ ；
当2＜t≤4时，E ，F 都在AB上，
1 1
OE＝t，EE ＝12﹣2t，EG＝6 ﹣ t，OG＝6 ﹣ t+t，GE ＝6﹣t，
1 2
OF＝6﹣t，FF ＝2t，HF＝ t，OH＝6﹣t﹣ t，HF ＝t，
1 2
∴E（t，0），E （t，12﹣2t），E （6 ﹣ t+t，6﹣t），
1 2
第23页（共24页）F（6﹣t，0），F （6﹣t，2t），F （6﹣t﹣ t，t）．
1 2
（Ⅰ）若EE 与FF 在同一直线上，由t＝6﹣t，得t＝3；
1 1
（Ⅱ）若EE 与F F 在同一直线上，易求得直线EE 的解析式为y＝ x﹣ t，
2 1 2 2
将F （6﹣t，2t）代入，得2t＝ ×（6﹣t）﹣ t，
1
解得t＝ ，不符合2＜t≤4；
（Ⅲ）E E 与FF 已知在0＜t≤2时同一直线上，故当2＜t≤4时，E E 与FF 不可能在同
1 2 2 1 2 2
一直线上；
当4＜t＜6时，由上面讨论的结果，△EE E 与△FF F 的某一边不可能在同一直线上．
1 2 1 2
综上所述，当△EE E 有一边与△FF F 的某一边在同一直线上时，t的值为 或
1 2 1 2
或3．
【点评】本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到旋转与平移的性质，运用待定系数
法求一次函数、二次函数的解析式，函数图象上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数的
定义，二次函数的最值，等边三角形的性质，三角形的面积求法等知识．在求有关动点问
题时要注意分析题意分情况讨论结果，利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
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