文档内容
2010年四川省乐山市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）计算（﹣2）×3的结果是（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≠2 C．x＜2 D．x≠0
4．（3分）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2 B．由a＞b，得﹣2a＜﹣2b
C．由a＞b，得|a|＞|b| D．由a＞b，得a2＞b2
5．（3分）某厂生产上第世博会吉祥物：“海宝”纪念章10万个，质检部门为检测这批纪念章
质量的合格情况，从中随机抽查500个，合格499个．下列说法正确的是（ ）
A．总体是10万个纪念章的合格情况，样本是500个纪念章的合格情况
B．总体是10万个纪念章的合格情况，样本是499个纪念章的合格情况
C．总体是500个纪念章的合格情况，样本是500个纪念章的合格情况
D．总体是10万个纪念章的合格情况，样本是1个纪念章的合格情况
6．（3分）某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标
杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为
6米，那么旗杆AC的高度为（ ）
A．6米 B．7米 C．8.5米 D．9米
7．（3分）如图所示，是一个几何体的三视图，已知正视图和左视图都是边长为2的等边三角
形，则这个几何体的全面积为（ ）
第1页（共22页）A．2 B．3 C． D．（1+ ）
8．（3分π）如图所示，一圆弧过方π格的格点A、B、C，试在方π格中建立平面直角坐标系，使π点A
的坐标为（﹣2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）
9．（3分）已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤4，则
kb的值为（ ）
A．12 B．﹣6 C．﹣6或﹣12 D．6或12
10．（3分）设a、b是常数，且b＞0，抛物线y＝ax2+bx+a2﹣5a﹣6为下图中四个图象之一，则
a的值为（ ）
A．6或﹣1 B．﹣6或1 C．6 D．﹣1
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）把温度计显示的零上5℃用+5℃表示，那么零下2℃应表示为 ℃．
12．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠ACD＝40°，则∠EBC＝
度．
第2页（共22页）13．（3分）若a＜0，化简|a﹣3|﹣ ＝ ．
14．（3分）下列因式分解： x3﹣4x＝x（x2﹣4）； a2﹣3a+2＝（a﹣2）（a﹣1）； a2﹣2a﹣2
＝a（a﹣2）﹣2； ① ② ③
．其中正确的是 （只填序号）．
④
15．（3分）正六边形ABCDEF的边长为2cm，点P为这个正六边形内部的一个动点，则点P
到这个正六边形各边的距离之和为 cm．
16．（3分）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文
价值．如图所示，是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树
主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S ，第二个正方形和第二
1
个直角三角形的面积之和为S ，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为S ．
2 n
设第一个正方形的边长为1．
请解答下列问题：
（1）S ＝ ；
1
（2）通过探究，用含n的代数式表示S ，则S ＝ ．
n n
三、解答题（共10小题，满分102分）
17．（9分）解方程：5（x﹣5）+2x＝﹣4．
18．（9分）如图所示，在平行四边形ABCD的对角线上AC上取两点E和F，若AE＝CF．
求证：∠AFD＝∠CEB．
第3页（共22页）19．（9分）先化简，再求值： ，其中x满足x2﹣2x﹣3＝0．
20．（10分）如图所示一次函数y＝x+b与反比例函数 在第一象限的图象交于点B，且点
B的横坐标为1，过点B作y轴的垂线，C为垂足，若S△BCO ＝ ，求一次函数和反比例函数
的解析式．
21．（10分）某校对八年级（1）班全体学生的体育作测试，测试成绩分为优秀、良好、合格和不
合格四个等级，根据测试成绩绘制的不完整统计图如下：
八年级（1）班体育成绩频数分布表：
等级 分值 频数
优秀 90﹣100分 ？
良好 75﹣89分 13
合格 60﹣74分 ？
不合格 0﹣59分 9
根据统计图表给出的信息，解答下列问题：
（1）八年级（1）班共有多少名学生？
（2）填空：体育成绩为优秀的频数是 ，为合格的频数是 ；
（3）从该班全体学生的体育成绩中，随机抽取一个同学的成绩，求达到合格以上（包含合
格）的概率．
第4页（共22页）22．（10分）水务部门为加强防汛工作，决定对程家山水库进行加固．原大坝的横断面是梯形
ABCD，如图所示，已知迎水面AB的长为10米，∠B＝60°，背水面DC的长度为10 米，
加固后大坝的横断面为梯形ABED．若CE的长为5米．
（1）已知需加固的大坝长为100米，求需要填方多少立方米；
（2）求新大坝背水面DE的坡度．（计算结果保留根号）
23．（10分）如图所示，AB是 O的直径，D是圆上一点， ＝ ，连接AC，过点D作弦AC
的平行线MN． ⊙
（1）证明：MN是 O的切线；
（2）已知AB＝10，⊙AD＝6，求弦BC的长．
24．（10分）从甲、乙两题中选做一题．如果两题都做，只以甲题计分．
题甲：若关于x一元二次方程x2﹣2（2﹣k）x+k2+12＝0有实数根a， ．
（1）求实数k的取值范围； β
（2）设 ，求t的最小值．
题乙：如图所示，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连接DP并延长，交AB的延长线于
点Q．
第5页（共22页）（1）若 ＝ ，求 的值；
（2）若点P为BC边上的任意一点，求证： ﹣ ＝．
我选做的是 题．
25．（12分）在△ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，直线l过点O．过A、B、C三点分
别作直线l的垂线，垂足分别是G、E、F，设AG＝h ，BE＝h ，CF＝h ．
1 2 3
（1）如图1所示，当直线l⊥AD时（此时点G与点O重合）．求证：h +h ＝2h ；
2 3 1
（2）将直线l绕点O旋转，使得l与AD不垂直．
如图2所示，当点B、C在直线l的同侧时，猜想（1）中的结论是否成立，请说明你的理
①由；
如图3所示，当点B、C在直线l的异侧时，猜想h 、h 、h 满足什么关系．（只需写出关
1 2 3
②系，不要求说明理由）
26．（13分）如图 所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2），连
接AC，若tan①∠OAC＝2．
（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；
（2）在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使∠APC＝90°？若存在，求出点P的坐标；若不
存在，请说明理由
（3）如图 所示，连接BC，M是线段BC上（不与B、C重合）的一个动点，过点M作直线
l′∥l，交②抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t．当t为何值时，△BCN的面积
最大？最大面积为多少？
第6页（共22页）第7页（共22页）2010年四川省乐山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．【分析】根据异号两数相乘的乘法运算法则解答．
【解答】解：（﹣2）×3＝﹣6．
故选：A．
【点评】主要考查有理数的乘法运算法则，需要熟练掌握并灵活运用．
2．【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相
重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关
于这条直线（成轴）对称，进而得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故A错误；
B、是轴对称图形，故B正确；
C、不是轴对称图形，故C错误；
D、不是轴对称图形，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合．
3．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求
解．
【解答】解：根据题意，得2﹣x＞0，
解得x＜2，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．注
意当单独的二次根式在分母时，被开方数应大于0．
4．【分析】根据不等式的性质判断即可．要注意选项C中a，b的正负性．
【解答】解：A、由a＞b，得a﹣2＞b﹣2，故选项错误；
B、由a＞b，得﹣2a＜﹣2b，故选项正确；
C、a＞b＞0时，才有|a|＞|b|，0＞a＞b时，有|a|＜|b|，故选项错误；
D、1＞a＞b＞0时，a2＜b2，故选项错误．
第8页（共22页）故选：B．
【点评】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问
题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
5．【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所
抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、
样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据
的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：总体是10万个纪念章的合格情况，样本是500个纪念章的合格情况．
故选：A．
【点评】解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体
与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数
目，不能带单位．
6．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的
太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
【解答】解：∵ ＝
即 ＝ ，
∴AC＝6×1.5＝9米．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，
然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
7．【分析】易得此几何体为圆锥，那么全面积为：底面积+侧面积＝ ×底面半径2+ ×底面半径
×母线长． π π
【解答】解：此几何体为圆锥，底面直径为2，母线长为2，那么底面半径为1，
∴圆锥的全面积＝ ×12+ ×1×2＝3 ．
故选：B． π π π
【点评】主要考查了圆锥的全面积的公式；解决本题的关键是得到圆锥的底面直径与母线
第9页（共22页）长．
8．【分析】连接AB、AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．
【解答】解：如图所示，
∵AW＝1，WH＝3，
∴AH＝ ＝ ；
∵BQ＝3，QH＝1，
∴BH＝ ＝ ；
∴AH＝BH，
同理，AD＝BD，
所以GH为线段AB的垂直平分线，
易得EF为线段AC的垂直平分线，
H为圆的两条弦的垂直平分线的交点，
则BH＝AH＝HC，
H为圆心．
于是则该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．
故选：C．
【点评】根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，找到圆的半径，半径
的交点即为圆心．
9．【分析】根据一次函数的性质，分k＞0和k＜0时两种情况讨论求解．
【解答】解：（1）当k＞0时，y随x的增大而增大，即一次函数为增函数，
∴当x＝0时，y＝﹣2，当x＝2时，y＝4，
代入一次函数解析式y＝kx+b得： ，
解得 ，
第10页（共22页）∴kb＝3×（﹣2）＝﹣6；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小，即一次函数为减函数，
∴当x＝0时，y＝4，当x＝2时，y＝﹣2，
代入一次函数解析式y＝kx+b得： ，
解得 ，
∴kb＝﹣3×4＝﹣12．
所以kb的值为﹣6或﹣12．
故选：C．
【点评】本题要注意根据一次函数图象的性质要分情况讨论，有一定难度．
10．【分析】由b＞0，排除前两个图象，第三个图象a＞0，﹣ ＞0，推出b＜0，与已知矛盾排
除，从而抛物线y＝ax2+bx+a2﹣5a﹣6的图象是第四个图，再求a的值．
【解答】解：∵图1和图2表示y＝0时，有1和﹣1两个根，代入方程能得出b＝﹣b，即b＝
0，不合题意，
∴排除前两个图象；
∵第三个图象a＞0，又﹣ ＞0，
∴b＜0，与已知矛盾排除，
∴抛物线y＝ax2+bx+a2﹣5a﹣6的图象是第四个图，
由图象可知，抛物线经过原点（0，0），
∴a2﹣5a﹣6＝0，解得a＝﹣1或6，
∵a＜0，∴a＝﹣1．
故选：D．
【点评】主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a的值，简单的图象
最少能反映出2个条件：开口方向，经过原点，利用这两个条件即可求出a的值．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．【分析】零上的温度用正数表示，那么零下的温度可用负数表示．
【解答】解：零上5℃用+5℃表示，那么零下2℃应表示为﹣2℃．
故答案为：﹣2．
【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
第11页（共22页）12．【分析】首先根据余角的性质求出∠ABC的度数，再根据邻补角定义求出∠EBC．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，
∴∠ABC＝∠ACD＝90°﹣∠BCD＝40°，
∴∠EBC＝180°﹣∠ABC＝140°．
故答案为：140．
【点评】本题主要考查了余角的性质及邻补角定义．
13．【分析】此题考查了绝对值的定义及二次根式的化简 ．
【解答】解：∵a＜0，
∴a﹣3＜0，
∴|a﹣3|﹣ ＝﹣a+3+a＝3．
故答案为：3．
【点评】考查了根据绝对值的定义及二次根式的意义化简．
二次根式 规律总结：当a≥0时， ＝a；当a≤0时， ＝﹣a．
14．【分析】根据提公因式法和公式法进行判断求解．
【解答】解： 分解不彻底，应为x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2），故本选项错误；
a2﹣3a+2＝①（a﹣2）（a﹣1），正确；
②a2﹣2a﹣2＝a（a﹣2）﹣2，右边不是积的形式，故本选项错误；
③
，正确．
④
所以正确的是： ．
故答案为： ②．④
【点评】本题②考④查了提公因式法，公式法，十字相乘法分解因式，注意因式分解的结果一定
要写成整式乘积的形式，且要分解彻底．
15．【分析】此题可采用取特殊点的方法进行计算，即当O为圆心时进行计算．
【解答】解：如图所示，过P作PH⊥BC于H，根据正六边形的性质可知，∠BPC＝60°，
即∠BPH＝ ∠BPC＝ ×60°＝30°，BH＝ BC＝ ×2＝1cm；
∴PH＝ ＝ ＝ ，
第12页（共22页）∴正六边形各边的距离之和＝6PH＝6× ＝6 cm．
故答案为：6 ．
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是根据题意画出图形，再由正六边形及等腰三角
形的性质解答即可．
16．【分析】根据正方形的面积公式求出面积，再根据直角三角形三条边的关系运用勾股定理
求出三角形的直角边，求出S ，然后利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公
1
式．
【解答】解：（1）∵第一个正方形的边长为1，
∴正方形的面积为1，
又∵直角三角形一个角为30°，
∴三角形的一条直角边为 ，另一条直角边就是 ＝ ，
∴三角形的面积为 ÷2＝ ，
∴S ＝1+ ；
1
（2）∵第二个正方形的边长为 ，它的面积就是 ，也就是第一个正方形面积的 ，
同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的 ，
∴S ＝（1+ ）• ，依此类推，S ＝（1+ ）• • ，即S ＝（1+ ）• ，
2 3 3
S ＝（ ）• （n为整数）．
n
【点评】本题重点考查了勾股定理的运用．
三、解答题（共10小题，满分102分）
17．【分析】根据题意首先去括号，然后合并同类项，即可解答出x的值
【解答】解：去括号得：5x﹣25+2x＝﹣4
第13页（共22页）移项得：7x＝21
系数化为1得：x＝3，
即原方程的解为x＝3．
【点评】本题考查了一元一次方程的解法，要熟练掌握解一元一次方程的方法．
18．【分析】可证△AFD≌△CEB，根据平行四边形性质有AD＝BC，∠DAF＝∠BCE；由AE＝
CF可得AF＝CE，根据SAS得证．
【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，
∵AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAF＝∠BCE，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
∴△ADF≌△CBE，
∴∠AFD＝∠CEB．
【点评】此题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定，比较简单．
19．【分析】首先运用乘法分配律将所求的代数式去括号，然后再合并化简，最后代值求解即
可．
【解答】解：原式＝
＝
＝x2﹣3﹣2x+2
＝x2﹣2x﹣1
由x2﹣2x﹣3＝0，得x2﹣2x＝3
∴原式＝3﹣1＝2．
【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一
为乘法运算．注意整体代入思想在代数求值计算中的应用．
20．【分析】根据点B的横坐标是1，求出OC的长利用三角形的面积求出b值，点B的坐标即
可求出，代入反比例函数即可求出k值，解析式可得．
【解答】解：∵一次函数y＝x+b过点B，且点B的横坐标为1，
∴y＝1+b，即B（1，1+b）．
第14页（共22页）∵BC⊥y轴，且S△BCO ＝ ，
∴ ×OC×BC＝ ×1×（b+1）＝ ，
解得：b＝2，
∴B（1，3）．
∴一次函数的解析式为y＝x+2．
又∵ 过点B，
∴ ＝3，解得：k＝3，
∴反比例函数的解析式为： ．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解本题的关键是先根据三角形的
面积求出b值，进一步确定出点B的坐标．
21．【分析】（1）表格中已知良好人数13人，扇形统计图中已知良好的百分比为26%，由此即
可求出八年级（1）班共有多少名学生；
（2）根据总人数和合格的百分比可以求出合格的频数，然后用总人数减去所有已知人数即
可求出优秀的频数；
（3）由于抽取的50人中达到合格以上（包含合格）的人数为2+13+26，由此即可求出达到
合格以上（包含合格）的概率．
【解答】解：（1）由题意得：13÷26%＝50；
即八年级（1）班共有50名学生；
（2）合格的频数为50×52%＝26，
体育成绩为优秀的频数是50﹣26﹣13﹣9＝2；
（3）随机抽取一个同学的体育成绩，达到合格以上的概率为：
．
【点评】读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形
结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题．用到的知识点为：概率＝所求情况数
与总情况数之比．部分数目＝总体数目乘以相应概率．
第15页（共22页）22．【分析】（1）分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、G．
在Rt△ABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的
长；以CE为底，DG为高即可求出△CED的面积，再乘以大坝的长度，即为所需的填方体
积；
（2）在Rt△CDG中，由勾股定理求CG的长，即可得到GE的长；Rt△DEG中，根据DG、
GE的长即可求得坡角的正切值，即坡面DE的坡比．
【解答】解：（1）分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示．
在Rt△ABF中，AB＝10米，∠B＝60°，
sin∠B＝ ，
∴AF＝10× ＝5 ，
DG＝5 ．
∴S△DCE ＝ ．
需要填方：100× （立方米）；
（2）在直角三角形DGC中，DC＝10 ，
∴GC＝ ，
∴GE＝GC+CE＝20，
坡度i＝ ．
答：（1）需要土石方1250 立方米．
（2）背水坡坡度为 ．
【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．
23．【分析】（1）证MN是 O的切线，只需连接OD，证OD⊥MN即可．由于D是弧AC的中
⊙
第16页（共22页）点，由垂径定理知OD⊥AC，而MN∥AC，由此可证得OD⊥MN，即可得证．
（2）设OD与AC的交点为E，那么OE就是△ABC的中位线，即BC＝2OE；欲求BC，需先
求出OE的长．可设OE为x，那么DE＝5﹣x，可分别在Rt△OAE和Rt△ADE中，用勾股
定理表示出AE2，即可得到关于x的方程，从而求出x即OE的值，也就能得到BC的长．
【解答】（1）证明：连接OD，交AC于E，如图所示，
∵ ＝ ，∴OD⊥AC；
又∵AC∥MN，∴OD⊥MN，
所以MN是 O的切线．
⊙
（2）解：设OE＝x，因AB＝10，所以OA＝5，ED＝5﹣x；
又因AD＝6，在Rt△OAE和Rt△DAE中，
AE2＝OA2﹣OE2＝AD2﹣DE2，即：
52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，解得x＝ ；
由于AB是 O的直径，所以∠ACB＝90°，则OD∥BC；
⊙
又AO＝OB，则OE是△ABC的中位线，所以BC＝2OE＝ ．
【点评】此题考查了垂径定理、切线的判定，勾股定理以及三角形中位线定理等知识，难度
适中．
24．【分析】对甲：（1）由于一元二次方程存在两实根，令△≥0求得k的取值范围；
（2）将 + 换为k的表达式，根据k的取值范围得出t的取值范围，求得最小值．
【解答】α题β甲
解：（1）∵一元二次方程x2﹣2（2﹣k）x+k2+12＝0有实数根a， ，
∴△≥0， β
即4（2﹣k）2﹣4（k2+12）≥0，
得k≤﹣2．
第17页（共22页）（2）由根与系数的关系得：a+ ＝﹣[﹣2（2﹣k）]＝4﹣2k，
β
∴ ，
∵k≤﹣2，
∴﹣2≤ ＜0，
∴ ，
即t的最小值为﹣4．
题乙：
（1）解：∵AB∥CD，∴ ＝ ＝ ，即CD＝3BQ，
∴ ＝ ＝ ＝ ；
（2）证明：四边形ABCD是矩形
∵AB＝CD，AB∥DC
∴△DPC∽△QPB
∴ ＝
﹣ ＝ ﹣ ＝1+ ﹣ ＝1
∴ ﹣ ＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判定，另要掌握两根之和、两根之积与系数的关系．
25．【分析】（1）因为BE⊥l，GF⊥l，所以四边形BCFE是梯形，又因为D是BC的中点，由梯
形的中位线定理可得BE+CF＝2DG，O为AD的中点，故可证h +h ＝2h ；
2 3 1
（2） 过点D作DH⊥l，垂足为H，根据AAS易证△AGO≌△DHO，所以DH＝AG，又因
为D①为BC的中点，由梯形的中位线性质可得2AG＝BE+CF，故（1）结论成立； h 、h 、
1 2
h 满足关系：h ﹣h ＝2h ． ②
3 2 3 1
【解答】（1）证明：∵BE⊥l，CF⊥l，
∴CF∥EB．
又由图知，EF≠BC，
第18页（共22页）∴四边形BCFE是梯形
又∵GD⊥l，D是BC的中点，
∴GD∥FC，
∴DG是梯形的中位线
∴BE+CF＝2DG
又∵O为AD的中点
∴AG＝DG
∴BE+CF＝2AG
即h +h ＝2h ；
2 3 1
（2） 成立；
证明：①过点D作DH⊥l，垂足为H，
在△AGO和△DHO中，
∵
∴△AGO≌△DHO（AAS）
∴DH＝AG，
∵DH⊥L，BE⊥L，CF⊥L，
∴BE∥DH∥FC，
又∵D为BC的中点，由梯形的中位线性质
∴2DH＝BE+CF，即2AG＝BE+CF
∴h +h ＝2h 成立；
2 3 1
h 、h 、h 满足关系：h ﹣h ＝2h ．
1 2 3 2 3 1
②
第19页（共22页）【点评】此题把梯形、梯形的中位线定理和全等三角形的判定结合求解．考查学生综合运
用数学知识的能力．
26．【分析】（1）已知了C点的坐标，即可得到OC的长，根据∠OAC的正切值即可求出OA
的长，由此可得到A点的坐标，将A、C的坐标代入抛物线中，即可确定该二次函数的解析
式；
（2）根据抛物线的解析式即可确定其对称轴方程，由此可得到点P的横坐标；若∠APC＝
90°，则∠PAE和∠CPD是同角的余角，因此两角相等，则它们的正切值也相等，由此可求
出线段PE的长，即可得到点P点的坐标；（用相似三角形求解亦可）
（3）根据B、C的坐标易求得直线BC的解析式，已知了点M的横坐标为t，根据直线BC和
抛物线的解析式，即可用t表示出M、N的纵坐标，由此可求得MN的长，以MN为底，B点
横坐标的绝对值为高，即可求出△BNC的面积（或者理解为△BNC的面积是△CMN和
△MNB的面积和），由此可得到关于S（△BNC的面积）、t的函数关系式，根据所得函数的
性质即可求得S的最大值及对应的t的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点C（0，2），
∴c＝2；
又∵tan∠OAC＝ ＝2，
∴OA＝1，即A（1，0）；
又∵点A在抛物线y＝x2+bx+2上，
∴0＝12+b×1+2，b＝﹣3；
∴抛物线对应的二次函数的解析式为y＝x2﹣3x+2；
（2）存在．
过点C作对称轴l的垂线，垂足为D，如图所示，
∴x＝﹣ ；
第20页（共22页）∴AE＝OE﹣OA＝ ﹣1＝ ，
∵∠APC＝90°，
∴tan∠PAE＝tan∠CPD，
∴ ，即 ＝ ，
解得PE＝ 或PE＝ ，
∴点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）．（备注：可以用勾股定理或相似解答）
（3）如图所示，易得直线BC的解析式为：y＝﹣x+2，
∵点M是直线l′和线段BC的交点，
∴M点的坐标为（t，﹣t+2）（0＜t＜2），
∴MN＝﹣t+2﹣（t2﹣3t+2）＝﹣t2+2t，
∴S△BCN ＝S△MNC +S△MNB ＝ MN▪t+ MN▪（2﹣t），
＝ MN▪（t+2﹣t）＝MN＝﹣t2+2t（0＜t＜2），
∴S△BCN ＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1，
∴当t＝1时，S△BCN 的最大值为1．
备注：如果没有考虑取值范围，可以不扣分．
第21页（共22页）【点评】此题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的性
质、解直角三角形、函数图象交点以及图形面积的求法等重要知识点；能够将图形面积最
大（小）问题转换为二次函数的最值问题是解答（3）题的关键．
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