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考点巩固卷 02 一元二次不等式及基本不等式（十
二大考点）
考点01：不等式性质的应用
1．（多选）对于实数 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，
【答案】BC
【分析】利用不等式的性质即可判断选项A、B、C，对D选项取特殊值验证即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故A错误；
对于B，因为 ，所以 ， ，
所以 ，故B正确；
对于C，因为 ，所以 ， ，
所以 ，故C正确；
对于D，取 ，满足 ，
而 ，故D错误.
故选：BC.
2．已知 ，则 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】利用不等式的性质即可求出 的取值范围.
【详解】由题意，
在 中，
∵ ，
∴ ，解得： ，
故答案为： .
3．（多选）已知实数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据不等式的性质对各个选项验证.
【详解】因为 ，所以有 ，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
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学科网（北京）股份有限公司，故D正确．
故选：BCD．
4．已知 ， ，分别求 ， ， ， 的取值范围．
【答案】详见解析.
【分析】根据不等式的基本性质和反比例函数特点即可求解.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
即 的取值范围是 ．
由 ， ，
得 ，
所以 的取值范围是 ．
由 ， ，
得 ，
所以 的取值范围是 ．
易知 ，
而
则 ，
所以 的取值范围是 ．
考点02：利用基本不等式求最值(直接法)
5．若实数 满足 ，则 的最小值为_________．
【答案】
【分析】直接由基本不等式求解即可.
【详解】 ,当且仅当 ，
即 时取到等号.
故答案： .
6．若 ，则 的最小值是 （ ）
A． B．1
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学科网（北京）股份有限公司C．2 D．
【答案】C
【分析】根据给定等式，利用均值不等式变形，再解一元二次不等式作答.
【详解】 ，当且仅当 时取等号，
因此 ，即 ，解得 ，
所以当 时， 取得最小值2.
故选：C
7．已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，则ab的最大值为_______.
【答案】 /0.0625
【分析】由已知条件利用基本不等式求解即可．
【详解】因为a＞0，b＞0，4a＋b＝1，
所以1＝4a＋b≥ ＝ ，
所以 ≤ ， ≤ ，当且仅当4a＝b＝ ，即a＝ ，b＝ 时，等号成立，
则ab的最大值为 ．
故答案为： ．
8．已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．20 B．40 C． D．
【答案】C
【分析】由 两次应用基本不等式即可求解.
【详解】 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故 的最小值为 .
故选：C.
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学科网（北京）股份有限公司9．已知 ，且 ，则 的最小值为___________.
【答案】 /
【分析】由基本不等式求解即可.
【详解】 ，且 ，
，
当且仅当 时等号成立.
故答案为： .
考点03：利用基本不等式求最值(配凑法)
10．若 ，则 的最值情况是（ ）
A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2
【答案】B
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】若 ，则 ，
当且仅当 即 等号成立，
所以若 时， 有最小值为6，无最大值.
故选：B.
11．当 时， 的最小值为10，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】应用基本不等式求解最小值,再根据最小值求参即可.
【详解】当 时
,
即 ，故 .
故选:A.
12．已知 ，则 的最大值为________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】变形 ，利用基本不等式求解.
【详解】 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立.
故答案为： .
13．（2023天津红桥一模）已知 ，则 的最小值为___________．
【答案】
【分析】将不等式变为 ，再由基本不等式即可得出答案.
【详解】 ,
当且仅当 ，即 时取等.
故答案为： .
考点04：利用基本不等式求最值(商式)
14．函数 在 上的最大值为_______________．
【答案】
【分析】令 ，则 ，则 ，利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为 ， ，令 ，则 ，
则 ，
当且仅当 ， 即 时，等号成立．
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学科网（北京）股份有限公司故 的最大值为 ．
故答案为：
15．函数 的最大值为________.
【答案】 /
【分析】首先化简可得 ，由 则可以利用
基本不等式求最值即可.
【详解】因为 ，则 ，
所以
≤ ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
16．函数 的最小值为_________．
【答案】
【分析】将函数化为 ，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.
【详解】由 ，又 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以原函数的最小值为 .
故答案为：
17．求 的最小值．
【答案】4
【分析】根据已知可知 ，然后根据基本不等式，即可得出答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，
当且仅当 ，即 时， 取到最小值4.
18．当 时，函数 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．4
【答案】B
【分析】使用变量分离，将 化为 ，使
用基本不等式解决.
【详解】因为 ，所以
，当且仅当
，即 时，等号成立．
故选：B．
考点05：利用基本不等式求最值(“1”的代换)
19．已知正数x、y满足 ，求 的最小值为____________；
【答案】 /
【分析】利用1的妙用，由 利用基本不等式求得结果.
【详解】 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
的最小值为 .
故答案为： .
20．设 ，且 ，则 的最小值为__________．
【答案】
【分析】根据“1”的代换，结合已知可推得 ，然后根据基本不等式，
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学科网（北京）股份有限公司即可得出答案.
【详解】因为 ， ，
所以 .
当且仅当 ，且 ，即 时，等号成立.
所以， 的最小值为 .
故答案为： .
21．若 ，则 的值可以是__________．
【答案】5（答案不唯一，只要不小于 即可）
【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
则 .
故答案为：5（答案不唯一，只要不小于 即可）
22．已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
【答案】C
【分析】化简已知式可得 ，因为 ，由基本
不等式求解即可.
【详解】
，
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学科网（北京）股份有限公司而 ，
当且仅当 ，即 取等.
故选：C.
23．已知 ，若 ，则 的最小值是（ ）
A．7 B．9 C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即可.
【详解】因为 ， ，则 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值是 .
故选：D.
考点06：利用基本不等式求最值(消参法)
24．已知 ，若 ，则 的最小值为______
【答案】8
【分析】根据题意，由条件可得 ，然后结合基本不等式即可得到结果.
【详解】因为 ，且 ，所以 ，则
，当且仅当 ，即 时等号成立，则 的最
小值为8．
故答案为:
25．若 ， ，且 ，则 的最小值是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．5 B．8 C．13 D．16
【答案】C
【分析】由 可得 ，从而将 化为 ，利用基本不
等式即可求得答案.
【详解】由题意 ， ， 得 ，
故 ，
由于 ，故 ，
当且仅当 即 时取等号，即 ，
故 的最小值是13，
故选：C
26．已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】由换底公式和基本不等式即可求解.
【详解】由 知 ,
结合 ，以及换底公式可知，
，
当且仅当， ，
即 时等号成立，
即 时等号成立，
故 的最小值为 ，
故选：B.
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学科网（北京）股份有限公司27．若 ，且 ，则 的最小值为______.
【答案】5
【分析】根据对数的换底公式得到 ，解得 ，即 ，然后
代入 中，利用基本不等式求最小值即可.
【详解】因为 ，所以 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，则 ，即 ，
因为 ，所以 ， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为：5.
考点07：利用对勾函数求最值
28．求函数 的最值.
【答案】最小值为 ，无最大值
【分析】利用分式变形结合换元法构造对勾函数，利用对勾函数最值求解即可
【详解】解： ，令 ，则 ，
因为对勾函数 在 上单调递增，当 时，取得最小值 .
故 的最小值为 ，无最大值.
29．下列函数中，最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由对勾函数性质，结合换元法判断A、C的最值，应用基本不等式求B的最值，
根据二次函数性质求D的最值.
【详解】A：当 时 ，显然最小值不为4，排除；
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学科网（北京）股份有限公司B：由 ，则 ，当且仅当 时等号成
立，满足；
C：由题意 ，而 在 上递减，故 时函数最小值为5，不满足；
D：由 ，当 时最小值为3，不满足.
故选：B
30．函数 的值域（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 ，将原式整理成 ，利用对勾函数能得到 在
上单调递减，且没有最大值，即可得到答案
【详解】解：令 ，所以 ，
因为对勾函数 在 上单调递减，且没有最大值，
所以
所以 ，
故选：D
31．当 时， 的最小值为________.
【答案】3
【分析】根据对勾函数的单调性求最值.
【详解】设 ，则 ，
又由 得 ，
而函数 在 上是增函数，
因此 时， 取得最小值 ，
故答案为： .
考点08：解不含参的一元二次不等式
32．下列不等式中，解集为 的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式的解，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A, ，故A不符合，
对于B， ,且开口向上，所以对任意的 ,都有 ,故B符合,
对于C, 得 ，故C不符合，
对于D,由 得 ，故D不符合，
故选：B
33．不等式 的解集为（ ）
A． 或 . B． 或 .
C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】不等式 ，解得： 或 ，
所以不等式的解集为 或 .
故选：B
34．关于实数 的一元二次不等式 的解集为 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三个二次之间的关系结合韦达定理可得 ，且 ，代入所求不等式
运算求解即可.
【详解】由题意可得： 的解为 ，且 ，
可得 ，解得 ，
则不等式 ，即为 ，
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学科网（北京）股份有限公司且 ，则 ，整理得 ，
解得 或 ，即解集为 .
故选：D.
35．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先化简集合A，再利用集合的并集运算求解.
【详解】解：由题意知， ，
所以 .
故选：C.
考点09：分式不等式、高次不等式
36．不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先化简不等式，等价转化后画数轴，利用穿根法求出不等式的解集.
【详解】
由 ，得 ，
等价于 ，
由穿根法可得不等式的解集为 .
故选：B
37．解下列不等式：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)
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学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】对不等式因式分解，由数轴标根法或分类讨论求解即可.
【详解】（1） ，由数轴标根
法得，解集为 ；
（2） 或 ，
易得解集为 .
38．不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出 的根，根据所得根为界点，讨论 范围判断题设不等式
是否成立即可得解集.
【详解】令 ，则 或 或 ，
当 时， ，满足不等关系；
当 时， ，则 不满足；
当 时， ，满足不等关系；
当 时， ，则 不满足；
而x=-1或x=1或x=3时，原不等式左侧等于0，不满足；
综上，解集为 .
故选：A
39．已知集合 ，则 _________．
【答案】
【分析】解分式不等式得到集合 ，求交集即可.
【详解】对于集合 ，解不等式 ，
所以 ，即 ，等价于 ，
解得 或 ，所以 ，
，则 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
40．不等式 的解集是__________．
【答案】
【分析】化为整式不等式求解.
【详解】不等式 等价于 ，解得 ，
所以不等式 的解集是 .
故答案为：
41．不等式 的解集是__________．
【答案】
【分析】移项通分得 ，即 ，再利用穿根法即可得到
答案.
【详解】 ，即 ，即 ，
则 ，根据穿根法解得 ，
故答案为： .
考点10：解含参的一元二次不等式
42．关于x的方程 的解集为 ，则实数a的值为______.
【答案】1
【分析】根据一元一次方程的解的即可求解.
【详解】由 得 ，
若该方程的解为空集，则 且 ，解得 ，
故答案为：1
43．关于 的不等式 的解集为______.
【答案】
【分析】直接因式分解，再利用基本不等式即可得到答案.
【详解】 ,
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学科网（北京）股份有限公司即 ，
因为 ，则 ，当且仅当 时等号成立，
则不等式得解集为 ，
故答案为： .
44．解关于x的不等式：
(1)
(2)
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析.
【分析】（1）分解因式并含参讨论解不等式即可；
（2）将分式不等式化为整式不等式，含参讨论即可.
【详解】（1） ，
若 ， ，解不等式得 ；
若 ，则不等式可化为：
①若 ，则 ，解不等式得 或 ；
②若 ，则 ，解不等式得 ；
③若 ，则 无解，即 ；
④若 ，则 ，解不等式得 .
综上所述： 时，不等式的解集为 ； 时，不等式的解集为 ；
时，不等式的解集为 ； 时，不等式的解集为 ； 时，不等式的解
集为 .
（2）由 ，
若 ，则 ，即 ；
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学科网（北京）股份有限公司若 ，原不等式可化为：
若 ，则 ，解不等式得： 或 ；
若 ，则 ，解不等式得： ；
若 ，则 ，显然无解，即 ；
若 ，则 ，解不等式得： ；
综上所述：当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为
；
当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ；当 时，不
等式的解集为 .
45．解关于x的不等式 .
【答案】答案见解析
【分析】对不等式变形为 ，然后对 进行合理分类讨论即可.
【详解】原不等式变为 ，
①当 时，原不等式可化为 ，
所以当 时，解得 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解得
②当 时，原不等式等价于 ，即 .
③当 时， ，原不等式可化为 ，
解得 或 .
综上，当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 或 .
考点11：一元二次不等式的恒成立问题
46．已知函数 .若对于 ， 恒成立，则实数m的取值
范围________________.
【答案】
【分析】解法1：不等式配方变形为 在 上恒成立，讨论 的
取值，使不等式恒成立，即可求 的取值；
解法2：采用参变分离的方法，转化为 在 上恒成立，转化为求函数最
值问题.
【详解】要使 在 上恒成立，即 在 上恒
成立，有以下两种解法：
解法1：令 ， ．
当 时， 在 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ；当 时， 恒成立；当 时， 在 上单调
递减，所以 ，即 ，所以 ，所以 .
综上所述，m的取值范围是 .
解法2：因为 ，又因为 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立．令 ，因为函数
在 上的最小值为 ，所以只需 即可．所以 的取值
范围是 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
47．已知 ，当 时，不等式 恒成立，则实数m的范围
为__________．
【答案】
【分析】由题意可得 对任意的 恒成立，根据二次函数的性质求出
， 的最小值即可求解.
【详解】由题意可得 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立.
令 ， ，
， ，则 ,
所以 ,所以实数m的范围为 .
故答案为: .
48．若函数 的定义域为 ，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【分析】根据题意转化为 在 恒成立，结合一元二次方程的性质，列出
不等式，即可求解.
【详解】由函数 的定义域为 ，即 在 恒成立，
结合一元二次方程的性质，则满足 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
49．命题“ ,使 ”是假命题，则实数 的取值范围为____________．
【答案】
【分析】由题意可得“ ，使 ”是真命题，讨论m的取值，结合二次
不等式恒成立，即可求得答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意命题“ ，使 ”是假命题，
故“ ，使 ”是真命题，
当 时, 成立，
故 ，则 且 ,解得 ，
综合得 ，
故答案为:
50．已知命题 ，使得“ 成立”为真命题，则实数a的取值范围是
__________．
【答案】
【分析】由特称命题的真假分类讨论求解参数的取值范围即可.
【详解】因为命题 ，使得“ 成立”为真命题，
当 时， ，则 ，故成立；
当 时， ，解得： ；
当 时，总存在 ；
综上所述：实数a的取值范围为 .
故答案为：
51．已知 时， 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解出不等式 可得集合A，由 ，计算可得范围.
【详解】设 的解集为A，
因为 时， 恒成立，所以 ，
由 得 ，即 ，
当 ，解得 ，即 ，可得 ；
当 ，解得 ，即 ，不合题意；
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学科网（北京）股份有限公司当 ，解集为 ，不合题意；
综上所述：实数a的取值范围是 .
故选：C.
考点12：不等式的实际应用
52．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为 平方米的泳池，池的深度为 米，池的
四周墙壁建造单价为每米 元，中间一条隔壁建造单价为每米 元，池底建造单价每平
方米 元(池壁厚忽略不计)．则泳池的长设计为________米时，可使总造价最低．
【答案】15
【分析】根据题意求出总造价关于泳池的长的函数关系式，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】设泳池的长为 米，则宽为 米，
总造价
(元)，
当且仅当 ，即 时等号成立．
即泳池的长设计为 米时，可使总造价最低
故答案为：15
53．在中国很多乡村，燃放烟花爆竹仍然是庆祝新年来临的一种方式，烟花爆竹带来的空
气污染非常严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒一个单位的去污剂，空
气中释放的去污剂浓度 （单位：毫克/立方米）随着时间 （单位：天）变化的函数关系
式近似为 ，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放
的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由试验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫
克/立方米）时，它才能起到去污作用.
(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒 个单位的去污剂，要使接下
来的3天能够持续有效去污，求 的最小值.
【答案】(1)7天
(2)
【分析】（1）根据空气中去污剂的浓度不低于4，直接列出不等式，然后解出不等式即可
（2）根据题意，列出空气中去污剂的浓度关于时间的关系式，然后利用基本不等式放缩，
并解出不等式即可
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）释放的去污剂浓度为 ，
当 时， ，解得 ，所以 ；
当 时， ，解得 ，即 ；
故一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天.
（2）设从第一次喷洒起，经 天，则浓度
，
，当且仅当 即 等号成立.
所以 的最小值为 .
54．为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投
入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（ ）万元，现把研发部人员分成
两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（ 且 ），调整后研发人
员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为 万元.
(1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术
人员最多有多少人？
(2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后
研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不
存在，说明理由.
【答案】(1)75人
(2)存在，7
【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解；
（2）由条件可得 ， ，分别利用函数单调性和基本不等式即可求
解.
【详解】（1）依题意可得调整后研发人员人数为 ，年人均投入为 万元，
则 ，( )
解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ， ，所以调整后的技术人员的人数最多75人；
（2）假设存在实数m满足条件.
由技术人员年人均投入不减少有 ，解得 .
由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
，
两边同除以 得 ，
整理得 ，
故有 ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，
又因为 ， ，所以当 时， 取得最大值7，所以 ，
，即存在这样的m满足条件，其范围为 .
55．如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为
△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm．
(1)若 ，求x的取值范围；
(2)设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）由折叠性质可知 ，进而可得 ，再利用勾股
定理得到 ，化简整理求出a，根据 ，求出x的范围即可；
（2）根据题意可得， ，利用基本不等式即可求出S的最大值以及相
应的x的值．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）由矩形周长为 ，可知 ，设 ，则
∵ ，∴ ．
在 中， ，即 ，
得 ，
由题意， ，即 ，
解得 ，
由 得， ，∴ ，
即x的取值范围是 ．
（2）因为 ， ．
化简得 ．
∵ ，∴ ，
当且仅当 ，即 时， ， .
56．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生
的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市
过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供
（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府 （万元）补贴后，
产量将增加到 （万件）．同时波司登制衣有限公司生产 （万件）产品需要投入
成本为 （万元），并以每件 元的价格将其生产的产品全部售出．注：
收益=销售金额 政府专项补贴 成本．
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益 （万元）关于政府补贴 （万
元）的表达式；
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益
（万元）最大？
【答案】(1)
(2)6万元
【分析】（1）依题意求解即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）由 结合基本不等式求解即可.
【详解】（1） ．
因为 ，所以
（2）因为 ．
又因为 ，所以 ，
所以 （当且仅当 时取“ ”）
所以
即当 万元时， 取最大值30万元．
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