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考点巩固卷 02 一元二次不等式及基本不等式（十
二大考点）
考点01：不等式性质的应用
1．（多选）对于实数 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，
2．已知 ，则 的取值范围是__________．
3．（多选）已知实数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
4．已知 ， ，分别求 ， ， ， 的取值范围．
考点02：利用基本不等式求最值(直接法)
5．若实数 满足 ，则 的最小值为_________．
6．若 ，则 的最小值是 （ ）
A． B．1
C．2 D．
7．已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，则ab的最大值为_______.
8．已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．20 B．40 C． D．
9．已知 ，且 ，则 的最小值为___________.
考点03：利用基本不等式求最值(配凑法)
10．若 ，则 的最值情况是（ ）
A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2
11．当 时， 的最小值为10，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．4
12．已知 ，则 的最大值为________.
13．（2023天津红桥一模）已知 ，则 的最小值为___________．
考点04：利用基本不等式求最值(商式)
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学科网（北京）股份有限公司14．函数 在 上的最大值为_______________．
15．函数 的最大值为________.
16．函数 的最小值为_________．
17．求 的最小值．
18．当 时，函数 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．4
考点05：利用基本不等式求最值(“1”的代换)
19．已知正数x、y满足 ，求 的最小值为____________；
20．设 ，且 ，则 的最小值为__________．
21．若 ，则 的值可以是__________．
22．已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
23．已知 ，若 ，则 的最小值是（ ）
A．7 B．9 C． D．
考点06：利用基本不等式求最值(消参法)
24．已知 ，若 ，则 的最小值为______
25．若 ， ，且 ，则 的最小值是（ ）
A．5 B．8 C．13 D．16
26．已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
27．若 ，且 ，则 的最小值为______.
考点07：利用对勾函数求最值
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学科网（北京）股份有限公司28．求函数 的最值.
29．下列函数中，最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
30．函数 的值域（ ）
A． B． C． D．
31．当 时， 的最小值为________.
考点08：解不含参的一元二次不等式
32．下列不等式中，解集为 的是（ ）
A． B． C． D．
33．不等式 的解集为（ ）
A． 或 . B． 或 .
C． D．
34．关于实数 的一元二次不等式 的解集为 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
35．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
考点09：分式不等式、高次不等式
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学科网（北京）股份有限公司36．不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
37．解下列不等式：
(1) ；
(2) .
38．不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
39．已知集合 ，则 _________．
40．不等式 的解集是__________．
41．不等式 的解集是__________．
考点10：解含参的一元二次不等式
42．关于x的方程 的解集为 ，则实数a的值为______.
43．关于 的不等式 的解集为______.
44．解关于x的不等式：
(1)
(2)
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学科网（北京）股份有限公司45．解关于x的不等式 .
考点11：一元二次不等式的恒成立问题
46．已知函数 .若对于 ， 恒成立，则实数m的取值
范围________________.
47．已知 ，当 时，不等式 恒成立，则实数m的范围
为__________．
48．若函数 的定义域为 ，则实数a的取值范围为______.
49．命题“ ,使 ”是假命题，则实数 的取值范围为____________．
50．已知命题 ，使得“ 成立”为真命题，则实数a的取值范围是
__________．
51．已知 时， 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点12：不等式的实际应用
52．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为 平方米的泳池，池的深度为 米，池的
四周墙壁建造单价为每米 元，中间一条隔壁建造单价为每米 元，池底建造单价每平
方米 元(池壁厚忽略不计)．则泳池的长设计为________米时，可使总造价最低．
53．在中国很多乡村，燃放烟花爆竹仍然是庆祝新年来临的一种方式，烟花爆竹带来的空
气污染非常严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒一个单位的去污剂，空
气中释放的去污剂浓度 （单位：毫克/立方米）随着时间 （单位：天）变化的函数关系
式近似为 ，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放
的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由试验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫
克/立方米）时，它才能起到去污作用.
(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
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学科网（北京）股份有限公司(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒 个单位的去污剂，要使接下
来的3天能够持续有效去污，求 的最小值.
54．为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投
入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（ ）万元，现把研发部人员分成
两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（ 且 ），调整后研发人
员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为 万元.
(1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术
人员最多有多少人？
(2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后
研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不
存在，说明理由.
55．如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为
△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm．
(1)若 ，求x的取值范围；
(2)设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．
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学科网（北京）股份有限公司56．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生
的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市
过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供
（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府 （万元）补贴后，
产量将增加到 （万件）．同时波司登制衣有限公司生产 （万件）产品需要投入
成本为 （万元），并以每件 元的价格将其生产的产品全部售出．注：
收益=销售金额 政府专项补贴 成本．
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益 （万元）关于政府补贴 （万
元）的表达式；
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益
（万元）最大？
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