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2015年四川省乐山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项符合题目要求．
1．（3分）3的相反数是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
2．（3分）下列几何体中，正视图是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）某班开展1分钟仰卧起坐比赛活动，5名同学的成绩如下（单位：个）：37、38、40、
40、42．这组数据的众数是（ ）
A．37 B．38 C．40 D．42
4．（3分）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a+c＞b+c，则a＞b
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b
5．（3分）如图，l ∥l ∥l ，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知
1 2 3
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）二次函数y＝﹣x2+2x+4的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（3分）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）
第1页（共27页）A． B． C． D．
8．（3分）电影《刘三姐》中，秀才和刘三姐对歌的场面十分精彩．罗秀才唱道：“三百条狗交
给你，一少三多四下分，
不要双数要单数，看你怎样分得均？”刘三姐示意舟妹来答，舟妹唱道：“九十九条打猎
去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条财主请来当奴才．”若用数学方法解决
罗秀才提出的问题，设“一少”的狗有x条，“三多”的狗有y条，则解此问题所列关系
式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，记m＝|a﹣b+c|+|2a+b+c|，n＝|a+b+c|+|
2a﹣b﹣c|．则下列选项正确的是（ ）
第2页（共27页）A．m＜n
B．m＞n
C．m＝n
D．m、n的大小关系不能确定
10．（3分）如图，已知直线y＝ x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，
1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（ ）
A．8 B．12 C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（3分） 的倒数是 ．
12．（3分）函数y＝ 的自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）九年级1班9名学生参加学校的植树活动，活动结束后，统计每人植树的情况，植
了2棵树的有5人，植了4棵树的有3人，植了5棵树的有1人，那么平均每人植树
棵．
14．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则
∠DBC＝ °．
第3页（共27页）15．（3分）如图，已知A（2 ，2）、B（2 ，1），将△AOB绕着点O逆时针旋转，使点A旋转
到点A′（﹣2，2 ）的位置，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′＝
，则称点Q为点P的“可控变点”．
例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．
（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数y＝x+3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为
．
（2）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的
取值范围是﹣16≤y′≤16，则实数a的值为 ．
三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.
17．（9分）计算：|﹣ |+ ﹣4cos45°+（﹣1）2015．
18．（9分）求不等式组 的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来．
19．（9分）化简求值： ÷（ ﹣a），其中a＝ ﹣2．
四、本大题共3小题，每小题10分，共30分．
20．（10分）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交
第4页（共27页）BC于点E．
（1）求证：△DCE≌△BFE；
（2）若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的长．
21．（10分）某班开展安全知识竞赛活动，班长将所有同学的成绩分成四类，并制作了如下的
统计图表：
类别 成绩 频数
甲 60≤m＜70 4
乙 70≤m＜80 a
丙 80≤m＜90 10
丁 90≤m≤100 6
根据图表信息，回答下列问题：
（1）该班共有学生 人；表中a＝ ；
（2）将丁类的五名学生分别记为A、B、C、D、E，现从中随机挑选两名学生参加学校的决赛，
请借助树状图、列表或其他方式求B一定能参加决赛的概率．
22．（10分）“六一”期间，小张购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的
关系如下表：
型号 进价（元/只） 售价（元/只）
A型 10 12
B型 15 23
（1）小张如何进货，使进货款恰好为1300元？
（2）要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮小张设计一
第5页（共27页）个进货方案，并求出其所获利润的最大值．
五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.
23．（10分）如图1，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝ ．
（1）求CD边的长；
（2）如图2，将直线CD边沿箭头方向平移，交DA于点P，交CB于点Q（点Q运动到点B
停止）．设DP＝x，四边形PQCD的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取
值范围．
24．（10分）如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A、B两点，过点A
作AC垂直x轴于点C，连结BC．若△ABC的面积为2．
（1）求k的值；
（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，
请说明理由．
六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分.
25．（12分）已知Rt△ABC中，AB是 O的弦，斜边AC交 O于点D，且AD＝DC，延长CB
交 O于点E． ⊙ ⊙
（1⊙）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明
理由；
（2）如图2，过点E作 O的切线，交AC的延长线于点F．
⊙
第6页（共27页）若CF＝CD时，求sin∠CAB的值；
①若CF＝aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）
②
26．（13分）如图1，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点
C．若tan∠ABC＝3，一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为﹣8、2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P
是AD的中点．
求点P的运动路程；
①如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l
②运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，连结EF，求△PEF周长的最小值．
第7页（共27页）2015年四川省乐山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项符合题目要求．
1．【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加
“﹣”，据此解答即可．
【解答】解：根据相反数的含义，可得
3的相反数是：﹣3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加
“﹣”．
2．【分析】主视图是从物体正面看，所得到的图形．
【解答】解：A、球的正视图是圆，故此选项错误；
B、圆柱的正视图是矩形，故此选项正确；
C、圆锥的正视图是等腰三角形，故此选项错误；
D、圆台的正视图是等腰梯形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现
在三视图中．
3．【分析】根据众数的概念求解．
【解答】解：由题意得，40出现的次数最多，众数为40．
故选：C．
【点评】本题考查了众数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
4．【分析】根据不等式的性质进行判断．
【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+c，不符合题意；
B、在不等式a+c＞b+c的两边同时减去c，不等式仍成立，即a＞b，不符合题意；
C、当c＝0时，若a＞b，则不等式ac2＞bc2不成立，符合题意；
D、在不等式ac2＞bc2的两边同时除以不为0的c2，该不等式仍成立，即a＞b，不符合题意．
第8页（共27页）故选：C．
【点评】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问
题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
5．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出 ＝ ，根据已知即可求出答案．
【解答】解：∵l ∥l ∥l ， ，
1 2 3
∴ ＝ ＝ ＝ ，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出比例式是解此题的
关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．
6．【分析】先利用配方法得到y＝﹣（x﹣1）2+5，然后根据二次函数的最值问题求解．
【解答】解：y＝﹣（x﹣1）2+5，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝1时，y有最大值，最大值为5．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减
少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝﹣
时，y＝ ；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右
侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝﹣ 时，y＝
；确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，
其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点
处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
7．【分析】过B点作BD⊥AC，得AB的长，AD的长，利用锐角三角函数得结果．
【解答】解：过B点作BD⊥AC，如图，
第9页（共27页）由勾股定理得，
AB＝ ＝ ，
AD＝ ＝2
cosA＝ ＝ ＝ ，
故选：D．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是
解答此题的关键．
8．【分析】根据一少三多四下分，不要双数要单数，列出不等式组解答即可．
【解答】解：设“一少”的狗有x条，“三多”的狗有y条，可得： ，
故选：B．
【点评】此题考查二元一次方程的应用，关键是根据一少三多四下分，不要双数要单数列
出不等式组．
9．【分析】首先根据抛物线开口向下，可得a＜0；然后根据对称轴在y轴右边，可得b＞0；再
根据抛物线经过原点，可得c＝0；再根据x＝1时，y＞0，判断出a+b+c＞0，a＞﹣b；最后分
别求出m、n的值各是多少，判断出m、n的大小关系即可．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右边，
∴b＞0，
∵抛物线经过原点，
∴c＝0，
∴a﹣b+c＜0；
第10页（共27页）∵x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∵c＝0，
∴a+b＞0．
∵x＝﹣ ＞1，a＜0，
∴b＞﹣2a，
∴2a+b＞0，
m＝|a﹣b+c|+|2a+b+c|
＝b﹣a+（2a+b）
＝a+2b
n＝|a+b+c|+|2a﹣b﹣c|
＝a+b+（b﹣2a）
＝2b﹣a
m﹣n＝（a+2b）﹣（2b﹣a）
＝2a
∵a＜0，
∴2a＜0，
即m﹣n＜0，
∴m＜n．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是
要明确： 二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当
a＜0时，①抛物线向下开口； 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a
与b同号时（即ab＞0），对称②轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．
（简称：左同右异） 常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
10．【分析】求出A、B的③坐标，根据勾股定理求出AB，求出点C到AB的距离，即可求出圆C
上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可．
【解答】解：∵直线y＝ x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，﹣3），3x﹣4y﹣12＝0，
第11页（共27页）即OA＝4，OB＝3，由勾股定理得：AB＝5，
过C作CM⊥AB于M，连接AC，
则由三角形面积公式得： ×AB×CM＝ ×OA×OC+ ×OA×OB，
∴5×CM＝4×1+3×4，
∴CM＝ ，
∴圆C上点到直线y＝ x﹣3的最大距离是1+ ＝ ，
∴△PAB面积的最大值是 ×5× ＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆
上的点到直线AB的最大距离，属于中档题目．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．【分析】根据倒数的定义， 的倒数是2．
【解答】解： 的倒数是2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
12．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
第12页（共27页）（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．
13．【分析】直接利用加权平均数的计算公式进行计算即可．
【解答】解：平均每人植树 ＝3棵，
故答案为：3．
【点评】本题考查了加权平均数的计算，解题的关键是牢记加权平均数的计算公式，难度
不大．
14．【分析】根据线段垂直平分线求出AD＝BD，推出∠A＝∠ABD＝50°，根据三角形内角和
定理和等腰三角形性质求出∠ABC，即可得出答案．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，∠AED＝90°，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠ADE＝40°，
∴∠A＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣∠A）＝65°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°，
故答案为：15．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，
能正确运用定理求出各个角的度数是解此题的关键，难度适中．
15．【分析】由A（2 ，2）使点A旋转到点A′（﹣2，2 ）的位置易得旋转90°，根据旋转的
性质可得，阴影部分的面积等于S扇形A'OA ﹣S扇形C'OC ，从而根据A，B点坐标知OA＝4，OC
＝OB＝ ，可得出阴影部分的面积．
【解答】解：∵A（2 ，2）、B（2 ，1），
∴OA＝4，OB＝ ，
∵由A（2 ，2）使点A旋转到点A′（﹣2，2 ），
∴∠A′OA＝∠B′OB＝90°，
根据旋转的性质可得，S ＝S ，
OBC
第13页（共27页）∴阴影部分的面积等于S扇形A'OA ﹣S扇形C'OC ＝ ×42﹣ ×（ ）2＝ ，
π π
故答案为： ．
π
【点评】此题主要考查了扇形的面积计算及旋转的性质，解答本题的关键是根据旋转的性
质得出S
OB′C′
＝S
OBC
，从而得到阴影部分的表达式．
16．【分析】（1）根据“可控变点”的定义即可解决问题．
（2）y＝﹣16时，求出x的值，再根据“可控变点”的定义即可解决问题．
【解答】解：（1）根据定义，点M坐标为（﹣1，2）．
（2）依题意，y＝﹣x2+16 图象上的点 P 的“可控变点”必在函数 y′＝
的图象上（如图）．
∵﹣16≤y′≤16，
∴﹣16＝﹣x2+16．
∴x＝4 ．
∴a的值为4 ．
故答案为（﹣1，2），4 ．
第14页（共27页）【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握新定
义“可控变点”，解答此题还需要掌握二次函数的性质，此题有一定的难度．
三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.
17．【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项化为最简二次根式，第三项利用
特殊角的三角函数值计算，最后一项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝ +2 ﹣4× ﹣1＝﹣ ．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．【分析】先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，然后再数轴
上表示出来即可．
【解答】解：
解不等式 得：x＜3；
解不等式①得：x≥﹣1．
则不等式②组的解集是：﹣1≤x＜3．
【点评】本题考查了一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集的应用，关键是
求出不等式组的解集．
19．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
第15页（共27页）【解答】解：原式＝ ÷
＝ •
＝ ，
当a＝ ﹣2时，原式＝ ＝ ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
四、本大题共3小题，每小题10分，共30分．
20．【分析】（1）由AD∥BC，知∠ADB＝∠DBC，根据折叠的性质∠ADB＝∠BDF，所以
∠DBC＝∠BDF，得BE＝DE，即可用AAS证△DCE≌△BFE；
（2）在Rt△BCD中，CD＝2，∠ADB＝∠DBC＝30°，知BC＝2 ，在Rt△BCD中，CD＝
2，∠EDC＝30°，知CE＝ ，所以BE＝BC﹣EC＝ ．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
根据折叠的性质∠ADB＝∠BDF，∠F＝∠A＝∠C＝90°，
∴∠DBC＝∠BDF，
∴BE＝DE，
在△DCE和△BFE中，
，
∴△DCE≌△BFE；
（2）在Rt△BCD中，
∵CD＝2，∠ADB＝∠DBC＝30°，
∴BC＝2 ，
在Rt△ECD中，
∵CD＝2，∠EDC＝30°，
∴DE＝2EC，
∴（2EC）2﹣EC2＝CD2，
第16页（共27页）∴CE＝ ，
∴BE＝BC﹣EC＝ ．
【点评】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等角对等边、平行线的性质以
及勾股定理的综合运用，熟练的运用折叠的性质是解决本题的关键．
21．【分析】（1）根据丙的人数除以占的百分比求出学生总数，进而求出a的值即可；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出B一定参加的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）根据题意得：10÷25%＝40（人），a＝40﹣4﹣10﹣6＝20；
故答案为：40；20；
（2）列表如下：
A B C D E
A ﹣﹣﹣ （B，A） （C，A） （D，A） （E，A）
B （A，B） ﹣﹣﹣ （C，B） （D，B） （E，B）
C （A，C） （B，C） ﹣﹣﹣ （D，C） （E，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） ﹣﹣﹣ （E，D）
E （A，E） （B，E） （C，E） （D，E） ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有20种，其中B一定参加的情况有8种，
则P（B一定参加）＝ ＝ ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图，用到的知识点为：概率＝所求情
况数与总情况数之比．
22．【分析】（1）设A文具为x只，则B文具为（100﹣x）只，根据题意列出方程解答即可；
（2）设A文具为x只，则B文具为（100﹣x）只，根据题意列出函数解答即可．
【解答】解：（1）设A文具为x只，则B文具为（100﹣x）只，可得：
10x+15（100﹣x）＝1300，
第17页（共27页）解得：x＝40．
答：A文具为40只，则B文具为100﹣40＝60只；
（2）设A文具为x只，则B文具为（100﹣x）只，可得
（12﹣10）x+（23﹣15）（100﹣x）≤40%[10x+15（100﹣x）]，
解得：x≥50，
设利润为y，则可得：y＝（12﹣10）x+（23﹣15）（100﹣x）＝2x+800﹣8x＝﹣6x+800，
因为是减函数，所以当x＝50时，利润最大，即最大利润＝﹣50×6+800＝500元．
【点评】此题考查一次函数的应用，关键是根据题意列出方程和不等式，根据函数是减函
数进行解答．
五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.
23．【分析】（1）分别延长AD、BC相交于E，在Rt△ABE中，由tanA＝ ，AB＝3，BC＝2，得
到BE＝4，EC＝2，AE＝5，通过等角的余角相等得到∠A＝∠ECD，由tanA＝ ，得cosA＝
，于是得到cos∠ECD＝ ＝ ，即问题可得；
（2）由（1）可知tan∠ECD＝ ，得到ED＝ ，如图4，由PQ∥DC，可知△EDC～
△EPQ，得到比例式 ，求得PQ＝ ，由S四边形PQCD ＝S△EPQ ﹣S△EDC ，于是得
到y＝ PQ•EP﹣ DC•ED＝ ﹣ ＝ ，于
是当Q点到达B点时，点P在M点处，由EC＝BC，DC∥PQ，得到DM＝ED＝ ，于是结
论可得．
【解答】解：（1）如图（3），分别延长AD、BC相交于E，
在Rt△ABE中，
∵tanA＝ ，AB＝3，BC＝2，
∴BE＝4，EC＝2，AE＝5，
又∵∠E+∠A＝90°，∠E+∠ECD＝90°，
第18页（共27页）∴∠A＝∠ECD，
由tanA＝ ，得cosA＝ ，
∴cos∠ECD＝ ＝ ，
∴CD＝ ；
（2）如图4，由（1）可知tan∠ECD＝ ，
∴ED＝ ，
如图4，由PQ∥DC，可知△EDC～△EPQ，
∴ ，
∴ ，即PQ＝ ，
∵S四边形PQCD ＝S△EPQ ﹣S△EDC ，
∴y＝ PQ•EP﹣ DC•ED＝ ﹣ ＝ ，
∴当Q点到达B点时，点P在M点处，
由EC＝BC，DC∥PQ，
∴DM＝ED＝ ，
∴自变量x的取值方范围为：0＜x≤ ．
第19页（共27页）【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平移的性质，求函数的解析式，解直角三角
形，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．【分析】（1）首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，
则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于1，然后由反比例函
数y＝ 的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于 |k|，从而求出k的值；
（2）先将y＝2x与y＝ 联立成方程组，求出A、B两点的坐标，然后分三种情况讨论： 当
①
AD⊥AB时，求出直线AD的关系式，令y＝0，即可确定D点的坐标； 当BD⊥AB时，求
出直线BD的关系式，令y＝0，即可确定D点的坐标； 当AD⊥BD②时，由O为线段AB
③
的中点，可得OD＝ AB＝OA，然后利用勾股定理求出OA的值，即可求出D点的坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称，
∴OA＝OB，
∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝2÷2＝1，
又∵A是反比例函数y＝ 图象上的点，且AC⊥x轴于点C，
∴△AOC的面积＝ |k|，
∴ |k|＝1，
∵k＞0，
∴k＝2．
故这个反比例函数的解析式为y＝ ；
第20页（共27页）（2）x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形．
将y＝2x与y＝ 联立成方程组得：
，
解得： ， ，
∴A（1，2），B（﹣1，﹣2），
当AD⊥AB时，如图1，
①
设直线AD的关系式为y＝﹣ x+b，
将A（1，2）代入上式得：b＝ ，
∴直线AD的关系式为y＝﹣ x+ ，
令y＝0得：x＝5，
∴D（5，0）；
当BD⊥AB时，如图2，
②
第21页（共27页）设直线BD的关系式为y＝﹣ x+b，
将B（﹣1，﹣2）代入上式得：b＝﹣ ，
∴直线BD的关系式为y＝﹣ x﹣ ，
令y＝0得：x＝﹣5，
∴D（﹣5，0）；
当AD⊥BD时，如图3，
③
∵O为线段AB的中点，
∴OD＝ AB＝OA，
∵A（1，2），
∴OC＝1，AC＝2，
由勾股定理得：OA＝ ＝ ，
∴OD＝ ，
∴D（ ，0）．
根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（﹣ ，0）．
故x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形，点D的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（ ，
0）或（﹣ ，0）．
【点评】本题主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐
标满足两个函数解析式是解题的关键．另外第2问要分3种情况讨论．
六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分.
25．【分析】（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE＝∠ABE＝90°，由于AD＝
DC，根据垂直平分线的性质可得AE＝CE；
（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE＝90°可得AE是 O的直径，根据切线的性质可得
第22页（共27页）
⊙∠AEF＝90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得 AE2＝
AD•AF． 当CF＝CD时，可得AE2＝3CD2，从而有EC＝AE＝ CD，在Rt△DEC中运
①
用三角函数可得sin∠CED＝ ＝ ，根据圆周角定理可得∠CAB＝∠DEC，即可求出
sin∠CAB的值； 当CF＝aCD（a＞0）时，同 即可解决问题．
【解答】解：（1②）AE＝CE． ①
理由：连接AE、DE，如图1，
∵∠ABC＝90°，∴∠ABE＝90°，
∴∠ADE＝∠ABE＝90°．
∵AD＝DC，
∴AE＝CE；
（2）连接AE、ED，如图2，
∵∠ABE＝90°，∴AE是 O的直径．
∵EF是 OO的切线， ⊙
∴∠AEF⊙＝90°，
∴∠ADE＝∠AEF＝90°．
又∵∠DAE＝∠EAF，
∴△ADE∽△AEF，
∴ ＝ ，
∴AE2＝AD•AF．
当CF＝CD时，
①AD＝DC＝CF，AF＝3DC，
∴AE2＝DC•3DC＝3DC2，
∴AE＝ DC．
∵EC＝AE，
∴EC＝ DC．
∴sin∠CAB＝sin∠CED＝ ＝ ＝ ；
当CF＝aCD（a＞0）时，sin∠CAB＝ ．
②
第23页（共27页）提示：∵CF＝aCD，AD＝DC，
∴AF＝AD+DC+CF＝（a+2）CD，
∴AE2＝DC•（a+2）DC＝（a+2）DC2，
∴AE＝ DC．
∵EC＝AE，
∴EC＝ DC．
∴sin∠CAB＝sin∠CED＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、三角函数、垂直平分线的
性质的性质等知识，利用∠CAB＝∠CED及AE＝EC是解决（2）、（3）两小题的关键．
26．【分析】（1）利用tan∠ABC＝3，得出C点坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式；
（2） 当l在AB位置时，P即为AB的中点H，当l运动到AC位置时，P即为AC中点K，
则P①的运动路程为△ABC的中位线HK，再利用勾股定理得出答案；
首先利用等腰三角形的性质得出∠PAE＝∠PEA＝ ∠EPD，同理可得：∠PAF＝∠PFA
②
＝ ∠DPF，进而求出∠EPF＝∠EPD+∠FPD＝2（∠PAE+∠PAF），即可得出答案；
第24页（共27页）（3）首先得出C△PEF ＝AD+EF，进而得出EG＝ PE，EF＝ PE＝ AD，利用C△PEF ＝
AD+EF＝（1+ ）AD＝ AD，得出最小值即可．
【解答】解：（1）∵函数y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，且一元二次方程ax2+bx+c＝0
两根为：﹣8，2，
∴A（﹣8，0）、B（2，0），即OB＝2，
又∵tan∠ABC＝3，∴OC＝6，即C（0，﹣6），
将A（﹣8，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣6中，得：
，
解得： ，
∴二次函数的解析式为：y＝ x2+ x﹣6；
（2） 如图1，当l在AB位置时，P即为AB的中点H，
当l运①动到AC位置时，P即为AC中点K，
∴P的运动路程为△ABC的中位线HK，
∴HK＝ BC，
在Rt△BOC中，OB＝2，OC＝6，
∴BC＝2 ，∴HK＝ ，
即P的运动路程为： ；
∠EPF的大小不会改变，
②理由如下：如图2，∵DE⊥AB，
∴在Rt△AED中，P为斜边AD的中点，
∴PE＝ AD＝PA，
∴∠PAE＝∠PEA＝ ∠EPD，
第25页（共27页）同理可得：∠PAF＝∠PFA＝ ∠DPF，
∴∠EPF＝∠EPD+∠FPD＝2（∠PAE+∠PAF），
即∠EPF＝2∠EAF，
又∵∠EAF大小不变，
∴∠EPF的大小不会改变；
（3）设△PEF的周长为C，则C△PEF ＝PE+PF+EF，
∵PE＝ AD，PF＝ AD，
∴C△PEF ＝AD+EF，
在等腰三角形PEF中，如图2，过点P作PG⊥EF于点G，
∴∠EPG＝ ∠EPF＝∠BAC，
∵tan∠BAC＝ ＝ ，
∴tan∠EPG＝ ＝ ，
∴EG＝ PE，EF＝ PE＝ AD，
∴C△PEF ＝AD+EF＝（1+ ）AD＝ AD，
又当AD⊥BC时，AD最小，此时C△PEF 最小，
又S△ABC ＝30，
∴ BC×AD＝30，
∴AD＝3 ，
∴C△PEF 最小值为： AD＝ ．
第26页（共27页）【点评】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式和直角三角形中
线的性质等知识，用AD表示出△PEF的周长是解题关键．
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