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2014 年四川省乐山市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2014•乐山）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．（3分）（2014•乐山）如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，
则OB的方位角是（ ）
A．北偏西30° B．北偏西60° C．东偏北30° D．东偏北60°
3．（3分）（2014•乐山）苹果的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千克，买2千克苹果和3
千克香蕉共需（ ）
A．（a+b）元 B．（3a+2b）元 C．（2a+3b）元 D．5（a+b）元
4．（3分）（2014•乐山）如图所示的立体图形，它的正视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2014•乐山）如表是10支不同型号签字笔的相关信息，则这10支签字笔的平均价
格是（ ）
型号 A B C
价格（元/支） 1 1.5 2
数量（支） 3 2 5A．1.4元 B．1.5元 C．1.6元 D．1.7元
6．（3分）（2014•乐山）若不等式ax﹣2＞0的解集为x＜﹣2，则关于y的方程ay+2=0的解为（
）
A．y=﹣1 B．y=1 C．y=﹣2 D．y=2
7．（3分）（2014•乐山）如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，
BD⊥AC于点D．则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2014•乐山）反比例函数y= 与一次函数y=kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象可
能是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）（2014•乐山）在△ABC中，AB=AC=5，sinB= ，⊙O过点B、C两点，且⊙O半径r=
，则OA的值（ ）
A．3或5 B．5 C．4或5 D．4
10．（3分）（2014•乐山）如图，点P（﹣1，1）在双曲线上，过点P的直线l 与坐标轴分别交于
1
A、B两点，且tan∠BAO=1．点M是该双曲线在第四象限上的一点，过点M的直线l 与双曲线
2
只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C、点D．则四边形ABCD的面积最小值为（ ）A．10 B．8 C．6 D．不确定
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）（2014•乐山）当分式 有意义时，x的取值范围为 ．
12．（3分）（2014•乐山）期末考试后，小红将本班50名学生的数学成绩进行分类统计，得到
如图的扇形统计图，则优生人数为 ．
13．（3分）（2014•乐山）若a=2，a﹣2b=3，则2a2﹣4ab的值为 ．
14．（3分）（2014•乐山）如图，在△ABC中，BC边的中垂线交BC于D，交AB于E．若CE平分
∠ACB，∠B=40°，则∠A= 度．
15．（3分）（2014•乐山）如图．在正方形ABCD的边长为3，以A为圆心，2为半径作圆弧．以D
为圆心，3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S 、S ．则S ﹣S = ．
1 2 1 216．（3分）（2014•乐山）对于平面直角坐标系中任意两点P（x ，y ）、P（x ，y ），称|x ﹣x |+|
1 1 1 2 2 2 1 2
y ﹣y |为P 、P 两点的直角距离，记作：d（P ，P ）．若P（x ，y ）是一定点，Q（x，y）是直线
1 2 1 2 1 2 0 0 0
y=kx+b上的一动点，称d（P ，Q）的最小值为P 到直线y=kx+b的直角距离．令P（2，﹣3）．O
0 0 0
为坐标原点．则：
（1）d（O，P ）= ；
0
（2）若P（a，﹣3）到直线y=x+1的直角距离为6，则a= ．
三、每小题9分，共27分
17．（9分）（2014•乐山）计算： +（ ﹣2014）0﹣2cos30°﹣（ ）﹣1．
18．（9分）（2014•乐山）解方程： ﹣ =1．
19．（9分）（2014•乐山）如图，在△ABC中，AB=AC，四边形ADEF是菱形，求证：BE=CE．四、每小题10分，共30分
20．（10分）（2014•乐山）在一个不透明的口袋里有标号为1，2，3，4，5的五个小球，除数字不
同外，小球没有任何区别，摸球前先搅拌均匀，每次摸一个球．
（1）下列说法：
①摸一次，摸出一号球和摸出5号球的概率相同；
②有放回的连续摸10次，则一定摸出2号球两次；
③有放回的连续摸4次，则摸出四个球标号数字之和可能是20．
其中正确的序号是 ．
（2）若从袋中不放回地摸两次，求两球标号数字是一奇一偶的概率．
21．（10分）（2014•乐山）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足
为点E．若AD=1，AB=2 ，求CE的长．
选做题
22．（10分）（2014•乐山）已知a为大于2的整数，若关于x的不等式 无解．（1）求a的值；
（2）化简并求（ ﹣1）+ 的值．
23．（2014•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接
CM交BD于点N，且ON=1．
（1）求BD的长；
（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABCM的面积．
五、每小题10分，共20分
24．（10分）（2014•乐山）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传
单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下：
甲印刷社收费y（元）与印制数x（张）的函数关系如下表：
印制x（张） … 100 200 300 …
收费y（元） … 15 30 45 …
乙印刷社的收费方式为：500张以内（含500张），按每张0.20元收费；超过500张部分，按每
张0.10元收费．
（1）根据表中规律，写出甲印刷社收费y（元）与印数x（张）的函数关系式；
（2）若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社个印
多少张？
（3）活动结束后，市民反应良好，兴趣小组决定再加印800张宣传单，若在甲、乙印刷社中选
一家，兴趣小组应选择哪家印刷社比较划算？25．（10分）（2014•乐山）如图，一次函数y=kx+b的图象l与坐标轴分别交于点E、F与双曲线，
y=﹣ （x＜0）交于点P（﹣1，n），且F是PE的中点．
（1）求直线l的解析式；
（2）若直线x=a与l交于点A，与双曲线交于点B（不同于A），问a为何值时，PA=PB？
六、25题12分，26题13分，共25分
26．（12分）（2014•乐山）如图，⊙O 与⊙O 外切与点D，直线l与两圆分别相切于点A、B，与
1 2
直线
O 、O 相交于点M，且tan∠AM0 = ，MD=4 ．
1 2 1
（1）求⊙O 的半径；
2
（2）求△ADB内切圆的面积；
（3）在直线l上是否存在点P，使△MO P相似于△MDB？若存在，求出PO 的长；若不存在，
2 2
请说明理由．27．（13分）（2014•乐山）如图，抛物线y=x2﹣2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，
﹣m）作PM⊥x轴与点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．
（1）若m=2，求点A和点C的坐标；
（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；
（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求
出点E的坐标；若不存在，请说明理由．2014 年四川省乐山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2014•乐山）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
考点：绝对值．.
分析：根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
解答：解：﹣2的绝对值是2，
即|﹣2|=2．
故选A．
点评：本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相
反数；0的绝对值是0．
2．（3分）（2014•乐山）如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，
则OB的方位角是（ ）
A．北偏西30° B．北偏西60° C．东偏北30° D．东偏北60°
考点：方向角．.
分析：根据垂直，可得∠AOB的度数，根据角的和差，可得答案．
解答：解；若射线OB与射线OA垂直，
∴∠AOB=90°，
∠1=60°，
OB是北偏西60°，
故选：B．
点评：本题考查了方向角，方向角的表示方法是北偏东或北偏西，南偏东或南偏西．
3．（3分）（2014•乐山）苹果的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需（ ）
A．（a+b）元 B．（3a+2b）元 C．（2a+3b）元 D．5（a+b）元
考点：列代数式．.
分析：用单价乘数量得出，买2千克苹果和3千克香蕉的总价，再进一步相加即可．
解答：解：单价为a元的苹果2千克用去2a元，单价为b元的香蕉3千克用去3b元，
共用去：（2a+3b）元．
故选：C．
点评：此题主要考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
4．（3分）（2014•乐山）如图所示的立体图形，它的正视图是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图．.
分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解答：解：从正面看，应看到一个躺着的梯形，并且左边的底短，
故选：B．
点评：本题考查了三视图的知识，正视图是从物体的正面看得到的视图．
5．（3分）（2014•乐山）如表是10支不同型号签字笔的相关信息，则这10支签字笔的平均价
格是（ ）
型号 A B C
价格（元/支） 1 1.5 2
数量（支） 3 2 5
A．1.4元 B．1.5元 C．1.6元 D．1.7元
考点：加权平均数．.
分析：平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．
解答：
解：该组数据的平均数= （1×3+1.5×2+2×5）=1.6（元）．
故选C．
点评：本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求1，1.5，2这三个数的平均
数，对平均数的理解不正确．
6．（3分）（2014•乐山）若不等式ax﹣2＞0的解集为x＜﹣2，则关于y的方程ay+2=0的解为（
）
A．y=﹣1 B．y=1 C．y=﹣2 D．y=2考点：解一元一次不等式；一元一次方程的解．.
分析：根据不等式ax﹣2＞0的解集为x＜﹣2即可确定a的值，然后代入方程，解方程求得．
解答：解：解ax﹣2＞0，移项，得：ax＞2，
∵解集为x＜﹣2，
则a=﹣1，
则ay+2=0即﹣y+2=0，
解得：y=2．
故选D．
点评：本题考查了不等式的解法以及一元一次方程的解法，正确确定a的值是关键．
7．（3分）（2014•乐山）如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，
BD⊥AC于点D．则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
考点：勾股定理；三角形的面积．.
分析：利用勾股定理求得相关线段的长度，然后由面积法求得BD的长度；最后在直角△BCD
中，利用勾股定理来求CD的长度．
解答：
解：如图，由勾股定理得 AC= = ．
∵ BC×2= AC•BD，即 ×2×2= × BD
∴BD= ．
在直角△BCD中，由勾股定理知，CD= = ．
故选：C．
点评：本题考查了勾股定理，三角形的面积．利用面积法求得线段BD的长度是解题的关键．
8．（3分）（2014•乐山）反比例函数y= 与一次函数y=kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象可
能是（ ）A． B． C． D．
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．.
分析：根据反比例函数所在的象限判定k的符号，然后根据k的符号判定一次函数图象所经
过的象限．
解答：解：A、如图所示，反比例函数图象经过第一、三象限，则k＞0．所以一次函数图象经过
的一、三象限，与图示不符．故本选项错误；
B、如图所示，反比例函数图象经过第二、四象限，则k＜0．﹣k+2＞0，所以一次函数图
象经过的一、二、四象限，与图示不符．故本选项错误；
C、如图所示，反比例函数图象经过第二、四象限，则k＜0．﹣k+2＞0，所以一次函数图
象经过的一、二、四象限，与图示不符．故本选项错误；
D、如图所示，反比例函数图象经过第二、四象限，则k＜0．﹣k+2＞0，所以一次函数图
象经过的一、二、四象限，与图示一致．故本选项正确；
故选：D．
点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才
能灵活解题．
9．（3分）（2014•乐山）在△ABC中，AB=AC=5，sinB= ，⊙O过点B、C两点，且⊙O半径r=
，则OA的值（ ）
A．3或5 B．5 C．4或5 D．4
考点：垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形．.
专题：分类讨论．
分析：作AD⊥BC于D，由于AB=AC=5，根据等腰三角形的性质得AD垂直平分BC，则根据垂
径定理的推论得到点O在直线AD上，连结OB，在Rt△ABD中，根据正弦的定义计算
出AD=4，根据勾股定理计算出BD=3，再在Rt△OBD中，根据勾股定理计算出OD=1，然
后分类讨论：当点A与点O在BC的两旁，则OA=AD+OD；当点A与点O在BC的同旁，
则OA=AD﹣OD．
解答：解：如图，
作AD⊥BC于D，
∵AB=AC=5，
∴AD垂直平分BC，
∴点O在直线AD上，
连结OB，
在Rt△ABD中，sinB= = ，
∴AD=4，
∴BD= =3，
在Rt△OBD中，OB= ，BD=3，
∴OD= =1，
当点A与点O在BC的两旁，则OA=AD+OD=4+1=5；
当点A与点O在BC的同旁，则OA=AD﹣OD=4﹣1=3，
即OA的值为3或5．
故选A．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直
平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．
10．（3分）（2014•乐山）如图，点P（﹣1，1）在双曲线上，过点P的直线l 与坐标轴分别交于
1
A、B两点，且tan∠BAO=1．点M是该双曲线在第四象限上的一点，过点M的直线l 与双曲线
2
只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C、点D．则四边形ABCD的面积最小值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．不确定
考点：反比例函数综合题；根的判别式；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例
函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题．.
专题：综合题；待定系数法；配方法；判别式法．
分析：根据条件可以求出直线l1的解析式，从而求出点A、点B的坐标；根据条件可以求出反
比例函数的解析式为y=﹣ ，从而可以设点M的坐标为（a，﹣ ）；设直线l 的解析式
2
为y=bx+c，根据条件“过点M的直线l 与双曲线只有一个公共点”可以得到b= ，c=
2
﹣ ，进而得到D的坐标为（0，﹣ ）、点C的坐标为（2a，0）；由AC⊥BD得到S四边形
ABCD= AC•BD，通过化简、配方即可得到S四边形ABCD=8+2（ ﹣ ）2，从而可以求
出S四边形ABCD的最小值为8．
解答：
解：设反比例函数的解析式为y= ，
∵点P（﹣1，1）在反比例函数y= 的图象上，
∴k=xy=﹣1．
∴反比例函数的解析式为y=﹣ ．
设直线l 的解析式为y=mx+n，
1
当x=0时，y=n，则点B的坐标为（0，n），OB=n．当y=0时，x=﹣ ，则点A的坐标为（﹣ ，0），OA= ．
∵tan∠BAO=1，∠AOB=90°，
∴OB=OA．
∴n=
∴m=1．
∵点P（﹣1，1）在一次函数y=mx+n的图象上，
∴﹣m+n=1．
∴n=2．
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，2）．
∵点M在第四象限，且在反比例函数y=﹣ 的图象上，
∴可设点M的坐标为（a，﹣ ），其中a＞0．
设直线l 的解析式为y=bx+c，
2
则ab+c=﹣ ．
∴c=﹣ ﹣ab．
∴y=bx﹣ ﹣ab．
∵直线y=bx﹣ ﹣ab与双曲线y=﹣ 只有一个交点，
∴方程bx﹣ ﹣ab=﹣ 即bx2﹣（ +ab）x+1=0有两个相等的实根．
∴[﹣（ +ab）]2﹣4b=（ +ab）2﹣4b=（ ﹣ab）2=0．
∴ =ab．
∴b= ，c=﹣ ．
∴直线l 的解析式为y= x﹣ ．
2
∴当x=0时，y=﹣ ，则点D的坐标为（0，﹣ ）；
当y=0时，x=2a，则点C的坐标为（2a，0）．
∴AC=2a﹣（﹣2）=2a+2，BD=2﹣（﹣ ）=2+ ．
∵AC⊥BD，
∴S四边形ABCD= AC•BD
= （2a+2）（2+ ）
=4+2（a+ ）
=4+2[（ ﹣ ）2+2]=8+2（ ﹣ ）2．
∵2（ ﹣ ）2≥0，
∴S四边形ABCD≥8．
∴当且仅当 ﹣ =0即a=1时，S四边形ABCD取到最小值8．
故选：B．
点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、根的判别式、双曲线与
直线的交点等知识，考查了用配方法求代数式的最值，突出了对能力的考查，是一道好
题．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）（2014•乐山）当分式 有意义时，x的取值范围为 x≠ 2 ．
考点：分式有意义的条件．.
分析：分式有意义，分母x﹣2≠0，易求x的取值范围．
解答：
解：当分母x﹣2≠0，即x≠2时，分式 有意义．
故填：x≠2．
点评：本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
12．（3分）（2014•乐山）期末考试后，小红将本班50名学生的数学成绩进行分类统计，得到
如图的扇形统计图，则优生人数为 1 0 ．
考点：扇形统计图．.
分析：用总人数乘以对应的百分比即可求解．
解答：解：50×（1﹣16%﹣36%﹣28%）
=50×0.2
=10（人）．
故优生人数为10，．
故答案是：10．
点评：本题考查的是扇形统计图的运用，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
13．（3分）（2014•乐山）若a=2，a﹣2b=3，则2a2﹣4ab的值为 1 2 ．
考点：因式分解-提公因式法．.
分析：首先提取公因式2a，进而将已知代入求出即可．
解答：解：∵a=2，a﹣2b=3，∴2a2﹣4ab=2a（a﹣2b）=2×2×3=12．
故答案为：12．
点评：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
14．（3分）（2014•乐山）如图，在△ABC中，BC边的中垂线交BC于D，交AB于E．若CE平分
∠ACB，∠B=40°，则∠A= 6 0 度．
考点：线段垂直平分线的性质．.
分析：根据线段垂直平分线得出BE=CE，推出∠B=∠BCE=40°，求出∠ACB=2∠BCE=80°，代入
∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB求出即可．
解答：解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∴∠B=∠BCE=40°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠BCE=80°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=60°，
故答案为：60．
点评：本题考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，注意：
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
15．（3分）（2014•乐山）如图．在正方形ABCD的边长为3，以A为圆心，2为半径作圆弧．以D
为圆心，3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S 、S ．则S ﹣S = ﹣ 9 ．
1 2 1 2
考点：整式的加减．.
分析：先求出正方形的面积，再根据扇形的面积公式求出以A为圆心，2为半径作圆弧．以D
为圆心，3为半径作圆弧的两扇形面积，再求出其差即可．
解答：解：∵S =3×3=9，
正方形
S = = ，
扇形ADC
S = =π，
扇形EAF
∴S ﹣S =π﹣（S ﹣S ）=π﹣（9﹣ ）= ﹣9．
1 2 正方形 扇形ADC故答案为： ﹣9．
点评：本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键．
16．（3分）（2014•乐山）对于平面直角坐标系中任意两点P（x ，y ）、P（x ，y ），称|x ﹣x |+|
1 1 1 2 2 2 1 2
y ﹣y |为P 、P 两点的直角距离，记作：d（P ，P ）．若P（x ，y ）是一定点，Q（x，y）是直线
1 2 1 2 1 2 0 0 0
y=kx+b上的一动点，称d（P ，Q）的最小值为P 到直线y=kx+b的直角距离．令P（2，﹣3）．O
0 0 0
为坐标原点．则：
（1）d（O，P ）= 5 ；
0
（2）若P（a，﹣3）到直线y=x+1的直角距离为6，则a= 2 或﹣ 1 0 ．
考点：一次函数图象上点的坐标特征；点的坐标．.
专题：新定义；分类讨论．
分析：（1）根据题中所给出的两点的直角距离公式即可得出结论；
（2）先根据题意得出关于x的式子，再由绝对值的几何意义即可得出结论．
解答：解：（1）∵P （2，﹣3）．O为坐标原点，
0
∴d（O，P ）=|2﹣0|+|﹣3﹣0|=5．
0
故答案为：5；
（2）∵P（a，﹣3）到直线y=x+1的直角距离为6，
∴设直线y=x+1上一点Q（x，x+1），则d（P，Q）=6，
∴|a﹣x|+|﹣3﹣x﹣1|=6，即|a﹣x|+|x+4|=6，
当a﹣x≥0，x≥﹣4时，原式=a﹣x+x+4=6，解得a=2；
当a﹣x＜0，x＜﹣4时，原式=x﹣a﹣x﹣4=6，解得a=﹣10．
故答案为：2或﹣10．
点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上给点的坐标一定适
合此函数的解析式是解答此题的关键．
三、每小题9分，共27分
17．（9分）（2014•乐山）计算： +（ ﹣2014）0﹣2cos30°﹣（ ）﹣1．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．.
分析：本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考
点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解；原式=2 +1﹣ ﹣2
= ﹣1．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关
键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值
等考点的运算．18．（9分）（2014•乐山）解方程： ﹣ =1．
考点：解分式方程．.
专题：计算题．
分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分
式方程的解．
解答：解：去分母得：x2﹣3x+3=x2﹣x，
移项合并得：﹣2x=3，
解得：x=﹣1.5，
经检验x=﹣1.5是分式方程的解．
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为
整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
19．（9分）（2014•乐山）如图，在△ABC中，AB=AC，四边形ADEF是菱形，求证：BE=CE．
考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质．.
专题：证明题．
分析：根据四边形ADEF是菱形，得DE=EF，AB∥EF，DE∥AC可证明∠△DFE≌△FCE，即可得
出BE=CE．
解答：证明：∵四边形ADEF是菱形，
∴DE=EF，AB∥EF，DE∥AC，
∴∠C=∠BED，∠B=∠CEF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△DFE和△FCE中，
，
∴∠△DFE≌△FCE，
∴BE=CE．
点评：本题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定和性质，是基础题，比较简单．
四、每小题10分，共30分
20．（10分）（2014•乐山）在一个不透明的口袋里有标号为1，2，3，4，5的五个小球，除数字不
同外，小球没有任何区别，摸球前先搅拌均匀，每次摸一个球．
（1）下列说法：
①摸一次，摸出一号球和摸出5号球的概率相同；
②有放回的连续摸10次，则一定摸出2号球两次；
③有放回的连续摸4次，则摸出四个球标号数字之和可能是20．
其中正确的序号是 ①③ ．
（2）若从袋中不放回地摸两次，求两球标号数字是一奇一偶的概率．考点：
]
列表法与树状图法.
专题：计算题．
分析：（1）①1号与5号球摸出概率相同，正确；
②不一定摸出2号球，错误；
③5+5+5+5=20，可能，正确；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两球标号数字是一奇一偶的情况数，即可求
出所求的概率．
解答：解：（1）①1号与5号球摸出概率相同，正确；
②不一定摸出2号球，错误；
③若5+5+5+5=20，可能，正确；
故答案为：①③；
（2）列表如下：
1 2 3 4 5
1 ﹣﹣﹣ （1，2） （1，3） （1，4） （1，5）
2 （2，1） ﹣﹣﹣ （2，3） （2，4） （2，5）
3 （3，1） （3，2） ﹣﹣﹣ （3，4） （3，5）
4 （4，1） （4，2） （4，3） ﹣﹣﹣ （4，5）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有20种，其中数字是一奇一偶的情况有12种，
则P（一奇一偶）= = ．
点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．（10分）（2014•乐山）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足
为点E．若AD=1，AB=2 ，求CE的长．
考点：直角梯形；矩形的判定与性质；解直角三角形．.
分析：利用锐角三角函数关系得出BH的长，进而得出BC的长，即可得出CE的长．
解答：解：过点A作AH⊥BC于H，则AD=HC=1，
在△ABH中，∠B=30°，AB=2 ，
∴cos30°= ，
即BH=ABcos30°=2 × =3，
∴BC=BH+BC=4，
∵CE⊥AB，
∴CE= BC=2．点评：此题主要考查了锐角三角函数关系应用以及直角三角形中30°所对的边等于斜边的一
半等知识，得出BH的长是解题关键．
选做题
22．（10分）（2014•乐山）已知a为大于2的整数，若关于x的不等式 无解．
（1）求a的值；
（2）化简并求（ ﹣1）+ 的值．
考点：解一元一次不等式组；分式的化简求值．.
分析：（1）首先解第一个不等式，然后根据不等式组无解即可得到关于a的不等式从而求解；
（2）首先对括号内的式子进行通分相减，然后进行同分母的分式的加法计算即可，最
后代入a的值计算即可．
解答：
解：（1）解不等式2x﹣a≤0得：x≤ ，
则 ＜2，
解得：a＜4，
又∵a为大于2的整数，
∴a=3；
（2）原式= + = = ．
∵原式= = ．
点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观
察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
23．（2014•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接
CM交BD于点N，且ON=1．
（1）求BD的长；
（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABCM的面积．
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．.专题：计算题．
分析：（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两
直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形BCN相似，
由相似得比例，得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确
定出BD的长；
（2）由相似三角形相似比为1：2，得到NC=2MN，根据三角形MND与三角形DNC高相
等，底边之比即为面积之比，由三角形DCN面积求出MND面积，进而求出三角形DCM
面积，表示出平行四边形ABCD面积与三角形MCD面积，即可求出平行四边形ABCD
面积．
解答：解：（1）∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，
∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，
∴△MND∽△CNB，
∴ = ，
∵M为AD中点，
∴MD= AD= BC，即 = ，
∴ = ，即BN=2DN，
设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，
∴x+1=2（x﹣1），
解得：x=3，
∴BD=2x=6；
（2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，
∴MN：CN=1：2，
∴S△MND：S△CND=1：4，
∵△DCN的面积为2，
∴△MND面积为 ，
∴△MCD面积为2.5，
∵S平行四边形ABCD=AD•h，S△MCD= MD•h= AD•h，
∴S平行四边形ABCD=4S△MCD=10．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的
关键．
五、每小题10分，共20分
24．（10分）（2014•乐山）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传
单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下：
甲印刷社收费y（元）与印制数x（张）的函数关系如下表：
印制x（张） … 100 200 300 …
收费y（元） … 15 30 45 …
乙印刷社的收费方式为：500张以内（含500张），按每张0.20元收费；超过500张部分，按每
张0.10元收费．
（1）根据表中规律，写出甲印刷社收费y（元）与印数x（张）的函数关系式；
（2）若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社个印
多少张？
（3）活动结束后，市民反应良好，兴趣小组决定再加印800张宣传单，若在甲、乙印刷社中选一家，兴趣小组应选择哪家印刷社比较划算？
考点：一次函数的应用．.
分析：（1）设甲印刷社收费y（元）与印数x（张）的函数关系式为y=kx+b，由待定系数法求出
其解即可；
（2）设在甲印刷社印刷a张，则在乙印刷社印刷（400﹣a）张，由总费用为65元建立方
程求出其解即可
（3）分别计算在两家印刷社印刷的费用比较大小就可以得出结论．
解答：解：（1）设甲印刷社收费y（元）与印数x（张）的函数关系式为y=kx+b，由题意，得
，
解得： ，
∴y=0.15x．
∴甲印刷社收费y（元）与印数x（张）的函数关系式为y=0.15x；
（2）设在甲印刷社印刷a张，则在乙印刷社印刷（400﹣a）张，由题意，得
0.15a+0.2（400﹣a）=65，
解得：a=300，
在乙印刷社印刷400﹣300=100张．
答：在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张；
（3）由题意，得
在甲印刷社的费用为：y=0.15×800=120元．
在乙印刷社的费用为：500×0.2+0.1（800﹣500）=130元．
∵120＜130，
∴印刷社甲的收费＜印刷社乙的收费．
∴兴趣小组应选择甲印刷社比较划算．
点评：本题考查了单价×数量=总价的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，列一元
一次方程解实际问题的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
25．（10分）（2014•乐山）如图，一次函数y=kx+b的图象l与坐标轴分别交于点E、F与双曲线，
y=﹣ （x＜0）交于点P（﹣1，n），且F是PE的中点．
（1）求直线l的解析式；
（2）若直线x=a与l交于点A，与双曲线交于点B（不同于A），问a为何值时，PA=PB？
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析：
（1）先由y=﹣ ，求出点P的坐标，再根据F为PE中点，求出F的坐标，把P，F的坐标代入求出直线l的解析式；
（2）过P作PD⊥AB，垂足为点D，由A点的纵坐标为﹣2a+2，B点的纵坐标为﹣ ，D点
的纵坐标为4，列出方程求解即可．
解答：
解：由P（﹣1，n）在y=﹣ ，得n=4，
∴P（﹣1，4），
∵F为PE中点，
∴OF= n=2，
∴F（0，2），
又∵P，F在y=kx+b上，
∴ ，
解得 ．
∴直线l的解析式为：y=﹣2x+2．
（2）如图，过P作PD⊥AB，垂足为点D，
∵PA=PB，
∴点D为AB的中点，
又由题意知A点的纵坐标为﹣2a+2，B点的纵坐标为﹣ ，D点的纵坐标为4，
∴得方程﹣2a+2﹣ =4×2，
解得a =﹣2，a =﹣1（舍去）．
1 2
∴当a=﹣2时，PA=PB．
点评：本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的重点是求出直线l的解析式．
六、25题12分，26题13分，共25分
26．（12分）（2014•乐山）如图，⊙O 与⊙O 外切与点D，直线l与两圆分别相切于点A、B，与
1 2
直线
O 、O 相交于点M，且tan∠AM0 = ，MD=4 ．
1 2 1
（1）求⊙O 的半径；
2
（2）求△ADB内切圆的面积；
（3）在直线l上是否存在点P，使△MO P相似于△MDB？若存在，求出PO 的长；若不存在，
2 2
请说明理由．考点：圆的综合题．.
专题：综合题．
分析：（1）连结O A、O B，设⊙O 的半径为r，⊙O 的半径为R，根据两圆相切的性质得到直线
1 2 1 2
O O 过点D，则MO =MD+O D=4 +R，再根据切线的性质由直线l与两圆分别相切于
1 2 2 2
点A、B得到O1A⊥AB，O2B⊥AB，然后根据特殊角的三角函数值得到∠AM0 =30°，在
1
Rt△MBO 中，根据含30度的直角三角形三边的关系得MO =O B=2R，于是有4
2 2 2
+R=2R，解得R=4 ；
（2）利用互余由∠AM0 =30°得到∠MO B=60°，则可判断△O BD为等边三角形，所以
2 2 2
BD=O B=4 ，∠DBO =60°，于是可计算出∠ABD=30°，同样可得
2 2
∠MO A=60°，利用三角形外角性质可计算得∠O AD= ∠MO A=30°，则∠DAB=60°，所
1 1 1
以∠ADB=90°，在Rt△ABD中，根据含30度的直角三角形三边的关系得AD= BD=4，
AB=2AD=8，利用直角三角形内切圆的半径公式得到△ADB内切圆的半径=
=2 ﹣2，然后根据圆的面积公式求解；
（3）先在Rt△MBO 中，根据含30度的直角三角形三边的关系得MB= O B=12，然后
2 2
分类讨论：△MO P与△MDB有一个公共角，当△MO P∽△MDB时，利用相似比可计
2 2
算出O P=8 ；当△MO P∽△MBD时，利用相似比可计算出O P=8．
2 2 2
解答：解：（1）连结O A、O B，如图，设⊙O 的半径为r，⊙O 的半径为R，
1 2 1 2
∵⊙O 与⊙O 外切与点D，
1 2
∴直线O O 过点D，
1 2
∴MO =MD+O D=4 +R，
2 2
∵直线l与两圆分别相切于点A、B，
∴O A⊥AB，O B⊥AB，
1 2
∵tan∠AM0 = ，
1
∴∠AM0 =30°，
1
在Rt△MBO 中，MO =O B=2R，
2 2 2
∴4 +R=2R，解得R=4 ，
即⊙O 的半径为4 ；
2
（2）∵∠AM0 =30°，
2
∴∠MO B=60°，
2
而O B=O D，
2 2
∴△O BD为等边三角形，
2
∴BD=O B=4 ，∠DBO =60°，
2 2
∴∠ABD=30°，
∵∠AM0 =30°，
1∴∠MO A=60°，
1
而O A=O D，
1 1
∴∠O AD=∠O DA，
1 1
∴∠O AD= ∠MO A=30°，
1 1
∴∠DAB=60°，
∴∠ADB=180°﹣30°﹣60°=90°，
在Rt△ABD中，AD= BD=4，AB=2AD=8，
∴△ADB内切圆的半径= = =2 ﹣2，
∴△ADB内切圆的面积=π•（2 ﹣2）2=（16﹣8 ）π；
（3）存在．
在Rt△MBO2中，MB= O B= ×4 =12，
2
当△MO P∽△MDB时， = ，即 = ，解得O P=8 ；
2 2
当△MO P∽△MBD时， = ，即 = ，解得O P=8，
2 2
综上所述，满足条件的O P的长为8或8 ．
2
点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质、两圆相切的性质和直角三角形内切圆
的半径；会利用含30度的直角三角形三边的关系和三角形相似比进行几何计算；会运
用分类讨论的思想解决数学问题．
27．（13分）（2014•乐山）如图，抛物线y=x2﹣2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，
﹣m）作PM⊥x轴与点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．
（1）若m=2，求点A和点C的坐标；
（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；
（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求
出点E的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.
分析：（1）令y=0即可求得A点坐标，令x=1求得B点，根据对称轴的性质即可求得C点的坐
标．
（2）分别求出PA、PC、AC的平方，根据勾股定理的逆定理即可求得m的值，
（3）先求出PC的斜率，根据互为垂直的两直线的斜率互为负倒数求出直线PE的斜率，
然后求出解析式，分别求出与x轴的交点和与y轴的交点，从而求出PE的长，然后判
断PE2是否等于PC2即可．
解答：解：（1）若m=2，抛物线y=x2﹣2mx=x2﹣4x，
∴对称轴x=2，
令y=0，则x2﹣4x=0，
解得x=0，x=4，
∴A（4，0），
∵P（1，﹣2），令x=1，则y=﹣3，
∴B（1，﹣3），
∴C（3，﹣3）．
（2）∵抛物线y=x2﹣2mx（m＞0），
∴A（2m，0）对称轴x=m，
∵P（1，﹣m）
令x=1，则y=1﹣2m，
∴B（1，1﹣2m），
∴C（2m﹣1，1﹣2m），
∵PA =（﹣m）2+（2m﹣1）2=5m2﹣4m+1，PC =（2m﹣2）2+（1﹣m）2=5m2﹣10m+5．
2 2
AC =1+（1﹣2m）2=2﹣4m+4m2，
2
∵△ACP为直角三角形，
∴PA =PC +AC ，
2 2 2
即5m2﹣4m+1=5m2﹣10m+5+2﹣4m+4m2，整理得：2m2﹣5m+6=0，
解得：m= ，m=1（舍去），
故m= ．
（3）∵P（1，﹣m），C（2m﹣1，1﹣2m），设直线PC的解析式为y=kx+b，
∴ ，解得：k=﹣ ，
∵PE⊥PC，
∴直线PE的斜率=2，
设直线PE为y=2x+b′，
∴﹣m=2+b′，解得b′=﹣2﹣m，
∴直线PE：y=﹣2x﹣2﹣m，
令y=0，则x=﹣1﹣ ，
∴E（﹣1﹣ m，0），
∴PE =（﹣m）2+（﹣2﹣ m）2= ≠PC
2 2
∴在x轴上不存在E点，
令x=0，则y=﹣2﹣m，
∴E（0，﹣2﹣m）∴PE =（﹣2﹣2m）2+12≠PC ，
2 2
∴y轴上不存在E点，
故坐标轴上不存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
点评：本题考查了二次函数的交点的求法，以及直角三角形的判定，等腰直角三角形的判定，
勾股定理的应用等．
