文档内容
2014年四川省乐山市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．（3分）如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB的方向
角是（ ）
A．北偏西30° B．北偏西60° C．东偏北30° D．东偏北60°
3．（3分）苹果的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需
（ ）
A．（a+b）元 B．（3a+2b）元 C．（2a+3b）元 D．5（a+b）元
4．（3分）如图所示的立体图形，它的正视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）如表是10支不同型号签字笔的相关信息，则这10支签字笔的平均价格是（ ）
型号 A B C
价格（元/支） 1 1.5 2
第1页（共28页）数量（支） 3 2 5
A．1.4元 B．1.5元 C．1.6元 D．1.7元
6．（3分）若不等式ax﹣2＞0的解集为x＜﹣2，则关于y的方程ay+2＝0的解为（ ）
A．y＝﹣1 B．y＝1 C．y＝﹣2 D．y＝2
7．（3分）如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．
则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）反比例函数y＝ 与一次函数y＝kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝ ， O过点B、C两点，且 O半径r＝ ，则
⊙ ⊙
OA的长为（ ）
A．3或5 B．5 C．4或5 D．4
10．（3分）如图，点P（﹣1，1）在双曲线上，过点P的直线l 与坐标轴分别交于A、B两点，且
1
tan∠BAO＝1．点M是该双曲线在第四象限上的一点，过点M的直线l 与双曲线只有一个
2
公共点，并与坐标轴分别交于点C、点D．则四边形ABCD的面积最小值为（ ）
第2页（共28页）A．10 B．8 C．6 D．不确定
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）要使分式 有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）期末考试后，小红将本班50名学生的数学成绩进行分类统计，得到如图所示的扇
形统计图，则优生人数为 ．
13．（3分）若a＝2，a﹣2b＝3，则2a2﹣4ab的值为 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，BC边的中垂线交BC于D，交AB于E．若CE平分∠ACB，∠B
＝40°，则∠A＝ 度．
15．（3分）如图．在正方形ABCD的边长为3，以A为圆心，2为半径作圆弧．以D为圆心，3
为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S 、S ．则S ﹣S ＝ ．
1 2 1 2
第3页（共28页）16．（3分）对于平面直角坐标系中任意两点P（x ，y ）、P（x ，y ），称|x ﹣x |+|y ﹣y |为P 、P
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
两点的直角距离，记作：d（P ，P ）．若P（x ，y ）是一定点，Q（x，y）是直线y＝kx+b上的一
1 2 0 0 0
动点，称d（P ，Q）的最小值为P 到直线y＝kx+b的直角距离．令P（2，﹣3），O为坐标原
0 0 0
点．则：
（1）d（O，P ）＝ ；
0
（2）若P（a，﹣3）到直线y＝x+1的直角距离为6，则a＝ ．
三、每小题9分，共27分
17．（9分）计算： +（ ﹣2014）0﹣2cos30°﹣（ ）﹣1．
18．（9分）解方程： ﹣ ＝1．
19．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF是菱形，求证：BE＝CE．
四、每小题10分，共30分
20．（10分）在一个不透明的口袋里装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，除数字不同外，小球
没有任何区别，摸球前先搅拌均匀，每次摸一个球．
（1）下列说法：
摸一次，摸出1号球和摸出5号球的概率相同；
①有放回的连续摸10次，则一定摸出2号球两次；
②有放回的连续摸4次，则摸出四个球标号数字之和可能是20．
③其中正确的序号是 ．
（2）若从袋中不放回地摸两次，求两球标号数字是一奇一偶的概率．
21．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，∠B＝30°，CE⊥AB，垂足为点E．
若AD＝1，AB＝2 ，求CE的长．
第4页（共28页）选做题
22．（10分）已知a为大于2的整数，若关于x的不等式组 无解．
（1）求a的值；
（2）化简并求（ ﹣1）÷ 的值．
23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD
于点N，且ON＝1．
（1）求BD的长；
（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．
五、每小题10分，共20分
24．（10分）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近
有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下：
甲印刷社收费y（元）与印制数x（张）的函数关系如下表：
印制x（张） … 100 200 300 …
收费y（元） … 15 30 45 …
乙印刷社的收费方式为：500张以内（含500张），按每张0.20元收费；超过500张部分，按
每张0.10元收费．
（1）根据表中规律，写出甲印刷社收费y（元）与印数x（张）的函数关系式；
（2）若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社
各印多少张？
（3）活动结束后，市民反映良好，兴趣小组决定再加印800张宣传单，若在甲、乙印刷社中
选一家，兴趣小组应选择哪家印刷社比较划算？
25．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象l与坐标轴分别交于点E、F，与双曲线y＝﹣ （x
＜0）交于点P（﹣1，n），且F是PE的中点．
（1）求直线l的解析式；
（2）若直线x＝a与l交于点A，与双曲线交于点B（不同于A），问a为何值时，PA＝PB？
第5页（共28页）六、25题12分，26题13分，共25分
26．（12分）如图， O 与 O 外切于点D，直线l与两圆分别相切于点A、B，与直线
1 2
⊙ ⊙
O O 相交于点M，且tan∠AM0 ＝ ，MD＝4 ．
1 2 1
（1）求 O 的半径；
1
（2）求⊙△ADB内切圆的面积；
（3）在直线l上是否存在点P，使△MO P相似于△MDB？若存在，求出PO 的长；若不存
2 2
在，请说明理由．
27．（13分）如图，抛物线y＝x2﹣2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，﹣m）作
PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．
（1）若m＝2，求点A和点C的坐标；
（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；
（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，
求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共28页）第7页（共28页）2014年四川省乐山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣2的绝对值是2，
即|﹣2|＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0．
2．【分析】根据垂直，可得∠AOB的度数，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：∵射线OB与射线OA垂直，
∴∠AOB＝90°，
∴∠1＝90°﹣30°＝60°，
故射线OB的方向角是北偏西60°，
故选：B．
【点评】本题考查了方向角，方向角的表示方法是北偏东或北偏西，南偏东或南偏西．
3．【分析】用单价乘数量得出买2千克苹果和3千克香蕉的总价，再进一步相加即可．
【解答】解：买单价为a元的苹果2千克用去2a元，买单价为b元的香蕉3千克用去3b元，
共用去：（2a+3b）元．
故选：C．
【点评】此题主要考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关
系．
4．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看，应看到一个躺着的梯形，并且左边的底短，
第8页（共28页）故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，正视图是从物体的正面看得到的视图．
5．【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．
【解答】解：该组数据的平均数＝ （1×3+1.5×2+2×5）＝1.6（元）．
故选：C．
【点评】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求1，1.5，2这三个数的平
均数，对平均数的理解不正确．
6．【分析】根据不等式ax﹣2＞0的解集为x＜﹣2即可确定a的值，然后代入方程，解方程求
得．
【解答】解：ax﹣2＞0，移项，得：ax＞2，
∵解集为x＜﹣2，
则a＝﹣1，
则ay+2＝0即﹣y+2＝0，
解得：y＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的解法以及一元一次方程的解法，正确确定a的值是关键．
7．【分析】利用勾股定理求得相关线段的长度，然后由面积法求得BD的长度．
【解答】解：如图，由勾股定理得 AC＝ ＝ ．
∵ BC×2＝ AC•BD，即 ×2×2＝ × BD
∴BD＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积．利用面积法求得线段BD的长度是解题的关
键．
8．【分析】根据反比例函数所在的象限判定k的符号，然后根据k的符号判定一次函数图象所
第9页（共28页）经过的象限．
【解答】解：A、如图所示，反比例函数图象经过第一、三象限，则k＞0，所以一次函数图象
必定经过第一、三象限，与图示不符，故本选项错误；
B、如图所示，反比例函数图象经过第二、四象限，则k＜0．﹣k+2＞0，所以一次函数图象
经过第一、二、四象限，与图示不符，故本选项错误；
C、如图所示，反比例函数图象经过第二、四象限，则k＜0．﹣k+2＞0，所以一次函数图象
经过第一、二、四象限，与图示不符，故本选项错误；
D、如图所示，反比例函数图象经过第一、三象限，则k＞0，所以一次函数图象必定经过第
一、三象限，与图示一致，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性
质才能灵活解题．
9．【分析】作AD⊥BC于D，由于AB＝AC＝5，根据等腰三角形的性质得AD垂直平分BC，根
据垂径定理的推论得到点O在直线AD上，连结OB，在Rt△ABD中，根据正弦的定义计
算出AD＝4，根据勾股定理计算出BD＝3，再在Rt△OBD中，根据勾股定理计算出OD＝
1，然后分类讨论： 当点A与点O在BC的两侧，有OA＝AD+OD； 当点A与点O在
BC的同侧，有OA＝①AD﹣OD，即求得OA的长． ②
【解答】解：如图，作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝5，
∴AD垂直平分BC，
∴点O在直线AD上，
连结OB，
在Rt△ABD中，sinB＝ ＝ ，
∵AB＝5，
∴AD＝4，
∴BD＝ ＝3，
在Rt△OBD中，OB＝ ，BD＝3，
∴OD＝ ＝1，
当点A与点O在BC的两侧时，OA＝AD+OD＝4+1＝5；
第10页（共28页）当点A与点O在BC的同侧时，OA＝AD﹣OD＝4﹣1＝3，
故OA的长为3或5．
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的
垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．
10．【分析】设直线l 的解析式为y＝mx+n，根据P（﹣1，1）在直线l 上以及tan∠BAO＝1求
1 1
得A、B点坐标；设反比例函数为y＝ ，结合P（﹣1，1）在反比例函数图象上求得解析式
为y＝﹣ ，设M点横坐标为a，进而可得M点坐标（a，﹣ ）；再设直线l 的解析式为y＝
2
bx+c，根据条件“过点M的直线l 与双曲线只有一个公共点”，将M点坐标代入直线l
2 2
的解析式，求得用a表示的C、D两点坐标．由A、B、C、D四点坐标，可得AC、BD的长，因
为AC⊥BD，有S四边形ABCD ＝ AC•BD，据此得到一个关于a的式子，通过化简、配方即可
求得S四边形ABCD 的最小值．
【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝ ，
∵点P（﹣1，1）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴k＝xy＝﹣1．
∴反比例函数的解析式为y＝﹣ ．
设直线l 的解析式为y＝mx+n，
1
当x＝0时，y＝n，则点B的坐标为（0，n），OB＝n．
当y＝0时，x＝﹣ ，则点A的坐标为（﹣ ，0），OA＝ ．
第11页（共28页）∵tan∠BAO＝1，∠AOB＝90°，
∴OB＝OA．
∴n＝
∴m＝1．
∵点P（﹣1，1）在一次函数y＝mx+n的图象上，
∴﹣m+n＝1．
∴n＝2．
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，2）．
∵点M在第四象限，且在反比例函数y＝﹣ 的图象上，
∴可设点M的坐标为（a，﹣ ），其中a＞0．
设直线l 的解析式为y＝bx+c，
2
则ab+c＝﹣ ．
∴c＝﹣ ﹣ab．
∴y＝bx﹣ ﹣ab．
∵直线y＝bx﹣ ﹣ab与双曲线y＝﹣ 只有一个交点，
∴方程bx﹣ ﹣ab＝﹣ 即bx2﹣（ +ab）x+1＝0有两个相等的实根．
∴[﹣（ +ab）]2﹣4b＝（ +ab）2﹣4b＝（ ﹣ab）2＝0．
∴ ＝ab．
∴b＝ ，c＝﹣ ．
∴直线l 的解析式为y＝ x﹣ ．
2
∴当x＝0时，y＝﹣ ，则点D的坐标为（0，﹣ ）；
当y＝0时，x＝2a，则点C的坐标为（2a，0）．
第12页（共28页）∴AC＝2a﹣（﹣2）＝2a+2，BD＝2﹣（﹣ ）＝2+ ．
∵AC⊥BD，
∴S四边形ABCD ＝ AC•BD
＝ （2a+2）（2+ ）
＝4+2（a+ ）
＝4+2[（ ﹣ ）2+2]
＝8+2（ ﹣ ）2．
∵2（ ﹣ ）2≥0，
∴S四边形ABCD ≥8．
∴当且仅当 ﹣ ＝0即a＝1时，S四边形ABCD 取到最小值8．
故选：B．
【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、根的判别式、双曲
线与直线的交点等知识，考查了用配方法求代数式的最值，突出了对能力的考查，是一道
好题．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．【分析】分式有意义，则分母x﹣2≠0，由此易求x的取值范围．
【解答】解：当分母x﹣2≠0，即x≠2时，分式 有意义．
故答案为：x≠2．
第13页（共28页）【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义 分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
12．【分析】用总人⇔数乘以对应的百分比即可求解．
【解答】解：50×（1﹣16%﹣36%﹣28%）
＝50×20%
＝10（人）．
故优生人数为10，
故答案为：10．
【点评】本题考查的是扇形统计图的运用，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
13．【分析】首先提取公因式2a，进而将已知代入求出即可．
【解答】解：∵a＝2，a﹣2b＝3，
∴2a2﹣4ab＝2a（a﹣2b）＝2×2×3＝12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
14．【分析】根据线段垂直平分线得出BE＝CE，推出∠B＝∠BCE＝40°，求出∠ACB＝
2∠BCE＝80°，代入∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB求出即可．
【解答】解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴∠B＝∠BCE＝40°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠BCE＝80°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°，
故答案为：60．
【点评】本题考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，注
意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
15．【分析】先求出正方形的面积，再根据扇形的面积公式求出以A为圆心，2为半径作圆弧、
以D为圆心，3为半径作圆弧的两扇形面积，再求出其差即可．
【解答】解：∵S正方形 ＝3×3＝9，
第14页（共28页）S扇形ADC ＝ ＝ ，
S扇形EAF ＝ ＝ ，
π
∴S
1
﹣S
2
＝S扇形EAF ﹣（S正方形 ﹣S扇形ADC ）＝ ﹣（9﹣ ）＝ ﹣9．
π
故答案为： ﹣9．
【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关
键．
16．【分析】（1）根据题中所给出的两点的直角距离公式即可得出结论；
（2）先根据题意得出关于x的式子，再由绝对值的几何意义即可得出结论．
【解答】解：（1）∵P （2，﹣3），O为坐标原点，
0
∴d（O，P ）＝|0﹣2|+|0﹣（﹣3）|＝5．
0
故答案为：5；
（2）∵P（a，﹣3）到直线y＝x+1的直角距离为6，
∴设直线y＝x+1上一点Q（x，x+1），则d（P，Q）＝6，
∴|a﹣x|+|﹣3﹣x﹣1|＝6，即|a﹣x|+|x+4|＝6，
当a﹣x≥0，x≥﹣4时，原式＝a﹣x+x+4＝6，解得a＝2；
当a﹣x＜0，x＜﹣4时，原式＝x﹣a﹣x﹣4＝6，解得a＝﹣10．
故答案为：2或﹣10．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上给点的坐标一
定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
三、每小题9分，共27分
17．【分析】本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每
个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
第15页（共28页）【解答】解：原式＝2 +1﹣ ﹣2
＝ ﹣1．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目
的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对
值等考点的运算．
18．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得
到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2﹣3x+3＝x2﹣x，
移项合并得：2x＝3，
解得：x＝ ，
经检验x＝ 是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转
化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
19．【分析】根据四边形 ADEF 是菱形，得 DE＝EF，AB∥EF，DE∥AC 可证明
△DBE≌△FCE，即可得出BE＝CE．
【解答】证明：∵四边形ADEF是菱形，
∴DE＝EF，AB∥EF，DE∥AC，
∴∠C＝∠BED，∠B＝∠CEF，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠BED＝∠CEF，
在△DBE和△FCE中，
，
∴△DBE≌△FCE，
∴BE＝CE．
【点评】本题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定和性质，是基础题，比较简单．
四、每小题10分，共30分
20．【分析】（1） 摸一次，1号与5号球摸出概率相同，正确；
①
第16页（共28页）有放回的连续摸10次，不一定摸出2号球，错误；
②有放回的连续摸4次，若4次均摸出5号球：5+5+5+5＝20，则摸出四个球标号数字之
③和可能是20，正确；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两球标号数字是一奇一偶的情况数，即可求出所
求的概率．
【解答】解：（1） 摸一次，1号与5号球摸出概率相同，正确；
有放回的连续摸1①0次，不一定摸出2号球，错误；
②有放回的连续摸4次，若4次均摸出5号球：5+5+5+5＝20，则摸出四个球标号数字之
③和可能是20，正确；
故答案为： ；
①③
（2）列表如下：
1 2 3 4 5
1 ﹣﹣﹣ （1，2） （1，3） （1，4） （1，5）
2 （2，1） ﹣﹣﹣ （2，3） （2，4） （2，5）
3 （3，1） （3，2） ﹣﹣﹣ （3，4） （3，5）
4 （4，1） （4，2） （4，3） ﹣﹣﹣ （4，5）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有20种，其中数字是一奇一偶的情况有12种，
则P（一奇一偶）＝ ＝ ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数
之比．
21．【分析】过点A作AH⊥BC于H，利用锐角三角函数关系得出AH的长，进而得出EC的长．
【解答】解：过点A作AH⊥BC于H，
则AD＝HC＝1，
在△ABH中，∠B＝30°，AB＝2 ，
∴AH＝ ，
∴EC＝ ＝2．
第17页（共28页）【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系应用以及直角三角形中30°所对的边等于斜边
的一半等知识，得出AH的长是解题关键．
选做题
22．【分析】（1）首先解第一个不等式，然后根据不等式组无解即可得到关于a的不等式从而
求解；
（2）首先对括号内的式子进行通分相减，然后进行同分母的分式的加法计算即可，最后代
入a的值计算即可．
【解答】解：（1）解不等式2x﹣a≤0得：x≤ ，
∵不等式组 无解，
则 ＜2，
解得：a＜4，
又∵a为大于2的整数，
∴a＝3；
（2）原式＝ × ＝ × ＝a+1．
当a＝3时，原式＝3+1＝4．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可
以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
23．【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根
据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形CNB相似，
由相似得比例，得到DN：BN＝1：2，设OB＝OD＝x，表示出BN与DN，求出x的值，即可
确定出BD的长；
（2）由相似三角形相似比为1：2，得到CN＝2MN，BN＝2DN．已知△DCN的面积，则由线
段之比，得到△MND与△CNB的面积，从而得到S△ABD ＝S△BCD ＝S△BCN +S△CND ，最后由S
第18页（共28页）四边形ABNM
＝S△ABD ﹣S△MND 求解．
【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，
∴∠DMN＝∠BCN，∠MDN＝∠NBC，
∴△MND∽△CNB，
∴ ＝ ，
∵M为AD中点，
∴MD＝ AD＝ BC，即 ＝ ，
∴ ＝ ，即BN＝2DN，
设OB＝OD＝x，则有BD＝2x，BN＝OB+ON＝x+1，DN＝x﹣1，
∴x+1＝2（x﹣1），
解得：x＝3，
∴BD＝2x＝6；
（2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，
∴MN：CN＝DN：BN＝1：2，
∴S△MND ＝ S△CND ＝1，S△BNC ＝2S△CND ＝4．
∴S△ABD ＝S△BCD ＝S△BCN +S△CND ＝4+2＝6
∴S四边形ABNM ＝S△ABD ﹣S△MND ＝6﹣1＝5．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本
题的关键．
五、每小题10分，共20分
24．【分析】（1）设甲印刷社收费y（元）与印数x（张）的函数关系式为y＝kx+b，由待定系数法
求出其解即可；
（2）设在甲印刷社印刷a张，则在乙印刷社印刷（400﹣a）张，由总费用为65元建立方程
求出其解即可；
（3）分别计算在两家印刷社印刷的费用，比较大小就可以得出结论．
【解答】解：（1）设甲印刷社收费y（元）与印数x（张）的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得
第19页（共28页），
解得： ，
∴y＝0.15x．
∴甲印刷社收费y（元）与印数x（张）的函数关系式为y＝0.15x；
（2）设在甲印刷社印刷a张，则在乙印刷社印刷（400﹣a）张，由题意，得
0.15a+0.2（400﹣a）＝65，
解得：a＝300，
在乙印刷社印刷400﹣300＝100张．
答：在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张；
（3）由题意，得
在甲印刷社的费用为：y＝0.15×800＝120元．
在乙印刷社的费用为：500×0.2+0.1（800﹣500）＝130元．
∵120＜130，
∴印刷社甲的收费＜印刷社乙的收费．
∴兴趣小组应选择甲印刷社比较划算．
【点评】本题考查了单价×数量＝总价的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，列
一元一次方程解实际问题的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
25．【分析】（1）先由y＝﹣ ，求出点P的坐标，再根据F为PE中点，求出F的坐标，把P，F
的坐标代入求出直线l的解析式；
（2）过P作PD⊥AB，垂足为点D，由A点的纵坐标为﹣2a+2，B点的纵坐标为﹣ ，D点
的纵坐标为4，列出方程求解即可．
【解答】解：由P（﹣1，n）在y＝﹣ 上，得n＝4，
∴P（﹣1，4），
∵F为PE中点，
∴OF＝ n＝2，
第20页（共28页）∴F（0，2），
又∵P，F在y＝kx+b上，
∴ ，
解得 ．
∴直线l的解析式为：y＝﹣2x+2．
（2）如图，过P作PD⊥AB，垂足为点D，
∵PA＝PB，
∴点D为AB的中点，
又由题意知A点的纵坐标为﹣2a+2，B点的纵坐标为﹣ ，D点的纵坐标为4，
∴得方程﹣2a+2﹣ ＝4×2，
解得a ＝﹣2，a ＝﹣1（舍去）．
1 2
∴当a＝﹣2时，PA＝PB．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的重点是求出直线l的解析
式．
六、25题12分，26题13分，共25分
26．【分析】（1）设 O 的半径为r．连结O A，由切线性质可知O A⊥MA．由题意得∠AM0
1 1 1 1
＝30°，因此△MA⊙O 是一个含30度角的直角三角形，所以MO ＝2O A＝2r，从而MD＝3r
1 1 1
＝4 ，由此求出 O 的半径；
1
（2）利用互余由∠⊙AM0
2
＝30°得到∠MO
2
B＝60°，则可判断△O
2
BD为等边三角形，所以
BD＝O B＝4 ，∠DBO ＝60°，于是可计算出∠ABD＝30°，同样可得∠MO A＝60°，利用
2 2 1
第21页（共28页）三角形外角性质可计算得∠O AD＝ ∠MO A＝30°，则∠DAB＝60°，所以∠ADB＝90°，
1 1
在Rt△ABD中，根据含30度的直角三角形三边的关系得AD＝ BD＝4，AB＝2AD＝8，
利用直角三角形内切圆的半径公式得到△ADB内切圆的半径＝ ＝2 ﹣2，然
后根据圆的面积公式求解；
（3）先在Rt△MBO 中，根据含30度的直角三角形三边的关系得MB＝ O B＝12，然后
2 2
分类讨论：△MO P与△MDB有一个公共角，当△MO P∽△MDB时，利用相似比可计算
2 2
出O P＝8 ；当△MO P∽△MBD时，利用相似比可计算出O P＝8．
2 2 2
【解答】解：（1）设 O 的半径为r．
1
连结O 1 A，如图， ⊙
∵MA为切线，
∴O A⊥MA．
1
∵tan∠AM0 ＝ ，
1
∴∠AM0 ＝30°，
1
∴MO ＝2O A＝2r．
1 1
∴MD＝MO +O D＝3r＝4 ，
1 1
∴ O 的半径r＝ ．
1
⊙
（2）连结O B，如图，
2
∵∠AM0 ＝30°，
2
∴∠MO B＝60°，
2
而O B＝O D，
2 2
∴△O BD为等边三角形，
2
∴BD＝O B＝4 ，∠DBO ＝60°，
2 2
∴∠ABD＝30°，
∵∠AM0 ＝30°，
1
∴∠MO A＝60°，
1
第22页（共28页）而O A＝O D，
1 1
∴∠O AD＝∠O DA，
1 1
∴∠O AD＝ ∠MO A＝30°，
1 1
∴∠DAB＝60°，
∴∠ADB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
在Rt△ABD中，AD＝ BD＝4，AB＝2AD＝8，
∴△ADB内切圆的半径＝ ＝ ＝2 ﹣2，
∴△ADB内切圆的面积＝ •（2 ﹣2）2＝（16﹣8 ） ；
π π
（3）存在．
在Rt△MBO 中，MB＝ O B＝ ×4 ＝12，
2 2
当△MO P∽△MDB时， ＝ ，即 ＝ ，解得O P＝8 ；
2 2
当△MO P∽△MBD时， ＝ ，即 ＝ ，解得O P＝8，
2 2
综上所述，满足条件的O P的长为8或8 ．
2
第23页（共28页）【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质、两圆相切的性质和直角三角形内
切圆的半径；会利用含30度的直角三角形三边的关系和三角形相似比进行几何计算；会
运用分类讨论的思想解决数学问题．
27．【分析】方法一：
（1）令y＝0即可求得A点坐标，令x＝1求得B点，根据对称轴的性质即可求得C点的坐
标．
（2）分别求出PA、PC、AC的平方，根据勾股定理的逆定理即可求得m的值，
（3）先求出PC的斜率，根据互为垂直的两直线的斜率互为负倒数求出直线PE的斜率，然
后求出解析式，分别求出与x轴的交点和与y轴的交点，从而求出PE的长，然后判断PE2
是否等于PC2即可．
方法二：
（1）先求出B点坐标，利用对称性，求出C点坐标．
（2）分别求出A，C，P三点参数坐标，并分别讨论三种垂直的位置关系，利用斜率垂直公
式求解，考虑到m＞1，求出符合条件m的值．
（3）利用直线PC的斜率求出直线PE的斜率，并求出直线PE的参数方程，讨论点E在x
轴与y轴的情况，并分别求出点E的参数坐标，根据PC＝PE，利用两点间距离公式求解．
此题也可用开锁法进行求解．
【解答】方法一：
解：（1）若m＝2，抛物线y＝x2﹣2mx＝x2﹣4x，
∴对称轴x＝2，
令y＝0，则x2﹣4x＝0，
解得x＝0，x＝4，
∴A（4，0），
∵P（1，﹣2），令x＝1，则y＝﹣3，
∴B（1，﹣3），
∴C（3，﹣3）．
（2）∵抛物线y＝x2﹣2mx（m＞1），
∴A（2m，0）对称轴x＝m，
∵P（1，﹣m）
把x＝1代入抛物线y＝x2﹣2mx，则y＝1﹣2m，
第24页（共28页）∴B（1，1﹣2m），
∴C（2m﹣1，1﹣2m），
∵PA2＝（﹣m）2+（2m﹣1）2＝5m2﹣4m+1，
PC2＝（2m﹣2）2+（1﹣m）2＝5m2﹣10m+5，
AC2＝1+（1﹣2m）2＝2﹣4m+4m2，
∵△ACP为直角三角形，
∴当∠ACP＝90°时，PA2＝PC2+AC2，
即5m2﹣4m+1＝5m2﹣10m+5+2﹣4m+4m2，整理得：4m2﹣10m+6＝0，
解得：m＝ ，m＝1（舍去），
当∠APC＝90°时，PA2+PC2＝AC2，
即5m2﹣4m+1+5m2﹣10m+5＝2﹣4m+4m2，整理得：6m2﹣10m+4＝0，
解得：m＝ ，m＝1， 和1都不符合m＞1，
故m＝ ．
（3）设点F（x，y）是直线PE上任意一点，过点F作FN⊥PM于N，
∵∠FPN＝∠PCB，∠PNF＝∠CBP＝90°，
∴Rt△FNP∽Rt△PBC，
∴NP：NF＝BC：BP，即 ＝ ，
∴y＝2x﹣2﹣m，
∴直线PE的解析式为y＝2x﹣2﹣m．
令y＝0，则x＝1+ ，
∴E（1+ m，0），
∴PE2＝（﹣m）2+（ m）2＝ ，
∴ ＝5m2﹣10m+5，解得：m＝2，m＝ ，
∴E（2，0）或E（ ，0），
第25页（共28页）∴在x轴上存在E点，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，此时E（2，0）或
E（ ，0）；
令x＝0，则y＝﹣2﹣m，
∴E（0，﹣2﹣m）
∴PE2＝（﹣2）2+12＝5
∴5m2﹣10m+5＝5，解得m＝2，m＝0（舍去），
∴E（0，﹣4）
∴y轴上存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，此时E（0，﹣4），
∴在坐标轴上是存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，E点的坐标
为（2，0）或（ ，0）或（0，﹣4）；
方法二：
（1）略．
（2）∵P（1，﹣m），
∴B（1，1﹣2m），
∵对称轴x＝m，
∴C（2m﹣1，1﹣2m），A（2m，0），
∵△ACP为直角三角形，
∴AC⊥AP，AC⊥CP，AP⊥CP，
AC⊥AP，∴K ×K ＝﹣1，且m＞1，
AC AP
①
∴ ，m＝﹣1（舍）
AC⊥CP，∴K ×K ＝﹣1，且m＞1，
AC CP
②
∴ ＝﹣1，∴m＝ ，
AP⊥CP，∴K ×K ＝﹣1，且m＞1，
AP CP
③
∴ ＝﹣1，∴m＝ （舍）
（3）∵P（1，﹣m），C（2m﹣1，1﹣2m），
第26页（共28页）∴K ＝ ，
CP
△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴PE⊥PC，∴K ×K ＝﹣1，∴K ＝2，
PE CP PE
∵P（1，﹣m），
∴l ：y＝2x﹣2﹣m，
PE
∵点E在坐标轴上，
∴ 当点E在x轴上时，
①
E（ ，0）且PE＝PC，
∴（1﹣ ）2+（﹣m）2＝（2m﹣1﹣1）2+（1﹣2m+m）2，
∴ m2＝5（m﹣1）2，
∴m ＝2，m ＝ ，
1 2
∴E （2，0），E （ ，0），
1 2
当点E在y轴上时，E（0，﹣2﹣m）且PE＝PC，
②∴（1﹣0）2+（﹣m+2+m）2＝（2m﹣1﹣1）2+（1﹣2m+m）2，
∴1＝（m﹣1）2，
∴m ＝2，m ＝0（舍），
1 2
∴E（0，﹣4），
综上所述，（2，0）或（ ，0）或（0，﹣4）．
【点评】本题考查了二次函数的交点的求法，以及直角三角形的判定，等腰直角三角形的
判定，勾股定理的应用等．
第27页（共28页）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/2/21 11:40:33；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
第28页（共28页）
