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2020年四川省眉山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，只有
一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑．
1．（4分）﹣5的绝对值是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．﹣
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．（x+y）2＝x2+y2 B．2x2y+3xy2＝5x3y3
C．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3 D．（﹣x）5÷x2＝x3
3．（4分）据世界卫生组织2020年6月26日通报，全球新冠肺炎确诊人数达到941万人，将
数据941万人，用科学记数法表示为（ ）
A．9.41×102 人 B．9.41×105人
C．9.41×106人 D．0.941×107人
4．（4分）如图所示的几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
6．（4分）不等式组 的整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（4分）某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面考
核打分，各项满分均为100，所占比例如下表：
项目 学习 卫生 纪律 活动参与
第1页（共23页）所占比例 40% 25% 25% 10%
八年级2班这四项得分依次为80，90，84，70，则该班四项综合得分（满分100）为（ ）
A．81.5 B．82.5 C．84 D．86
8．（4分）如图，四边形ABCD的外接圆为 O，BC＝CD，∠DAC＝35°，∠ACD＝45°，则
∠ADB的度数为（ ） ⊙
A．55° B．60° C．65° D．70°
9．（4分）一副三角板如图所示摆放，则∠ 与∠ 的数量关系为（ ）
α β
A．∠ +∠ ＝180° B．∠ +∠ ＝225° C．∠ +∠ ＝270° D．∠ ＝∠
α β α β α β α β
10．（4分）已知a2+ b2＝2a﹣b﹣2，则3a﹣ b的值为（ ）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
11．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x＞3
时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣2 B．a＜3 C．﹣2≤a＜3 D．﹣2≤a≤3
12．（4分）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形
AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：
∠EAB＝∠GAD；
①△AFC∽△AGD；
②2AE2＝AH•AC；
③DG⊥AC．
④其中正确的个数为（ ）
第2页（共23页）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填在答题卡相应的
位置上．
13．（4分）分解因式：a3﹣4a2+4a＝ ．
14．（4分）设x ，x 是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则 + 的值为 ．
1 2
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至
△AB C 的位置，点B 恰好落在边BC的中点处，则CC 的长为 ．
1 1 1 1
16．（4分）关于x的分式方程 +2＝ 的解为正实数，则k的取值范围是 ．
17．（4分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点
E．若△ABD的周长为26，则DE的长为 ．
18．（4分）如图，点P为 O外一点，过点P作 O的切线PA、PB，点A、B为切点，连接AO
并延长交PB的延长线⊙于点C，过点C作CD⊙⊥PO，交PO的延长线于点D．已知PA＝6，
AC＝8，则CD的长为 ．
第3页（共23页）三、解答题：本大题共8个小题，共78分．请把解答过程写在答题卡相应的位置上．
19．（8分）计算：（2﹣ ）0+（﹣ ）﹣2+2sin45°﹣ ．
20．（8分）先化简，再求值：（2﹣ ）÷ ，其中a＝ ﹣3．
21．（10分）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔
AB，如图所示．在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E
处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．
22．（10分）中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我
国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古
典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样
调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图．
第4页（共23页）请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是 部，中位数是 部；
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画
树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
23．（10分）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝ 的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）点P在x轴上，当△PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
24．（10分）“绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和
杉树．经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元．
（1）求柏树和杉树的单价各是多少元；
（2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共80棵，且柏树的棵数不少于杉树的2倍，要使此
次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？
25．（10分）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点B、C、E三点在同一直线上，连接BD，
AD，BD交AC于点F．
（1）若AD2＝DF•DB，求证：AD＝BF；
（2）若∠BAD＝90°，BE＝6．
求tan∠DBE的值； 求DF的长．
① ②
第5页（共23页）26．（12分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐
标为（3，0），点C坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，
使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，
请说明理由．
第6页（共23页）2020年四川省眉山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，只有
一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑．
1．【分析】根据绝对值的性质求解．
【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|＝5．
故选：A．
【点评】此题主要考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对
值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：原式＝x2+2xy+y2，不符合题意；
B、原式不能合并，不符合题意；
C、原式＝﹣8a6b3，符合题意；
D、原式＝﹣x5÷x2＝﹣x3，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的除
法，熟练掌握完全平方公式及运算法则是解本题的关键．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，10的指数n比原来的整
数位数少1．
【解答】解：941万＝941 0000＝9.41×106，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】利用主视图的定义，即从几何体的正面观察得出视图即可．
【解答】解：从几何体的正面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线．
故选：D．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．
5．【分析】根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定依次判断可求解．
【解答】解：A、两组对边平行或两组对边相等或一组对边平行且相等的四边形是平行四边
第7页（共23页）形，故选项A不合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项B符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C不合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项D不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，掌握这
些判定定理是本题的关键．
6．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解
集，找出整数解即可．
【解答】解：解不等式x+1≥2x﹣1，得：x≤2，
解不等式4x+5＞2（x+1），得：x＞﹣1.5，
则不等式组的解集为﹣1.5＜x≤2，
所以不等式组的整数解为﹣1，0，1，2，一共4个．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，求不等式组
的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
7．【分析】根据题意和加权平均数的计算方法，可以计算出八年级2班四项综合得分（满分
100），本题得以解决．
【解答】解：80×40%+90×25%+84×25%+70×10%＝82.5（分），
即八年级2班四项综合得分（满分100）为82.5分，
故选：B．
【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
8．【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到 ＝ ，再利用圆周角定理得到∠BAC＝∠DAC＝
35°，∠ABD＝∠ACD＝45°，然后根据三角形内角和计算∠ADB的度数．
【解答】解：∵BC＝CD，
∴ ＝ ，
∴∠BAC＝∠DAC＝35°，
∵∠ABD＝∠ACD＝45°，
∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝180°﹣70°﹣45°＝65°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
第8页（共23页）所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那
么它们所对应的其余各组量都分别相等．
9．【分析】根据四边形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：如图，∵∠1＝ ，∠2＝ ，
在四边形ABCD中， α β
∵∠A+∠1+∠C+∠2＝360°，
∴ + ＝360°﹣90°﹣45°＝225°．
故α选：β B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
10．【分析】先将原方程化成非负数和为0的形式，再根据非负数的性质求得a、b，进而代入
代数式求得结果．
【解答】解：∵a2+ b2＝2a﹣b﹣2，
∴a2﹣2a+1+ b2+b+1＝0，
∴ ，
∴a﹣1＝0， b+1＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，
∴3a﹣ b＝3+1＝4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了非负数和为0的性质，因式分解，关键是进行因式分解，把原方程
化为非负数和等于0的形式．
11．【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，解得a≥﹣2；再求出抛物线的对称轴，
结合抛物线开口向上，且当x＞3时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出答案．
第9页（共23页）【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，
∴△＝（﹣2a）2﹣4×1×（a2﹣2a﹣4）≥0
解得：a≥﹣2；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝a，抛物线开口向上，且当x＞3时，y随x的增大而
减小，
∴a≤3，
∴实数a的取值范围是﹣2≤a≤3．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点和二次函数的图象与性质，明确抛物线与x轴的
交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．
12．【分析】由正方形的性质可得∠EAG＝∠BAD＝90°，∠FAG＝∠AFG＝∠DAC＝∠ACB＝
45°，AF＝ AG，AC＝ AD，可得∠EAB＝∠DAG，可判断 ；由 ＝ ，∠FAC
①
＝∠DAG，可证△FAC∽△DAG，可判断 ；通过证明△AFH∽△ACF，可得 ，可
②
判断 ；由相似三角形的性质可得∠ADG＝∠ACB＝45°，可得∠AND＝90°，可判断 ；
即可③求解． ④
【解答】解：∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，
∴∠EAG＝∠BAD＝90°，∠FAG＝∠AFG＝∠DAC＝∠ACB＝45°，AF＝ AG，AC＝
AD，
∴∠EAG﹣∠BAC＝∠BAD﹣∠BAG，
∴∠EAB＝∠DAG，故 正确；
∵AF＝ AG，AC＝ ①AD，
∴ ＝ ，
∵∠FAG＝∠CAD＝45°，
∴∠FAC＝∠DAG，
∴△FAC∽△DAG，故 正确，
∴∠ADG＝∠ACB＝45②°，
延长DG交AC于N，
第10页（共23页）∵∠CAD＝45°，∠ADG＝45°，
∴∠AND＝90°，
∴DG⊥AC，故 正确，
∵∠FAC＝∠FA④H，∠AFG＝∠ACF＝45°，
∴△AFH∽△ACF，
∴ ，
∴AF2＝AH•AC，
∴2AE2＝AH•AC，故 正确，
故选：D． ③
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练运用相似三角形的判
定是本题的关键．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填在答题卡相应的
位置上．
13．【分析】观察原式a3﹣4a2+4a，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣4a+4是完全平方式，
利用完全平方公式继续分解可得．
【解答】解：a3﹣4a2+4a，
＝a（a2﹣4a+4），
＝a（a﹣2）2．
故答案为：a（a﹣2）2．
【点评】本题考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因
式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法（完全平方公式）．要求灵活运
用各种方法进行因式分解．
14．【分析】先根据根与系数的关系得到x +x ＝﹣ ，x x ＝﹣2，再把 + 通分得到
1 2 1 2
第11页（共23页），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x +x ＝﹣ ，x x ＝﹣2，
1 2 1 2
所以 + ＝ ＝ ＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根
1 2
时，x +x ＝﹣ ，x x ＝ ．
1 2 1 2
15．【分析】由旋转的性质得出△ABB 是等边三角形，求出CA的长，则可得出答案．
1
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到
△AB C 的位置，点B 恰好落在边BC的中点处，
1 1 1
∴AB ＝ BC，BB ＝B C，AB＝AB ，
1 1 1 1
∴BB ＝AB＝AB ，
1 1
∴△ABB 是等边三角形，
1
∴∠BAB ＝∠B＝60°，
1
∴∠CAC ＝60°，
1
∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至△AB C 的位置，
1 1
∴CA＝C A，
1
∴△AC C是等边三角形，
1
∴CC ＝CA，
1
∵AB＝2，
∴CA＝2 ，
∴CC ＝2 ．
1
故答案为：2 ．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知
识，得出△ABB 是等边三角形是解题关键．
1
16．【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
第12页（共23页）【解答】解：方程 +2＝ 两边同乘（x﹣2），得
1+2（x﹣2）＝k﹣1，
解得，x＝ ，
∵ ≠2，
∴k≠2，
由题意得， ＞0，
解得，k＞﹣2，
∴k的取值范围是k＞﹣2且k≠2．
故答案为：k＞﹣2且k≠2．
【点评】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步
骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．
17．【分析】根据题意求得BC＝16，作AM⊥BC于M，根据等腰三角形的性质得到BM＝8，根
据勾股定理求得AM，根据线段垂直平分线的性质得出△ADC是等腰三角形，易证得
△ABC∽△DAC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可求得DE．
【解答】解：∵边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，
∴∠AED＝90°，AE＝CE＝ AC＝ ＝5，AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C，
∵△ABD的周长为26，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝26，
∵AB＝AC＝10，
∴BC＝16，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DAC，
∴△ABC∽△DAC，
∴ ＝ ，
作AM⊥BC于M，
∵AB＝AC，
第13页（共23页）∴BM＝ BC＝8，
∴AM＝ ＝ ＝6，
∴ ＝ ，
∴DE＝ ，
故答案为 ．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性
质，根据三角形周长求得BC的长是解题的关键．
18．【分析】连接OB，如图，利用切线长定理得到PB＝PA＝6，利用切线的性质得到OB⊥PC，
OA⊥PA，再利用勾股定理计算出PC＝10，则BC＝4，设 O的半径为r，则OA＝OB＝r，
OC＝8﹣r，在Rt△BCO中利用勾股定理可求出r＝3，所⊙以OA＝3，OC＝5，然后证明
△COD∽△POA，再利用相似比求出CD．
【解答】解：连接OB，如图，
∵PA、PB为 O的切线，
∴PB＝PA＝6⊙，OB⊥PC，OA⊥PA，
∴∠CAP＝∠CBO＝90°，
在Rt△APC中，PC＝ ＝10，
∴BC＝PC﹣PB＝4，
设 O的半径为r，则OA＝OB＝r，OC＝8﹣r，
在⊙Rt△BCO中，42+r2＝（8﹣r）2，解得r＝3，
∴OA＝3，OC＝5，
在Rt△OPA中，OP＝ ＝3 ，
∵CD⊥PO，
∴∠CDO＝90°，
第14页（共23页）∵∠COD＝∠POA，∠CDO＝∠PAO，
∴△COD∽△POA，
∴CD：PA＝OC：OP，即CD：6＝5：3 ，
∴CD＝2 ．
故答案为2 ．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连
过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了相似三角形的判定与性质．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分．请把解答过程写在答题卡相应的位置上．
19．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质
计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1+4+2× ﹣2
＝5+ ﹣2
＝5﹣ ．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的
关键．
20．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子
即可解答本题．
【解答】解：（2﹣ ）÷
＝
＝
＝
＝ ，
第15页（共23页）当a＝ ﹣3时，原式＝ ＝ ．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21．【分析】设BC为x米，则AC＝（20+x）米，通过解直角△DBC和直角△ACE列出关于x的
方程，利用方程求得结果．
【解答】解：设BC为x米，则AC＝（20+x）米，
由条件知：∠DBC＝∠AEC＝60°，DE＝80米．
在直角△DBC中，tan60°＝ ＝ ，则DC＝ x米．
∴CE＝（ x﹣80）米．
在直角△ACE中，tan60°＝ ＝ ＝ ．
解得x＝10+40 ．
答：小山BC的高度为（10+40 ）米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记
锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．【分析】（1）根据读3部的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可得
到众数和中位数；
（2）根据统计图中的数据，可以得到扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角的度数；
（3）根据（1）中读2部的人数，可以将条形统计图补充完整；
（4）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到相应的概率．
【解答】解：（1）本次调查的人数为：10÷25%＝40，
读2部的学生有：40﹣2﹣14﹣10﹣8＝6（人），
故本次调查所得数据的众数是1部，中位数是（2+2）÷2＝2（部），
故答案为：1，2；
第16页（共23页）（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：360°× ＝72°，
故答案为：72；
（3）由（1）知，读2部的学生有6人，
补全的条形统计图如右图所示；
（4）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别用字母A、B、C、D表示，
树状图如下图所示：
一共有16种可能性，其中他们恰好选中同一名著的的可能性有4种，
故他们恰好选中同一名著的概率是 ，
即他们恰好选中同一名著的概率是 ．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、中位数和众数，解答本题
的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）如图设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），根据S△AOB ＝S△OCA +S△OCB 求解即可．
（3）分三种情形： AO＝AP， OA＝OP， PA＝PO分别求解即可．
① ② ③
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝ 经过点A（﹣3，2），
第17页（共23页）∴m＝﹣6，
∵点B（1，n）在反比例函数图象上，
∴n＝﹣6．
∴B（1，﹣6），
把A，B的坐标代入y＝kx+b，
则有 ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y＝﹣ ．
（2）如图设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），
∴S△AOB ＝S△OCA +S△OCB ＝ ×4×3+ ×4×1＝8．
（3）由题意OA＝ ＝ ，
当AO＝AP时，可得P （﹣6，0），
1
当OA＝OP时，可得P （﹣ ，0），P （ ，0），
2 4
当PA＝PO时，过点A作AJ⊥x轴于J．设OP ＝P A＝x，
3 3
在Rt△AJP 中，则有x2＝22+（3﹣x）2，
3
解得x＝﹣ ，
∴P （﹣ ，0），
3
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣6，0）或（﹣ ，0）或（ ，0）或（﹣ ，0）．
第18页（共23页）【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，等腰三
角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考
题型．
24．【分析】（1）设柏树的单价为x元/棵，杉树的单价是y元/棵，根据“购买2棵柏树和3棵
杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元”列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设购买柏树a棵，则杉树为（80﹣a）棵，购树总费用为w元，根据题意求出w与a的函
数关系式，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式组，求出a的取值范围，再根
据a是正整数确定出购买方案．
【解答】解：（1）设柏树的单价为x元/棵，杉树的单价是y元/棵，
根据题意得： ，
解得 ，
答：柏树的单价为200元/棵，杉树的单价是150元/棵；
（2）设购买柏树a棵，则杉树为（80﹣a）棵，购树总费用为w元，
根据题意：a≥2（80﹣a），解得 ，
w＝200a+150（80﹣a）＝50a+1200，
∵50＞0，
∴w随a的增大而增大，
又∵a为整数，
∴当a＝54时，w最小 ＝14700，
此时，80﹣a＝26，
即购买柏树54棵，杉树26棵时，总费用最小为14700元．
第19页（共23页）【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解
决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
25．【分析】（1）证明△ADF∽△BDA，推出∠ABD＝∠FAD，再证明△ADC≌△BAF（ASA）可
得结论．
（2） 首先证明CD＝ AC，推出EC＝ BC，求出BG，DG即可解决问题．
①
利用勾股定理求出BD，证明△CDF∽△ABF，可得 ＝ ＝ ，推出 ＝ ，即可解
②
决问题．
【解答】（1）证明：∵AD2＝DF•DB，
∴ ＝ ，
∵∠ADF＝∠BDA，
∴△ADF∽△BDA，
∴∠ABD＝∠FAD，
∵△ABC，△DCE都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠BAF，
∴△ADC≌△BAF（ASA），
∴AD＝BF．
（2） 解：过点D作DG⊥BE于G．
∵∠B①AD＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠ADC＝90°，
∴DC＝ AC，
∴CE＝ BC，
∵BE＝6，
∴CE＝2，BC＝4，
第20页（共23页）∴CG＝EG＝1，BG＝5，DG＝ ，
∴tan∠DBE＝ ＝ ．
在Rt△BDG中，∵∠BGD＝90°，DG＝ ，BG＝5，
②
∴BD＝ ＝ ＝2 ，
∵∠ABC＝∠DCE＝60°，
∴CD∥AB，
∴△CDF∽△ABF，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DF＝
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相
似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等
三角形解决问题，属于中考压轴题．
26．【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G，先求出BC的解析式，设点P（m，﹣
m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），由三角形面积公式可得S△PBC ＝ ×PG×OB＝ ×3×（﹣
m2+3m）＝﹣ （m﹣ ）2+ ，由二次函数的性质可求解；
（3）设直线MC与x轴交于点E，过点N作NQ⊥MC于Q，先求出点A，点M坐标，可求
MC解析式，可得DE＝4＝MD，由等腰直角三角形的性质可得MQ＝NQ＝ MN，由两
第21页（共23页）点距离公式可列（ |4﹣n|）2＝4+n2，即可求解．
【解答】解：（1）∵点B（3，0），点C（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c图象上，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵点B（3，0），点C（0，3），
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3，
如图，过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G，
设点P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），
∴PG＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵S△PBC ＝ ×PG×OB＝ ×3×（﹣m2+3m）＝﹣ （m﹣ ）2+ ，
∴当m＝ 时，S△PBC 有最大值，
∴点P（ ， ）；
（3）存在N满足条件，
理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，
∴点A（﹣1，0），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M为（1，4），
∵点M为（1，4），点C（0，3），
∴直线MC的解析式为：y＝﹣x+3，
第22页（共23页）如图，设直线MC与x轴交于点E，过点N作NQ⊥MC于Q，
∴点E（﹣3，0），
∴DE＝4＝MD，
∴∠NMQ＝45°，
∵NQ⊥MC，
∴∠NMQ＝∠MNQ＝45°，
∴MQ＝NQ，
∴MQ＝NQ＝ MN，
设点N（1，n），
∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，
∴NQ＝AN，
∴NQ2＝AN2，
∴（ MN）2＝AN2，
∴（ |4﹣n|）2＝4+n2，
∴n2+8n﹣8＝0，
∴n＝﹣4±2 ，
∴存在点N满足要求，点N坐标为（1，﹣4+2 ）或（1，﹣4﹣2 ）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，一次函数
的性质，两点距离公式，等腰直角三角形的性质等知识，利用参数列方程是本题的关键．
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