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2022 年四川省眉山市中考数学真题
一、选择题
1. 实数 ，0， ，2中，为负数的是（ ）
A. B. 0 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据负数的定义，找出这四个数中的负数即可．
【详解】解：∵ ＜0
∴负数是
故选A．
【点睛】此题主要考查实数的分类，区分正负，解题的关键是熟知实数的性质：负数小于
零．
2. 截至2021年12月31日，全国共有共青团组织约367.7万个．将367.7万用科学记数法
表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：367.7万=3677000= ；
故选：C
【点睛】此题考查了科学记数法．解题的关键是掌握科学记数法的表示方法．科学记数法
的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及
n的值．
3. 下列英文字母为轴对称图形的是（ ）
A. W B. L C. S D. Q
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【详解】A、W是轴对称图形，符合题意；
B、L不是轴对称图形，不合题意；
C、S不是轴对称图形，不合题意；
D、Q不是轴对称图形，不合题意．
学科网（北京）股份有限公司故选：A．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分
折叠后可重合．
4. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则
分析选项即可知道答案．
【详解】解：A. ，根据同底数幂的乘法法则可知： ，故选项计算
错误，不符合题意；
B. ， 和 不是同类项，不能合并，故选项计算错误，不符合题意；
C. ，根据完全平方公式可得： ，故选项计算错误，
不符合题意；
D. ，根据单项式乘多项式的法则可知选项计算正确，符合
题意；
故选：D
【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的
法则，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多
项式的法则．
5. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：A、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
B、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；
C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；
D、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在
三视图中．
6. 中考体育测试，某组10名男生引体向上个数分别为：6，8，8，7，7，8，9，7，8，
9．则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 7.5，7 B. 7.5，8 C. 8，7 D. 8，8
【答案】D
【解析】
【分析】分别计算该组数据的众数、中位数后找到正确答案即可．
【详解】解：根据题意，
这组数据按从小到大排列为：6，7，7，7，8，8，8，8，9，9；
∴中位数为：8；众数为8；
故选：D
【点睛】本题考查了中位数及众数，在解决此类题目的时候一定要细心，特别是求中位数
的时候，首先排序，然后确定数据总个数．
7. 在 中， ， ， ，点 ， ， 分别为边 ， ，
的中点，则 的周长为（ ）
A. 9 B. 12 C. 14 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出 ABC的周
长=2 DEF的周长．
△
【详解】∵D，E，F分别为各边的中点，
△
∴DE、EF、DF是 ABC的中位线，
△
∴DE= BC=3，EF= AB=2，DF= AC=4，
∴ DEF的周长=3+2+4=9．
故选：A．
△
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了三角形中位线定理．解题 关的键是根据中位线定理得出边之间的数量
关系．
8. 化简 的结果是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
故选：B
【点睛】本题考查分式的混合运算法则，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
9. 我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，
直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、
3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛 两银子，1只羊 两银子，
则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子”，得到两个等
量关系，即可列出方程组．
【详解】解：设1头牛 两银子，1只羊 两银子，
由题意可得： ，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象初二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出
相应的方程组．
学科网（北京）股份有限公司10. 如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿 ， 分别相切于点 ，
，不倒翁的鼻尖正好是圆心 ，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连OB，由AO=OB得，∠OAB=∠OBA=28°，∠AOB=180°-2∠OAB=124°；因为
PA、PB分别相切于点A、B，则∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和即可求出∠APB．
【详解】连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=28°，
∴∠AOB=124°，
∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴OA⊥PA，OP⊥AB，
∴∠OAP+∠OBP=180°，
∴∠APB+∠AOB=180°；
∴∠APB=56°．
故选：C
【点睛】本题考查切线的性质，三角形和四边形的内角和定理，切线长定理，等腰三角形
的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题．
学科网（北京）股份有限公司11. 一次函数 的值随 的增大而增大，则点 所在象限为（
）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象
限
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数的性质求出m的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断P点所处
的象限即可．
【详解】∵一次函数 的值随 的增大而增大，
∴
解得：
∴ 在第二象限
故选：B
【点睛】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此
题的关键．
12. 如图，四边形 为正方形，将 绕点 逆时针旋转 至 ，点 ，
， 在同一直线上， 与 交于点 ，延长 与 的延长线交于点 ，
， ．以下结论：
① ；② ；③ ；④ ．其中正确
结论的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性质
学科网（北京）股份有限公司可知②正确；证明 ，得到 ，即 ，利用
是等腰直角三角形，求出 ，再证明 即可求出
可知③正确；过点E作 交FD于点M，求出 ，
再证明 ，即可知④正确．
【详解】解：∵ 旋转得到 ，
∴ ，
∵ 为正方形， ， ， 在同一直线上，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ 旋转得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
设正方形边长 为a，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，即 ，解得： ，
∵ ，
∴ ，故③正确；
过点E作 交FD于点M，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故④正确
综上所述：正确结论有4个，
故选：D
【点睛】本题考查正方形性质，旋转的性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形，
解题的关键是熟练掌握以上知识点，结合图形求解．
二、填空题
13. 分解因式： ________．
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式即可得出答案．
学科网（北京）股份有限公司【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查提公因式法分解因式，解题的关键是找准公因式．
14. 如图，已知 ， ，则 的度数为________．
【答案】 ##110度
【解析】
【分析】根据题意，由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可知 ，再借助
与 为对顶角即可确定 的度数．
【详解】解：如下图，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 与 为对顶角，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了对顶角的性质和平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是
解题的关键．
15. 一个多边形外角和是内角和的 ，则这个多边形的边数为________．
【答案】11
【解析】
【分析】多边形的内角和定理为 ，多边形的外角和为360°，根据题意列出
方程求出n的值．
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：根据题意可得： ，
解得： ，
故答案为：11．
【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．记忆理
解并应用这两个公式是解题的关键．
16. 设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为________．
【答案】10
【解析】
【分析】由根与系数的关系，得到 ， ，然后根据完全平方公式变形
求值，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ；
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键
是掌握得到 ， ．
17. 将一组数 ，2， ， ，…， ，按下列方式进行排列：
，2， ， ；
， ， ，4；
…
若2的位置记为 ， 的位置记为 ，则 的位置记为________．
【答案】
【解析】
【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得 的位置即可．
【详解】数字可以化成：
， ， ， ；
， ， ， ；
∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵ ，28是第14个偶数，而
学科网（北京）股份有限公司∴ 的位置记为
故答案为：
【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统
一是关键．
18. 如图，点 为矩形 的对角线 上一动点，点 为 的中点，连接 ，
，若 ， ，则 的最小值为________．
【答案】6
【解析】
【分析】作点B关于AC的对称点 ，交AC于点F，连接 交AC于点P，则
的最小值为 的长度；然后求出 和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点 ，交AC于点F，连接 交AC于点P，
则 的最小值为 的长度；
∵AC是矩形的对角线，
∴AB=CD=4，∠ABC=90°，
在直角△ABC中， ， ，
∴ ，
∴ ，
由对称的性质，得 ， ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴
∵ ， ，
∴△BEF是等边三角形，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∴ 的最小值为6；
故答案为：6．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性
质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P使得
有最小值．
三、解答题
19. 计算： ．
【答案】7
【解析】
【分析】利用零指数幂的运算法则，绝对值的意义，二次根式的化简及负整数指数幂的运
算法则计算即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查零指数幂的运算法则，绝对值的意义，二次根式的化简及负整数指数幂
的运算法则，熟练掌握实数的运算法则是解答此类问题的关键．
20. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据解分式方程的步骤解方程即可．
【详解】解：方程两边同乘以 ，去分母，得
解这个整式方程，得
学科网（北京）股份有限公司检验：把 代入 ，得
∴ 是原方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟记解分式方程的步骤是解题的关键，需要特别注意解
分式方程需要检验．
21. 北京冬奥组委会对志愿者开展培训活动，为了解某批次培训活动效果，随机抽取了20
名志愿者的测试成绩．成绩如下：
84 93 91 87 94 86 97 100 88 94
92 91 82 89 87 92 98 92 93 88
整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：
等级 成绩/分 频数
3
9
▲
2
请根据以上信息，解答下列问题：
（1） 等级的频数为________， 所对应的扇形圆心角度数为________；
（2）该批志愿者有1500名，若成绩不低于90分为优秀，请估计这批志愿者中成绩达到优
秀等级的人数；
（3）已知 等级中有2名男志愿者，现从 等级中随机抽取2名志愿者，试用列表或画
树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1）6，
（2）900人 （3）图表见解析，
【解析】
【分析】(1)根据总人数为20人，减去A、B、D的频数即可求出C等级的频数；求出B等
级所占的百分比再乘以360°即可得到B对应的扇形圆心角的度数；
学科网（北京）股份有限公司(2)求出成绩大于等于90分 的人数所占的百分比，然后再乘以1500即可得到成绩达到优秀
等级的人数；
(3)画出树状图即可求解．
【小问1详解】
解：等级C的频数=20-3-9-2=6，
B所占的百分比为：9÷20×100%=45%，
∴ 所对应 的扇形圆心角度数为：360×45%=162°．
故答案是：6，162°；
【小问2详解】
解：随机抽取的20名志愿者的测试成绩中大于等于90分的人数共有12人，其占样本人数
的百分比为：12÷20×100%=60%，
∴1500名志愿者中成绩达到优秀等级的人数有：1500×60%=900人．
【小问3详解】
解：列出树状图如下所示：
由图知，机会均等的结果共6种，其中符合条件的有4种，
∴ ．
(一男一女)
【点睛】本题考查扇形统计图、统计表的意义和表示数据的特征，理解频数、扇形统计图
的意义是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
22. 数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高 ．如图，在楼前平地 处测
得楼顶 处的仰角为 ，沿 方向前进 到达 处，测得楼顶 处的仰角为 ，
求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据： ， ）
学科网（北京）股份有限公司【答案】82米
【解析】
【分析】设 的长为 ，可以得出BD的长也为 ，从而表示出AD的长度，然后利用解
直角三角形中的正切列出方程求解即可．
【详解】解：设 为 ，
∵ ，∠CDB=90°，
∴ ，
∴ ，
在 中，∠ADC=90°，∠DAC=30°， ，
即 ，
∴
∴ ．
答：此建筑物的高度约为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，准确的找准每一个直角三角形中边的关系，
利用正弦，余弦，正切列出方程求解是解题的关键．
23. 已知直线 与反比例函数 的图象在第一象限交于点 ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线 向上平移 个单位后与 的图象交于点 和点
，求 的值；
（3）在（2）的条件下，设直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ，求证：
．
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）先根据一次函数求出M点坐标，再代入反比例函数计算即可；
（2）先求出A的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可；
（3）过点 作 轴于点 ，过 点作 轴于点 ，即可根据A、B坐标证明
，得到 ， ，再求出C、D坐标即可得
到OC=OD，即可证明 ．
【小问1详解】
∵直线 过点 ，
∴
∴将 代入 中，得 ，
∴反比例函数的表达式为
【小问2详解】
∵点 在 的图象上，
∴ ，
∴
设平移后直线 的解析式为 ，
将 代入 中，得4=1+b，
解得 ．
【小问3详解】
如图，过点 作 轴于点 ，过 点作 轴于点 ．
学科网（北京）股份有限公司∵ 在反比例函数 的图象上，
∴n=-4，
∴B（-4，-1）
又∵ ，
∴ ， ，
∴
∴ ，
∴ ，
又∵直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ，
∴ ， ，
∴
在 和 中，
∴ ．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，全等
三角形的判定与性质，熟练根据坐标找线段关系是解题的关键．
24. 建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金
1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个
小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造
多少个老旧小区？
【答案】（1）20% （2）18个
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ，根据2019年投入资
金 2021年投入的总资金，列出方程求解即可；
（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的
总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ，
根据题意得： ，
解这个方程得， ， ，
经检验， 符合本题要求．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
【小问2详解】
设该市在2022年可以改造 个老旧小区，
由题意得： ，
解得 ．
∵ 为正整数，∴最多可以改造18个小区．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的
等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．
25. 如图， 为 的直径，点 是 上一点， 与 相切于点 ，过点 作
，连接 ， ．
（1）求证： 是 的角平分线；
（2）若 ， ，求 的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
学科网（北京）股份有限公司（3）
【解析】
【分析】（1）连接 ，先证明 ，然后由平行线的性质和等腰三角形的性质，
即可证明结论成立；
（2）证明 ABC∽△CBD即可，根据题目中的条件，可以得到∠ABC=∠CBD，
∠ACB=∠D，从而可以得到 ABC∽△CBD，即可求出BC的长度；．
△
（3）先证明△AOC是等边三角形，然后求出扇形AOC和△AOC的面积，即可得到答案
△
【小问1详解】
证明：连接 ，如图
∵ 与 相切于点 ，
∴
∵ ，
∴
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ．
【小问2详解】
解：根据题意，
∵线段AB是直径，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴∠ABC=∠CBD，
∴ ABC∽△CBD，
△
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：作CE⊥AO于E，如图：
在直角△ABC中， ，
∴ ，
∴△AOC是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴阴影部分的面积为：
．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形
的判定和性质，圆周角定理，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确
的作出辅助线，从而进行证明．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点 的
左侧），与 轴交于点 ，且点 的坐标为 ．
学科网（北京）股份有限公司（1）求点 的坐标；
（2）如图1，若点 是第二象限内抛物线上一动点，求点 到直线 距离的最大值；
（3）如图2，若点 是抛物线上一点，点 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 使以
， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不
存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2） 最大为
（3）存在， 的坐标为 或（3，-16）或
【解析】
【分析】（1）把点A的坐标代入 ，求出c的值即可；
（2）过 作 于点 ，过点 作 轴交 于点 ，证明 是等腰
直角三角形，得 ，当 最大时， 最大，，运用待定系数法求直线 解
析式为 ，设 ， ，则 ，求得PH，
再根据二次函数的性质求解即可；
（3）分①当AC为平行四边形ANMC的边，②当AC为平行四边形AMNC的边，③当AC
为对角线三种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
（1）∵点 在抛物线 的图象上，
∴
∴ ，
∴点 的坐标为 ；
【小问2详解】
过 作 于点 ，过点 作 轴交 于点 ，如图：
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴当 最大时， 最大，
设直线 解析式为 ，
将 代入得 ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ，
设 ， ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 最大为 ，
∴此时 最大为 ，即点 到直线 的距离值最大；
【小问3详解】
存在．
学科网（北京）股份有限公司∵
∴抛物线的对称轴为直线 ，
设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x， ）
分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴ ，即
解得，x=3.
∴
∴点M的坐标为（3，-16）
②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图，
方法同①可得， ，
∴
∴点M的坐标为（-7，-16）；
③当AC为对角线时，如图，
学科网（北京）股份有限公司∵A（-5，0），C（0，5），
∴线段AC的中点H的坐标为 ，即H（ ）
∴ ，解得， 。
∴
∴点M的坐标为（-3，8）
综上，点 的坐标为： 或（3，-16）或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图
象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数
形结合是解题的关键．
学科网（北京）股份有限公司
