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2021年四川省眉山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑.
1．（4分）（2021•眉山）6的相反数是
A． B． C． D．6
2．（4分）（2021•眉山）2020年7月23日，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器
在海南文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，每天基本飞行 200万千米，并
于2021年5月15日成功着陆预选区，火星上首次留下了中国的足迹．将 200万用科学记
数法表示为
A． B． C． D．
3．（4分）（2021•眉山）下列计算中，正确的是
A． B．
C． D．
4．（4分）（2021•眉山）如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若 ，则 的
度数为
A． B． C． D．
5．（4分）（2021•眉山）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为
A． B． C． D．
第1页（共32页）6．（4分）（2021•眉山）化简 的结果是
A． B． C． D．
7．（4分）（2021•眉山）全民反诈，刻不容缓！陈科同学参加学校举行的“防诈骗”主
题演讲比赛，五位评委给出的分数分别为 90，80，86，90，94，则这组数据的中位数和众
数分别是
A．80，90 B．90，90 C．86，90 D．90，94
8．（4分）（2021•眉山）我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数
据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是
A． B． C． D．
9．（4 分）（2021•眉山）已知一元二次方程 的两根为 ， ，则
的值为
A． B． C．2 D．5
10．（4 分）（2021•眉山）如图，在以 为直径的 中，点 为圆上的一点，
，弦 于点 ，弦 交 于点 ，交 于点 ．若点 是 的中
点，则 的度数为
第2页（共32页）A． B． C． D．
11．（4分）（2021•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，
则该抛物线关于点 成中心对称的抛物线的表达式为
A． B． C． D．
12．（4 分）（2021•眉山）如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点 ，
， ，点 在线段 上从点 至点 运动，连接 ，以 为边作等
边三角形 ，点 和点 分别位于 两侧，下列结论：① ；②
；③ ；④点 运动的路程是 ，其中正确结论的序号为
A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案直接填写在答题卡相
应的位置上.
13．（4分）（2021•眉山）分解因式： ．
14．（4分）（2021•眉山）一次函数 的值随 值的增大而减少，则常数
的取值范围是 ．
15．（4分）（2021•眉山）如图， 中， ， ， 平分 交
第3页（共32页）于点 ，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和
点 ，作直线 ，交 于点 ，则 的长为 ．
16．（4分）（2021•眉山）若关于 的不等式 只有3个正整数解，则 的取值范
围是 ．
17．（4分）（2021•眉山）观察下列等式： ；
；
；
根据以上规律，计算 ．
18．（4分）（2021•眉山）如图，在菱形 中， ，对角线 、 相
交于点 ，点 在线段 上，且 ，点 为线段 上的一个动点，则
的最小值是 ．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上.
第4页（共32页）19．（8分）（2021•眉山）计算： ．
20．（8分）（2021•眉山）解方程组： ．
21．（10分）（2021•眉山）吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影
响家庭和社会的稳定．为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从我市某校 1000名学生中随
机抽取部分学生进行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了
解较多”，“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有 人，其中“了解较多”的占 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有 人；
（4）“了解较少”的四名学生中，有3名学生 ， ， 是初一学生，1名学生 为初
二学生，为了提高学生对禁毒知识的认识，对这4人进行了培训，然后从中随机抽取2人
对禁毒知识的掌握情况进行检测．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到初一、初二学
生各1名的概率．
22．（10分）（2021•眉山）“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！
游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从 处测得该建筑
物顶端 的俯角为 ，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达 处，测得顶端 的俯角
为 ，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，
参考数据： ， ，
第5页（共32页）23．（10分）（2021•眉山）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中
学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比
赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的
2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用
不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？
24．（10分）（2021•眉山）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．直
线 ，且与 的外接圆 相切，与双曲线 在第二象限内的图象交于
、 两点．
（1）求点 ， 的坐标和 的半径；
（2）求直线 所对应的函数表达式；
（3）求 的面积．
第6页（共32页）25．（10 分）（2021•眉山）如图，在等腰直角三角形 中， ，
，边长为2的正方形 的对角线交点与点 重合，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）当点 在 内部，且 时，设 与 相交于点 ，求 的长；
（3）将正方形 绕点 旋转一周，当点 、 、 三点在同一直线上时，请直接写
出 的长．
26 ． （ 12 分 ） （ 2021• 眉 山 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 抛 物 线
经过点 和点 ．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点 为该抛物线上一点（不与点 重合），直线 将 的面积分成 两部分，
求点 的坐标；
（3）点 从点 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 轴移动，运动时间为 秒，当
时，求 的值．
第7页（共32页）第8页（共32页）2021年四川省眉山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑.
1．（4分）（2021•眉山）6的相反数是
A． B． C． D．6
【解答】解：相反数指的是两个数符号不同但绝对值相同，所以6的相反数为 ．
故选： ．
2．（4分）（2021•眉山）2020年7月23日，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器
在海南文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，每天基本飞行 200万千米，并
于2021年5月15日成功着陆预选区，火星上首次留下了中国的足迹．将 200万用科学记
数法表示为
A． B． C． D．
【解答】解：200万 ，
故选： ．
3．（4分）（2021•眉山）下列计算中，正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解： ，故 项不符合题意；
，故 项不符合题意；
，故 项符合题意；
，故 项不符合题意；
第9页（共32页）故选： ．
4．（4分）（2021•眉山）如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若 ，则 的
度数为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，延长 交矩形纸片于 ，
，
．
故选： ．
5．（4分）（2021•眉山）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为
A． B． C． D．
【解答】解：这个八边形的内角和为：
；
这个八边形的每个内角的度数为：
；
这个八边形的每个外角的度数为：
；
这个八边形每个内角与每个外角的度数之比为：
．
第10页（共32页）故选： ．
6．（4分）（2021•眉山）化简 的结果是
A． B． C． D．
【解答】解：原式
，
故选： ．
7．（4分）（2021•眉山）全民反诈，刻不容缓！陈科同学参加学校举行的“防诈骗”主
题演讲比赛，五位评委给出的分数分别为 90，80，86，90，94，则这组数据的中位数和众
数分别是
A．80，90 B．90，90 C．86，90 D．90，94
【解答】解：将数据重新排列为80，86，90，90，94，
所以这组数据的中位数是90，众数为90，
故选： ．
8．（4分）（2021•眉山）我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数
据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是
A． B． C． D．
【解答】解：观察图形可知：
第11页（共32页）圆锥母线长为： （米 ，
所以该整流罩的侧面积为： （平方米）．
答：该整流罩的侧面积是 平方米．
故选： ．
9．（4 分）（2021•眉山）已知一元二次方程 的两根为 ， ，则
的值为
A． B． C．2 D．5
【解答】解： 一元二次方程 的两根为 ， ，
， ，
．
故选： ．
10．（4 分）（2021•眉山）如图，在以 为直径的 中，点 为圆上的一点，
，弦 于点 ，弦 交 于点 ，交 于点 ．若点 是 的中
点，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： 是直径，
，
，
第12页（共32页），
，
， ，
，
，
点 是 的中点， ，
，
，
，
，
故选： ．
11．（4分）（2021•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，
则该抛物线关于点 成中心对称的抛物线的表达式为
A． B． C． D．
【解答】解：由抛物线 知，抛物线顶点坐标是 ．
由抛物线 知， ．
该抛物线关于点 成中心对称的抛物线的顶点坐标是 ．
该抛物线关于点 成中心对称的抛物线的表达式为： ．
故选： ．
12．（4 分）（2021•眉山）如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点 ，
， ，点 在线段 上从点 至点 运动，连接 ，以 为边作等
边三角形 ，点 和点 分别位于 两侧，下列结论：① ；②
；③ ；④点 运动的路程是 ，其中正确结论的序号为
第13页（共32页）A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【解答】解：① ， ，
为等边三角形，
， ，
为等边三角形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
故结论①正确；
②如图，连接 ，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
第14页（共32页），
，
， ，
故结论②正确；
③ ，
，即 ，
故结论③正确；
④如图，延长 至 ，使 ，连接 ，
， ，
点 在线段 上从点 至点 运动时，点 从点 沿线段 运动到 ，
，
点 运动的路程是 ，
故结论④正确；
故选： ．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案直接填写在答题卡相
应的位置上.
13．（4分）（2021•眉山）分解因式： ．
【解答】解：原式 ，
故答案为：
第15页（共32页）14．（4分）（2021•眉山）一次函数 的值随 值的增大而减少，则常数
的取值范围是 ．
【解答】解： 一次函数 的值随 值的增大而减少，
，解得 ．
故答案为： ．
15．（4分）（2021•眉山）如图， 中， ， ， 平分 交
于点 ，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和
点 ，作直线 ，交 于点 ，则 的长为 ．
【解答】解：如图所示：连接 ，
由作图方法可得： 垂直平分 ，
则 ，
， ， 平分 交 于点 ，
， ，
在 中， ，
设 ，则 ，
在 中，
，
第16页（共32页）即 ，
解得： ，
故 的长为 ．
故答案为： ．
16．（4分）（2021•眉山）若关于 的不等式 只有3个正整数解，则 的取值范
围是 ．
【解答】解：解不等式 得： ，
根据题意得： ，
即 ，
故答案是： ．
17．（4分）（2021•眉山）观察下列等式： ；
；
；
根据以上规律，计算 ．
第17页（共32页）【解答】解： ；
；
；
故答案为： ．
18．（4分）（2021•眉山）如图，在菱形 中， ，对角线 、 相
交于点 ，点 在线段 上，且 ，点 为线段 上的一个动点，则
的最小值是 ．
【解答】解：如图，过点 作 于 ，
四边形 是菱形， ，
， ，
第18页（共32页）是等边三角形，
，
，
，
，
，
当点 ，点 ，点 共线且 时， 有最小值为 ，
，
，
，
，
的最小值为 ，
故答案为 ．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上.
19．（8分）（2021•眉山）计算： ．
【解答】解：原式
．
20．（8分）（2021•眉山）解方程组： ．
第19页（共32页）【解答】解：方程组整理得： ，
① ② 得： ，
解得： ，
把 代入②得： ，
则方程组的解为 ．
21．（10分）（2021•眉山）吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影
响家庭和社会的稳定．为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从我市某校 1000名学生中随
机抽取部分学生进行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了
解较多”，“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有 5 0 人，其中“了解较多”的占 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有 人；
（4）“了解较少”的四名学生中，有3名学生 ， ， 是初一学生，1名学生 为初
二学生，为了提高学生对禁毒知识的认识，对这4人进行了培训，然后从中随机抽取2人
对禁毒知识的掌握情况进行检测．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到初一、初二学
生各1名的概率．
【解答】解：（1）本次抽取调查的学生共有 （人 ，
第20页（共32页）“了解较多”的所占的百分比是： ．
故答案为：50，30；
（2）“基本了解”的人数为 （人 ，
补全图形如下：
（3） （人 ，
答：估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有780人．
故答案为：780；
（4）列表如下：
， ，
， ，
， ，
， ， ，
共有12种可能的结果，恰好抽到初一、初二学生各1名的有6种，
则恰好抽到初一、初二学生各1名的概率为 ．
22．（10分）（2021•眉山）“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！
第21页（共32页）游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从 处测得该建筑
物顶端 的俯角为 ，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达 处，测得顶端 的俯角
为 ，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，
参考数据： ， ，
【解答】解：过 作 于 ，如图所示：
则 ，
由题意得： 米， ， ， ，
是等腰直角三角形，
，
设 米，则 米，
在 中， ，
米，
，
，
解得： ，
（米 ，
（米 ，
即这栋建筑物的高度为43.6米．
第22页（共32页）23．（10分）（2021•眉山）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中
学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比
赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的
2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用
不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？
【解答】解：（1）设足球的单价是 元，则篮球的单价是 元，
依题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
．
答：足球的单价是60元，篮球的单价是90元．
（2）设学校可以购买 个篮球，则可以购买 个足球，
依题意得： ，
解得： ．
又 为正整数，
可以取的最大值为116．
答：学校最多可以购买116个篮球．
24．（10分）（2021•眉山）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．直
第23页（共32页）线 ，且与 的外接圆 相切，与双曲线 在第二象限内的图象交于
、 两点．
（1）求点 ， 的坐标和 的半径；
（2）求直线 所对应的函数表达式；
（3）求 的面积．
【解答】解：（1）对于 ，令 ，解得 ，令 ，则 ，
故点 、 的坐标分别为 、 ，
为直角，则 是圆 的直径，
由点 、 的坐标得： ，
故圆的半径 ；
（2）过点 作 于点 ，设直线 与圆 切于点 ，
第24页（共32页）连接 ，则 ，
则 ，
在 中， ，
即直线 向上平移 个单位得到 ，
故 的表达式为 ；
（3）由直线 的表达式知，点 ，
联立 的表达式和反比例函数表达式并整理得： ，
解得： 或 ，
故点 的坐标为 ，
由点 、 的坐标得： ，
则 的面积 ．
25．（10 分）（2021•眉山）如图，在等腰直角三角形 中， ，
第25页（共32页），边长为2的正方形 的对角线交点与点 重合，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）当点 在 内部，且 时，设 与 相交于点 ，求 的长；
（3）将正方形 绕点 旋转一周，当点 、 、 三点在同一直线上时，请直接写
出 的长．
【解答】解：（1）如图1， 四边形 是正方形，
， ；
，
，
在 和 中，
，
．
（2）如图2，过点 作 于点 ，则 ．
， ，
，
，
，
；
第26页（共32页）， ，
，
，
，
；
，
，
．
（3）如图3， 、 、 三点在同一直线上，且点 在点 和点 之间．
， ，
；
由 ，得 ，
，
点 、 、 在同一条直线上，
，
，且 ， ，
，
解得 或 （不符合题意，舍去）；
如图4， 、 、 三点在同一直线上，且点 在 的延长线上．
， ， ，
第27页（共32页），
，
，
，
点 、 、 在同一条直线上；
， ， ，
，
；
，
，
解得 或 （不符合题意，舍去）．
综上所述， 的长为 或 ．
第28页（共32页）26 ． （ 12 分 ） （ 2021• 眉 山 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 抛 物 线
经过点 和点 ．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点 为该抛物线上一点（不与点 重合），直线 将 的面积分成 两部分，
求点 的坐标；
（3）点 从点 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 轴移动，运动时间为 秒，当
第29页（共32页）时，求 的值．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为 ，
则 ，
即 ，解得 ，
故抛物线的表达式为 ①；
（2）由点 、 的坐标知， ，
故 将 的面积分成 两部分，此时，点 不在抛物线上；
如图1，当 时， 将 的面积分成 两部分，
即点 的坐标为 ，
则 和抛物线的交点即为点 ，
第30页（共32页）由点 、 的坐标得，直线 的表达式为 ②，
联立①②并解得 （不合题意的值已舍去），
故点 的坐标为 ；
（3）在 上取点 ，则 ，
，故 ，
过点 作 于点 ，
在 中，由 知， ，
则 ，
由点 、 的坐标知， ，
则 ，
则 ，
则 ，
则 ，
故 或10，
第31页（共32页）则 或10．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/9/10 18:43:37；用户：初中数学61；邮箱：ydyd61@xyh.com；学号：36810736
第32页（共32页）
