文档内容
2020年四川省自贡市中考数学试卷
一．选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1．（4分）如图，直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
2．（4分）5月22日晚，中国自贡第26届国际恐龙灯会开启网络直播，有着近千年历史的自
贡灯会进入“云游”时代，70余万人通过“云观灯”感受了“天下第一灯”的璀璨．人
数700000用科学记数法表示为（ ）
A．70×104 B．0.7×107 C．7×105 D．7×106
3．（4分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，则a的值为（ ）
A． B．﹣ C．1 D．﹣1
5．（4分）在平面直角坐标系中，将点（2，1）向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（ ）
A．（﹣1，1） B．（5，1） C．（2，4） D．（2，﹣2）
6．（4分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
第1页（共24页）A． B． C． D．
7．（4分）对于一组数据3，7，5，3，2，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是5 B．众数是7 C．平均数是4 D．方差是3
8．（4分）如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（ ）
A．50° B．70° C．130° D．160°
9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交
AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
10．（4分）函数y＝ 与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数 y＝kx﹣b的大致图象为
（ ）
A． B．
C． D．
第2页（共24页）11．（4分）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时
每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每
天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． ﹣ ＝40 B． ﹣ ＝40
C． ﹣ ＝40 D． ﹣ ＝40
12．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝ ，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是
AB的中点，连结DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）分解因式：3a2﹣6ab+3b2＝ ．
14．（4分）与 ﹣2最接近的自然数是 ．
15．（4分）某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了
“最受欢迎菜品”的调查统计．以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序
（只填番号）： ．
绘制扇形图；
①收集最受学生欢迎菜品的数据；
②利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品；
③整理所收集的数据．
16．（④4分）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角
为45°，AD的坡角 为30°，则AD长为 米（结果保留根号）． β
α
第3页（共24页）17．（4分）如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A
落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于
点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
18．（4分）如图，直线y＝﹣ x+b与y轴交于点A，与双曲线y＝ 在第三象限交于B、C两
点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD E ，△E D E ，△E D E ，…的边OE ，E E ，
1 1 1 2 2 2 3 3 1 1 2
E E ，…在x轴上，顶点D ，D ，D ，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝ ，前
2 3 1 2 3
25个等边三角形的周长之和为 ．
三、解答题（共8个题，共78分）
19．（8分）计算：|﹣2|﹣（ + ）0+（﹣ ）﹣1．
π
20．（8分）先化简，再求值： •（ +1），其中x是不等式组 的整数解．
21．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且
CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．
求证：AE＝BF．
第4页（共24页）22．（8分）某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“A：文明礼仪，B：
环境保护，C：卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动
开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条形统计图和
扇形统计图．
（1）本次调查的学生人数是 人，m＝ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小张同学随机选择连续
两天，其中有一天是星期一的概率是 ；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其
余四天中随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是 ．
23．（10分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，
甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元
后的价格部分打8折．
（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让
利方式写出y关于x的函数解析式；
（2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
24．（10分）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是
解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2
所对应的点之间的距离：因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对
应的点与﹣1所对应的点之间的距离．
第5页（共24页）（1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？
（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数﹣1、2、x，AB＝3．
∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3．
∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．
（3）解决问题：
|x﹣4|+|x+2|的最小值是 ；
①利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x﹣1|＞4；
②
当a为何值时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．
25．③（12分）如图， O是△ABC的外接圆，AB为直径，点P为 O外一点，且PA＝PC＝
AB，连接PO交⊙AC于点D，延长PO交 O于点F． ⊙
（1）证明： ＝ ； ⊙
（2）若tan∠ABC＝2 ，证明：PA是 O的切线；
（3）在（2）条件下，连接PB交 O于⊙点E，连接DE，若BC＝2，求DE的长．
⊙
26．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交
y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作
EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：
求PD+PC的最小值；
①
如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+ OQ的最小值．
②
第6页（共24页）第7页（共24页）2020年四川省自贡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1．【分析】由平行线的性质和对顶角相等即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝50°，
∴∠2＝∠3＝50°；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质和对顶角相等的性质；熟练掌握平行线的性质是解题的
关键．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：700000用科学记数法表示为7×105，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】根据左视图即从左边观察所得图形．
【解答】解：该几何体从左边看有两列，左边一列底层是一个正方形，右边一列是三个正方
形．
故选：B．
【点评】本题主要考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握三视图的定义．
4．【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式△＝0，即可得出关于a的一元一次不等式
第8页（共24页）及一元一次方程，解之即可得出a的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，
∴ ，
∴a＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△＝0时，方程有两个
相等的实数根”是解题的关键．
5．【分析】根据平移的方法结合平移中点的坐标变换规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上
移加，下移减，可以直接算出平移后点的坐标．
【解答】解：将点（2，1）向下平移3个单位长度所得点的坐标为（2，1﹣3）即（2，﹣2）；
故选：D．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是掌握平移中点的变化规律是：横
坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
6．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
7．【分析】根据平均数、众数、中位数及方差的定义和公式分别对每一项进行分析，再进行判
断即可．
【解答】解：A、把这组数据从小到大排列为：2，3，3，5，7，最中间的数是3，则中位数是3，
故本选项错误；
B、3出现了2次，出现的次数最多，则众数是3，故本选项错误；
C、平均数是：（3+7+5+3+2）÷5＝4，故本选项正确；
D、方差是： [2×（3﹣4）2+（7﹣4）2+（5﹣4）2+（2﹣4）2]＝3.2，故本选项错误；
第9页（共24页）故选：C．
【点评】此题考查了平均数、众数、中位数及方差的知识，中位数是将一组数据从小到大
（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的
中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为
1 2 n
，则方差S2＝ [（x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]．
1 2 n
8．【分析】若两个角的和等于180°，则这两个角互补．结合已知条件列方程求解．
【解答】解：设这个角是x°，根据题意，得
x＝2（180﹣x）+30，
解得：x＝130．
即这个角的度数为130°．
故选：C．
【点评】此题考查了补角的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握互补两角之和为
180°．
9．【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC＝ （180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的
关键．
10．【分析】首先根据二次函数及反比例函数的图象确定k、b的符号，然后根据一次函数的性
质确定答案即可．
【解答】解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知k＞0，
根据二次函数的图象确知a＜0，b＜0，
∴函数y＝kx﹣b的大致图象经过一、二、三象限，
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，难度
第10页（共24页）不大．
11．【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化的面积为
万平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前40天完成了这一
任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化的面积为
万平方米，
依题意，得： ﹣ ＝40，
即 ﹣ ＝40．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解
题的关键．
12．【分析】如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．首先证明DQ＝DE＝
x+2，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DQ∥BC，
∴∠Q＝∠BEF，
∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，
∴△QFA≌△EFB（AAS），
∴AQ＝BE＝x，
∵∠EFD＝90°，
∴DF⊥QE，
∴DQ＝DE＝x+2，
第11页（共24页）∵AE⊥BC，BC∥AD，
∴AE⊥AD，
∴∠AEB＝∠EAD＝90°，
∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，
∴（x+2）2﹣4＝6﹣x2，
整理得：2x2+4x﹣6＝0，
解得x＝1或﹣3（舍弃），
∴BE＝1，
∴AE＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的
判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于
中考选择题中的压轴题．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：3a2﹣6ab+3b2
＝3（a2﹣2ab+b2）
＝3（a﹣b）2．
故答案为：3（a﹣b）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取
公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．【分析】根据3.5＜ ＜4，可求1.5＜ ﹣2＜2，依此可得与 ﹣2最接近的自然数．
【解答】解：∵3.5＜ ＜4，
∴1.5＜ ﹣2＜2，
∴与 ﹣2最接近的自然数是2．
故答案为：2．
【点评】考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近
无理数，求无理数的近似值．
15．【分析】根据收据的收集、整理及扇形统计图的制作步骤求解可得．
【解答】解： 收集最受学生欢迎菜品的数据；
②
第12页（共24页）整理所收集的数据；
④绘制扇形图；
①利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品；
③故答案为： ．
【点评】本题②主④要①考查③扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大
小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同
总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数
的百分数．
16．【分析】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．首先证明DE＝CF，解直角三角
形求出CF，再根据直角三角形30度角的性质即可解决问题．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．
∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，
∴DE＝CF，
在Rt△CFB中，CF＝BC•sin45°＝3 （米），
∴DE＝CF＝3 （米），
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，
∴AD＝2DE＝6 （米），
故答案为6 ．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助
线，构造直角三角形解决问题．
17．【分析】连接OG，证明△DOG∽△DFC，得出 ，设OG＝OF＝x，则 ，求出
圆的半径为 ，证明△OFQ为等边三角形，则可由扇形的面积公式和三角形的面积公式
求出答案．
【解答】解：连接OG，
第13页（共24页）∵将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，
∴AD＝DF＝4，BF＝CF＝2，
∵矩形ABCD中，∠DCF＝90°，
∴∠FDC＝30°，
∴∠DFC＝60°，
∵ O与CD相切于点G，
∴⊙OG⊥CD，
∵BC⊥CD，
∴OG∥BC，
∴△DOG∽△DFC，
∴ ，
设OG＝OF＝x，则 ，
解得：x＝ ，即 O的半径是 ．
⊙
连接OQ，作OH⊥FQ，
∵∠DFC＝60°，OF＝OQ，
∴△OFQ为等边△；同理△OGQ为等边△；
∴∠GOQ＝∠FOQ＝60°，OH＝ OQ＝ ，S扇形OGQ ＝S扇形OQF ，
∴S阴影 ＝（S矩形OGCH ﹣S扇形OGQ ﹣S△OQH ）+（S扇形OQF ﹣S△OFQ ）
＝S矩形OGCH ﹣ S△OFQ ＝ × ﹣ （ × × ）＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，切线的性质，翻折变换，熟练掌握基本图形的性质是
第14页（共24页）解题的关键．
18．【分析】设直线y＝﹣ x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．首先证明
∠ADO＝60°，可得AB＝2BE，AC＝2CF，由直线y＝﹣ x+b与双曲线y＝ 在第一象限
交于点B、C两点，可得﹣ x+b＝ ，整理得，﹣ x2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x x ＝
1 2
k，即EB•FC＝ k，由此构建方程求出k即可，第二个问题分别求出第一个，第二个，
第三个，第四个三角形的周长，探究规律后解决问题．
【解答】解：设直线y＝﹣ x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．
∵y＝﹣ x+b，
∴当y＝0时，x＝ b，即点D的坐标为（ b，0），
当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），
∴OA＝﹣b，OD＝﹣ b．
∵在Rt△AOD中，tan∠ADO＝ ＝ ，
∴∠ADO＝60°．
∵直线y＝﹣ x+b与双曲线y＝ 在第三象限交于B、C两点，
∴﹣ x+b＝ ，
整理得，﹣ x2+bx﹣k＝0，
由韦达定理得：x x ＝ k，即EB•FC＝ k，
1 2
∵ ＝cos60°＝ ，
∴AB＝2EB，
同理可得：AC＝2FC，
∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC＝ k＝16，
解得：k＝4 ．
第15页（共24页）由题意可以假设D （m，m ），
1
∴m2• ＝4 ，
∴m＝2
∴OE ＝4，即第一个三角形的周长为12，
1
设D （4+n， n），
2
∵（4+n）• n＝4 ，
解得n＝2 ﹣2，
∴E E ＝4 ﹣4，即第二个三角形的周长为12 ﹣12，
1 2
设D （4 +a， a），
3
由题意（4 +a）• a＝4 ，
解得a＝2 ﹣2 ，即第三个三角形的周长为12 ﹣12 ，
…，
∴第四个三角形的周长为12 ﹣12 ，
∴前 25 个等边三角形的周长之和 12+12 ﹣12+12 ﹣12 +12 ﹣12 +…+12
﹣12 ＝12 ＝60，
故答案为4 ，60．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，规律型问题等知识，解题的
关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
三、解答题（共8个题，共78分）
19．【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2﹣1+（﹣6）
＝1+（﹣6）
＝﹣5．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的
第16页（共24页）关键．
20．【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，再根据x是不等式组
的整数解，然后即可得到x的值，再将使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可
解答本题．
【解答】解： •（ +1）
＝
＝
＝ ，
由不等式组 ，得﹣1≤x＜1，
∵x是不等式组 的整数解，
∴x＝﹣1，0，
∵当x＝﹣1时，原分式无意义，
∴x＝0，
当x＝0时，原式＝ ＝﹣ ．
【点评】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确
分式化简求值的方法．
21．【分析】根据正方形的性质可证明△AEB≌△BFC（SAS），然后根据全等三角形的判定即
可求出答案．
【解答】解：在正方形ABCD中，
AB＝CD＝CD＝AD，
∵CE＝DF，
∴BE＝CF，
在△AEB与△BFC中，
，
第17页（共24页）∴△AEB≌△BFC（SAS），
∴AE＝BF．
【点评】本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质、全等三角形的性质以及
判定，本题属于基础题型．
22．【分析】（1）根据B组的人数和所占比例求出本次调查的学生人数；求出A组所占的百分
数，即可得出m的值；
（2）求出C组的人数，补全条形统计图即可；
（3）如果小张同学随机选择连续两天，有4种等可能的结果，即（星期一，星期二）、（星期
二，星期三）、（星期三，星期四）、（星期四，星期五），由概率公式求出概率；小李同学星期
五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，画出树状图，由概率公式即可得出
答案．
【解答】解：（1）12÷20%＝60（人）， ×100%＝30%，
则m＝30；
故答案为：60，30；
（2）C组的人数为60﹣18﹣12﹣9＝21（人），补全条形统计图如图：
（3）如果小张同学随机选择连续两天，有4种等可能的结果，即（星期一，星期二）、（星期
二，星期三）、（星期三，星期四）、（星期四，星期五），
其中有一天是星期一的概率是 ；
小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，画树状图如图：
共有12个等可能的结果，其中有一天是星期三的结果有6个，
第18页（共24页）∴其中有一天是星期三的概率为 ＝ ；
故答案为： ， ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图以及概率公式：通过列表
法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，
然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
23．【分析】（1）根据题意，可以分别写出两家商场对应的y关于x的函数解析式；
（2）根据（1）中函数关系式，可以得到相应的不等式，从而可以得到新冠疫情期间如何选
择这两家商场去购物更省钱．
【解答】解：（1）由题意可得，
y甲 ＝0.9x，
当0≤x≤100时，y乙 ＝x，
当x＞100时，y乙 ＝100+（x﹣100）×0.8＝0.8x+20，
由上可得，y乙 ＝ ；
（2）当0.9x＜0.8x+20时，得x＜200，即此时选择甲商场购物更省钱；
当0.9x＝0.8x+20时，得x＝200，即此时两家商场购物一样；
当0.9x＞0.8x+200时，得x＞200，即此时选择乙商场购物更省钱．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，
利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
24．【分析】观察阅读材料中的（1）和（2），总结出求最值方法；
（3） 原式变形﹣2和4距离x最小值为4﹣（﹣2）＝6；
根据①题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；
②根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．
③【解答】解：（3）解决问题：
|x﹣ 4|+|x+2| ＝ |x﹣ 4|+|x﹣ （ ﹣ 2 ） | ， 表 示 P 到 A 与 到 B 的 距 离 之 和 ，
①
点P在线段AB上，PA+PB＝6，
当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞6，
∴|x﹣4|+|x+2|的最小值是6；
第19页（共24页）故答案为：6；
如图所示，满足|x+3|+|x﹣1|＝|x﹣（﹣3）|+|x﹣1|＞4，表示到﹣3和1距离之和大于4的
②范围，
当点在﹣3和1之间时，距离之和为4，不满足题意；
当点在﹣3的左边或1的右边时，距离之和大于4，
则x范围为x＜﹣3或x＞1；
当a为﹣1或﹣5时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．
【③点评】此题考查了解一元一次不等式，数轴，绝对值，以及数学常识，弄清题中的方法是
解本题的关键．
25．【分析】（1）首先证明PF垂直平分线段AC，利用垂径定理可得结论．
（2）设BC＝a，通过计算证明AD2＝PD•OD，推出△ADP∽ODA即可解决问题．
（3）如图，过点E作EJ⊥PF于J，BK⊥PF于K．想办法求出EJ，DJ即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵PC＝PA，OC＝OA，
∴OP垂直平分线段AC，
∴ ＝ ．
（2）证明：设BC＝a，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠ABC＝ ＝2 ，
∴AC＝2 a，AB＝ ＝ ＝3a，
∴OC＝OA＝OB＝ ，CD＝AD＝ a，
∵PA＝PC＝ AB，
∴PA＝PC＝3 a，
∵∠PDC＝90°，
∴PD＝ ＝ ＝4a，
第20页（共24页）∵DC＝DA，AO＝OB，
∴OD＝ BC＝ a，
∴AD2＝PD•OD，
∴ ＝ ，
∵∠ADP＝∠ADO＝90°，
∴△ADP∽△ODA，
∴∠PAD＝∠DOA，
∵∠DOA+∠DAO＝90°，
∴∠PAD+∠DAO＝90°，
∴∠PAO＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是 O的切线．
⊙
（3）解：如图，过点E作EJ⊥PF于J，BK⊥PF于K．
∵BC＝2，
由（1）可知，PA＝6 ，AB＝6，
∵∠PAB＝90°，
∴PB＝ ＝ ＝6 ，
∵PA2＝PE•PB，
∴PE＝ ＝4 ，
∵∠CDK＝∠BKD＝∠BCD＝90°，
∴四边形CDKB是矩形，
∴CD＝BK＝2 ，BC＝DK＝2，
∵PD＝8，
∴PK＝10，
∵EJ∥BK，
∴ ＝ ＝ ，
第21页（共24页）∴ ＝ ＝ ，
∴EJ＝ ，PJ＝ ，
∴DJ＝PD﹣PJ＝8﹣ ＝ ，
∴DE＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的
判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
26．【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝3，即可求解；
（2） 点C（﹣1，0）关于y轴的对称点为点B（1，0），连接BD交y轴于点P，则点P为所
求点①，PD+PC＝PD+PB＝DB为最小，即可求解；
过点O作直线OK，使sin∠NOK＝ ，过点D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点
②
Q为所求点，则DQ+ OQ＝DQ+QK＝DK为最小，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由抛物线的表达式得，点M（﹣1，4），点N（0，3），
则tan∠MAC＝ ＝2，
则设直线AM的表达式为：y＝2x+b，
将点A的坐标代入上式并解得：b＝6，
故直线AM的表达式为：y＝2x+6，
∵∠EFD＝∠DHA＝90°，∠EDF＝∠ADH，
第22页（共24页）∴∠MAC＝∠DEF，则tan∠DEF＝2，则cos∠DEF＝ ，
设点E（x，﹣x2﹣2x+3），则点D（x，2x+6），
则FE＝EDcos∠DEF＝（﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6）× ＝ （﹣x2﹣4x﹣3），
∵﹣ ＜0，故EF有最大值，此时x＝﹣2，故点D（﹣2，2）；
点C（﹣1，0）关于y轴的对称点为点B（1，0），连接BD交y轴于点P，则点P为所求点，
①
PD+PC＝PD+PB＝DB为最小，
则BD＝ ＝ ；
过点O作直线OK，使sin∠NOK＝ ，过点D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点
②
Q为所求点，
DQ+ OQ＝DQ+QK＝DK为最小值，
则直线OK的表达式为：y＝ x，
∵DK⊥OK，故设直线DK的表达式为：y＝﹣ x+b，
第23页（共24页）将点D的坐标代入上式并解得：b＝2﹣ ，
则直线DK的表达式为：y＝﹣ x+2﹣ ，
故点Q（0，2﹣ ），
由直线KD的表达式知，QD与x负半轴的夹角（设为 ）的正切值为 ，则cos ＝
α α
，
则DQ＝ ＝ ＝ ，而 OQ＝ （2﹣ ），
则DQ+ OQ为最小值＝ + （2﹣ ）＝ ．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性、解直角三
角形等，综合性强，难度适中．
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