文档内容
2020 年天津市初中毕业生学业考试试卷
数学
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1.计算 的结果等于( )
A. 10 B. C. 50 D.
2.2sin45°的值等于( )
A. 1 B. C. D. 2
3.据2020年6月24日《天津日报》报道，6月23日下午，第四届世界智能大会在天津开幕．本届大会采
取“云上”办会的全新模式呈现，40家直播网站及平台同时在线观看云开幕式暨主题峰会的总人数最高约
为58600000人．将58600000用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
4.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.右图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )
A. B. C. D.6.估计 的值在( )
A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间
7.方程组 的解是( )
A. B. C. D.
8.如图，四边形 是正方形，O，D两点的坐标分别是 ， ，点C在第一象限，则点C的
坐标是( )
A. B. C. D.
9.计算 的结果是( )
A. B. C. 1 D.
10.若点 都在反比例函数 的图象上，则 的大小关系是( )
A. B. C. D.
11.如图，在 中， ，将 绕点C顺时针旋转得到 ，使点B的对应点E恰
好落在边 上，点A的对应点为D，延长 交 于点F，则下列结论一定正确的是( )A. B. C. D.
12.已知抛物线 ( 是常数， )经过点 ，其对称轴是直线 ．有下
列结论：
① ；
②关于x的方程 有两个不等的实数根；
③ ．
其中，正确结论的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
13.计算 的结果等于_______．
14.计算 的结果等于_______．
15.不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取
的
出1个球，则它是红球 概率是_______．
16.将直线 向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为________．
的
17.如图， 顶点C在等边 的边 上，点E在 的延长线上，G为 的中点，连接
．若 ， ，则 的长为_______．18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点 均落在格点上，点B在网格线上，且
．
(Ⅰ)线段 的长等于___________；
(Ⅱ)以 为直径的半圆与边 相交于点D，若 分别为边 上的动点，当 取得最
小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 ，并简要说明点 的位置是如何找到
的(不要求证明)_______．
三、解答题(本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
19.解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(Ⅰ)解不等式①，得_______________；
(Ⅱ)解不等式②，得_____________；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(Ⅳ)原不等式组的解集为_______________．
20.农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高(单位： )进行了测量．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(Ⅰ)本次抽取的麦苗的株数为__________，图①中m的值为__________；
(Ⅱ)求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数．
21.在 中，弦 与直径 相交于点P， ．
(Ⅰ)如图①，若 ，求 和 的大小；
(Ⅱ)如图②，若 ，过点D作 的切线，与 的延长线相交于点E，求 的大小．
22.如图， 两点被池塘隔开，在 外选一点C，连接 ．测得 ， ，
．根据测得的数据，求 的长(结果取整数)．
参考数据： ， ， ．
23. 在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍 ，图书馆离宿舍 ．
周末，小亮从宿舍出发，匀速走了 到食堂；在食堂停留 吃早餐后，匀速走了 到图书馆；
在图书馆停留 借书后，匀速走了 返回宿舍，给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距
离 与离开宿舍的时间 之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
(Ⅰ)填表：
离开宿舍的时间/ 2 5 20 23 30
离宿舍的距离/ 0.2 0.7
(Ⅱ)填空：
①食堂到图书馆的距离为_______ ．
②小亮从食堂到图书馆的速度为_______ ．
③小亮从图书馆返回宿舍的速度为_______ ．
④当小亮离宿舍的距离为 时，他离开宿舍的时间为_______ ．
(Ⅲ)当 时，请直接写出y关于x的函数解析式．
24.将一个直角三角形纸片 放置在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点B在第一象限，
， ，点P在边 上(点P不与点 重合)．的
(1)如图①，当 时，求点P 坐标；
(2)折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且 ，点O的对应
点为 ，设 ．
①如图②，若折叠后 与 重叠部分为四边形， 分别与边 相交于点 ，试用含
有t的式子表示 的长，并直接写出t的取值范围；
②若折叠后 与 重叠部分的面积为S，当 时，求S的取值范围(直接写出结果即可)．
25.已知点 是抛物线 ( 为常数， )与x轴的一个交点．
(1)当 时，求该抛物线的顶点坐标；
(2)若抛物线与x轴的另一个交点为 ，与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l
上的动点，F是y轴上的动点， ．
①当点E落在抛物线上(不与点C重合)，且 时，求点F的坐标；
②取 的中点N，当m为何值时， 的最小值是 ？2020 年天津市初中毕业生学业考试试卷
数学
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1.计算 的结果等于( )
A. 10 B. C. 50 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据有理数的加法运算法则计算即可．
【详解】解：
故选：A．
【点睛】本题考查有理数的加法运算法则，熟记有理数的加法运算法则是解题的关键．
2.2sin45°的值等于( )
A. 1 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【详解】解：2sin45°=2×
故选B
3.据2020年6月24日《天津日报》报道，6月23日下午，第四届世界智能大会在天津开幕．本届大会采
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为58600000人．将58600000用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
把小数点向左移动7位，然后根据科学记数法的书写格式写出即可．
【详解】解： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数
相同．当原数绝对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．
4.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形 的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可
重合．
5.右图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
从正面看所得到的图形是主视图，画出从正面看所得到的图形即可．
【详解】解：从正面看第一层有两个小正方形，第二层在右边有一个小正方形，第三层在右边有一个小正
方形，即：
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看 的方向．
6.估计 的值在( )
A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间
【答案】B
【解析】
【分析】
因为 ，所以 在4到5之间，由此可得出答案.
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
7.方程组 的解是( )A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用加减消元法解出 的值即可．
【详解】解：
①+②得： ，解得： ，
把 代入②中得： ，解得： ，
∴方程组的解为： ；
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法——加减消元法和代入消元法，根据具体的方程组选取合适的
方法是解决本类题目的关键．
8.如图，四边形 是正方形，O，D两点的坐标分别是 ， ，点C在第一象限，则点C的
坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用O，D两点的坐标，求出OD的长度，利用正方形的性质求出ＯB，BC的长度，进而得出C点的坐标
即可．【详解】解：∵O，D两点的坐标分别是 ， ，
∴OD＝6，
∵四边形 是正方形，
∴OB⊥BC，OB=BC=6
∴C点的坐标为： ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了点的坐标和正方形的性质，正确求出OB，BC的长度是解决本题的关键．
9.计算 的结果是( )
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题可先通分，继而进行因式约分求解本题．
【详解】 ，
因为 ，故 ．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的加减运算，主要运算技巧包括通分，约分，同时常用平方差、完全平方公式作为
解题工具．
10.若点 都在反比例函数 的图象上，则 的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】因为A，B，C三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解 ，然后直接比较大小即可．
【详解】将 A，B，C 三点分别代入 ，可求得 ，比较其大小可得：
．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数比较大小，解答本类型题可利用画图并结合图像单调性判别，或者直接代入
对应数值求解即可．
11.如图，在 中， ，将 绕点C顺时针旋转得到 ，使点B的对应点E恰
好落在边 上，点A的对应点为D，延长 交 于点F，则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题可通过旋转的性质得出△ABC与△DEC全等，故可判断A选项；可利用相似的性质结合反证法判断
B，C选项；最后根据角的互换，直角互余判断D选项．
【详解】由已知得：△ABC △DEC，则AC=DC，∠A=∠D，∠B=∠CED，故A选项错误；
∵∠A=∠A，∠B=∠CED=∠AEF，
故△AEF △ABC，则 ，
假设BC=EF，则有AE=AB，
由图显然可知AE AB，故假设BC=EF不成立，故B选项错误；
假设∠AEF=∠D，则∠CED=∠AEF=∠D，
故△CED为等腰直角三角形，即△ABC为等腰直角三角形，
因为题干信息△ABC未说明其三角形性质，故假设∠AEF=∠D不一定成立，故C选项错误；∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
又∵∠A=∠D，
∴∠B+∠D=90°．
故AB⊥DF，D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，证明过程常用角的互换、直角互余作为解题工具，
另外证明题当中反证法也极为常见，需要熟练利用．
12.已知抛物线 ( 是常数， )经过点 ，其对称轴是直线 ．有下
列结论：
① ；
②关于x的方程 有两个不等的实数根；
③ ．
其中，正确结论的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可判断①根据根的判
别式 ，即可判断②；根据 以及c=-2a，即可判断③．
【详解】∵抛物线 经过点 ，对称轴是直线 ，
∴抛物线经过点 ，b=-a
当x= -1时，0=a-b+c，∴c=-2a;当x=2时，0=4a+2b+c，
∴a+b=0，∴ab<0，∵c＞1，
∴abc＜0，由此①是错误的，∵ ，而
∴关于x的方程 有两个不等的实数根，②正确；
∵ ，c=-2a>1， ∴ ，③正确
故选：C.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物
线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次
项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左； 当a与b异号时(即ab＜
0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0，c)；抛物线与x轴交点
个数由 决定： =b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； =b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
=b2-4△ac＜0时，△抛物线与x轴没有交点． △
△二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
13.计算 的结果等于_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据合并同类项法则化简即可．
【详解】解：原式= =3x
故答案为：3x
【点睛】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变．
14.计算 的结果等于_______．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据平方差公式计算即可．
【详解】解：原式= =7-1=6
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式．15.不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取
出1个球，则它是红球的概率是_______．
【答案】 ．
【解析】
【分析】
用红球的个数除以总球的个数即可得出取出红球的概率．
【详解】解：∵不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个黑球，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 出现
种结果，那么事件 的概率 ．
16.将直线 向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据直线 的平移规律是上加下减的原则进行解答即可．
【详解】解：∵直线的平移规律是“上加下减”，
∴将直线 向上平移1个单位长度所得到的的直线的解析式为： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是一次函数的图像与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解决本题目的关键．
17.如图， 的顶点C在等边 的边 上，点E在 的延长线上，G为 的中点，连接
．若 ， ，则 的长为_______．【答案】
【解析】
【分析】
延长DC交EF于点M(图见详解)，根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM是等边三角形，
BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C、G是DM和DE的中点，根据中位线的性质，可
得出CG= ，代入数值即可得出答案．
【详解】解：如下图所示，延长DC交EF于点M， ， ，
平行四边形 的顶点C在等边 的边 上，
，
是等边三角形，
．
在平行四边形 中， ， ，
又 是等边三角形，
，
．
G为 的中点， ，
是 的中点，且 是 的中位线，．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长DC交EF于点M，
利用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出 是 的中位线是解题的关键．
18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点 均落在格点上，点B在网格线上，且
．
(Ⅰ)线段 的长等于___________；
(Ⅱ)以 为直径的半圆与边 相交于点D，若 分别为边 上的动点，当 取得最
小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 ，并简要说明点 的位置是如何找到
的(不要求证明)_______．
【答案】 (1). (2). 详见解析
【解析】
【分析】
(1)将AC放在一个直角三角形，运用勾股定理求解；(2)取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点 ；连接 ，与半圆相交于点E，连接
BE，与AC相交于点P，连接 并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．
【详解】解：(Ⅰ)如图，在Rt△AEC中，CE=3,AE=2,则由勾股定理，得AC= =
；
(Ⅱ)如图，取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点 ；连接 ，与半圆相交于点
E，连接BE，与AC相交于点P，连接 并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．
【点睛】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，轴对称-最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是学
会利用轴对称，根据垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
三、解答题(本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
19.解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(Ⅰ)解不等式①，得_______________；
(Ⅱ)解不等式②，得_____________；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(Ⅳ)原不等式组的解集为_______________．
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ)详见解析；(Ⅳ) ．
【解析】
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定
不等式组的解集．
【详解】解： (Ⅰ)解不等式①，得 ；
(Ⅱ)解不等式②，得 ；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(Ⅳ)原不等式组的解集为 ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20.农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高(单位： )进行了测量．根据统计
的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(Ⅰ)本次抽取的麦苗的株数为__________，图①中m的值为__________；
(Ⅱ)求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数．
【答案】(Ⅰ)25，24；(II)平均数是15.6，众数为16，中位数为16．
【解析】【分析】
(Ⅰ)由图②中条形统计图即可求出麦苗的株数；用17cm的麦苗株数6除以总株数24即可得到m的值；
(Ⅱ)根据平均数、众数、中位数的概念逐一求解即可．
【详解】解：(Ⅰ)由图②可知：
本次抽取的麦苗株数为：2+3+4+10+6=25(株)，
其中17cm的麦苗株数为6株，故其所占的比为6÷25=0.24=24%，即m=24．
故答案为：25,24．
(Ⅱ)观察条形统计图，
这组麦苗得平均数为： ，
在这组数据中，16出现了10次，出现的次数最多，
这组数据的众数为16．
将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是16，
这组数据的中位数为16．
故答案为：麦苗高的平均数是15.6，众数是16，中位数是16．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的
信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的
百分比大小．
21.在 中，弦 与直径 相交于点P， ．
(Ⅰ)如图①，若 ，求 和 的大小；
(Ⅱ)如图②，若 ，过点D作 的切线，与 的延长线相交于点E，求 的大小．
【答案】(I) ， ；(II) ．
【解析】
【分析】(Ⅰ)先由△CPB 中外角定理求出∠C 的大小，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠BAD 的值；且
∠ADC=∠ABC，再由直径AB所对的圆周角等于90°求出∠ADB=90°，最后∠ADB-∠ADC即可得到∠CDB
的值；
(Ⅱ)连接OD，由CD⊥AB先求出∠DCB，再由圆周角定理求出∠BOD，最后由切线的性质可知∠ODE=90°，
进而求出∠E的度数．
【详解】解：(Ⅰ) 是 的一个外角， ， ，
．
在 中， ，
．
为 的直径，
．
在 中， ，
又 ，
．
故答案为： ， ．
(Ⅱ)如下图所示，连接OD，
，
．
．
在 中，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：，
∴ ，
是 的切线，
．即 ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查圆周角定理及其推论、切线的性质、三角形的外角定理等知识点，熟练掌握圆周角定理
及其推论是解决本题的关键．
22.如图， 两点被池塘隔开，在 外选一点C，连接 ．测得 ， ，
．根据测得的数据，求 的长(结果取整数)．
参考数据： ， ， ．
【答案】AB的长约为160m．
【解析】
【分析】
过点A作AH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】解：如图，过点A作 ，垂足为H．根据题意， ， ， ．
在 中， ，
．
在 中， ， ，
， ．
又 ，
．可得 ．
．
答：AB的长约为160m．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型．
23.在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍 ，图书馆离宿舍 ．
周末，小亮从宿舍出发，匀速走了 到食堂；在食堂停留 吃早餐后，匀速走了 到图书馆；
在图书馆停留 借书后，匀速走了 返回宿舍，给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离 与离开宿舍的时间 之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
(Ⅰ)填表：
离开宿舍的时间/ 2 5 20 23 30
离宿舍的距离/ 0.2 0.7
(Ⅱ)填空：
①食堂到图书馆的距离为_______ ．
的
②小亮从食堂到图书馆 速度为_______ ．
③小亮从图书馆返回宿舍的速度为_______ ．
④当小亮离宿舍的距离为 时，他离开宿舍的时间为_______ ．
(Ⅲ)当 时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【答案】(Ⅰ)0.5，0.7，1；(Ⅱ)①0.3；② 0.06；③ 0.1；④6或62；(Ⅲ)当 时， ；当
时， ；当 时， ．
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据函数图象分析计算即可；
(Ⅱ)①结合题意，从宿舍出发，根据图象分析即可；
②结合图像确定路程与时间，然后根据速度等于路程除以时间进行计算即可；
③据速度等于路程除以时间进行计算即可；
④需要分两种情况进行分析，可能是从学校去食堂 的过程，也有可能是从学校回宿舍；
(Ⅲ)分段根据函数图象，结合“路程=速度 时间”写出函数解析式.
【详解】解：(Ⅰ)从宿舍到食堂的速度为0.2 2=0.1，
0.1 5=0.5；
离开宿舍的时间为23min时，小亮在食堂，故离宿舍的距离为0.7km；
离开宿舍的时间为30min时，小亮在图书馆，故离宿舍的距离为1km
故答案依次为：0.5，0.7，1，(Ⅱ)①1-0.7=0.3，
∴食堂到图书馆的距离为0.3 ；
故答案为：0.3；
②(1-0.7) (28-23)=0.06km/min,
∴小亮从食堂到图书馆的速度为0.06
故答案为：0.06；
③1 (68-58)=0.1km/min,
∴小亮从图书馆返回宿舍的速度为0.1 ；
故答案为：0.1；
④当是小亮从宿舍去食堂的过程中离宿舍的距离为 ，
则此时的时间为0.6 0.1=6min.
当是小亮从图书馆回宿舍，离宿舍的距离为0.6km,
则从学校出发回宿舍已经走了1-0.6=0.4(km)，
0.4 0.1=4(min)
58+4=62(min)
故答案为：6或62．
(Ⅲ)当 时， ；
当 时，
当 时，设 ，将(23，0.7)(28，1)代入解析式
，解得
∴ ．
【点睛】本题考查的是函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类
型和所需要的条件，结合题意正确计算是解题的关键．
24.将一个直角三角形纸片 放置在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点B在第一象限，
， ，点P在边 上(点P不与点 重合)．(1)如图①，当 时，求点P的坐标；
(2)折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且 ，点O的对应
点为 ，设 ．
①如图②，若折叠后 与 重叠部分为四边形， 分别与边 相交于点 ，试用含
有t的式子表示 的长，并直接写出t的取值范围；
②若折叠后 与 重叠部分的面积为S，当 时，求S的取值范围(直接写出结果即可)．
【答案】(1)点P的坐标为 ；(2)① ，t的取值范围是 ；② ．
【解析】
【分析】
(1)过点P作 轴，则 ，因为 ， ，可得 ，进而得
，由 30°所对的直角边等于斜边的一半可得 ，进而用勾股定理可得
，点P的坐标即求出；
(2)①由折叠知， ，所以 ， ；再根据 ，即可根据菱形的定义“四条边相等的四边形是菱形”可证四边形 为菱形，所以 ，可得
；根据点A的坐标可知 ，加之 ，从而有 ；而在
中， ，
又因为 ，所以得 ，由 和 的取值范围可得t的范围是
；
②由①知， 为等边三角形，由(1)四边形 为菱形，所以 ,三角形DCQ为直角三角
形，∠Q=60°，从而 ， ,进而可得
，又已知t的取值范围是 ，
即可得 ．
【详解】解：(1)如图，过点P作 轴，垂足为H，则 ．
，
．
．
在 中， ，
， ．点P的坐标为 ．
(2)①由折叠知， ，
， ．
又 ，
．
四边形 为菱形．
．可得 ．
点 ，
．有 ．
在 中， ．
，
，其中t的取值范围是 ．
②由①知， 为等边三角形，
∵四边形 为菱形，
∴ ,三角形DCQ为直角三角形，∠Q=60°，∴ ， ,
∴ ，
∵ ，
∴ ．
，
【点睛】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定与性质，求不规则四边形的面积等知识．
25.已知点 是抛物线 ( 为常数， )与x轴的一个交点．
(1)当 时，求该抛物线的顶点坐标；
(2)若抛物线与x轴的另一个交点为 ，与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l
上的动点，F是y轴上的动点， ．
①当点E落在抛物线上(不与点C重合)，且 时，求点F的坐标；
②取 的中点N，当m为何值时， 的最小值是 ？
【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 ；(2)①点F的坐标为 或 ；②当m的
值为 或 时，MN的最小值是 ．
【解析】
【分析】(1)根据 ，则抛物线的解析式为 ，再将点A(1，0)代入 ，求出
b的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标；
(2)①首先用含有m的代数式表示出抛物线的解析式，求出 ，点 .
过点A作 于点H,在Rt 中，利用勾股定理求出AE的值，再根据 ， ，
可求出m的值，进一步求出F的坐标；
②首先用含m的代数式表示出MC的长，然后分情况讨论MN什么时候有最值.
【详解】解：(1)当 ， 时，抛物线的解析式为 ．
∵抛物线经过点 ，
．解得 ．
抛物线的解析式为 ．
，
抛物线的顶点坐标为 ．
(2)①∵抛物线 经过点 和 ， ，
，
，即 ．
， ．
抛物线的解析式为 ．
根据题意，得点 ，点 ．
过点A作 于点H．
由点 ，得点 ．在Rt 中， ， ，
．
，
．解得 ．
此时，点 ，点 ，有 ．
点F在y轴上，
在Rt 中， ．
点F的坐标为 或 ．
②由N是EF的中点，得 ．
根据题意，点N在以点C为圆心、 为半径的圆上．
由点 ，点 ，得 ， ．
在 中， ．
当 ，即 时，满足条件的点N落在线段MC上，
MN的最小值为 ，解得 ；
当 ， 时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，
MN的最小值为 ，解得 ．
当m的值为 或 时，MN的最小值是 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题的关键是学会利
用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．．
