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2015年山西省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）（2015•山西）计算﹣3+（﹣1）的结果是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
2．（3分）（2015•山西）下列运算错误的是（ ）
A． B．x2+x2=2x4
=1
C．|a|=|﹣a| D．
=
3．（3分）（2015•山西）晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格
图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2015•山西）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周
长是6，则△ABC的周长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
5．（3分）（2015•山西）我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化
为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x =0，
1
x =2．这种解法体现的数学思想是（ ）
2
A．转化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
6．（3分）（2015•山西）如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如图所
示放置．若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A．105° B．110° C．115° D．120°7．（3分）（2015•山西）化简 ﹣ 的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2015•山西）我国古代秦汉时期有一部数学著作，堪称是世界数学经典名著．它的
出现，标志着我国古代数学体系的正式确立．它采用按类分章的问题集的形式进行编排．其
中方程的解法和正负数加减运算法则在世界上遥遥领先，这部著作的名称是（ ）
A．《九章算术》 B．《海岛算经》 C．《孙子算经》 D．《五经算术》
9．（3分）（2015•山西）某校举行春季运动会，需要在初一年级选取一名志愿者．初一（1）班、
初一（2）班、初一（3）班各有2名同学报名参加．现从这6名同学中随机选取一名志愿者，则
被选中的这名同学恰好是初一（3）班同学的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）（2015•山西）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则
∠ABC的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2015•山西）不等式组 的解集是 ．
12．（3分）（2015•山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶
嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角
形，…依此规律，第n个图案有 个三角形（用含n的代数式表示）13．（3分）（2015•山西）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为 的中点．
若∠A=40°，则∠B= 度．
14．（3分）（2015•山西）现有两个不透明的盒子，其中一个装有标号分别为1，2的两张卡片，
另一个装有标号分别为1，2，3的三张卡片，卡片除标号外其他均相同．若从两个盒子中各随
机抽取一张卡片，则两张卡片标号恰好相同的概率是 ．
15．（3分）（2015•山西）太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位．
公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，
EH⊥HG，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，则点A到地面的距离是
cm．
16．（3分）（2015•山西）如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应
点为D′，点C落在C′处．若AB=6，AD′=2，则折痕MN的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（2015•山西）（1）计算：（﹣3﹣1）× ﹣2﹣1÷ ．
（2）解方程： = ﹣ ．
18．（6分）（2015•山西）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波
那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许
多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那
契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．
斐波那契数列中的第n个数可以用 [ ﹣ 表示（其中，n≥1）．这
是用无理数表示有理数的一个范例． ]
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
19．（6分）（2015•山西）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=3x+2的图象与y轴交
于点A，与反比例函数y= （k≠0）在第一象限内的图象交于点B，且点B的横坐标为1．过点
A作AC⊥y轴交反比例函数y= （k≠0）的图象于点C，连接BC．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）求△ABC的面积．
20．（8分）（2015•山西）随着互联网、移动终端的迅速发展，数字化阅读越来越普及，公交、地
铁上的“低头族”越来越多．某研究机构针对“您如何看待数字化阅读”问题进行了随机
问卷调查（问卷调查表如图1所示）并将调查结果绘制成图2和图3所示的统计图（均不完
整）．请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的总人数是 人．
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）在扇形统计图中，观点E的百分比是 ，表示观点B的扇形的圆心角度数为
度．
（4）假如你是该研究机构的一名成员，请根据以上调查结果，就人们如何对待数字化阅读提
出你的建议．
21．（10分）（2015•山西）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，
请标明字母．
（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求 的长．
22．（7分）（2015•山西）某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发价格
与零售价格如表：
蔬菜品种 西红柿 青椒 西兰花 豆角
批发价（元/kg） 3.6 5.4 8 4.8
零售价（元/kg） 5.4 8.4 14 7.6
请解答下列问题：
（1）第一天，该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300kg，用去了1520元钱，这两种蔬菜
当天全部售完一共能赚多少元钱？
（2）第二天，该经营户用1520元钱仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚钱数
不少于1050元，则该经营户最多能批发西红柿多少kg？
23．（12分）（2015•山西）综合与实践：制作无盖盒子
任务一：如图1，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高为
4cm，容积为616cm3的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．
（1）请在图1的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
（2）请求出这块矩形纸板的长和宽．
任务二：图2是一个高为4cm的无盖的五棱柱盒子（直棱柱），图3是其底面，在五边形
ABCDE中，BC=12cm，AB=DC=6cm，∠ABC=∠BCD=120°，∠EAB=∠EDC=90°．
（1）试判断图3中AE与DE的数量关系，并加以证明．（2）图2中的五棱柱盒子可按图4所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形
纸板的长和宽至少各为多少cm？请直接写出结果（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸
板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）．
24．（13分）（2015•山西）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=﹣ x2+ x+4．抛物线W
与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直
线l经过C、D两点．
（1）求A、B两点的坐标及直线l的函数表达式．
（2）将抛物线W沿x轴向右平移得到抛物线W′，设抛物线W′的对称轴与直线l交于点F，当
△ACF为直角三角形时，求点F的坐标，并直接写出此时抛物线W′的函数表达式．
（3）如图2，连接AC，CB，将△ACD沿x轴向右平移m个单位（0＜m≤5），得到△A′C′D′．设
A′C交直线l于点M，C′D′交CB于点N，连接CC′，MN．求四边形CMNC′的面积（用含m的
代数式表示）．2015 年山西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）（2015•山西）计算﹣3+（﹣1）的结果是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
考点：有理数的加法．
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分析：根据同号两数相加的法则进行计算即可．
解答：解：﹣3+（﹣1）=﹣（3+1）=﹣4，
故选：D．
点评：本题主要考查了有理数的加法法则，解决本题的关键是熟记同号两数相加，取相同的
符号，并把绝对值相加．
2．（3分）（2015•山西）下列运算错误的是（ ）
A． B．x2+x2=2x4
=1
C．|a|=|﹣a| D．
=
考点：分式的乘除法；绝对值；合并同类项；零指数幂．
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专题：计算题．
分析：A、原式利用零指数幂法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；
C、原式利用绝对值的代数意义判断即可；
D、原式利用乘方的意义计算得到结果，即可做出判断．
解答：解：A、原式=1，正确；
B、原式=2x2，错误；
C、|a|=|﹣a|，正确；
D、原式= ，正确，
故选B
点评：此题考查了分式的乘除法，绝对值，合并同类项，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是
解本题的关键．
3．（3分）（2015•山西）晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格
图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点：中心对称图形；轴对称图形．
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分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故正确；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误．
故选B．
点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与
原图重合．
4．（3分）（2015•山西）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周
长是6，则△ABC的周长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
考点：三角形中位线定理．
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分析：首先根据点D、E分别是边AB，BC的中点，可得DE是三角形BC的中位线，然后根据
三角形中位线定理，可得DE= AC，最后根据三角形周长的含义，判断出△ABC的周
长和△DBE的周长的关系，再结合△DBE的周长是6，即可求出△ABC的周长是多
少．
解答：解：∵点D、E分别是边AB，BC的中点，
∴DE是三角形BC的中位线，AB=2BD，BC=2BE，
∴DE∥BC且DE= AC，
又∵AB=2BD，BC=2BE，
∴AB+BC+AC=2（BD+BE+DE），
即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，
∵△DBE的周长是6，
∴△ABC的周长是：
6×2=12．
故选：C．
点评：（1）此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明
确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）此题还考查了三角形的周长和含义的求法，要熟练掌握．
5．（3分）（2015•山西）我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化
为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x =0，
1
x =2．这种解法体现的数学思想是（ ）
2
A．转化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
考点：解一元二次方程-因式分解法．
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专题：计算题．
分析：上述解题过程利用了转化的数学思想．
解答：解：我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣
2）=0，
从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0，
进而得到原方程的解为x =0，x =2．
1 2
这种解法体现的数学思想是转化思想，
故选A．
点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
6．（3分）（2015•山西）如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如图所
示放置．若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A．105° B．110° C．115° D．120°
考点：平行线的性质．
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分析：如图，首先证明∠AMO=∠2；然后运用对顶角的性质求出∠ANM=55°，借助三角形外
角的性质求出∠AMO即可解决问题．
解答：解：如图，∵直线a∥b，
∴∠AMO=∠2；
∵∠ANM=∠1，而∠1=55°，
∴∠ANM=55°，
∴∠AMO=∠A+∠ANM=60°+55°=115°，
故选C．
点评：该题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角性质等几何知识点及其
应用问题；牢固掌握平行线的性质、对顶角的性质等几何知识点是灵活运用、解题的基
础．
7．（3分）（2015•山西）化简 ﹣ 的结果是（ ）
A． B． C． D．
考点：分式的加减法．
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专题：计算题．
分析：原式第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．
解答：
解：原式= ﹣
= ﹣
=
= ，
故选A．点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（3分）（2015•山西）我国古代秦汉时期有一部数学著作，堪称是世界数学经典名著．它的
出现，标志着我国古代数学体系的正式确立．它采用按类分章的问题集的形式进行编排．其
中方程的解法和正负数加减运算法则在世界上遥遥领先，这部著作的名称是（ ）
A．《九章算术》 B．《海岛算经》 C．《孙子算经》 D．《五经算术》
考点：数学常识．
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分析：根据数学常识解答即可．
解答：解：此著作是《九章算术》，
故选A．
点评：此题考查数学常识，关键是根据以往知识进行解答．
9．（3分）（2015•山西）某校举行春季运动会，需要在初一年级选取一名志愿者．初一（1）班、
初一（2）班、初一（3）班各有2名同学报名参加．现从这6名同学中随机选取一名志愿者，则
被选中的这名同学恰好是初一（3）班同学的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点：概率公式．
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分析：用初一3班的学生数除以所有报名学生数的和即可求得答案．
解答：解：∵共有6名同学，初一3班有2人，
∴P（初一3班）= = ，
故选B．
点评：此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之
比．
10．（3分）（2015•山西）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则
∠ABC的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
考点：锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理．
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专题：网格型．分析：根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．
解答：
解：如图： ，
由勾股定理，得
AC= ，AB=2 ，BC= ，
∴△ABC为直角三角形，
∴tan∠B= = ，
故选：D．
点评：本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2015•山西）不等式组 的解集是 x ＞ 4 ．
考点：解一元一次不等式组．
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分析：首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大大取大确定不等式组的解集．
解答：
解： ，
由①得：x＞4，
由②得：x＞2，
不等式组的解集为：x＞4．
故答案为：x＞4．
点评：此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取
小；大小小大中间找；大大小小找不到．
12．（3分）（2015•山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶
嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角
形，…依此规律，第n个图案有 3n+ 1 个三角形（用含n的代数式表示）
考点：规律型：图形的变化类．
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分析：由题意可知：第（1）个图案有3+1=4个三角形，第（2）个图案有3×2+1=7个三角形，第
（3）个图案有3×3+110个三角形，…依此规律，第n个图案有3n+1个三角形．
解答：解：∵第（1）个图案有3+1=4个三角形，
第（2）个图案有3×2+1=7个三角形，
第（3）个图案有3×3+110个三角形，
…
∴第n个图案有3n+1个三角形．
故答案为：3n+1．
点评：此题考查图形的变化规律，找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题．13．（3分）（2015•山西）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为 的中点．
若∠A=40°，则∠B= 7 0 度．
考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
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分析：首先连接BD，由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB的
度数，继而求得∠ABD的度数，由圆的内接四边形的性质，求得∠C的度数，然后由点
C为 的中点，可得CB=CD，即可求得∠CBD的度数，继而求得答案．
解答：解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=40°，
∴∠ABD=90°﹣∠A=50°，∠C=180°﹣∠A=140°，
∵点C为 的中点，
∴CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB=20°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=70°．
故答案为：70°．
点评：此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及弧与弦的关系．注意准确作出辅
助线是解此题的关键．
14．（3分）（2015•山西）现有两个不透明的盒子，其中一个装有标号分别为1，2的两张卡片，
另一个装有标号分别为1，2，3的三张卡片，卡片除标号外其他均相同．若从两个盒子中各随
机抽取一张卡片，则两张卡片标号恰好相同的概率是 ．
考点：列表法与树状图法．
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分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片标号恰好
相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，两张卡片标号恰好相同的有2种情况，
∴两张卡片标号恰好相同的概率是： = ．故答案为： ．
点评：此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数
之比．
15．（3分）（2015•山西）太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位．
公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，
EH⊥HG，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，则点A到地面的距离是 cm．
考点：勾股定理的应用．
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分析：分别过点A作AM⊥BF于点M，过点F作FN⊥AB于点N，利用勾股定理得出BN的
长，再利用相似三角形的判定与性质得出即可．
解答：解：过点A作AM⊥BF于点M，过点F作FN⊥AB于点N，
∵AD=24cm，则BF=24cm，
∴BN= = =7（cm），
∵∠AMB=∠FNB=90°，∠ABM=∠FBN，
∴△BNF∽△BMA，
∴ = ，
∴ = ，
则：AM= = ，
故点A到地面的距离是： +4= （m）．
故答案为： ．
点评：此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，得出△BNF∽△BMA
是解题关键．
16．（3分）（2015•山西）如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应
点为D′，点C落在C′处．若AB=6，AD′=2，则折痕MN的长为 2 ．考点：翻折变换（折叠问题）．
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分析：作NF⊥AD，垂足为F，连接DD′，ND′，根据图形折叠的性质得出DD′⊥MN，先证明
△DAD′∽△DEM，再证明△NFM≌△ADE，然后利用勾股定理的知识求出MN的长．
解答：解：作NF⊥AD，垂足为F，连接DD′，ND′，
∵将正方形纸片ABCD折叠，使得点D落在边AB上的D′点，折痕为MN，
∴DD′⊥MN，
∵∠A=∠DEM=90°，∠ADD′=∠EDM，
∴△DAD′∽△DEM，
∴∠DD′A=∠DME，
在△NFM和△DAD′中
，
∴△NFM≌△DAD′（AAS），
∴FM=AD′=2cm，
又∵在Rt△MNF中，FN=6cm，
∴根据勾股定理得：MN= = =2 ．
故答案为：2 ．
点评：此题主要考查了图形的翻折变换，根据图形折叠前后图形不发生大小变化得出三角形
的全等是解决问题的关键，难度一般．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2015•山西）（1）计算：（﹣3﹣1）× ﹣2﹣1÷ ．
（2）解方程： = ﹣ ．
考点：解分式方程；有理数的混合运算；负整数指数幂．
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专题：计算题．
分析：（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到
分式方程的解．解答：
解：（1）原式=﹣4× ﹣ ÷（﹣ ）=﹣9+4=﹣5；
（2）去分母得：2=2x﹣1﹣3，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解．
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为
整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
18．（6分）（2015•山西）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波
那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许
多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那
契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．
斐波那契数列中的第n个数可以用 [ ﹣ 表示（其中，n≥1）．这
是用无理数表示有理数的一个范例． ]
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
考点：二次根式的应用．
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专题：阅读型；规律型．
分析：分别把1、2代入式子化简求得答案即可．
解答：解：第1个数，当n=1时，
[ ﹣
]
= （ ﹣ ）
= ×
=1．
第2个数，当n=2时，
[ ﹣
]
= [（ ）2﹣（ ）2
]
= ×（ + ）（ ﹣ ）
= ×1×
=1．
点评：此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的
关键．19．（6分）（2015•山西）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=3x+2的图象与y轴交
于点A，与反比例函数y= （k≠0）在第一象限内的图象交于点B，且点B的横坐标为1．过点
A作AC⊥y轴交反比例函数y= （k≠0）的图象于点C，连接BC．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）求△ABC的面积．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
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分析：（1）先由一次函数y=3x+2的图象过点B，且点B的横坐标为1，将x=1代入y=3x+2，
求出y的值，得到点B的坐标，再将B点坐标代入y= ，利用待定系数法即可求出反比
例函数的表达式；
（2）先由一次函数y=3x+2的图象与y轴交于点A，求出点A的坐标为（0，2），再将
y=2代入y= ，求出x的值，那么AC= ．过B作BD⊥AC于D，则BD=y
B
﹣y
C
=5﹣
2=3，然后根据S = AC•BD，将数值代入计算即可求解．
△ABC
解答：解：（1）∵一次函数y=3x+2的图象过点B，且点B的横坐标为1，
∴y=3×1+2=5，
∴点B的坐标为（1，5）．
∵点B在反比例函数y= 的图象上，
∴k=1×5=5，
∴反比例函数的表达式为y= ；
（2）∵一次函数y=3x+2的图象与y轴交于点A，
∴当x=0时，y=2，
∴点A的坐标为（0，2），
∵AC⊥y轴，
∴点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，是2，
∵点C在反比例函数y= 的图象上，
∴当y=2时，2= ，解得x= ，
∴AC= ．
过B作BD⊥AC于D，则BD=y
B
﹣y
C
=5﹣2=3，∴S = AC•BD= × ×3= ．
△ABC
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，
反比例函数图象上点的坐标特征，平行于y轴的直线上点的坐标特征，三角形的面积，
难度适中．求出反比例函数的解析式是解题的关键．
20．（8分）（2015•山西）随着互联网、移动终端的迅速发展，数字化阅读越来越普及，公交、地
铁上的“低头族”越来越多．某研究机构针对“您如何看待数字化阅读”问题进行了随机
问卷调查（问卷调查表如图1所示）并将调查结果绘制成图2和图3所示的统计图（均不完
整）．请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的总人数是 500 0 人．
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）在扇形统计图中，观点E的百分比是 4% ，表示观点B的扇形的圆心角度数为 1 8
度．
（4）假如你是该研究机构的一名成员，请根据以上调查结果，就人们如何对待数字化阅读提
出你的建议．
考点：条形统计图；扇形统计图．
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分析：（1）根据D类观点除以D类所占的百分比，可得调查的人数；
（2）根据各类调查的人数，可得条形统计图；
（3）根据E类人数除以调查的人数，可得答案，根据B类人数除以调查人数，再乘以
360°，可得答案；
（4）根据对调查数据的收集、整理，可得答案．
解答：解：（1）本次接受调查的总人数是 5000人
（2）C类的人数为5000﹣2300﹣250﹣750﹣200=1500（人），
请将条形统计图补充完整
（3）在扇形统计图中，观点E的百分比是 4%，表示观点B的扇形的圆心角度数为 18
度，
故答案为：5000，4%，18．
（4）应充分利用数字化阅读获取信息方便等优势，但不要成为“低头族”而影响人际
交往．
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．（10分）（2015•山西）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，
请标明字母．
（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求 的长．
考点：作图—复杂作图；切线的性质；弧长的计算．
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专题：作图题．
分析：（1）过点C作AB的垂线，垂足为点D，然后以C点为圆心，CD为半径作圆即可；
（2）先根据切线的性质得∠ADC=90°，则利用互余可计算出∠DCE=90°﹣∠A=60°，
∠BCD=90°﹣∠ACD=30°，再在Rt△BCD中利用∠BCD的余弦可计算出CD= ，
然后根据弧长公式求解．
解答：解：（1）如图，
⊙C为所求；
（2）∵⊙C切AB于D，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCE=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，
∴∠BCD=90°﹣∠ACD=30°，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD= ，
∴CD=3cos30°= ，
∴ 的长= = π．
点评：本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是
结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的
性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线
的性质和弧长公式．
22．（7分）（2015•山西）某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发价格
与零售价格如表：
蔬菜品种 西红柿 青椒 西兰花 豆角
批发价（元/kg） 3.6 5.4 8 4.8
零售价（元/kg） 5.4 8.4 14 7.6
请解答下列问题：（1）第一天，该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300kg，用去了1520元钱，这两种蔬菜
当天全部售完一共能赚多少元钱？
（2）第二天，该经营户用1520元钱仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚钱数
不少于1050元，则该经营户最多能批发西红柿多少kg？
考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
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分析：（1）设批发西红柿xkg，西兰花ykg，根据批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300kg，用去
了1520元钱，列方程组求解；
（2）设批发西红柿akg，根据当天全部售完后所赚钱数不少于1050元，列不等式求解．
解答：解：（1）设批发西红柿xkg，西兰花ykg，
由题意得 ，
解得： ，
故批发西红柿200kg，西兰花100kg，
则这两种蔬菜当天全部售完一共能赚：200×1.8+100×6=960（元），
答：这两种蔬菜当天全部售完一共能赚960元；
（2）设批发西红柿akg，
由题意得，（5.4﹣3.6）a+（14﹣8）× ≥1050，
解得：a≤100．
答：该经营户最多能批发西红柿100kg．
点评：本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，
找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
23．（12分）（2015•山西）综合与实践：制作无盖盒子
任务一：如图1，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高为
4cm，容积为616cm3的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．
（1）请在图1的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
（2）请求出这块矩形纸板的长和宽．
任务二：图2是一个高为4cm的无盖的五棱柱盒子（直棱柱），图3是其底面，在五边形
ABCDE中，BC=12cm，AB=DC=6cm，∠ABC=∠BCD=120°，∠EAB=∠EDC=90°．
（1）试判断图3中AE与DE的数量关系，并加以证明．
（2）图2中的五棱柱盒子可按图4所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形
纸板的长和宽至少各为多少cm？请直接写出结果（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸
板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）．考点：几何变换综合题．
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分析：任务一：（1）按要求画出示意图即可；
（2）设矩形纸板的宽为xcm，则长为2xcm，根据题意列出方程，解之即可．
任务二：（1）AD=DE，延长EA、ED分别交直线BC于点M、N，先证明EM=EN，再证明
△MAB≌△NDC，得到AM=DN即可；
（2）如图4，由（1）得；AE=DE，∠EAD=∠EDA=30°，
由已知得，AG=DF=4，连接AD，GF，
过B，C分别作BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，过E作EP⊥AD于P，
则GF即为矩形纸板的长，MN=BC=12，AP=DP
得到∠BAM=∠CDN=60°，
求出AM=DN=3，BM=CN=3 ，
然后通过三角形相似即可得到结果．
解答：解：任务一：（1）如图1所示：
（2）设矩形纸板的宽为xcm，则长为2xcm，
由题意得：4（x﹣2×4）（2x﹣2×4）=616，解得：x =15，x =﹣3（舍去），
1 2
∴2x=2×15=30，
答：矩形纸板的长为30cm，宽为15cm；
任务二：解：（1）AE=DE，证明如下：
延长EA，ED分别交直线BC于M，N，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠ABM=∠DCN=60°，
∵∠EAB=∠EDC=90°，
∴∠M=∠N=30°，
∴EM=EN，
在△MAB与△NDC中，
，
∴△MAB≌△NDC，
∴AM=DN，
∴EM﹣AM=EN﹣DN，
∴AE=DE；
（2）如图4，由（1）得；AE=DE，∠EAD=∠EDA=30°，
由已知得，AG=DF=4，连接AD，GF，
过B，C分别作BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，过E作EP⊥AD于P，
则GF即为矩形纸板的长，MN=BC=12，AP=DP
∴∠BAM=∠CDN=60°，
∵AB=CD=6，
∴AM=DN=3，BM=CN=3 ，
∴AP= AD= （3+3+12）=9，
∴ ，PE=3 ，
∵AD∥GF，
∴△EAD∽△EGF，
∴ ，
∴GF=18+4 ，
∴矩形纸板的长至少为18+4 ，矩形纸板的宽至少为PE+BM+2 +4=3 +3 +2+4=4+8 ．
点评：本题考查了长方体的平面图，全等三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，相似三
角形的判定和性质，正确的画出图形是解题的关键．
24．（13分）（2015•山西）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=﹣ x2+ x+4．抛物线W
与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直
线l经过C、D两点．
（1）求A、B两点的坐标及直线l的函数表达式．
（2）将抛物线W沿x轴向右平移得到抛物线W′，设抛物线W′的对称轴与直线l交于点F，当
△ACF为直角三角形时，求点F的坐标，并直接写出此时抛物线W′的函数表达式．
（3）如图2，连接AC，CB，将△ACD沿x轴向右平移m个单位（0＜m≤5），得到△A′C′D′．设
A′C交直线l于点M，C′D′交CB于点N，连接CC′，MN．求四边形CMNC′的面积（用含m的
代数式表示）．
考点：二次函数综合题．
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分析：（1）根据自变量与函数值对应关系，当函数值为零时，可得A、B点坐标，当自变量为零
时，可得C点坐标，根据对称轴公式，可得D点坐标，根据待定系数法，可得l的解析
式；
（2）根据余角性质，可得∠1与∠3的关系，根据正切的定义，可得关于F点的横坐标的
方程，根据解方程，可得F点坐标，平移后的对称轴，根据平移后的对称轴，可得平移
后的函数解析式；
（3）根据图象平移的规律，可得A′，C′，D′′点的坐标，根据待定系数法，可得A′C，BC，
C′D′的解析式，根据解方程组，可得M、N的坐标，根据平行四边形的判定，可得四边形CMNC′的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．
解答：
解：（1）当y=0时，﹣ x2+ +4=0，
解得x =﹣3，x =7，
1 2
∴点A坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（7，0）．
∵﹣ =﹣ ，
∴抛物线w的对称轴为直线x=2，
∴点D坐标为（2，0）．
当x=0时，y=4，
∴点C的坐标为（0，4）．
设直线l的表达式为y=kx+b，
，
解得 ，
∴直线l的解析式为y=﹣2x+4；
（2）∵抛物线w向右平移，只有一种情况符合要求，
即∠FAC=90°，如图 ．
此时抛物线w′的对称轴与x轴的交点为G，
∵∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴tan∠1=tan∠3，
∴ = ．
设点F的坐标为（x ，﹣2x +4），
F F
∴ = ，
解得x =5，﹣2x +4=﹣6，
F F
∴点F的坐标为（5，﹣6），
此时抛物线w′的函数表达式为y=﹣ x2+ x；
（3）由平移可得：点C′，点A′，点D′的坐标分别为C（′ m，4），A（′ ﹣3+m，0），D（′ 2+m，
0），CC′∥x轴，C′D′∥CD，
可用待定系数法求得
直线A′C′的表达式为y= x+4﹣ m，
直线BC的表达式为y=﹣ x+4，直线C′D′的表达式为y=﹣2x+2m+4，
分别解方程组 和 ，
解得 和 ，
∴点M的坐标为（ m，﹣ m+4），点N的坐标为（ m，﹣ m+4），
∴y
M
=y
N
∴MN∥x轴，
∵CC′∥x轴，
∴CC′∥MN．
∵C′D′∥CD，
∴四边形CMNC′是平行四边形，
∴S=m[4﹣（﹣ m+4） = m2
点评：本题考察了二次函数综合题，（1）利用了自变量与函数值的对应关系，待定系数法求
]
函数解析式；（2）利用了余角的性质，正切函数的性质，利用等角的正切函数值相等得
出关于F点横坐标的方程是解题关键；（3）利用了图象的平移规律，待定系数法求函数
解析式，解方程组得出M、N的坐标是解题关键，又利用了平行四边形的判定，平行四
边形的面积公式．
