文档内容
2018 年山西省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3.00分）（2018•山西）下面有理数比较大小，正确的是（ ）
A．0＜﹣2 B．﹣5＜3 C．﹣2＜﹣3D．1＜﹣4
2．（3.00分）（2018•山西）“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著
作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚
着历代数学家的劳动成果．下列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是（
）
A．
《九章算术》
B．
《几何原本》
C．
《海岛算经》
D．
《周髀算经》
第1页（共36页）3．（3.00分）（2018•山西）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a3）2=﹣a6B．2a2+3a2=6a2
C．2a2•a3=2a6 D．
4．（3.00分）（2018•山西）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x=0B．x2+4x﹣1=0 C．2x2﹣4x+3=0 D．3x2=5x﹣2
5．（3.00分）（2018•山西）近年来快递业发展迅速，下表是2018年1～3月份我省
部分地市邮政快递业务量的统计结果（单位：万件）：
太原市 大同市 长治市 晋中市 运城市 临汾市 吕梁市
3303.78 332.68 302.34 319.79 725.86 416.01 338.87
1～3月份我省这七个地市邮政快递业务量的中位数是（ ）
A．319.79万件 B．332.68万件 C．338.87万件 D．416.01万件
6．（3.00分）（2018•山西）黄河是中华民族的象征，被誉为母亲河，黄河壶口瀑布
位于我省吉县城西45千米处，是黄河上最具气势的自然景观．其落差约30米，年
平均流量1010立方米/秒．若以小时作时间单位，则其年平均流量可用科学记数
法表示为（ ）
A．6.06×104立方米/时 B．3.136×106立方米/时
C．3.636×106立方米/时D．36.36×105立方米/时
7．（3.00分）（2018•山西）在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们
除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再
随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3.00分）（2018•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将
△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，此时点A'恰好在AB边上，则点
B'与点B之间的距离为（ ）
第2页（共36页）A．12 B．6C． D．
9．（3.00分）（2018•山西）用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k
的形式为（ ）
A．y=（x﹣4）2+7 B．y=（x﹣4）2﹣25 C．y=（x+4）2+7 D．y=（x+4）2﹣25
10．（3.00分）（2018•山西）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点
A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图
中阴影部分的面积为（ ）
A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣8
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3.00分）（2018•山西）计算：（3 +1）（3 ﹣1）= ．
12．（3.00分）（2018•山西）图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案
象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2
是 从 图 1 冰 裂 纹 窗 格 图 案 中 提 取 的 由 五 条 线 段 组 成 的 图 形 ， 则
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．
第3页（共36页）13．（3.00分）（2018•山西）2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行
李箱的长，宽，高三者之和不超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知
行李箱的宽为20cm，长与高的比为8：11，则符合此规定的行李箱的高的最大值
为 cm．
14．（3.00分）（2018•山西）如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于
点A，B．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径
作弧交AN于点C，交AB于点D；②分别以C，D为圆心，以大于 CD长为半径作
弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F．若AB=2，∠ABP=60°，则
线段AF的长为 ．
15．（3.00分）（2018•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是
AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的
切线FG，交AB于点G，则FG的长为 ．
第4页（共36页）三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤）
16．（2018•山西）计算：
（1）（2 ）2﹣|﹣4|+3﹣1×6+20．
（2） • ﹣ ．
17．（2018•山西）如图，一次函数y =k x+b（k ≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于
1 1 1
点A，B，与反比例函数y = 的图象相交于点C（﹣4，﹣2），D（2，4）．
2
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当x为何值时，y ＞0；
1
（3）当x为何值时，y ＜y ，请直接写出x的取值范围．
1 2
18．（2018•山西）在“优秀传统文化进校园”活动中，学校计划每周二下午第三
节课时间开展此项活动，拟开展活动项目为：剪纸，武术，书法，器乐，要求七年级
学生人人参加，并且每人只能参加其中一项活动．教务处在该校七年级学生中随
机抽取了100名学生进行调查，并对此进行统计，绘制了如图所示的条形统计图
和扇形统计图（均不完整）．
第5页（共36页）请解答下列问题：
（1）请补全条形统计图和扇形统计图；
（2）在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比是多少？
（3）若该校七年级学生共有500人，请估计其中参加“书法”项目活动的有多少
人？
（4）学校教务处要从这些被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，那么正
好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率是多少？
19．（2018•山西）祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而
成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数
学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课
题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量
测量结果如下表．
项目 内容
课题 测量斜拉索顶端到桥面的距离
测量 说明：两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，分别与桥面交于A，B
示意 两点，且点A，B，C在同一竖直平面内．
图
测量 ∠A的 ∠B的度数 AB的长度
第6页（共36页）数据 度数
38° 28° 234米
… …
（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考
数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，
tan28°≈0.5）
（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补
充哪些项目（写出一个即可）．
20．（2018•山西）2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”
相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好．已知“太原南﹣北京西”全程大
约500千米，“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40
千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的 （两列车中途停留时间均
除外）．经查询，“复兴号”G92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，
停留10分钟．求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间．
21．（2018•山西）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办消
去．著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个
例子：请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y，使得
AX=BY=XY．（如图）解决这个问题的操作步骤如下：
第一步，在CA上作出一点D，使得CD=CB，连接BD．第二步，在CB上取一点Y'，作
Y'Z∥CA，交BD于点Z'，并在AB上取一点A'，使Z'A'=Y'Z'．第三步，过点A作
第7页（共36页）AZ∥A'Z'，交BD于点Z．第四步，过点Z作ZY∥AC，交BC于点Y，再过点Y作
YX∥ZA，交AC于点X．
则有AX=BY=XY．
下面是该结论的部分证明：
证明：∵AZ∥A'Z'，∴∠BA'Z'=∠BAZ，
又∵∠A'BZ'=∠ABZ．∴△BA'Z'～△BAZ．
∴ ．
同理可得 ．∴ ．
∵Z'A'=Y'Z'，∴ZA=YZ．
任务：（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形AXYZ的形状，并
加以证明；
（2）请再仔细阅读上面的操作步骤，在（1）的基础上完成AX=BY=XY的证明过程；
（3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形
BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，这里运用了下面一种图形的变化是 ．
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似
22．（2018•山西）综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，
AD=2AB，E是AB延长线上一点，且BE=AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边
在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM．试判断线段AM与DE的位置关系．
探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：
证明：∵BE=AB，∴AE=2AB．
∵AD=2AB，∴AD=AE．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．
∴ ．（依据1）
第8页（共36页）∵BE=AB，∴ ．∴EM=DM．
即AM是△ADE的DE边上的中线，
又∵AD=AE，∴AM⊥DE．（依据2）
∴AM垂直平分DE．
反思交流：
（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；
（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边
在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证
明；
探索发现：
（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，
点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形 ABCD和正方形CEFG
的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现
的结论，并加以证明．
23．（2018•山西）综合与探究
如图，抛物线y= x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴
交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为
m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于
点E，交BC于点F．
（1）求A，B，C三点的坐标；
第9页（共36页）（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的
三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理
由；
（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．
第10页（共36页）2018 年山西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3.00分）（2018•山西）下面有理数比较大小，正确的是（ ）
A．0＜﹣2 B．﹣5＜3 C．﹣2＜﹣3D．1＜﹣4
【分析】直接利用有理数比较大小的方法分别比较得出答案．
【解答】解：A、0＞﹣2，故此选项错误；
B、﹣5＜3，正确；
C、﹣2＞﹣3，故此选项错误；
D、1＞﹣4，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较，正确把握比较方法是解题关键．
2．（3.00分）（2018•山西）“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著
作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚
着历代数学家的劳动成果．下列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是（
）
A．
《九章算术》
B．
《几何原本》
第11页（共36页）C．
《海岛算经》
D．
《周髀算经》
【分析】根据数学常识逐一判别即可得．
【解答】解：A、《九章算术》是中国古代数学专著，作者已不可考，它是经历代各家
的增补修订，而逐渐成为现今定本的；
B、《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作；
C、《海岛算经》是中国学者编撰的最早一部测量数学著作，由刘徽于三国魏景元
四年所撰；
D、《周髀算经》原名《周髀》，是算经的十书之一，中国最古老的天文学和数学著
作；
故选：B．
【点评】本题主要考查数学常识，解题的关键是了解我国古代在数学领域的成就．
3．（3.00分）（2018•山西）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a3）2=﹣a6B．2a2+3a2=6a2
C．2a2•a3=2a6 D．
【分析】分别根据幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及分式的乘方逐一
计算即可判断．
【解答】解：A、（﹣a3）2=a6，此选项错误；
B、2a2+3a2=5a2，此选项错误；
C、2a2•a3=2a5，此选项错误；
第12页（共36页）D、 ，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握幂的乘方、合并同类项法则、
同底数幂的乘法及分式的乘方的运算法则．
4．（3.00分）（2018•山西）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x=0B．x2+4x﹣1=0 C．2x2﹣4x+3=0 D．3x2=5x﹣2
【分析】利用根的判别式△=b2﹣4ac分别进行判定即可．
【解答】解：A、△=4﹣4=0，有两个相等的实数根，故此选项不合题意；
B、△=16+4=20＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
C、△=16﹣4×2×3＜0，没有实数根，故此选项符合题意；
D、△=25﹣4×3×2=25﹣24=1＞0，有两个相等的实数根，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程 ax2+bx+c=0
（a ≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
5．（3.00分）（2018•山西）近年来快递业发展迅速，下表是2018年1～3月份我省
部分地市邮政快递业务量的统计结果（单位：万件）：
太原市 大同市 长治市 晋中市 运城市 临汾市 吕梁市
3303.78 332.68 302.34 319.79 725.86 416.01 338.87
1～3月份我省这七个地市邮政快递业务量的中位数是（ ）
A．319.79万件 B．332.68万件 C．338.87万件 D．416.01万件
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个
数的平均数）为中位数．
【解答】解：首先按从小到大排列数据：319.79，302.34，332.68，338.87，416.01，
725.86，3303.78
第13页（共36页）由于这组数据有奇数个，中间的数据是338.87
所以这组数据的中位数是338.87
故选：C．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的
时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇
数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
6．（3.00分）（2018•山西）黄河是中华民族的象征，被誉为母亲河，黄河壶口瀑布
位于我省吉县城西45千米处，是黄河上最具气势的自然景观．其落差约30米，年
平均流量1010立方米/秒．若以小时作时间单位，则其年平均流量可用科学记数
法表示为（ ）
A．6.06×104立方米/时 B．3.136×106立方米/时
C．3.636×106立方米/时D．36.36×105立方米/时
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1010×360×24=3.636×106立方米/时，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7．（3.00分）（2018•山西）在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们
除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再
随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
第14页（共36页）【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸
到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，
∴两次都摸到黄球的概率为 ，
故选：A．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表
法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树
状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放
回实验．
8．（3.00分）（2018•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将
△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，此时点A'恰好在AB边上，则点
B'与点B之间的距离为（ ）
A．12 B．6C． D．
【分析】连接B'B，利用旋转的性质和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：连接B'B，
第15页（共36页）∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，
∴AC=A'C，AB=A'B，∠A=∠CA'B'=60°，
∴△AA'C是等边三角形，
∴∠AA'C=60°，
∴∠B'A'B=180°﹣60°=60°=60°，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，
∴∠ACA'=∠BAB'=60°，BC=B'C，∠CB'A'=∠CBA=90°﹣60°=30°，
∴△BCB'是等边三角形，
∴∠CB'B=60°，
∵∠CB'A'=30°，
∴∠A'B'B=30°，
∴∠B'BA'=180°﹣60°﹣30°=90°，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，
∴AB=12，
∴A'B=AB﹣AA'=AB﹣AC=6，
∴B'B=6 ，
故选：D．
【点评】此题考查旋转问题，关键是利用旋转的性质和直角三角形的性质解答．
9．（3.00分）（2018•山西）用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k
的形式为（ ）
A．y=（x﹣4）2+7 B．y=（x﹣4）2﹣25 C．y=（x+4）2+7 D．y=（x+4）2﹣25
【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．
【解答】解：y=x2﹣8x﹣9
=x2﹣8x+16﹣25
=（x﹣4）2﹣25．
第16页（共36页）故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．
10．（3.00分）（2018•山西）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点
A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图
中阴影部分的面积为（ ）
A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣8
【分析】利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF的面积﹣△ABD的面积．
【解答】解：利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF的面积﹣△ABD的面积=
﹣ ×4×2=4π﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查扇形的面积公式、正方形的性质等知识，解题的关键是学会用转
化的思想思考问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3.00分）（2018•山西）计算：（3 +1）（3 ﹣1）= 1 7 ．
【分析】根据平方差公式计算即可．
【解答】解：原式=（3 ）2﹣12
=18﹣1
=17
故答案为：17．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握平方差公式、二次根式的性质是
解题的关键．
第17页（共36页）12．（3.00分）（2018•山西）图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案
象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2
是 从 图 1 冰 裂 纹 窗 格 图 案 中 提 取 的 由 五 条 线 段 组 成 的 图 形 ， 则
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 36 0 度．
【分析】根据多边形的外角和等于360°解答即可．
【解答】解：由多边形的外角和等于360°可知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
故答案为：360°．
【点评】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解
题的关键．
13．（3.00分）（2018•山西）2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行
李箱的长，宽，高三者之和不超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知
行李箱的宽为20cm，长与高的比为8：11，则符合此规定的行李箱的高的最大值
为 5 5 cm．
【分析】利用长与高的比为8：11，进而利用携带行李箱的长、宽、高三者之和不超
过115cm得出不等式求出即可．
【解答】解：设长为8x，高为11x，
由题意，得：19x+20≤115，
第18页（共36页）解得：x≤5，
故行李箱的高的最大值为：11x=55，
答：行李箱的高的最大值为55厘米．
故答案为：55
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意得出正确不等关系是
解题关键．
14．（3.00分）（2018•山西）如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于
点A，B．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径
作弧交AN于点C，交AB于点D；②分别以C，D为圆心，以大于 CD长为半径作
弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F．若AB=2，∠ABP=60°，则
线段AF的长为 2 ．
【分析】作高线BG，根据直角三角形30度角的性质得：BG=1，AG= ，可得AF的
长．
【解答】解：∵MN∥PQ，
∴∠NAB=∠ABP=60°，
由题意得：AF平分∠NAB，
∴∠1=∠2=30°，
∵∠ABP=∠1+∠3，
∴∠3=30°，
∴∠1=∠3=30°，
∴AB=BF，AG=GF，
第19页（共36页）∵AB=2，
∴BG= AB=1，
∴AG= ，
∴AF=2AG=2 ，
故答案为：2 ．
【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的基本作图、直角三角形30度角的
性质，此题难度不大，熟练掌握平行线和角平分线的基本作图是关键．
15．（3.00分）（2018•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是
AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的
切线FG，交AB于点G，则FG的长为 ．
【分析】先利用勾股定理求出AB=10，进而求出CD=BD=5，再求出CF=4，进而求出
DF=3，再判断出FG⊥BD，利用面积即可得出结论．
【解答】解：如图，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=10，
∴点D是AB中点，
第20页（共36页）∴CD=BD= AB=5，
连接DF，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD=90°，
∴BF=CF= BC=4，
∴DF= =3，
连接OF，
∵OC=OD，CF=BF，
∴OF∥AB，
∴∠OFC=∠B，
∵FG是⊙O的切线，
∴∠OFG=90°，
∴∠OFC+∠BFG=90°，
∴∠BFG+∠B=90°，
∴FG⊥AB，
∴S = DF×BF= BD×FG，
△BDF
∴FG= = = ，
故答案为 ．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，三角形的中
位线定理，三角形的面积公式，判断出FG⊥AB是解本题的关键．
第21页（共36页）三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤）
16．（2018•山西）计算：
（1）（2 ）2﹣|﹣4|+3﹣1×6+20．
（2） • ﹣ ．
【分析】（1）先计算乘方、绝对值、负整数指数幂和零指数幂，再计算乘法，最后计
算加减运算可得；
（2）先将分子、分母因式分解，再计算乘法，最后计算减法即可得．
【解答】解：（1）原式=8﹣4+ ×6+1
=8﹣4+2+1
=7．
（2）原式=
=
= ．
【点评】本题主要考查实数和分式的混合运算，解题的关键是掌握绝对值性质、负
整数指数幂、零指数幂及分式混合运算顺序和运算法则．
17．（2018•山西）如图，一次函数y =k x+b（k ≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于
1 1 1
点A，B，与反比例函数y = 的图象相交于点C（﹣4，﹣2），D（2，4）．
2
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当x为何值时，y ＞0；
1
（3）当x为何值时，y ＜y ，请直接写出x的取值范围．
1 2
第22页（共36页）【分析】（1）将C、D两点代入一次函数的解析式中即可求出一次函数的解析式，
然后将点D代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式；
（2）根据一元一次不等式的解法即可求出答案．
（3）根据图象即可求出答案该不等式的解集．
【解答】解：（1）∵一次函数y =k x+b的图象经过点C（﹣4，﹣2），D（2，4），
1 1
∴ ，
解得 ．
∴一次函数的表达式为y =x+2．
1
∵反比例函数 的图象经过点D（2，4），
∴ ．
∴k =8．
2
∴反比例函数的表达式为 ．
（2）由y ＞0，得x+2＞0．
1
∴x＞﹣2．
∴当x＞﹣2时，y ＞0．
1
（3）x＜﹣4或0＜x＜2．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是熟练运用待
定系数法以及数形结合的思想，本题属于中等题型．
第23页（共36页）18．（2018•山西）在“优秀传统文化进校园”活动中，学校计划每周二下午第三
节课时间开展此项活动，拟开展活动项目为：剪纸，武术，书法，器乐，要求七年级
学生人人参加，并且每人只能参加其中一项活动．教务处在该校七年级学生中随
机抽取了100名学生进行调查，并对此进行统计，绘制了如图所示的条形统计图
和扇形统计图（均不完整）．
请解答下列问题：
（1）请补全条形统计图和扇形统计图；
（2）在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比是多少？
（3）若该校七年级学生共有500人，请估计其中参加“书法”项目活动的有多少
人？
（4）学校教务处要从这些被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，那么正
好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率是多少？
【分析】（1）先求出参加活动的女生人数，进而求出参加武术的女生人数，即可补
全条形统计图，再分别求出参加武术的人数和参加器乐的人数，即可求出百分比
（2）用参加剪纸中男生人数除以剪纸的总人数即可得出结论；
（3）根据样本估计总体的方法计算即可；
（4）利用概率公式即可得出结论．
第24页（共36页）【解答】解：（1）由条形图知，男生共有：10+20+13+9=52人，
∴女生人数为100﹣52=48人，
∴参加武术的女生为48﹣15﹣8﹣15=10人，
∴参加武术的人数为20+10=30人，
∴30÷100=30%，
参加器乐的人数为9+15=24人，
∴24÷100=24%，
补 全 条 形 统 计 图 和 扇 形 统 计 图 如 图 所 示 ：
（2）在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比是 ．
答：在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比为40%．
（3）500×21%=105（人）．
答：估计其中参加“书法”项目活动的有105人．
（4） ．
答：正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率为 ．
【点评】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不
同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每
个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
第25页（共36页）19．（2018•山西）祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而
成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数
学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课
题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量
测量结果如下表．
项目 内容
课题 测量斜拉索顶端到桥面的距离
测量 说明：两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，分别与桥面交于A，B
示意 两点，且点A，B，C在同一竖直平面内．
图
测量 ∠A的 ∠B的度数 AB的长度
数据 度数
38° 28° 234米
… …
（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考
数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，
tan28°≈0.5）
（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补
充哪些项目（写出一个即可）．
【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D．解直角三角形求出DC即可；
（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受
等
【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D．
设CD=x米，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠A=38°．
∵ ，∴ ．
在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠B=28°．
第26页（共36页）∵ ，∴ ．
∵AD+BD=AB=234，∴ ．
解得x=72．
答：斜拉索顶端点C到AB的距离为72米．
（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受
等．（答案不唯一）
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问
题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题；
20．（2018•山西）2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”
相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好．已知“太原南﹣北京西”全程大
约500千米，“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40
千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的 （两列车中途停留时间均
除外）．经查询，“复兴号”G92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，
停留10分钟．求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间．
【分析】设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要x小时，则
“和谐号”列车的行驶时间需要 x小时，根据速度=路程÷时间结合“复兴
第27页（共36页）号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶 40千米，即可得出关
于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要x小时，
则“和谐号”列车的行驶时间需要 x小时，
根据题意得： = +40，
解得：x= ，
经检验，x= 是原分式方程的解，
∴x+ = ．
答：乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要 小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的
关键．
21．（2018•山西）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办消
去．著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个
例子：请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y，使得
AX=BY=XY．（如图）解决这个问题的操作步骤如下：
第一步，在CA上作出一点D，使得CD=CB，连接BD．第二步，在CB上取一点Y'，作
Y'Z∥CA，交BD于点Z'，并在AB上取一点A'，使Z'A'=Y'Z'．第三步，过点A作
AZ∥A'Z'，交BD于点Z．第四步，过点Z作ZY∥AC，交BC于点Y，再过点Y作
YX∥ZA，交AC于点X．
则有AX=BY=XY．
下面是该结论的部分证明：
证明：∵AZ∥A'Z'，∴∠BA'Z'=∠BAZ，
又∵∠A'BZ'=∠ABZ．∴△BA'Z'～△BAZ．
∴ ．
第28页（共36页）同理可得 ．∴ ．
∵Z'A'=Y'Z'，∴ZA=YZ．
任务：（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形AXYZ的形状，并
加以证明；
（2）请再仔细阅读上面的操作步骤，在（1）的基础上完成AX=BY=XY的证明过程；
（3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形
BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，这里运用了下面一种图形的变化是 D （ 或位
似） ．
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似
【分析】（1）四边形AXYZ是菱形．首先由“两组对边相互平行的四边形是平行四
边形”推知四边形AXYZ是平行四边形，再由“邻边相等的平行四边形是菱形”
证得结论；
（2）利用菱形的四条边相等推知AX=XY=YZ．根据等量代换得到AX=BY=XY．
（3）根据位似变换的定义填空．
【解答】解：（1）四边形AXYZ是菱形．
证明：∵ZY∥AC，YX∥ZA，
∴四边形AXYZ是平行四边形．
∵ZA=YZ，
∴平行四边形AXYZ是菱形．
（2）证明：∵CD=CB，
∴∠1=∠3．
∵ZY∥AC，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
第29页（共36页）∴YB=YZ．
∵四边形AXYZ是菱形，
∴AX=XY=YZ．
∴AX=BY=XY．
（3）通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位
置，此时四边形BA'Z'Y'∽四边形BAZY，所以该变换形式是位似变换．
故答案是：D（或位似）．
【点评】考查了相似综合题型，掌握菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，
位似变换，位似图形的两个图形必须是相似形．
22．（2018•山西）综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，
AD=2AB，E是AB延长线上一点，且BE=AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边
在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM．试判断线段AM与DE的位置关系．
探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：
证明：∵BE=AB，∴AE=2AB．
∵AD=2AB，∴AD=AE．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．
∴ ．（依据1）
∵BE=AB，∴ ．∴EM=DM．
即AM是△ADE的DE边上的中线，
又∵AD=AE，∴AM⊥DE．（依据2）
∴AM垂直平分DE．
第30页（共36页）反思交流：
（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；
（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边
在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证
明；
探索发现：
（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，
点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形 ABCD和正方形CEFG
的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现
的结论，并加以证明．
【分析】（1）①直接得出结论；
②借助问题情景即可得出结论；
（2）先判断出∠BCE+∠BEC=90°，进而判断出∠BEC=∠BCG，得出△GHC≌△CBE，
判断出AD=BC，进而判断出HC=BH，即可得出结论；
（3）先判断出四边形BENM为矩形，进而得出∠1+∠2=90°，再判断出∠1=∠3，得
出△ENF≌△EBC，即可得出结论．
【解答】解：（1）①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
（或平行线分线段成比例）．
依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合（或等腰
三角形的“三线合一”）．
②答：点A在线段GF的垂直平分线上．
理由：由问题情景知，AM⊥DE，
第31页（共36页）∵四边形DEFG是正方形，
∴DE∥FG，
∴点A在线段GF的垂直平分线上．
（2）证明：过点G作GH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，
∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°，
∴∠BCE+∠BEC=90°．
∵四边形CEFG为正方形，
∴CG=CE，∠GCE=90°，
∴∠BCE+∠BCG=90°．
∴∠2BEC=∠BCG．
∴△GHC≌△CBE．
∴HC=BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC．
∵AD=2AB，BE=AB，
∴BC=2BE=2HC，
∴HC=BH．
∴GH垂直平分BC．
∴点G在BC的垂直平分线上．
（3）答：点F在BC边的垂直平分线上（或点F在AD边的垂直平分线上）．
证法一：过点F作FM⊥BC于点M，过点E作EN⊥FM于点N．
∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°．
∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，
∴∠CBE=∠ABC=90°，
∴四边形BENM为矩形．
∴BM=EN，∠BEN=90°．
∴∠1+∠2=90°．
第32页（共36页）∵四边形CEFG为正方形，
∴EF=EC，∠CEF=90°．
∴∠2+∠3=90°．
∴∠1=∠3．
∵∠CBE=∠ENF=90°，
∴△ENF≌△EBC．
∴NE=BE．∴BM=BE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC．
∵AD=2AB，AB=BE．
∴BC=2BM．
∴BM=MC．
∴FM垂直平分BC．
∴点F在BC边的垂直平分线上．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角
形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关
键．
23．（2018•山西）综合与探究
如图，抛物线y= x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴
交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为
m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于
点E，交BC于点F．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的
三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理
由；
（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．
第33页（共36页）【分析】（1）解方程 x﹣4=0得A（﹣3，0），B（4，0），计算自变量为0时的
二次函数值得C点坐标；
（2）利用勾股定理计算出AC=5，利用待定系数法可求得直线BC的解析式为y=x
﹣4，则可设Q（m，m﹣4）（0＜m＜4），讨论：当CQ=CA时，则m2+（m﹣4+4）2=52，
当AQ=AC时，（m+3）2+（m﹣4）2=52；当QA=QC时，（m+3）2+（m﹣4）2=52，然后分别
解方程求出m即可得到对应的Q点坐标；
（3）过点F作FG⊥PQ于点G，如图，由△OBC为等腰直角三角形．可判断△FQG
为等腰直角三角形，则FG=QG= FQ，再证明△FGP～△AOC得到 = ，则PG=
FQ，所以PQ= FQ，于是得到FQ= PQ，设P（m， m2﹣ m﹣4）（0＜m
＜4），则Q（m，m﹣4），利用PQ=﹣ m2+ m得到FQ= （﹣ m2+ m），然后
利用二次函数的性质解决问题．
【解答】解：（1）当y=0， x﹣4=0，解得x =﹣3，x =4，
1 2
∴A（﹣3，0），B（4，0），
当x=0，y= x﹣4=﹣4，
∴C（0，﹣4）；
（2）AC= =5，
易得直线BC的解析式为y=x﹣4，
设Q（m，m﹣4）（0＜m＜4），
第34页（共36页）当CQ=CA时，m2+（m﹣4+4）2=52，解得m = ，m =﹣ （舍去），此时Q点坐
1 2
标为（ ， ﹣4）；
当AQ=AC时，（m+3）2+（m﹣4）2=52，解得m =1，m =﹣0（舍去），此时Q点坐标为
1 2
（1，﹣3）；
当QA=QC时，（m+3）2+（m﹣4）2=52，解得m= （舍去），
综上所述，满足条件的Q点坐标为（ ， ﹣4）或（1，﹣3）；
（3）解：过点F作FG⊥PQ于点G，如图，
则FG∥x轴．由B（4，0），C（0，﹣4）得△OBC为等腰直角三角形
∴∠OBC=∠QFG=45
∴△FQG为等腰直角三角形，
∴FG=QG= FQ，
∵PE∥AC，PG∥CO，
∴∠FPG=∠ACO，
∵∠FGP=∠AOC=90°，
∴△FGP～△AOC．
∴ = ，即 = ，
∴PG= FG= • FQ= FQ，
∴PQ=PG+GQ= FQ+ FQ= FQ，
∴FQ= PQ，
设P（m， m2﹣ m﹣4）（0＜m＜4），则Q（m，m﹣4），
∴PQ=m﹣4﹣（ m2﹣ m﹣4）=﹣ m2+ m，
第35页（共36页）∴FQ= （﹣ m2+ m）=﹣ （m﹣2）2+
∵﹣ ＜0，
∴QF有最大值．
∴当m=2时，QF有最大值．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、
二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐
标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决
数学问题．
第36页（共36页）
