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2016 年山西省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（2016·山西） 的相反数是（ ）
A． B．-6 C．6 D．
2．（2016·山西）不等式组 的解集是（ ）
A．x>5 B．x<3 C．-5<x<3 D．x<5
3．（2016·山西）以下问题不适合全面调查的是（ ）
A．调查某班学生每周课前预习的时间 B．调查某中学在职教师的身体健康状况
C．调查全国中小学生课外阅读情况 D．调查某篮球队员的身高
4．（2016·山西）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该
位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）
5．（2016·山西）我国计划在2020年左右发射火星探测卫星．据科学研究，火星距离地球的最近距离约
为5500万千米，这个数据用科学计数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（2016·山西）下列运算正确的是 （ ）
A． B． C． D．
7．（2016·山西）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所
用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg货物．设甲每小时
搬运xkg货物，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2016·山西）将抛物线 向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表
达式为（ ）
A． B． C．
第 1 页 共 20 页D．
9．（2016·山西）如图，在 ABCD中，AB为 的直径， 与DC相切于点E，与AD相交于点F，已
知AB=12， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2016·山西）宽与长的比是 （约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美
学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取
AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线与点G；作 ，
交AD的延长线于点H．则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
二、填空题（本大题共5个小题，每
小题3分，共15分）
11．（2016·山西）如图是利用网格画出的太原市地铁
1，2，3号线路部分规划示意图．若建立适当的平面直
角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0，-1），表示桃
园路的点的坐标为（-1，0），则表示太原火车站的点
（正好在网格点上）的坐标是 ．
12．（2016·山西）已知点（m-1， ），（m-3， ）是反比
例函数 图象上的两点，则 （填
“>”或“=”或“<”）
13．（2016·山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形
涂有阴影，依此规律，第n个图案中有 个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）．
14．（2016·山西）如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个
转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有
“1”“2”“3”三个数字，指针的位置固定不动．让转盘自动转动两次，
第 2 页 共 20 页当指针指向的数都是奇数的概率为
15．（2016·山西）如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是
的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（2016·山西）（本题共2个小题，每小题5分，共10分）
（1）计算：
（2）先化简，在求值： ，其中x=-2．
17．（2016·山西）（本题7分）解方程：
18．（2016·山西）（本题8分）每年5月的第二周为：“职业教育活动周”，今 年
我省展开了以“弘扬工匠精神，打造技能强国”为主题的系列活动，活动期 间
某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观摩” 活
动，相关职业技术人员进行了现场演示，活动后该校随机抽取了部分学生进 行
调查：“你最感兴趣的 一 种
职业技能是什么？”并 对 此
进行了统计，绘制了统
计图（均不完整）．
（1）补全条形统计图和
扇形统计图；
（2）若该校共有 1800
名学生，请估计该校对
“工业设计”最感兴趣
的学生有多少人?
（3）要从这些被调查的 学生中随机抽取一人进
行访谈，那么正好抽到 对“机电维修”最
感兴趣的学生的概率是
19．（2016·山西）（本题7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes，公元前287~公元212年，古
希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯
并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Biruni（973年~1050年）的译文中保
第 3 页 共 20 页存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第
一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是 的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB，
M是 的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．
下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．
证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是 的中点，
∴MA=MC
．．．
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于 ，AB=2，D为
上 一点, ，AE⊥BD与点E，则△BDC的长是 ．
20．（2016·山西）（本题7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货
且购买量在2000kg~5000kg（含2000kg和5000kg）的客户有两种
销售方案（客户只能选择其中一种方案）：
方案A：每千克5．8元，由基地免费送货．
方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．
（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量x
（kg）之间的函数表达式；
（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；
（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直
接写出他应选择哪种方案．
21．（2016·山西）（本题10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、 高
效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业，如图是 太
阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能
电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为
，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分
别为D，F，CD垂直于地面， 于点E．两个底座地基高度
相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地
面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm
（结果保留根号）
第 4 页 共 20 页22．（2016·山西）（本题12分）综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张
菱形纸片ABCD（ ）沿对角线AC剪开，得到 和 ．
操作发现
（1）将图1中的 以A为旋转中心，
逆时针方向旋转角 ，使 ，
得到如图2所示的 ，分别延长BC
和 交于点E，则四边形 的
状是 ；……………（2分）
（2）创新小组将图1中的 以A为
旋转中心，按逆时针方向旋转角
，使 ，得到如图3所
示的 ，连接DB， ，得到四边形 ，发现它是矩形．请你证明这个论；
实践探究
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图 3中BC=13cm，
AC=10cm，然后提出一个问题：将 沿着射线 DB 方向平移
acm，得到 ，连接 ， ，使四边形 恰好
为正方形，求a的值．请你解答此问题；
（4）请你参照以上操作，将图1中的 在同一平面内进行一次平移，得
到 ，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说
明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．
23.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴
交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线
的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，
D的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．
（1） 求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2） 试探究抛物线上是否存在点F，使 ≌ ，若存在，
请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直
线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时， 是
等腰三角形．
第 5 页 共 20 页2016 年山西省中考数学试卷（解析版）
第 6 页 共 20 页一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（2016·山西） 的相反数是（ A ）
A． B．-6 C．6 D．
考点：相反数
解析：利用相反数和为0计算
解答：因为a+（-a）=0
∴ 的相反数是
2．（2016·山西）不等式组 的解集是（ C ）
A．x>5 B．x<3 C．-5<x<3 D．x<5
考点： 解一元一次不等式组
分析： 先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
解答： 解
由①得x>-5
由②得x<3
所以不等式组的解集是-5<x<3
3．（2016·山西）以下问题不适合全面调查的是（ C ）
A．调查某班学生每周课前预习的时间 B．调查某中学在职教师的身体健康状况
C．调查全国中小学生课外阅读情况 D．调查某篮球队员的身高
考点：全面调查与抽样调查．
分析：一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选
择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查．
解答：A．调查某班学生每周课前预习的时间，班级容量小，且要求精准度高，用全面调查
B．调查某中学在职教师的身体健康状况，人数不多，容易调查，适合普查；
C．调查全国中小学生课外阅读情况 ，中学生的人数比较多，适合采取抽样调查；
D．调查某篮球队员的身高，此种情况数量不是很大，故必须普查；
4．（2016·山西）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该
位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ A ）
第 7 页 共 20 页考点：三视图
分析：根据俯视图上的数字确定，每一列上的个数由该方向上的最大数决定．
解答：从左面看第一列可看到3个小正方形，第二列有1个小正方形
故选A．
5．（2016·山西）我国计划在2020年左右发射火星探测卫星．据科学研究，火星距离地球的最近距离约
为5500万千米，这个数据用科学计数法可表示为（ B ）
A． B． C． D．
考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当
原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：将55 000 000用科学记数法表示为： ．
6．（2016·山西）下列运算正确的是 （ D ）
A． B． C． D．
考点：实数的运算，幂的乘方，同底数幂的除法，
分析：根据实数的运算可判断A．
根据幂的乘方可判断B．
根据同底数幂的除法可判断C．
根据实数的运算可判断D
解答：A． ，故A错误
B． ，故B错误
C． ，故C错误．
D． ，故选D．
7．（2016·山西）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所
用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg货物．设甲每小时
搬运xkg货物，则可列方程为（ B ）
A． B．
第 8 页 共 20 页C． D．
考点：分式方程的应用
分析：设甲每小时搬运xkg货物，则甲搬运5000kg所用的时间是： ，
根据题意乙每小时搬运的货物为x+600，乙搬运8000kg所用的时间为
再根据甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等列方程
解答：甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等，所以
故选B．
8．（2016·山西）将抛物线 向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表
达式为（ D ）
A． B． C． D．
考点：抛物线的平移
分析：先将一般式化为顶点式，根据左加右减，上加下减来平移
解答：将抛物线化为顶点式为： ，左平移3个单位，再向上平移5个单位
得到抛物线的表达式为
故选D．
9．（2016·山西）如图，在 ABCD中，AB为 的直径， 与DC
相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12， ，则 的
长为（ C ）
A． B． C． D．
考点：切线的性质，求弧长
分析：如图连接OF，OE
由切线可知 ，故由平行可知
由OF=OA，且 ，所以 所以△OFA为
等
边三角形∴ ，
从而可以得出 所对的圆心角然后根据弧长公式即可求出
解答：
r=12÷2=6
∴ =
故选C
第 9 页 共 20 页10．（2016·山西）宽与长的比是 （约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美
学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取
AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线与点G；作 ，
交AD的延长线于点H．则图中下列矩形是黄金矩形的是（ D ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
考点：黄金分割的识别
分析：由作图方法可知DF= CF，所以CG= ，且GH=CD=2CF
从而得出黄金矩形
解答：CG= ，GH=2CF
∴
∴矩形DCGH是黄金矩形
选D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（2016·山西）如图是利用网格画出的太原市地铁
1，2，3号线路部分规划示意图．若建立适当的平面直
角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0，-1），表示桃
园路的点的坐标为（-1，0），则表示太原火车站的点
（正好在网格点上）的坐标是 （ 3 ， 0 ） ．
考点：坐标的确定
分析：根据双塔西街点的坐标为（0，-1），可知大南
门为坐标原点，从而求出太原火车站的点（正
好在网格点上）的坐标
解答：太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标
（3，0）
12．（2016·山西）已知点（m-1， ），（m-3， ）是反比例函数 图象上的两点，则 >
（填“>”或“=”或“<”）
考点：反比函数的增减性
分析：由反比函数m<0，则图象在第二四象限分别都是y随着x的增大而增大
∵m<0，∴m-1<0，m-3<0，且m-1>m-3，从而比较y的大小
解答：在反比函数 中，m<0，m-1<0，m-3<0，在第四象限y随着x的增大而增大
第 10 页 共 20 页且m-1>m-3，所以 >
13．（2016·山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形
涂有阴影，依此规律，第n个图案中有（ 4 n + 1 ） 个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）．
考点：找规律
分析：由图可知，涂有阴影的正方形有5+4（n-1）=4n+1个
解答：（4n+1）
14．（2016·山西）如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面
积相等的三部分，且分别标有“1”“2”“3”三个数字，指针的位置固定不动．让转盘自动转动两
次，当指针指向的数都是奇数的概率为
考点：树状图或列表求概率
分析：列表如图：
1 2 3
1 （1，1） （1，2） （1，3）
2 （2，1） （2，2） （2，3）
3 （3，1） （3，2） （3，3）
解 答 ： 由表可知指
针指向的数都是奇数的概率为
15．（2016·山西）如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是
的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，
则HG的长为
考点：勾股定理，相似，平行线的性质，角平分线； 分
析：由勾股定理求出DA，
由平行得出 ，由角平分得出
从而得出 ，所以HE=HA．
再利用△DGH∽△DCA即可求出HE，
从而求出HG
解答：如图（1）由勾股定理可得
DA=
由 AE是 的平分线可知
第 11 页 共 20 页由CD⊥AB，BE⊥AB，EH⊥DC可知四边形GEBC为矩
形，∴HE∥AB，∴
∴
故EH=HA
设EH=HA=x
则GH=x-2，DH=
∵HE∥AC ∴△DGH∽△DCA
∴ 即
解得x= 故HG=EH-EG= -2=
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（2016·山西）（本题共2个小题，每小题5分，共10分）
（1）计算：
考点：实数的运算，负指数幂，零次幂
分析：根据实数的运算，负指数幂，零次幂三个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根
据实数的运算法则求得计算结果．
解答：原=9-5-4+1 ……………………………（4分）
=1． ……………………………（5分）
（2）先化简，在求值： ，其中x=-2．
考点：分式的化简求值
分析：先把分子分母因式分解，化简后进行减法运算
解答：原式= ……………………………（2分）
= ……………………………（3分）
= ……………………………（4分）
当x=-2时，原式= ……………………（5分）
17．（2016·山西）（本题7分）解方程：
考点：解一元二次方程
分析：方法一：观察方程，可先分解因式，然后提取x-3，利用公式法求解
方法二：将方程化为一般式，利用公式法求解
解答：解法一：
第 12 页 共 20 页原方程可化为 ……………………………（1分）
． ……………………………（2分）
． ……………………………（3分）
． ……………………………（4分）
∴ x-3=0或x-9=0． ……………………………（5分）
∴ ， ． ……………………………（7分）
解法二：
原方程可化为
……………………………（3分）
这里a=1，b=-12，c=27． ∵
∴ ． ……………………………（5分）
因此原方程的根为 ， ． ……………………………（7分）
18．（2016·山西）（本题8分）每年5月的第二周为：“职业教育活动周”， 今年我
省展开了以“弘扬工匠精神，打造技能强国”为主题的系列活动，活动 期间某
职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观 摩”活
动，相关职业技术人员进行了现场演示，活动后该校随机抽取了部分学 生进行
调查：“你最感兴趣的 一种职
业技能是什么？”并对 此进行
了统计，绘制了统计图
（均不完整）．
（1）补全条形统计图和
扇形统计图；
（2）若该校共有1800
名学生，请估计该校对
“工业设计”最感兴趣
的学生有多少人?
（3）要从这些被调查的
第 13 页 共 20 页学生中随机抽取一人进
行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是
考点：条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，简单概率
分析：（1）利用条形和扇形统计图相互对应求出总体，再分别计算即可
（2）由扇形统计图可知对“工业设计”最感兴趣的学生有30%，再用整体1800乘以
30%
（3）由扇形统计图可知
解答：（1）补全的扇形统计图和条形统计图如图所示
（2）1800×30%=540（人）
∴估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生是540人
（3）要从这些被调查的学生中随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电维修”
最感兴趣的学生的概率是 0.13（或13%或 ）
19．（2016·山西）（本题7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes，公元前287~公元212年，古
希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯
并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Biruni（973年~1050年）的译文中保存了
阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄
文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦
定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是 的两条弦（即折线ABC是圆的
一条折弦），BC>AB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦
ABC的中点，即CD=AB+BD．
下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．
证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
第 14 页 共 20 页∵M是 的中点，
∴MA=MC
．．．
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于 ，AB=2，D为 上一点，
，AE⊥BD与点E，则△BDC的长是 ．
考点：圆的证明
分析：（1）已截取CG=AB ∴只需证明BD=DG
且MD⊥BC，所以需证明MB=MG
故证明△MBA≌△MGC即可
（2）AB=2，利用三角函数可得BE=
由阿基米德折弦定理可得BE=DE+DC
则△BDC周长=BC+CD+BD=BC+DC+DE+BE
=BC+（DC+DE）+BE
=BC+BE+BE
=BC+2BE
然后代入计算可得答案
解答：（1）证明：又∵ ， …………………（1分）
∴ △MBA≌△MGC． …………………（2分）
∴MB=MG． …………………（3分）
又∵MD⊥BC，∵BD=GD． …………………（4分）
∴CD=CG+GD=AB+BD． …………………（5分）
（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于 ，AB=2，
D为 上 一点， ，AE⊥BD与点E，则△BDC
的长是 ．
20．（2016·山西）（本题7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货
且购买量在2000kg~5000kg（含2000kg和5000kg）的客户有两种
销售方案（客户只能选择其中一种方案）：
方案A：每千克5．8元，由基地免费送货．
方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．
（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量 x
（kg）之间的函数表达式；
（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；
（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直
接写出他应选择哪种方案．
考点： 一次函数的应用
分析：（1）根据数量关系列出函数表达式即可
（2）先求出方案A应付款y与购买量x的函数关系为
方案B 应付款y与购买量x的函数关系为
然后分段求出哪种方案付款少即可
（3）令y=20000，分别代入A方案和B方案的函数关系式中，求出x，比大小．
解答：（1）方案A：函数表达式为 ． ………………………（1分）
第 15 页 共 20 页方案B：函数表达式为 ………………………（2分）
（2）由题意，得 ． ………………………（3分）
解不等式，得x<2500 ………………………（4分）
∴当购买量x的取值范围为 时，选用方案A
比方案B付款少． ………………………（5分）
（3）他应选择方案B． ………………………（7分）
21．（2016·山西）（本题10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普
遍关注和重点发展的新兴产业，如图是太阳能电池板支撑架的截面图，
其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均
为300cm，AB的倾斜角为 ，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底座
地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面， 于点E．两个底
座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A
到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）
考点：三角函数的应用
分析：过点A作 ，垂足为G，利用三角函数求出CG，从
而求出GD，继而求出CD．
连接FD并延长与BA的延长线交于点H，利用三角函数求出
CH，由图得出EH，再利用三角函数值求出EF
解答：过点A作 ，垂足为G．…………（1分）
则 ，在Rt 中，
．…………（2分）
由题意，得 ．…………（3分）
（cm）．…（4分）
连接FD并延长与BA的延长线交于点H．…（5分）
由题意，得 ．在Rt 中，
．……………………（6分）
．………（7分）
在Rt 中， （cm）．……………（9分）
答：支撑角钢CD的长为45cm，EF的长为 cm．……………………（10分）
22．（2016·山西）（本题12分）综合与实践
第 16 页 共 20 页问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张
菱形纸片ABCD（ ）沿对角线AC剪开，得到 和 ．
操作发现
（1）将图1中的 以A为旋转中心，
逆时针方向旋转角 ，使 ，
得到如图2所示的 ，分别延长
BC
和 交于点E，则四边形
的
状是 菱形 ；……………（2分）
（2）创新小组将图1中的 以A为
旋转中心，按逆时针方向旋转角
，使 ，得到如图3所
示的 ，连接DB， ，得到四边形 ，发现它是矩形．请你证明这个论；
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一个问题：将
沿着射线DB方向平移acm，得到 ，连接 ， ，使四边形
恰好为正方形，求a的值．请你解答此问题；
（4）请你参照以上操作，将图1中的 在同一平面内进行一次平移，得到 ，在图4中画
出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．
考点：几何综合，旋转实际应用，平移的实际应用，旋转的性质，平移的性质，菱形的判定，
矩形的判定正方形的判定
分析：（1）利用旋转的性质和菱形的判定证明
（2）利用旋转的性质以及矩形的判定证明
（3）利用平移行性质和正方形的判定证明，需注意射线这个条件，所以需要分两种情
况当点 在边 上和点 在边 的延长线上时．
（4）开放型题目，答对即可
解答：（1）菱形
（2）证明：作 于点E．…………………………………………（3分）
由旋转得 ， ．
四边形ABCD是菱形， ， ， ，
， 同 理 ， ， 又 ， 四 边 形
是平行四边形，…………………（4分）
又 ， ， ，
∴四边形 是矩形…………………………………………（5分）
（3）过点B作 ，垂足为F， ，
．
在Rt 中， ，
在 和 中， ， ．
∽ ， ，即 ，解得 ，
第 17 页 共 20 页， ， ．…………………（7分）
当四边形 恰好为正方形时，分两种情况：
①点 在边 上． ．…………………（8分）
②点 在边 的延长线上， ．……………（9分）
综上所述，a的值为 或 ．
（4）：答案不唯一．
例：画出正确图形．……………………………………（10分）
平移及构图方法：将 沿着射线CA方向平移，平移距离为
的长度，得到 ，
连接 ．………………………（11分）
结论：四边形是平行四边形……（12分）
23．（2016·山西）（本题14分）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对
称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（－2，0），（6，－
8）．
（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2）试探究抛物线上是否存在点F，使 ≌ ，若存在，请
直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线
PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时， 是等腰三角形．
考点：求抛物线的解析式，求点坐标，全等构成，等腰三角形的构
成
分析：（1）将A，D的坐标代入函数解析式，解二元一次方程即可求
出函数表达式
点B坐标：利用抛物线对称性，求出对称轴结合A点坐标即可求出B点坐标
点E坐标：E为直线l和抛物线对称轴的交点，利用D点坐标求出l表达式，令
其横坐标为 ，即可求出点E的坐标
（2）利用全等对应边相等，可知FO=FC，所以点F肯定在OC的垂直平分线上，所
以点F的纵坐标为-4，带入抛物线表达式，即可求出横坐标
（3）根据点P在y轴负半轴上运动，∴分两种情况讨论，再结合相似求解
解答：（1） 抛物线 经过点A（－2，0），D（6，－8），
解得 …………………………………（1分）
抛物线的函数表达式为 ……………………………（2分）
第 18 页 共 20 页， 抛物线的对称轴为直线 ．又 抛物线与x轴交于A，B
两点，点A的坐标为（－2，0）． 点B的坐标为（8，0）…………………（4分）
设直线l的函数表达式为 ． 点D（6，－8）在直线l上， 6k=－8，解得 ．
直线l的函数表达式为 ………………………………………………………（5分）
点E为直线l和抛物线对称轴的交点． 点E的横坐标为3，纵坐标为 ，即点E的坐
标为（3，－4）……………………………………………………………………（6分）
（2）抛物线上存在点F，使 ≌ ．
点F的坐标为（ ）或（ ）．……………………………………（8分）
（3）解法一：分两种情况：
①当 时， 是等腰三角形．
点 E 的 坐 标 为 （ 3 ， － 4 ） ，
，过点 E 作直线 ME// PB，交
y轴于点M，交x轴于点H，则 ，
……………………………… … …
（9分）
点M的坐标为（0，－5）．
设直线 ME 的表达式为 ，
，解得 ， ME的函数表达式为 ，令y=0，得 ，解得
x=15， 点H的坐标为（15，0）…（10分）
又 MH//PB， ，即 ，
……………………………（11分）
②当 时， 是等腰三角形．
当x=0时， ， 点C的坐
标为（0，－8），
， OE=CE ，
，又因为 ， ，
， CE//PB………………………………………………………………（12分）
设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为 ， ，解得 ， CE的函
数表达式为 ，令y=0，得 ， ， 点N的坐标为
（6，0）………………………………………………………………（13分）
第 19 页 共 20 页CN//PB， ， ，解得 ………………（14分）
综上所述，当m的值为 或 时， 是等腰三角形．
解法二：
当x=0时， ， 点C的坐标为（0，－8）， 点E的坐标为
（3，－4）， ，
， OE=CE， ，设抛物线的对称轴交直线
PB于点M，交x轴于点H．分两种情况：
① 当 时， 是等腰三角形．
， ， CE//
PB………………………………………（9分）
又 HM//y 轴， 四边形 PMEC 是平行四边形，
，
， HM//y轴，
∽ ， ……………………………………………………（10分）
………………………………………………………（11分）
②当 时， 是等腰三角形．
轴 ， ∽ ， ，
……………（12分）
，
， 轴， ∽ ，
…………………………………………………
（13分）
………………（14分）
当m的值为 或 时， 是等腰三角形．
第 20 页 共 20 页
