文档内容
2017 年天津市中考数学试卷
一、选择题（本大题共 12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算（﹣3）+5的结果等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
2．（3分）cos60°的值等于（ ）
√2 1
A．√3 B．1 C． D．
2 2
3．（3分）在一些美术字中，有的汉子是轴对称图形．下面 4个汉字中，可以
看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）据《天津日报》报道，天津市社会保障制度更加成熟完善，截止
2017年4月末，累计发放社会保障卡 12630000张．将12630000用科学记数法
表示为（ ）
A．0.1263×108 B．1.263×107 C．12.63×106 D．126.3×105
5．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（
）
A． B． C． D．
6．（3分）估计√38的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
a 1
7．（3分）计算 + 的结果为（ ）
a+1 a+1
第1页（共28页）1
A．1 B．a C．a+1 D．
a+1
{& y=2x
8．（3分）方程组 的解是（ ）
&3x+ y=15
{&x=2 {&x=4 {&x=4 {&x=3
A． B． C． D．
& y=3 & y=3 & y=8 & y=6
9．（3分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰
好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（ ）
A．∠ABD=∠E B．∠CBE=∠C C．AD∥BC D．AD=BC
3
10．（3分）若点A（﹣1，y ），B（1，y ），C（3，y ）在反比例函数y=-
1 2 3 x
的图象上，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 3 1 3 2 1 2 1 3
11．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是
AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（ ）
A．BC B．CE C．AD D．AC
12．（3分）已知抛物线y=x2﹣4x+3与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），
顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后
的对应点B'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ）
A．y=x2+2x+1 B．y=x2+2x﹣1 C．y=x2﹣2x+1 D．y=x2﹣2x﹣1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
第2页（共28页）13．（3分）计算x7÷x4的结果等于 ．
14．（3分）计算(4+√7)(4-√7)的结果等于 ．
15．（3分）不透明袋子中装有6个球，其中有5个红球、1个绿球，这些球除
颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．
16．（3分）若正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，
则k的值可以是 （写出一个即可）．
17．（3分）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G
分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为 ．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为 1的网格中，点A，B，C均在格
点上．
（1）AB的长等于 ；
（2）在△ABC的内部有一点P，满足S ：S ：S =1：2：3，请在如图所
△PAB △PBC △PCA
示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到
的（不要求证明） ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推
理过程）
第3页（共28页）{&x+1≥2①
19．（8分）解不等式组
&5x≤4x+3②
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．
20．（8分）某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳
水运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信
息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的跳水运动员人数为 ，图①中m的值为 ；
（2）求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．
21．（10分）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT=50°，BT交⊙O
于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．
（1）如图①，求∠T和∠CDB的大小；
（2）如图②，当BE=BC时，求∠CDO的大小．
22．（10分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离灯塔120海里
第4页（共28页）的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的
B处，求BP和BA的长（结果取整数）．
参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，√2取1.414．
23．（10分）用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费
0.1 元．在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过 20 时，每页收费
0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元．
设在同一家复印店一次复印文件的页数为x（x为非负整数）．
（1）根据题意，填写下表：
一次复印页数 5 10 20 30 …
（页）
甲复印店收费 0.5 2 …
（元）
乙复印店收费 0.6 2.4 …
（元）
（2）设在甲复印店复印收费y 元，在乙复印店复印收费y 元，分别写出y ，y
1 2 1 2
关于x的函数关系式；
（3）当x＞70时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由．
24．（10 分）将一个直角三角形纸片 ABO 放置在平面直角坐标系中，点
A(√3，0)，点B（0，1），点O（0，0）．P是边AB上的一点（点P不与点
A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A'．
（1）如图①，当点A'在第一象限，且满足A'B⊥OB时，求点A'的坐标；
（2）如图②，当P为AB中点时，求A'B的长；
（3）当∠BPA'=30°时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
第5页（共28页）25．（10分）已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．
①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；
②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．
第6页（共28页）2017 年天津市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2017•天津）计算（﹣3）+5的结果等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【考点】19：有理数的加法．
菁优网版权所有
【分析】依据有理数的加法法则计算即可．
【解答】解：（﹣3）+5=5﹣3=2．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是有理数的加法法则，掌握有理数的加法法则是解题
的关键．
2．（3分）（2017•天津）cos60°的值等于（ ）
√2 1
A．√3 B．1 C． D．
2 2
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
菁优网版权所有
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
1
【解答】解：cos60°= ，
2
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
3．（3分）（2017•天津）在一些美术字中，有的汉子是轴对称图形．下面 4
个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】P3：轴对称图形．
菁优网版权所有
第7页（共28页）【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不可以看作是轴对称图形，故本选项错误；
B、不可以看作是轴对称图形，故本选项错误；
C、可以看作是轴对称图形，故本选项正确；
D、不可以看作是轴对称图形，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分折叠后可重合．
4．（3分）（2017•天津）据《天津日报》报道，天津市社会保障制度更加成
熟完善，截止2017年4月末，累计发放社会保障卡 12630000张．将12630000
用科学记数法表示为（ ）
A．0.1263×108 B．1.263×107 C．12.63×106 D．126.3×105
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
确定n的值是易错点，由于12630000有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．
【解答】解：12630000=1.263×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
5．（3分）（2017•天津）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，
它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
菁优网版权所有
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主
视图中．
第8页（共28页）【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有一个正方形．
故选D．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
6．（3分）（2017•天津）估计√38的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【考点】2B：估算无理数的大小．
菁优网版权所有
【分析】利用二次根式的性质，得出√36＜√38＜√49，进而得出答案．
【解答】解：∵√36＜√38＜√49，
∴6＜√38＜7，
∴√38的值在整数6和7之间．
故选C．
【点评】此题主要考查了估计无理数的大小，得出√36＜√38＜√49是解题关键．
a 1
7．（3分）（2017•天津）计算 + 的结果为（ ）
a+1 a+1
1
A．1 B．a C．a+1 D．
a+1
【考点】6B：分式的加减法．
菁优网版权所有
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
a+1
【解答】解：原式= =1，
a+1
故选（A）
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，
本题属于基础题型．
{& y=2x
8．（3分）（2017•天津）方程组 的解是（ ）
&3x+ y=15
{&x=2 {&x=4 {&x=4 {&x=3
A． B． C． D．
& y=3 & y=3 & y=8 & y=6
【考点】98：解二元一次方程组．
菁优网版权所有
【分析】利用代入法求解即可．
第9页（共28页）{& y=2x①
【解答】解： ，
&3x+ y=15②
①代入②得，3x+2x=15，
解得x=3，
将x=3代入①得，y=2×3=6，
{&x=3
所以，方程组的解是 ．
& y=6
故选D．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时
可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
9．（3分）（2017•天津）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C
的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（ ）
A．∠ABD=∠E B．∠CBE=∠C C．AD∥BC D．AD=BC
【考点】R2：旋转的性质．
菁优网版权所有
【分析】由旋转的性质得到∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD，推出△ABD是等边三角
形，得到∠DAB=∠CBE，于是得到结论．
【解答】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，
∴∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠DAB=∠CBE，
∴AD∥BC，
故选C．
第10页（共28页）【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，
熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
10．（3分）（2017•天津）若点A（﹣1，y ），B（1，y ），C（3，y ）在反
1 2 3
3
比例函数y=- 的图象上，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
x 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 3 1 3 2 1 2 1 3
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
菁优网版权所有
【分析】根据反比例函数的性质判断即可．
【解答】解：∵k=﹣3＜0，
∴在第四象限，y随x的增大而增大，
∴y ＜y ＜0，
2 3
∵y ＞0，
1
∴y ＜y ＜y ，
2 3 1
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的
关键．
11．（3分）（2017•天津）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两
条中线，P 是 AD 上一个动点，则下列线段的长度等于 BP+EP 最小值的是
（ ）
第11页（共28页）A．BC B．CE C．AD D．AC
【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；KH：等腰三角形的性质．
菁优网版权所有
【分析】如图连接 PC，只要证明 PB=PC，即可推出 PB+PE=PC+PE，由
PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．
【解答】解：如图连接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故选B．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线
的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12．（3分）（2017•天津）已知抛物线y=x2﹣4x+3与x轴相交于点A，B（点A
在点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴
上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ）
A．y=x2+2x+1 B．y=x2+2x﹣1 C．y=x2﹣2x+1 D．y=x2﹣2x﹣1
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换．
菁优网版权所有
【分析】直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出A，B，
M点坐标，进而得出平移方向和距离，即可得出平移后解析式．
【解答】解：当y=0，则0=x2﹣4x+3，
（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x =1，x =3，
1 2
第12页（共28页）∴A（1，0），B（3，0），
y=x2﹣4x+3
=（x﹣2）2﹣1，
∴M点坐标为：（2，﹣1），
∵平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点
B'落在y轴上，
∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，
∴平移后的解析式为：y=（x+1）2=x2+2x+1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确
得出平移方向和距离是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）（2017•天津）计算x7÷x4的结果等于 x 3 ．
【考点】48：同底数幂的除法．
菁优网版权所有
【分析】根据同底数幂的除法即可求出答案．
【解答】解：原式=x3，
故答案为：x3
【点评】本题考查同底数幂的除法，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，
本题属于基础题型．
14．（3分）（2017•天津）计算(4+√7)(4-√7)的结果等于 9 ．
【考点】79：二次根式的混合运算．
菁优网版权所有
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【解答】解：(4+√7)(4-√7)
=16﹣7
=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握平方差公式是解题的关键．
第13页（共28页）15．（3分）（2017•天津）不透明袋子中装有 6个球，其中有5个红球、1个
绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出 1个球，则它是红球的
5
概率是 ．
6
【考点】X4：概率公式．
菁优网版权所有
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况
数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵共6个球，有5个红球，
5
∴从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为 ．
6
5
故答案为： ．
6
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可
m
能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
n
16．（3分）（2017•天津）若正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象经过
第二、四象限，则k的值可以是 ﹣ 2 （写出一个即可）．
【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．
菁优网版权所有
【分析】据正比例函数的性质；当k＜0时，正比例函数y=kx的图象经过第二、
四象限，可确定k的取值范围，再根据k的范围选出答案即可．
【解答】解：∵若正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限，
∴k＜0，
∴符合要求的k的值是﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了正比例函数的性质，关键是熟练掌握：在直线 y=kx中，
当k＞0时，y随x的增大而增大，直线经过第一、三象限；当 k＜0时，y随x
的增大而减小，直线经过第二、四象限．
17．（3分）（2017•天津）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3
和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为
第14页（共28页）√5 ．
【考点】KX：三角形中位线定理；KQ：勾股定理；LE：正方形的性质．
菁优网版权所有
【分析】延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H，则PH是△OAE的中位线，
求得PH的长和HG的长，在Rt△PGH中利用勾股定理求解．
【解答】解：延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．
则PH∥AB．
∵P是AE的中点，
∴PH是△AOE的中位线，
1 1
∴PH= OA= （3﹣1）=1．
2 2
∵直角△AOE中，∠OAE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，即OA=OE=2，
同理△PHE中，HE=PH=1．
∴HG=HE+EG=1+1=2．
∴在Rt△PHG中，PG=√PH2+HG2=√12+22=√5．
故答案是：√5．
【点评】本题考查了勾股定理和三角形的中位线定理，正确作出辅助线构造直
角三角形是关键．
18．（3分）（2017•天津）如图，在每个小正方形的边长为 1的网格中，点
第15页（共28页）A，B，C均在格点上．
（1）AB的长等于 √17 ；
（2）在△ABC的内部有一点P，满足S ：S ：S =1：2：3，请在如图所
△PAB △PBC △PCA
示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到
的（不要求证明） 如图 AC 与网格相交，得到点 D 、 E ，取格点 F ，连接 FB 并
且延长，与网格相交，得到 M ， N ．连接 DN ， EM ， DN 与 EM 相交于点 P ，点 P
即为所求． ．
【考点】N4：作图—应用与设计作图；KQ：勾股定理．
菁优网版权所有
【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图AC与网格相交，得到点D、E，取格点F，连接FB并且延长，与网格
相交，得到M，N，G．连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P，点P即为所
求．
【解答】解：（1）AB=√12+42=√17．
故答案为√17．
（2）如图AC与网格相交，得到点D、E，取格点F，连接FB并且延长，与网格
相交，得到M，N，G．连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P，点P即为所
求．
第16页（共28页）理由：平行四边形ABME的面积：平行四边形CDNB的面积：平行四边形DEMG
的面积=1：2：3，
1 1
△PAB的面积= 平行四边形ABME的面积，△PBC的面积= 平行四边形CDNB的
2 2
1 1
面积，△PAC的面积=△PNG的面积= △DGN的面积= 平行四边形DEMG的面
2 2
积，
∴S ：S ：S =1：2：3．
△PAB △PBC △PCA
【点评】本题考查作图﹣应用与设计、勾股定理、三角形的面积等知识，解题
的关键是利用数形结合的思想解决问题，求出△PAB，△PBC，△PAC的面积，
属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推
理过程）
{&x+1≥2①
19．（8分）（2017•天津）解不等式组
&5x≤4x+3②
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 x ≥ 1 ；
（2）解不等式②，得 x ≤ 3 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 1 ≤ x ≤ 3 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．
菁优网版权所有
第17页（共28页）【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据各不等式解集在数轴上的表示，
由公共部分即可确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）解不等式①，得：x≥1；
（2）解不等式②，得：x≤3；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为1≤x≤3，
故答案为：x≥1，x≤3，1≤x≤3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基
础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则
是解答此题的关键．
20．（8分）（2017•天津）某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄
调查，根据跳水运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的跳水运动员人数为 4 0 ，图①中m的值为 3 0 ；
（2）求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．
【考点】VC：条形统计图；VB：扇形统计图；W2：加权平均数；W4：中位数；
W5：众数．
菁优网版权所有
【分析】（1）频数÷所占百分比=样本容量，m=100﹣27.5﹣25﹣7.5﹣10=30；
（2）根据平均数、众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：（1）4÷10%=40（人），
第18页（共28页）m=100﹣27.5﹣25﹣7.5﹣10=30；
故答案为40，30．
（2）平均数=（13×4+14×10+15×11+16×12+17×3）÷40=15，
16出现12次，次数最多，众数为16；
按大小顺序排列，中间两个数都为15，中位数为15．
【点评】本题考查了条形统计图，扇形统计图，掌握平均数、众数和中位数的
定义是解题的关键．
21．（10 分）（2017•天津）已知 AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，
∠ABT=50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．
（1）如图①，求∠T和∠CDB的大小；
（2）如图②，当BE=BC时，求∠CDO的大小．
【考点】MC：切线的性质．
菁优网版权所有
【分析】（1）根据切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，得
∠TAB=90°，根据三角形内角和得∠T的度数，由直径所对的圆周角是直角和同
弧所对的圆周角相等得∠CDB的度数；
（2）如图②，连接AD，根据等边对等角得：∠BCE=∠BEC=65°，利用同圆的半
径相等知：OA=OD，同理∠ODA=∠OAD=65°，由此可得结论．
【解答】解：（1）如图①，∵连接AC，
∵AT是⊙O切线，AB是⊙O的直径，
∴AT⊥AB，即∠TAB=90°，
∵∠ABT=50°，
∴∠T=90°﹣∠ABT=40°，
由AB是⊙O的直径，得∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°﹣∠ABC=40°，
第19页（共28页）∴∠CDB=∠CAB=40°；
（2）如图②，连接AD，
在△BCE中，BE=BC，∠EBC=50°，
∴∠BCE=∠BEC=65°，
∴∠BAD=∠BCD=65°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD=65°，
∵∠ADC=∠ABC=50°，
∴∠CDO=∠ODA﹣∠ADC=65°﹣50°=15°．
【点评】本题考查了圆的切线、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内
角和，熟练掌握切线的性质是关键，注意运用同弧所对的圆周角相等．
22．（10分）（2017•天津）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距
离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南
偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长（结果取整数）．
参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，√2取1.414．
第20页（共28页）【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
菁优网版权所有
【分析】如图作PC⊥AB于C．分别在Rt△APC，Rt△PCB中求解即可解决问题．
【解答】解：如图作PC⊥AB于C．
由题意∠A=64°，∠B=45°，PA=120，
PC AC
在Rt△APC中，sinA= ，cosA= ，
PA PC
∴PC=PA•sinA=120•sin64°，
AC=PA•cosA=120•cos64°，
在Rt△PCB中，∵∠B=45°，
∴PC=BC，
120×0.90
PC
∴PB= = √2 ≈153．
sin45°
2
∴AB=AC+BC=120•cos64°+120•sin64°
≈120×0.90+120×0.44
≈161．
答：BP的长为153海里和BA的长为161海里．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际
第21页（共28页）问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思
想．
23．（10分）（2017•天津）用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少
页，每页收费0.1元．在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过 20时，
每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元．
设在同一家复印店一次复印文件的页数为x（x为非负整数）．
（1）根据题意，填写下表：
一次复印页数 5 10 20 30 …
（页）
甲复印店收费 0.5 1 2 3 …
（元）
乙复印店收费 0.6 1. 2 2.4 3. 3 …
（元）
（2）设在甲复印店复印收费y 元，在乙复印店复印收费y 元，分别写出y ，y
1 2 1 2
关于x的函数关系式；
（3）当x＞70时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由．
【考点】FH：一次函数的应用．
菁优网版权所有
【分析】（1）根据收费标准，列代数式求得即可；
（2）根据收费等于每页收费乘以页数即可求得y =0.1x（x≥0）；当一次复印页
1
数不超过20时，根据收费等于每页收费乘以页数即可求得 y =0.12x，当一次复
2
印页数超过20时，根据题意求得y =0.09x+0.6；
2
（3）设y=y ﹣y ，得到y与x的函数关系，根据y与x的函数关系式即可作出判
1 2
断．
【解答】解：（1）当x=10时，甲复印店收费为：0，1×10=1；乙复印店收费
为：0.12×10=1.2；
当 x=30 时 ， 甲 复 印 店 收 费 为 ： 0 ， 1×30=3 ； 乙 复 印 店 收 费 为 ：
0.12×20+0.09×10=3.3；
故答案为1，3；1.2，3.3；
（2）y =0.1x（x≥0）；
1
第22页（共28页）{&0.12x(0≤x≤20)
y = ；
2 &0.09x+0.6(x＞20)
（3）顾客在乙复印店复印花费少；
当x＞70时，y =0.1x，y =0.09x+0.6，
1 2
∴y ﹣y =0.1x﹣（0.09x+0.6）=0.01x﹣0.6，
1 2
设y=0.01x﹣0.6，
由0.01＞0，则y随x的增大而增大，
当x=70时，y=0.1
∴x＞70时，y＞0.1，
∴y ＞y ，
1 2
∴当x＞70时，顾客在乙复印店复印花费少．
【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，列出函数关系式是解题
的关键．
24．（10分）（2017•天津）将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标
系中，点A(√3，0)，点B（0，1），点O（0，0）．P是边AB上的一点（点P
不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A'．
（1）如图①，当点A'在第一象限，且满足A'B⊥OB时，求点A'的坐标；
（2）如图②，当P为AB中点时，求A'B的长；
（3）当∠BPA'=30°时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
【考点】RB：几何变换综合题．
菁优网版权所有
第23页（共28页）【分析】（1）由点 A 和 B 的坐标得出 OA=√3，OB=1，由折叠的性质得：
OA'=OA=√3，由勾股定理求出 A'B=√OA'2+OB2=√2，即可得出点 A'的坐标为（
√2，1）；
（2）由勾股定理求出AB=√OA2+OB2=2，证出OB=OP=BP，得出△BOP是等边
三角形，得出∠BOP=∠BPO=60°，求出∠OPA=120°，由折叠的性质得：
∠OPA'=∠OPA=120°，PA'=PA=1，证出OB∥PA'，得出四边形 OPA'B是平行四边
形，即可得出A'B=OP=1；
（3）分两种情况：①点 A'在 y 轴上，由 SSS 证明△OPA'≌△OPA，得出
1
∠A'OP=∠AOP= ∠AOB=45°，得出点P在∠AOB的平分线上，由待定系数法求
2
√3
出直线AB的解析式为y=﹣ x+1，即可得出点P的坐标；
3
②由折叠的性质得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，作出四边形 OAPA'是菱形，得出
1 √3 √3
PA=OA=√3，作PM⊥OA于M，由直角三角形的性质求出PM= PA= ，把y=
2 2 2
√3
代入y=﹣ x+1求出点P的纵坐标即可．
3
【解答】解：（1）∵点A(√3，0)，点B（0，1），
∴OA=√3，OB=1，
由折叠的性质得：OA'=OA=√3，
∵A'B⊥OB，
∴∠A'BO=90°，
在Rt△A'OB中，A'B=√OA'2+OB2=√2，
∴点A'的坐标为（√2，1）；
（2）在Rt△ABO中，OA=√3，OB=1，
∴AB=√OA2+OB2=2，
第24页（共28页）∵P是AB的中点，
1
∴AP=BP=1，OP= AB=1，
2
∴OB=OP=BP
∴△BOP是等边三角形，
∴∠BOP=∠BPO=60°，
∴∠OPA=180°﹣∠BPO=120°，
由折叠的性质得：∠OPA'=∠OPA=120°，PA'=PA=1，
∴∠BOP+∠OPA'=180°，
∴OB∥PA'，
又∵OB=PA'=1，
∴四边形OPA'B是平行四边形，
∴A'B=OP=1；
（3）设P（x，y），分两种情况：
①如图③所示：点A'在y轴上，
在△OPA'和△OPA中，{OA'=OA ¿PA'=PA ¿OP=OP ¿，
∴△OPA'≌△OPA（SSS），
1
∴∠A'OP=∠AOP= ∠AOB=45°，
2
∴点P在∠AOB的平分线上，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
{&√3k+b=0
把点A(√3，0)，点B（0，1）代入得： ，
&b=1
{ √3
&k=-
解得： 3 ，
&b=1
√3
∴直线AB的解析式为y=﹣ x+1，
3
∵P（x，y），
第25页（共28页）√3
∴x=﹣ x+1，
3
3-√3
解得：x= ，
2
3-√3 3-√3
∴P（ ， ）；
2 2
②如图④所示：
由折叠的性质得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，
∵∠BPA'=30°，
∴∠A'=∠A=∠BPA'，
∴OA'∥AP，PA'∥OA，
∴四边形OAPA'是菱形，
∴PA=OA=√3，作PM⊥OA于M，如图④所示：
∵∠A=30°，
1 √3
∴PM= PA= ，
2 2
√3 √3 √3 √3
把y= 代入y=﹣ x+1得： =﹣ x+1，
2 3 2 3
2√3-3
解得：x= ，
2
2√3-3 √3
∴P（ ， ）；
2 2
3-√3 3-√3 2√3-3 √3
综上所述：当∠BPA'=30°时，点P的坐标为（ ， ）或（ ，
2 2 2 2
）．
第26页（共28页）【点评】本题是几何变换综合题目，考查了折叠的性质、坐标与图形性质、勾
股定理、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性
质、直角三角形的性质、待定系数法求直线的解析式、菱形的判定与性质等知
识；本题综合性强，难度较大．
25．（10分）（2017•天津）已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣
1，0）．
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．
①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；
②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．
【考点】HF：二次函数综合题．
菁优网版权所有
【分析】（1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值，则可求得抛物线解
析式，进一步可求得其顶点坐标；
（2）①由对称可表示出P′点的坐标，再由P和P′都在抛物线上，可得到关于m
的方程，可求得m的值；②由点P′在第二象限，可求得t的取值范围，利用两
点间距离公式可用t表示出P′A2，再由点P′在抛物线上，可以消去m，整理可得
到关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其取得最小值时t的值，则可
求得m的值．
【解答】解：
（1）∵抛物线y=x2+bx﹣3经过点A（﹣1，0），
∴0=1﹣b﹣3，解得b=﹣2，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，
∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
第27页（共28页）∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）①由P（m，t）在抛物线上可得t=m2﹣2m﹣3，
∵点P′与P关于原点对称，
∴P′（﹣m，﹣t），
∵点P′落在抛物线上，
∴﹣t=（﹣m）2﹣2（﹣m）﹣3，即t=﹣m2﹣2m+3，
∴m2﹣2m﹣3=﹣m2﹣2m+3，解得m=√3或m=﹣√3；
②由题意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限，
∴﹣m＜0，﹣t＞0，即m＞0，t＜0，
∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
∴﹣4≤t＜0，
∵P在抛物线上，
∴t=m2﹣2m﹣3，
∴m2﹣2m=t+3，
∵A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），
1 15
∴P′A2=（﹣m+1）2+（﹣t）2=m2﹣2m+1+t2=t2+t+4=（t+ ）2+ ；
2 4
1
∴当t=﹣ 时，P′A2有最小值，
2
1 2-√14 2+√14
∴﹣ =m2﹣2m﹣3，解得m= 或m= ，
2 2 2
∵m＞0，
2-√14
∴m= 不合题意，舍去，
2
2+√14
∴m的值为 ．
2
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、中心对称、二次函数
的性质、勾股定理、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在
（2）①中求得P′点的坐标，得到关于m的方程是解题的关键，在（2）②中用
t表示出P′A2是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
第28页（共28页）
