文档内容
专题 03 平面向量
考点 十年考情（2015-2024） 命题趋势
考点1 平面向量平
2024·上海卷、2021·全国乙卷、2016·全国卷、
行（共线）求参数
2015·全国卷
（10年4考）
考点2 平面向量垂
2024·全国甲卷、2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国
直求参数
新Ⅰ卷、2021·全国甲卷、2020·全国卷
（10年4考）
考点3 平面向量的 1. 掌握平面向量的基本概
2022·全国新Ⅰ卷、2020·山东卷、2018·全国
基本定理及其应用 念、线性运算及坐标运算，
卷、2015·北京卷
（10年4考） 已知平面向量的关系要会求
2024·全国新Ⅱ卷、2023·北京卷、2023·全国新 参数
考点4 平面向量的
Ⅱ卷、2022·全国乙卷、2021·全国甲卷、2020· 2. 掌握基本定理的基底表示
模长
全国卷、2019·全国卷、2017·全国卷、2017·浙 向量、能在平面几何图形中
（10年7考）
江卷 的应用
2023·全国乙卷、2022·全国乙卷、2022·北京 3. 掌握平面向量数量积的表
考点5 求平面向量
卷、2020·山东卷、2021·全国新Ⅰ卷、2022·全 示和计算、会求平面几何图
数量积
国甲卷、2021·天津卷、2021·全国新Ⅱ卷、 形中的范围及最值等问题。
（10年9考）
2021·北京卷、2020·天津卷、2020·北京卷
2023·全国甲卷、2023·全国甲卷、2022·全国新
考点6 求平面向量 Ⅱ卷、2020·全国卷、2019·全国卷、2016·全国
的夹角 卷、2022·天津卷、2020·浙江卷、2019·全国
（10年6考） 卷、
2019·全国卷
考点01 平面向量平行（共线）求参数
1．（2024·上海·高考真题）已知 ，且 ，则 的值为 ．【答案】15
【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】 ， ，解得 ．
故答案为：15．
2．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量 ，若 ，则 ．
【答案】
【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于 的方程，解方程即可求得实数 的值.
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得： ，
解方程可得： .
故答案为： .
3．（2016·全国·高考真题）已知向量 ，且 ，则 ___________.
【答案】
【分析】由向量平行的坐标表示得出 ，求解即可得出答案.
【详解】因为 ，所以 ，解得 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.
4．（2015·全国·高考真题）设向量 ， 不平行，向量 与 平行，则实数 ．
【答案】
【详解】因为向量 与 平行，所以 ，则 所以 ．
考点：向量共线．
考点02 平面向量垂直求参数
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求 的值.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 即 ，故 ，
故选：D.2．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）设向量 ，则（ ）
A．“ ”是“ ”的必要条件 B．“ ”是“ ”的必要条件
C．“ ”是“ ”的充分条件 D．“ ”是“ ”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当 时，则 ，
所以 ，解得 或 ，即必要性不成立，故A错误；
对C，当 时， ，故 ，
所以 ，即充分性成立，故C正确；
对B，当 时，则 ，解得 ，即必要性不成立，故B错误；
对D，当 时，不满足 ，所以 不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
3．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出 ， ，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为 ，所以 ， ，
由 可得， ，
即 ，整理得： ．
故选：D．
4．（2021·全国甲卷·高考真题）已知向量 ．若 ，则 ．
【答案】 .
【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量 的坐标，利用向量的数量积为零求得 的值
【详解】 ,
，解得 ,
故答案为： .【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量
垂直的充分必要条件是其数量积 .
5．（2020·全国·高考真题）设向量 ，若 ，则 .
【答案】5
【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.
【详解】由 可得 ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，
故答案为：5.
【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.
考点03 平面向量的基本定理及其应用
1．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）在 中，点D在边AB上， ．记 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上， ，所以 ，即 ，
所以 ．
故选：B．
2．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形 ，点 ， 分别是 ， 的中点（如图所示），设
， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结 ，则 为 的中位线，，
故选：A
3．（2018·全国·高考真题）在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 ，之后应用向
量的加法运算法则-------三角形法则，得到 ，之后将其合并，得到 ，下一步
应用相反向量，求得 ，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以 ，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加
法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
4．（2015·北京·高考真题）在△ABC中，点M，N满足 ，若 ，则x
＝ ，y＝ .
【答案】
【详解】特殊化，不妨设 ，利用坐标法，以A为原点，AB为 轴， 为 轴，建立直角坐标系， ， ，则
， .
考点：本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.
考点04 平面向量的模长
1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由 得 ，结合 ，得 ，由此即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，
所以 ，
从而 .
故选：B.
2．（2023·北京·高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量 满足 ，
所以 .
故选：B
3．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知向量 ， 满足 ， ，则 ．
【答案】【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令 ，结合数量积的运算
律运算求解.
【详解】法一：因为 ，即 ，
则 ，整理得 ，
又因为 ，即 ，
则 ，所以 .
法二：设 ，则 ，
由题意可得： ，则 ，
整理得： ，即 .
故答案为： .
4．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】先求得 ，然后求得 .
【详解】因为 ，所以 .
故选：D
5．（2021·全国甲卷·高考真题）若向量 满足 ，则 .
【答案】
【分析】根据题目条件，利用 模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴ .
故答案为： .
6．（2020·全国·高考真题）设 为单位向量，且 ，则 .
【答案】
【分析】整理已知可得： ，再利用 为单位向量即可求得 ，对 变形可得：，问题得解.
【详解】因为 为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.
7．（2019·全国·高考真题）已知向量 ，则
A． B．2
C．5 D．50
【答案】A
【分析】本题先计算 ，再根据模的概念求出 ．
【详解】由已知， ，
所以 ，
故选A
【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平
面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．
8．（2017·全国·高考真题）已知向量 与 的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |= .
【答案】
【详解】∵平面向量 与 的夹角为 ，
∴ .
∴
故答案为 .
点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．
(2) 常用来求向量的模．
9．（2017·浙江·高考真题）已知向量 满足 ，则 的最小值是 ，最大
值是 ．
【答案】 4【详解】设向量 的夹角为 ，由余弦定理有： ，
，则：
，
令 ，则 ，
据此可得： ，
即 的最小值是4，最大值是 ．
【名师点睛】本题通过设向量 的夹角为 ，结合模长公式， 可得
，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生
的转化能力和最值处理能力有一定的要求．
考点05 求平面向量数量积
1．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形 的边长是2， 是 的中点，则 （ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【分析】方法一：以 为基底向量表示 ，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，
利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求 ，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以 为基底向量，可知 ，
则 ，
所以 ；
方法二：如图，以 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则 ，可得 ，
所以 ；
方法三：由题意可得： ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 .
故选：B.2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵ ，
又∵
∴9 ，
∴
故选：C.
3．（2022·北京·高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设 ，表示出 ， ，根据数量积的坐标表示、辅助
角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；
故选：D
4．（2020·山东·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到 在 方向上的投影的取值范围是
，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到 在 方向上的投影的取值范围是 ，
结合向量数量积的定义式，
可知 等于 的模与 在 方向上的投影的乘积，
所以 的取值范围是 ，
故选：A.
【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的
定义式，属于简单题目.
二、多选题
5．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知 为坐标原点，点 ， ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】A、B写出 ， 、 ， 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的
坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A： ， ，所以 ，
，故 ，正确；
B： ， ，所以
，同理
，故 不一定相等，错误；
C：由题意得： ，
，正确；D：由题意得： ，
，故一般来说 故错误；
故选：AC
三、填空题
6．（2022·全国甲卷·高考真题）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则
．
【答案】
【分析】设 与 的夹角为 ，依题意可得 ，再根据数量积的定义求出 ，最后根据数量积的运
算律计算可得．
【详解】解：设 与 的夹角为 ，因为 与 的夹角的余弦值为 ，即 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
7．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB
于点E． 且交AC于点F,则 的值为 ； 的最小值为
．
【答案】 1
【分析】设 ，由 可求出；将 化为关于 的关系式
即可求出最值.
【详解】设 ， ， 为边长为1的等边三角形， ，
，
， 为边长为 的等边三角形， ，
，
，
，所以当 时， 的最小值为 .
故答案为：1； .
8．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知向量 ， ， ， ．
【答案】
【分析】由已知可得 ，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得 ，
因此， .
故答案为： .
9．（2021·北京·高考真题）已知向量 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长
为1，则
； .
【答案】 0 3
【分析】根据坐标求出 ，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
【详解】以 交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则 ，
， ，
.
故答案为：0；3.
10．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形 中， ， ，且
，则实数 的值为 ，若 是线段 上的动点，且 ，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】可得 ，利用平面向量数量积的定义求得 的值，然后以点 为坐标原点， 所在直
线为 轴建立平面直角坐标系，设点 ，则点 （其中 ），得出 关于 的
函数表达式，利用二次函数的基本性质求得 的最小值.
【详解】 ， ， ，
，
解得 ，
以点 为坐标原点， 所在直线为 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 ，,
∵ ，∴ 的坐标为 ,
∵又∵ ,则 ，设 ，则 （其中 ），
， ，
，
所以，当 时， 取得最小值 .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于
中等题.
11．（2020·北京·高考真题）已知正方形 的边长为2，点P满足 ，则
； ．
【答案】
【分析】以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立平面直角坐标系，求得点 的坐标，
利用平面向量数量积的坐标运算可求得 以及 的值.
【详解】以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点 、 、 、 ，，
则点 ， ， ，
因此， ， .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点 的坐标是解答的关键，
考查计算能力，属于基础题.
考点06 求平面向量的夹角
一、单选题
1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得 ，从而利用平面向量余
弦的运算公式即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ， ，
所以 .
故选：B.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为 ,所以 ,
即 ,即 ,所以 .
如图,设 ,由题知, 是等腰直角三角形,
AB边上的高 ,
所以 ,
,
.
故选:D.
3．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解： , ,即 ,解得 ,
故选：C
4．（2020·全国·高考真题）已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】计算出 、 的值，利用平面向量数量积可计算出 的值.
【详解】 ， ， ， .
，因此， .
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，
考查计算能力，属于中等题.
5．（2019·全国·高考真题）已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计
算等数学素养．先由 得出向量 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量
夹角．
【详解】因为 ，所以 =0，所以 ，所以 = ，所以
与 的夹角为 ，故选B．
【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余
弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为 ．
6．（2016·全国·高考真题）已知向量 , 则 ABC=
A．30 B．45 C．60 D．120
【答案】A
【详解】试题分析：由题意，得 ，所以 ，故选A．
【考点】向量的夹角公式．
【思维拓展】（1）平面向量 与 的数量积为 ，其中 是 与 的夹角，要注意夹角的定义
和它的取值范围： ；（2）由向量的数量积的性质知 ， ，
，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．
二、填空题
7．（2022·天津·高考真题）在 中， ，D是AC中点， ，试用 表示 为
，若 ，则 的最大值为【答案】
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出 ，以 为基底，表示出 ，由
可得 ，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点 为原点建立平面直角坐标系，设 ，由 可得点 的轨迹为
以 为圆心，以 为半径的圆，方程为 ，即可根据几何性质可知，当且仅当 与
相切时， 最大，即求出．
【详解】方法一：
，
，
，当且仅当 时取等号，而
，所以 ．
故答案为： ； ．
方法二：如图所示，建立坐标系：
，
，
，所以点 的轨迹是以 为圆心，以 为半径
的圆，当且仅当 与 相切时， 最大，此时 ．故答案为： ； ．
8．（2020·浙江·高考真题）设 ， 为单位向量，满足 ， ， ，设 ， 的
夹角为 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得 ，再根据向量夹角公式求 函数关系
式，根据函数单调性求最值.
【详解】 ，
，
，
.
故答案为： .
【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合
分析求解能力，属中档题.
9．（2019·全国·高考真题）已知向量 ，则 .
【答案】
【分析】根据向量夹角公式可求出结果.
【详解】 ．
【点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．
10．（2019·全国·高考真题）已知 为单位向量，且 =0，若 ，则
.
【答案】 .
【分析】根据 结合向量夹角公式求出 ，进一步求出结果.
【详解】因为 ， ，所以 ，
，所以 ，
所以 ．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想
得出答案．
