文档内容
张家口市 2024～2025 学年度第一学期高三年级期末教学质量监测
数学
2025.1
注意事项:
1. 答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上
无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符
合题目要求的.
1. 已知集合 A={x∣x>−❑√5},B={−1,−2,−3} ,则 A∩B=
A. {−1} B. {−1,−2} C. {−3} D. {−1,−2,−3}
2. 已知 α 是一个平面, a,b 是两条不同的直线, b⊂α,p:a⊥α,q:a⊥b ,则 p 是 q 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
x2 y2 (3 ❑√2)
3. 已知 F ,F 是椭圆 + =1 的两个焦点,点 M ,− ,则 |M F )+|M F )=
1 2 3 2 2 2 1 2
A. ❑√2 B. ❑√3 C. 2❑√2 D. 2❑√3
4. 若复数 z ,z 满足 |z )=5 且 z =iz ,则 |z +z )=
1 2 1 2 1 1 2
A. 5 B. 5❑√2 C. 5❑√3 D. 10
2π
5. 已知单位向量 a 与 b 的夹角为 ,若 (a+λb)⊥b ,则 |a+λb)=
3
❑√3 ❑√2 1
A. B. C. D. 1
2 2 2
6. 已知等差数列 {a ) 的前 n 项和为 S ,且 a >0,S =4a ,则 a +S 取最大值时 n 的
n n 1 10 4 n n
值是
1
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A. 4 B. 5 C. 6 D. 10
已知函数 f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0) 在区间 [a,b) 上单调,且 f (b)=f (a)+2 ,则函数
g(x)=cos(ωx+φ) 在区间 [a,b) 上
A. 单调递增 B. 单调递减 C. 最大值为 1 D. 最小值为 -1
{ 2x−a,x>1, )
8. 已知函数 f (x)= 恰有 2 个零点,则实数 a
(x−a)(4x−a),x≤1
A. 有最大值, 没有最小值 B. 有最小值, 没有最大值
C. 既有最大值, 也有最小值 D. 既没有最大值, 也没有最小值
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的四个选项中,有多项
符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某企业有 A,B 两条生产线,现对这两条生产线的产品的质量指标值进行分析,得到如下数据:
A 生产线的产品质量指标值 X∼N(83,36),B 生产线的产品质量指标值 Y∼N(80,25) .
已知 A 生产线的产量是 B 生产线的 2 倍,则
A A 生产线产品质量指标值的均值高于 B 生产线产品质量指标值的均值
B. 该企业产品质量指标值的均值是 82
C.A生产线产品质量指标值的标准差低于B生产线产品质量指标值的标准差
D. A, B 两条生产线的产品质量指标值低于 65 的概率相同
10. 已知圆柱的轴截面为矩形 ABCD,BC=2,AB 为下底面圆的直径,点 E 在下底面圆周上,
AE=BE,F 为 CE 的中点, BF⊥AC ,则
A. 该圆柱的体积为 4π
B. 该圆柱的表面积为 16π
C. 直线 AC 与平面 BCE 所成角为 30∘
D. 二面角 C−AE−B 为 45∘
11. 设 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线 x=2 对称, f (2)=4 ,且 ∀x ,
1
x ∈[0,1) ,都有 f (x +x )=f (x )f (x ) ,则
2 1 2 1 2
(7)
A. f (1)=−2 B. f =❑√2
2
2025
C. f (4)=1 D. ∑ f (i)=4555
i=1
2
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三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知角 α 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第一象限,角 α 的终
π 1
边按顺时针方向旋转 后与单位圆交点的纵坐标为 ,则角 α 的终边按逆时
3 3
π
针方向旋转 后与单位圆交点的横坐标是_____.
6
x2 y2
13. 双曲线 C: − =1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别为 F ,F ,以 F F 为直径的圆与
a2 b2 1 2 1 2
❑√2
C 的一个交点 P 的纵坐标为 a ,则 C 的离心率为_____.
2
14. 若无穷数列 {a ) 满足 a =0,|a −a )=n,n∈N∗ ,则称数列 {a ) 为 α 数列. 若 α 数
n 1 n+1 n n
列 {a ) 为递增数列,则 a = _____；若 α 数列 {b ) 满足 b >b , 且 b ≤
n 10 n 2n+2 2n n
n−1
,n∈N∗ ,则 b = _____.
2 2n
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
已知 6 位同学中有 3 位女生, 3 位男生,现将这 6 位同学随机平均分成 A , B 两组, 进行比赛.
(I) 求 A 组中女生的人数 X 的分布列.
(II) 记事件 M : 女生不都在同一组,事件 N : 女生甲在 A 组. 判断事件 M,N 是否相互独
立, 并证明你的结论.
16.(本小题满分 15 分)
已知 a,b,c 为 △ABC 的角 A,B,C 所对的边,且满足 2b(sinBcosC+❑√3cosA)+
csin2B=0,D 为 BC 的中点.
(I) 求角 A ;
15
(II) 若 ⃗AB⋅⃗AC=− ,a=7 ,求 AD 的长.
2
17. (本小题满分 15 分)
如图,平行四边形 ABCD 中, AB=BD=❑√3 , AD=2 , E 为 AD 的中
点,将 △ABE 沿 BE 翻折至 △PBE ,使得平面 PBE⊥ 平面
BCDE,M 是线段 PC 上的一个动点.
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(I)证明: BD⊥ 平面 PCE .
(II)当 △BDM 的面积最小时,求平面 BDM 与平面 PBE 夹角的余弦值.
18.(本小题满分 17 分)
直线 l 经过抛物线 E:y2=4x 的焦点 F ,且与 E 交于 A,B 两点 (点 A 在 x 轴上方),点
M (n,0)(n∈N∗，且n≥2) 在 x 轴上,直线 AM , BM 分别与 E 交于点 C , D ,记
n n n n n
直线 C D 与 x 轴交点的横坐标为 x .
n n n
(I) 若直线 l 垂直于 x 轴,求直线 C D 的方程.
2 2
n
1 3
(II) 证明: ∑ < .
x 4
i=2 i
19.(本小题满分 17 分)
若定义在 D 上的函数 f (x) 满足: 对任意 x∈D ,存在常数 M ,都有 f (x)≤M 成立,则称
M 为函数 f (x) 的上界,最小的 M 称为函数 f (x) 的上确界,记作 M= supf (x) . 与之对
应,若定义在 D 上的函数 f (x) 满足: 对任意 x∈D ,存在常数 m , 都有 f (x)≥m 成立,则
称 m 为函数 f (x) 的下界,最大的 m 称为函数 f (x) 的下确界,记作 m=inf f (x) .
(I) 若 f (x) 有下确界 m ,则 m 一定是 f (x) 的最小值吗? 请举例说明.
(II) 已知函数 f (x)=aex−1−lnx+x ,其中 a∈R .
(i) 若 a=0 ,证明: f (x) 有下确界,没有上确界.
(ii)若函数 f (x) 有下确界,求实数 a 的取值范围,并证明 inf f (x)≥1 .
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