文档内容
广东省深圳市2021年中考数学真题试卷
一、选择题（每题3分，共30分）（共10题；共30分）
1.如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，和“建”字所在面相对的面上
的字是（ ）
A. 跟 B.
百 C.
走 D. 年
2. 的相反数（ ）
A. 2021 B. C. －2021 D.
3.不等式 的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
4《. 你好，李焕英》的票房数据是：109，133，120，118，124，那么这组数据的中位数是（
）
A. 124 B. 120 C. 118 D. 109
5.下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.计算 的值为（ ）A. B. 0 C. D.
7.《九章算术》中有问题：1亩好田是300元，7亩坏田是500元，一人买了好田坏田一共是
100亩，花费了10000元，问他买了多少亩好田和坏田？设好田买了x亩，坏田买了y亩，根
据题意列方程组得（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即 米，在
点E处看点D的仰角为64°，则 的长用三角函数表示为（ ）
A. B. C. D.
9.二次函数 的图象与一次函数 在同一平面直角坐标系中的
图象可能是（ ）A. B.
C. D.
10.在矩形 中， ，点E是 边的中点，连接 ，延长 至点F ， 使得
，过点F作 ，分别交 、 于N、G两点，连接 、 、 ，
下列正确的是（ ）
① ； ② ； ③ ； ④ ．
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题（每题3分，共15分）（共5题；共15分）
11.因式分解： ________．
12.已知方程 的一个根是1，则m的值为________．13.如图，已知 ， 是角平分线且 ，作 的垂直平分线交
于点F ， 作 ，则 周长为________．
14.如图，已知反比例函数过A ， B两点，A点坐标 ，直线 经过原点，将线段
绕点B顺时针旋转90°得到线段 ，则C点坐标为________．
15.如图，在 中，D ， E分别为 ， 上的点，将 沿 折叠，得到
，连接 ， ， ，若 ， ， ，则
的长为________.
三、解答题（共55分）（共7题；共53分）16.先化简再求值： ，其中 ．
17.如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．
（1）过直线m作四边形 的对称图形；
（2）求四边形 的面积．
18.随机调查某城市30天空气质量指数（ ），绘制成如下扇形统计图 ．
空气质量指数
空气质量等级 频数
（ ）
优 m
良 15
中 9
差 n
（1） ________， ________；
（2）求良的占比；
（3）求差的圆心角；
（4）折线图是一个月内的空气污染指数统计，然后根据这个一个月内的统计进行估测一年的
空气污染指数为中的天数，从折线图可以得到空气污染指数为中的有9天．根据折线统计图，一个月（30天）中有________天AQI为中，估测该城市一年（以365天计）中
大约有________天 为中．
19.如图， 为 的弦，D ， C为 的三等分点， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
20.某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）
的关系如下表所示：
x（万元）10121416
y（件） 40302010
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少 ？
21.探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、 倍、k倍．
（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2
倍？________（填“存在”或“不存在”） ．
（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：
①设新矩形长和宽为x、y ， 则依题意 ， ，
联立 得 ，再探究根的情况：
根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的 倍；②如图也可用反比例函数与一次函数证明 ： ， ： ，那么，
a ． 是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？
b ． 请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的 ，若存在，用图像表达；
c ． 请直接写出当结论成立时k的取值范围：．
22.在正方形 中，等腰直角 ， ，连接 ，H为 中点，连接
、 、 ，发现 和 为定值.
（1）① ▲ ；
② ▲ .③小明为了证明①②，连接 交 于O ， 连接 ，证明了 和 的关系，请你
按他的思路证明①②.
（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2， ，
（ ）
求① ________（用k的代数式表示）
② ________（用k、 的代数式表示）答案解析部分
一、选择题（每题3分，共30分）
1.【答案】 B
【考点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方
形，“建”与“百”是相对面，“党”与“年”是相对面，“跟”与“走”是相对面 ，
故答案为：B.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点进行解答，
即可得出答案.
2.【答案】 B
【考点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：- 的相反数是 .
故答案为：B.
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数是互为相反数，即可得出答案.
3.【答案】 D
【考点】解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：x-1＞2，
∴x＞3，
在数轴上表示为 ：
故答案为：D.
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来，即可得出答案.
4.【答案】 B
【考点】中位数
【解析】【解答】解：从小到大排列：109，118，120，124，133，
∴ 这组数据的中位数是120.
故答案为：B.
【分析】中位数是将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处
于最中间位置的数就是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均
数是这组数据的中位数，据此即可得出答案.5.【答案】 A
【考点】同底数幂的除法，单项式乘单项式，合并同类项法则及应用，幂的乘 方
【解析】【解答】解：A、2a2·a=2a3 ， 故A正确；
B、（a2）3=a6 ， 故B错误；
C、a2和a3不是同类项，不能合并，故C错误；
D、a6÷a2=a4 ， 故D错误.
故答案为：A.
【 分析】根据单项式乘以单项式的法则、幂的乘方法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法
则，逐项进行判断，即可得出答案.
6.【答案】 C
【考点】特殊角的三角函数值，实数的绝对值
【解析】【解答】解： .
故答案为：C.
【分析】把 代入，再根据绝对值的意义进行计算，即可得出答案.
7.【答案】 B
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解： 设一亩好田为x元，一亩坏田为y元，
根据题意得： .
故答案为：B.
【分析】设一亩好田为x元，一亩坏田为y元，根据题意找出等量关系，列出方程组即可.
8.【答案】 C
【考点】三角形的外角性质，等腰三角形的判定，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠F=32°，∠DEC=64°，
∴∠EDF=∠DEC-∠F=64°-32°=32°=∠F，
∴DE=EF=15，
在Rt△DCE中， ，
∴CD= .
故答案为：C.【 分析】根据三角形的外角性质求出∠EDF=32°=∠F，得出DE=EF=15，再根据锐角三角函数的
定义得出 ， 即可得出答案.
9.【答案】 A
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+1的对称轴为直线x=- ， 一次函数y=2ax+b与x轴
的交点坐标为（- ， 0），
∴抛物线的对称轴与直线的交点为（- ， 0），
故A符合题意.
故答案为：A.
【 分析】求出抛物线的对称轴为直线x=- ， 直线与x轴的交点坐标为（- ， 0），得出抛物
线的对称轴与直线的交点为（- ， 0），逐项进行判断，即可得出答案.
10.【答案】 B
【考点】三角形全等的判定，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角
函数的定义
【解析】【解答】
故答案为：① ，①正确；
②∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，∴ （ ），∴ ，∴ ，
∵ ， ， ，
∴ （ ），∴ ，故②正确；
③∵ ， ，∴ ，
∵在 和 中： ， ，
∴ （ ），∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，故③错误；
④由上述可知： ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，故④正确．
故选B．
【分析】①先证出∠GFB=∠EDC，得出 ， 即可判断①正确；
②先证出△DEC≌△FEM，得出EM=EC，从而得出DM=FC，进而证出△DMN≌△FCN，得出
MN=NC，即可判断②正确；
③先证出MC∥GE，得出 ， 再求出EF，CF的长，得出 ， 即可判断③错误；
④先求出BF的长，根据 ， 求出GB的长，利用
， 即可判断④正确.
二、填空题（每题3分，共15分）
11.【答案】 7（a+2）（a-2）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：7a2-28=7（a2-4）=7（a+2）（a-2）.
【分析】先提公因式7，再根据平方差公式分解因式，即可得出答案.
12.【答案】 2
【考点】二元一次方程的解
【解析】【解答】将 代入得： ，解得
【 分析】根据一元二次方程根的定义把x=1代入方程，得出关于m的 一元一次方程，解方程
求出m的值 ，即可得出答案.
13.【答案】
【考点】线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形，角平分线的定义
【解析】【解答】 （垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）
∴
∵ ， 是角平分线
∴
∵
∴ ，
∴
【 分析】根据线段垂直平分线的性质得出DF=AF，根据角平分线的定义得出∠DAE=30°，从而
求出DE和AE的长，再利用△DEF的周长=DE+DF+EF=AE+DE，即可得出答案.
14.【答案】 （4，-7）【考点】坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，
三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】设 ： ，反比例：
将点A代入可得：
；
联立可得：
过点B作y轴的平行线l
过点A ， 点C作l的垂线，分别交于D ， E两点
则
利用“一线三垂直”易证
，
∴ ．
【 分析】利用待定系数法求出反比例函数和正比例函数的解析式，求出点B的坐标，过点B作
y轴的平行线l，过点A、点C作l的垂线，垂足分别为D，E两点，求出点D的坐标，再证出
△ABD≌△BEC，得出BE和CE的长，即可求出点C的坐标.
15.【答案】
【考点】等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质
【解析】【解答】解法1：如图，延长 ，交 于点G ，由折叠，可知 ，
∵ ，∴ ，
延长 ， ，交于点M ，
∵ ，且 ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
又易证 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
解法2：如图，延长 ，交 于点G ，由折叠，可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
延长 ， ，交于点M ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
解法3：由题意易证点D为 的中点，
如图，取 的中点M ， 连接 ，
∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ．
解法4：由折叠，易证 ，
∴ ，∴ ，
过点F作 ，交 延长线于点M ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，∴ ，
∴ ．
解法5：如图过点B作 ，交 于点M ，
∴四边形 为平行四边形，
且 ，
由折叠，可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
解法6：延长 至点M ， 使得 ，连接 ，
易证 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
【 分析】解法1：延长ED，交CF于点G，先证出四边形BFEM为平行四边形，得出BM=10，再证
出AE=AM，利用AM=BM-AB，即可求出AE的长；
解法2：根据平行线的性质和等腰三角形的判定得出EM=EF=10，AM=AB=4 ， 再利用
AE=EM-AM，即可求出AE的长；
解法3 ：取AC的中点M，连接DM，根据三角形中位线定理和平行线的性质得出∠MED=∠MDE，得出EM=MD=2 ， 从而求出AM的长，利用AE=AM-EM，即可求出AE的
长；
解法4：先证出四边形AMFE为平行四边形，得出AM=EF=EC=10，AE=MF=MB，利用MB=AM-
AB ， 即可求出AE的长；
解法5：过点B作BM∥AC，交EF于点M，先证出四边形ABME为平行四边形，得出
AE=MB=MF，EM=AB=4 ， 利用MF=EF-EM=EC-EM， 即可求出AE的长；
解法6：延长ED至点M，使得DM=ED ，连接BM，根据等角对等边证出BN=BM=10，AE=AN ,
利用AN=BN-AB，即可求出AE的长.
三、解答题（共55分）
16.【答案】 解：原式
当 时，原式
【考点】分式的混合运算，利用分式运算化简求值
【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再把x的值代入进行计算，
即可得出答案.
17.【答案】 （1）解：如图所示 ：
（2）解：
【考点】三角形的面积，作图﹣轴对称【解析】【解答】（2）S =S +S = .
四边形ABCD △ACB △ACD
【 分析】（1） 分别作出点A、B、C、D关于直线m的对称点A′、B′、C′、D′，顺次连接各点即可；
（2）利用S =S +S = ， 即可得出答案.
四边形ABCD △ACB △ACD
18.【答案】 （1）4；2
（2） ，
∴ 良的占比为50%；
（3） ，
∴ 差的圆心角为24°；
（4）9；100
【考点】用样本估计总体，频数（率）分布表，扇形统计 图
【解析】【解答】解：（1）∵m+15+9+n=30，
∴m+n=6，
∵m，n为整数，m＞n，
∴m=5，n=1或m=4，n=2，
∵m：n=2：1，
∴m=4，n=2，
故答案为：4；2；
（4） ∵空气污染指数为中的有9天，
∴ ≈109（天），
∴ 估测该城市一年（以365天计）中大约有109天.
【分析】（1）根据题意得出m+n=6，结合扇形统计图中优与差的占比得出m=4，n=2；
（2）利用良的占比= ， 即可得出答案；
（3）利用差的圆心角=差的占比×360°，即可得出答案；（ 4）根据频数分布表得出空气污染指数为中的有9天，求出中的占比，再乘以365，即可得出
答案.
19.【答案】 （1）证明：连接 ，∵A、D、C、B四点共圆
∴
又
∴
又
∴
∴ ，又
∴四边形 为平行四边形
∴
（2）解：∵ ，∴
又∵ ，∴
又∵ ，即
∴ ，∴
【考点】平行四边形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形的性
质，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得出∠BAD=∠BCE，根据圆周角定理得出
∠BAD=∠ABC，从而得出∠ABC=∠BCE，证出AB∥CD，从而证出四边形ACEB是平行四边形，即
可得出∠BAC=∠E；
（2）根据等弧所对的弦相等得出CD=BD=3，20.【答案】 （1）解：
（2）解：
【考点】一次函数的实际应用，二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1） 设y与x的函数关系式为y=kx+b，
当x=10时，y=40，当x=12时，y=30，
∴ ，
解得 ，
∴y与x的函数关系式为y=-5x+90；
（2）设利润为w万元，
∴w=（x-8）（-5x+90）=-5x2+130x-720=-5（x-13）2+125，
∴当x=13时，w有最大值，最大值为125，
∴当销售单价为13元时，有最大利润，最大利润为125万元.
【分析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，利用待定系数法求出函数的表达式即可；
（ 2）设利润为w万元，根据利润=一件的利润×销售量，得出二次函数，再根据二次函数的性
质求解即可.
21.【答案】 （1）不存在
（2）解：a存在；
∵ 的判别式 ，方程有两组正数解，故存在；
从图像来看， ： ， ： 在第一象限有两个交点，故存在；
b设新矩形长和宽为x、y，则依题意 ， ，联立 得
，
因为 ，此方程无解，故这样的新矩形不存在；从图像来看， ： ， ： 在第一象限无交点，故不存在；
c. ；
设新矩形长和宽为x和y，则由题意 ， ，
联立 得 ， ，故 ．
【考点】一元二次方程根的判别式及应用，反比例函数与一次函数的交点问题，相似多边形的
性质
【解析】【解答】解：（1）不存在，
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则面积比必定是4，所以不存在；
【 分析】（1）根据相似图形的性质，面积比是相似比即周长比的平方，即可得出这样的正方形
不存在；
（2）a、方法①：根据一元二次方程根的判别式△＞0，得出方程有两组正数解，即可得出这样
的新矩形存在；
方法②：观察图象可知，一次函数y=-x+10与反比例函数y= 在第一象限有两个交点，即可
得出这样的新矩形存在；
b、方法①： 设新矩形长和宽为x、y， 列出方程组，得出一元二次方程，再根据一元二次方程
根的判别式△＜0，得出方程无解，即可得出这样的新矩形不存在；
方法②：观察图象可知，一次函数y=-x+ 与反比例函数y= 在第一象限没有交点，即可得出这样的新矩形不存在；
c、方法①： 设新矩形长和宽为x、y， 列出方程组，得出一元二次方程，再根据一元二次方程
根的判别式△≥0，求出k的取值范围，即可得出答案.
22.【答案】 （1）解：① ；②45°；③证明：如图所示 ：
由正方形性质得： ，O为 的中点
又∵H为 的中点，则 ，
∴ 是等腰直角三角形
∴
∴
∵
∴ ，又∵
∴
又
∴ ，又∵
∴∴ ，
∴
（2） ；
【考点】勾股定理，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定
义
【解析】【解答】解：（2）①如图，连接AC，交BD于点O，连接OH，
∵△BCD≌△DAB，
∴BC=AD，CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OD= BD，OA=OC，
∵H为CE的中点 ，
∴OH∥AE，OH= AE，
∴∠HOC=∠EAC，
∵∠COD=∠BDA+∠DAC，∠BAD=∠EAF，
∴∠HOD=∠HOC+∠COD=∠∠EAC+∠EAF+∠DAC=∠DAF，
∵ ，∴ ， ，
∴△DAF∽△DOH，
∴ ，
故答案为： ；
②如图，过点H作HM⊥DF于点M，
∴∠HMD=∠HMF=90°，
∵△DAF∽△DOH，
∴∠HDO=∠ADF，
∴∠HDF=∠HOD+∠ODF=∠ADF+∠ODF=∠BDA= ，
∴HM=OH· ， DM=OH· ，
∵ ，
∴FD= ，
∵HF2=HM2+MF2=HM2+（DF-DM）2 ，
=（OH· ）2+（ -OH· ）2 ，
= ,
∴ ，
故答案为：【分析】（1）①先证出 ， ∠BOH=∠BAF，从而得出△DAF∽△DOH，即可得出
；
②根据△DAF∽△DOH，得出∠HBO=∠FBA，利用∠HBF=∠HBO+∠DBF=∠DBA=45°，即可得出答
案；
（2）①连接AC，交BD于点O，连接OH，先证出∠HOD=∠DAF， ， 从而得出
△DAF∽△DOH，即可得出 ；
②过点H作HM⊥DF于点M，先证出∠HDF= ， 再根据锐角三角函数定义得出HM=OH·
， DM=OH· ， 由 ， 得出FD= ， 利用勾股定理得出HF2=HM2+（DF-DM）2
， 代入进行化简，求出HF2= ， 即可求出 .
