文档内容
2024 年 1 月“九省联考”考后提升卷
高三数学
（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则
这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．5，7 B．6，7 C．8，5 D．8，7
【答案】D
【解析】数据由小到大排列为5，5，6，7，8，8，8，
因此，这组数据的众数为8，中位数为7．故选：D．
2．设椭圆的两个焦点分别为 、 ，过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 ，若 为等腰直角三角形，
则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，设椭圆的长轴为 ，半焦距为 ，
则 ，则 ， ，于是 ，
.故选：C.
3．若数列 满足 ，其前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为数列 满足 ，则数列 为等差数列，
设数列 的公差为 ，则 ，可得 ，
所以， ，
所以， ，故选B.
4．已知 、 是两个不同的平面， 、 是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ， ，则
【答案】D
【解析】对于A选项，因为 ，过直线 作平面 ，使得 ，
因为 ， ， ，则 ，
因为 ， ，则 ，故 ，A对；对于B选项，若 ， ，则 ，又因为 ，故 ，B对；
对于C选项，若 ， ，则 ，C对；
对于D选项，若 ， ， ，则 、 平行或相交，D错.
故选D.
5．在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育
行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指
导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】甲､乙､丙､丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有： 种；
每个地区至少安排1名专家的安排方法有： 种；
由古典概型的计算公式，每个地区至少安排1名专家的概率为： .
故选：B.
6．设 为抛物线 的焦点， 为该抛物线上三点，若 ，则
（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
【答案】D
【解析】设 ， ， ， ， ， ，抛物线焦点坐标 ，准线方程： ，
， 点 是 重心，
则 ， .
而 ， ，，
故选：D．
7．已知 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】由题 ，
得 ，
则 或 ，
因为 ，所以 ，
.
故选：A
8．已知 分别为双曲线 的左、右焦点，过 且与双曲线的一条渐近线平行的直线
交双曲线于点 ，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】
如图，不妨设点P为与双曲线渐近线 平行的直线与双曲线的交点.
由已知结合双曲线的定义可得 ，
所以， ， ， ，且 为锐角.
又 ， ，
所以， .
又 ，
在 中，由余弦定理可得
，
整理可得， ，
所以 ， .
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，则（ ）
A． 的最小正周期为B． 是奇函数
C． 的图象关于直线 对称
D． 在 上单调递增
【答案】ACD
【解析】由题意，可得 ，
则 的最小正周期为 ，且 不是奇函数，所以A正确，B不正确；
当 时，可得 ，
所以 的图象关于直线 对称，所以C正确；
由 ，得 ，所以 在 上单调递增，所以D正确．
故选：ACD.
10．已知复数 ， （ ， ）（ 为虚数单位）， 为 的共轭复数，则下列结论正确
的是（ ）
A． 的虚部为
B．
C．
D．若 ，则在复平面内 对应的点形成的图形的面积为
【答案】CD
【解析】由题意可得 ，所以 的虚部为 ，A错误，
，故 ，B错误，，C正确，
表示点 到 的距离不大于1的点构成的图形，故为以 为圆心，以1为半径的圆以及
内部，故面积为 ，D正确，
故选：CD
11．已知函数 ， 的定义域均为R，且 ， ，
，则下列说法正确的有（ ）
A． B． 为奇函数 C． 的周期为6 D．
【答案】ACD
【解析】对于A， ，故A正确；
， ，
，令 ，
则 ①，
②，
①+②可得 ，
， ，
，因此 ，故C正确；
令 ， ，
令 ， ， ，则 ，故 ， ，
故 为偶函数，所以B不正确；
因为 ，故 关于 对称，
且 ， ，令 ， ，
则 ，令 ， ， ，
则 ， ，
，一个周期的和为0，
则 ，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合 且 ，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】集合 且 ，则 .
13．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱
的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为 ，则
该模型中圆柱的表面积为 .
【答案】
【解析】设球的半径为 ，则圆柱的底面半径为 ，母线长为 ，
则球的体积为 ，所以 ，
所以圆柱表面积为 .14．对于任意两个正实数a，b，定义 ，其中常数 ．若 ，且 与 都
是集合 的元素，则 ．
【答案】 /
【解析】由 与 都是集合 的元素，
不妨设 ，
因为 ，所以 ，
由已知 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ， ，
则 ，即 ，
因为 ，所以 ，则 ，即 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数 在点 处的切线与直线 垂直．
(1)求 ；
【解】（1） ，则 ，由题意可得 ，解得 ；
（2）由 ，故 ，
则 ， ，
故当 时， ，当 时， ，当 时， ，
故 的单调递增区间为 、 ， 的单调递减区间为 ，
故 有极大值 ，
有极小值 .
16．（15分）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，
3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸
出的球中有 个红球，则分得 个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.
(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.
【解】（1）记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A，
可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，
所以 .
（2）由题意可知 的可能取值为：0，1，2，3，则有：
，
，
可得 的分布列为
0 1 2 3所以 .
17．（15分）如图，在四棱柱 中，底面 和侧面 都是矩形， ，
.
(1)求证： ；
(2)若点 的在线段 上，且二面角 的大小为 ，求 的值.
【解】（1）在四棱柱 中，
底面 和侧面 都是矩形，则侧面 都是矩形，
有 ， ，
， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 .
（2） ， .
取 分别为 的中点，连接 ， ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 ，所以 ,
所以以 为原点， 所在直线分别为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 ， ，则 .
则 ，
设 ，即 ，可得 ，
， ，
设平面 的一个法向量 ，
则有 ，
令 ，则 ，得 ，
又平面 的一个法向量 ，
因为二面角 的大小为 ，
则有 ，
整理得， ，解得 ，或 （舍），
所以 ，则 ，有 的值为2.18．（17分）在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 的准线 交 轴于点 ，
过 的直线 与抛物线 相切于点 ，且交 轴正半轴于点 .已知 上的动点 到点 的距离与到直线
的距离之和的最小值为3.
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点，过 且平行于 轴的直线与线段 交于点 ，点 满足 .证
明：直线 过定点.
【解】（1）设 ，由题意知准线 ，
由抛物线的定义可知点 到点 的距离等于点 到准线 的距离，
所以点 到点 的距离与到直线 的距离之和为 ，
由题意知当 时，距离之和最小，
所以 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）由（1）知 ，设 ，
联立方程 ，得 ，
由 得 ，解得 ，又与 轴交于正半轴，所以
由 解得 ，所以点 ，
所以直线 ，
所以直线 ，所以 ，
因为 斜率存在且不为零，所以设 ，联立 ，消去 ，得 ，
则 ，所以 且 .
，
又直线 ，令 ，得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ，
所以 ，
因为 ，
所以直线 为 ，所以 恒过定点 .
19．（17分）今有一个“数列过滤器”，它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项，并将剩下的项按
原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列，每次“过滤”会删去数列中除以 余数为 的项，
将这样的操作记为 操作.设数列 是无穷非减正整数数列.（1）若 ， 进行 操作后得到 ，设 前 项和为
①求 ．
②是否存在 ，使得 成等差？若存在，求出所有的 ；若不存在，说明理由．
（2）若 ，对 进行 与 操作得到 ，再将 中下标除以4余数为0，1的项
删掉最终得到 证明：每个大于1的奇平方数都是 中相邻两项的和．
【解】（1）①由 知：当 时 ，故 ．
则 ．
②解：假设存在，由 单调递增，不妨设
化简得 ，显然左式为偶数，右式为奇数，矛盾，故不存在．
（2）易知 ，
所以保留 ，则 ．
又 ，将 删去，
得到 ，则
也即 ．
记 ，下面证明： ．
由 ，
知：
，同理可得： ，
合并以上四式，便证明了对任意的 ，都有 ．
因此，原命题得证．
