文档内容
2023 年高考考前押题密卷（全国乙卷）
文科数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考
证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题
目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意可得：
故选：D
2．已知复数 满足 ，给出下列四个命题其中正确的是（ ）
A． B． 的虚部为 C． D．
【答案】B
【详解】∵ ，∴ ，故z的虚部为 ，
1
学科网（北京）股份有限公司则 ， ， ，所以B正确，A，C，D不正确.
故选：B.
3．已知命题p： ， ；命题q：直线 ： 与 ： 相互垂直的充要条件为
，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令 ，则 ，所以p为真命题；
若 与 相互垂直，则 ，解得 ，故q为假命题，
所以只有 为真命题.
故选：B．
4．函数 的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ， 的最小正周期 ，
所以函数 的最小正周期是 .
故选：C.
5．设实数 ， 满足约束条件 则目标函数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】作出可行域，如图 内部（含线段 不包含顶点的部分），
2
学科网（北京）股份有限公司作直线 ： ，在直线 中， 是直线的纵截距，
因此直线向上平移时， 增大，由于 ，因此直线 与 平行，
3×8=24
所以平移直线 ，当它与直线 重合时， 取得最大值 ，
若直线过点A， ，
所以目标函数的值域为 .
故选：D.
6．已知 ， ，则 （ ）
A．-7 B． C．7 D．
【答案】A
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
3
学科网（北京）股份有限公司所以 .
故选：A．
7．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图（含乾、坤，巽、震、坎、离、艮、兑八卦），
每一卦由三根线组成（ 表示一根阳线， 表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦
的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】从八卦中任取两卦，共有 种情况，
其中这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线，则必有一卦为乾，另一卦从兑、离、巽中选出一卦，故共
有 ，
故这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为 .
故选：B
8．已知函数 （a，b为常数，其中 且 ）的图象如图所示，则下列结论正确的是
（ ）
4
学科网（北京）股份有限公司A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【详解】解：由图象可得函数在定义域上单调递增，
所以 ，排除A，C；
又因为函数过点 ,
所以 ，解得 ．
故选：D
9．函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为 ， ，
所以 ，故函数 的为奇函数，排除BD；
又 所以 ，故A错误.
故选：C
5
学科网（北京）股份有限公司10．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑 中 平面BCD，
，且 ，则鳖臑 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
如图，取 的中点为 ，连接 ，
因为 平面BCD， 平面 ，故 ，
同理 .
因为 的中点为 ，故 .
而 ， 平面 ，故 平面 ，
而 平面 ，故 ，
故 ，所以 为三棱锥 外接球的球心，
又 ，故 ，所以 ，
故三棱锥 外接球半径为 ，故其外接球的表面积为 .
故选：C.
11．已知 ， 是椭圆 的上、下顶点， 为 的一个焦点，若 的面积为 ，则
的长轴长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】B
【详解】由题可知 ，则 ，所以 ，所以 ，
故 的长轴长为 ．
6
学科网（北京）股份有限公司故选：B
12．函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时， .若对任意
，都有 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因 ，又当 时， ，
当 ， ，时， ，
则 ，
，
当 ， ，时， ，
则 ，
，
作出函数 的大致图象，
对任意 ，都有 ，
设 的最大值为 ，
7
学科网（北京）股份有限公司则 ，且
所以 ，解得
所以m的最大值为 .
故选：A.
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量 ，且 ，则 ___________.
【答案】
【详解】由题设 ，且 ，
所以 ，则 .
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14．点 到抛物线 的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是______．
【答案】 或 ．
【详解】将 化为 ，
当 时，准线 ，由已知得 ，所以 ，所以 ；
当 时，准线 ，由已知得 ，所以 或 （舍），
所以抛物线方程为 或 ．
故答案为： 或 .
8
学科网（北京）股份有限公司15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中 ，且满足 ，
，则边a等于________．
【答案】
【详解】由 ，显然 ，则 ，
又 ，则 ，
由 ，
又 ，则 ，整理得 ，
又 ，则 ，所以 ，得 ，
又由正弦定理有 ，则 ．
故答案为： ． 微信搜索“高中试卷君”公众号 领取押题卷联考卷
16．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，异面直线AB与CD的夹角为__________．
【答案】
9
学科网（北京）股份有限公司【详解】
如图所示，把展开图恢复到原正方体．
连接AE，BE．由正方体可得 且 ，
∴四边形ADCE是平行四边形，∴AE DC．
∴ 或其补角是异面直线AB与CD所成的角．
由正方体可得： ，∴ 是等边三角形，∴ ．
∴异面直线AB与CD所成的角是60°．
故答案为：60°
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．某校随机抽出30名女教师和20名男教师参加学校组织的“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争
胜利75周年”知识竞赛（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，50~80分之间的为非优秀，统计
并得到如下列联表：
女教
男教师 总计
师
优秀 20 6 26
非优秀 10 14 24
总计 30 20 50
(1)男､女教师中成绩为优秀的频率分别是多少？
(2)判断是否有99%的把握认为这次竞赛成绩是否优秀与性别有关？
附： ，其中 ．
0.050 0.010 0.001
10
学科网（北京）股份有限公司3.841 6.635 10.828
【详解】（1）由题意可得：男教师中成绩为优秀的频率是 ，女教师中成绩为优秀的频率是 ．
（2） ，
故没有 的把握认为这次竞赛成绩是否优秀与性别有关．
18．如图，在底面为矩形的四棱锥 中， 底面ABCD．
(1)证明：平面 平面PCD．
(2)若 ， ，E在棱AD上，且 ，求四棱锥 的体积．
【详解】（1）证明：由四边形ABCD为矩形，得 ．
因为 底面ABCD， 平面ABCD，所以 ．
因为 ， 平面PAD，所以 平面PAD．
因为 平面PCD，所以平面 平面PCD．
（2）因为 ， ，所以 ，
因为直角梯形ABCE的面积 ．
所以 ．
19．数列 满足 .
(1)求证： 是等比数列；
(2)若 ，求 的前 项和为 .
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）可得， ，所以 ，
设 设其前 项和为 ，
则 ①
②
减②得
所以
所以
20．已知双曲线 的离心率等于2，点 到直线 的距离等于1．
(1)求 的标准方程；
(2)设 为 在第一象限的一个点， ， 为 的焦点，如果线段 ， ， 的长度构成等差数列，
求点 的坐标．
【详解】（1）因为点 到直线 的距离等于1，所以 ，解得 .
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学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 ，所以 ，故 的标准方程为 .
（2）设点 坐标为 ，由 为 在第一象限的一个点,得 且 ；
又 ， ， 构成等差数列，所以 .
由 得 .
又 ，所以 ，即 ，所以 ，
代入 得 ，所以点 坐标为 .
21．已知函数 ， ．
(1)若 ，求函数 的最小值及取得最小值时的 值；
(2)求证： ；
(3)若函数 对 恒成立，求实数a的取值范围．
【详解】（1）解：当 时， ，定义域为 ，
所以 ，令 得 ，
所以，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以，函数 在 处取得最小值， .
（2）解：由（1）知，当 时， ，即 ，
所以，要证 成立，只需证 ，
令 ，则 ，
13
学科网（北京）股份有限公司所以，当 时， 恒成立，
所以，函数 为单调递增函数，
所以， ，即 ，
所以 ，
所以 成立
（3）解：因为函数 对 恒成立
所以 对 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以，由 可得 ，即满足 对 恒成立；
当 时，则 ， ， 在 上单调递增，
因为当 趋近于 时， 趋近于负无穷，不成立，故不满足题意；
当 时，令 得
令 ， 恒成立，故 在 上单调递增，
因为当 趋近于正无穷时， 趋近于正无穷，当 趋近于 时， 趋近于负无穷，
所以 ，使得 ， ，
所以，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以，只需 即可；
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学科网（北京）股份有限公司所以， ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以， ，
综上，实数a的取值范围为
22．在直角坐标系 中，曲线M的方程为 ，曲线N的方程为 ，以坐标原点O为极点，
x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求曲线M，N的极坐标方程；
(2)若射线 与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且 ，
求 ．
【详解】（1）解：由 ，可得 ，即 ，
又由 ，可得 ，
所以曲线M的极坐标方程为 ．
由 ，可得 ，即 ，
即曲线N的极坐标方程为 .
（2）解：将 代入 ，可得 ，
将 代入 ，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ．
23．已知函数 ．
(1)若 ，解不等式 ；
(2)若 ，求a的取值范围．
【详解】（1）若 ，可知 ，
当 时，不等式 转化为 ，
解得 ，
当 时，不等式 转化为 ，不等式恒成立，
当 时，不等式 转化为 ，
解得 ，
综上，不等式 的解集为 ；
（2）若 ，则 ，
因为 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 ，
即 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 或 ，
则a的取值范围为 ．
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学科网（北京）股份有限公司18
学科网（北京）股份有限公司
