文档内容
凉山州 2024 年初中学业水平暨高中阶段学校招生考试试题
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用 0.5毫米的黑色墨迹签字在答题卡
上，并在答题卡背面上方填涂座位号，同时检查条形码粘贴是否正确．
2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用 0.5毫米黑色字笔书
写在答题卡对应题目标号的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸卷上答题
无效．
3．考试结束后，由监考教师将试题卷，答题卡，草稿纸一并收回．
本试卷共6页，分为A卷（100分），B卷（50分），全卷满分150分，考试时间12（A卷
又分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．
A卷（共100分）
第Ⅰ卷选择题（共48分）
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项的，
请把正确选项的字母序号填涂在答题卡上对应的位置．
1. 下列各数中： ，负数有（ ）
.
A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．
根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．
【详解】解： ，是正数；
，是负数；
，是负数；
0既不是正数，也不是负数；
，是负数；
，是正数；
负数有 ， ， ，共3个．
故选：C．
2. 如图，由3个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图是（ ）
1A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
找到从上面看所得到的图形即可．
【详解】解：从上面可看，是一行两个相邻的正方形．
故选：B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、积的乘方、同底数幂的除法和乘法分别计算即可
判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解： 、 ，该选项正确，符合题意；
、 ，该选项错误，不合题意；
、 ，该选项错误，不合题意；
、 ，该选项错误，不合题意；
故选： ．
4. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点 在 的延长线上，当 时， 的度数为（
2）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质，是解题的关键．证明
，再利用 ，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
5. 点 关于原点对称的点是 ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点，横纵坐标互为
相反数可得 ， ，再代入代数式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关
键．
【详解】解：∵点 关于原点对称的点是 ，
∴ ， ，
∴ ，
故选： ．
6. 如图，在 中， 垂直平分 交 于点 ，若 的周长为 ，
则 （ ）
3A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线 的的性质，由线段垂直平分线的的性质可得 ，进而可得
的周长 ，即可求解，掌握线段垂直平分
线的的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ 的周长 ，
故选： ．
7. 匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度 随时间 变化的
大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数图象，根据容器最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面
积最较大即可判断求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：由容器可知，最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大，所
以一开始水面高度 上升的很快，然后很慢，最后又上升的更快点，
4故选： ．
8. 在一次芭蕾舞比赛中，甲，乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，每个团参加表演的 位女演员身
高的折线统计图如下．则甲，乙两团女演员身高的方差 大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了方差，根据折线统计图结合数据波动小者即可判断求解，理解方差的意义是解题的关
键．
【详解】解：由折线统计图可知，甲的数据波动更小，乙的数据波动更大，甲比乙更稳定，
∴ ，
故选： ．
9. 若关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则 的值为（ ）
A. 2 B. C. 2或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为 ．由一元二次方程的定义，
可知 ；一根是 ，代入 可得 ，即可求答案．
【详解】解： 是关于 的一元二次方程，
5，即
由一个根 ，代入 ，
可得 ，解之得 ；
由 得 ；
故选A
10. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上
任取两点 ，连接 ，作 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，测出
，则圆形工件的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出 的长；设圆心为O，连接 ，
在 中，可用半径 表示出 的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮
子的直径长．
【详解】解：∵ 是线段 的垂直平分线，
∴直线 经过圆心，设圆心为 ，连接 ．
6中， ，
根据勾股定理得：
，即：
，
解得： ；
故轮子的半径为 ，
故选：C．
11. 如图，一块面积为 的三角形硬纸板（记为 ）平行于投影面时，在点光源 的照射下形
成的投影是 ，若 ，则 的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵一块面积为 的三角形硬纸板（记为 ）平行于投影面时，在点光源 的照射
下形成的投影是 ， ，
7∴ ，
∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为 ，
∵三角形硬纸板的面积为 ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
故选：D．
12. 抛物线 经过 三点，则 的大小关系正确的是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次
函数的图象与性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线 可知：开口向上，对称轴为直线 ，
该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵ ， ， ，
而 ， ， ，
∴点 离对称轴最近，点 离对称轴最远，
∴ ；
故选：D．
8第Ⅱ卷非选择题（共52分）
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
13. 已知 ，且 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，先把 的左边分解因式，再把 代入即可求出
的值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
14. 方程 的解是_______
【答案】x=9
【解析】
【分析】观察可得最简公分母是x（x-3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】解：方程的两边同乘x（x-3），得
3x-9=2x，
解得x=9．
检验：把x=9代入x（x-3）=54≠0．
∴原方程的解为：x=9．
故答案为：x=9．
15. 如图， 中， 是边 上的高， 是 的平分线，
则 的度数是______．
9【答案】 ##100度
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出 ，结合高的定义，
得 ，因为角平分线的定义得 ，运用三角形的外角性质，即可作答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是边 上的高，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
16. 如图，四边形 各边中点分别是 ，若对角线 ，则四边形
的周长是______．
【答案】42
【解析】
【分析】本题考查的是中点四边形，熟记三角形中位线定理是解题的关键．
10根据三角形中位线定理分别求出 、 、 、 ，根据四边形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解： 四边形 各边中点分别是 、 、 、 ，
、 、 、 分别为 、 、 、 的中位线，
， ， ， ，
四边形 的周长为： ，
故答案为：42．
17. 如图，一次函数 的图象经过 两点，交 轴于点 ，则 的面积为
______．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积．根
据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线 的解析式，得出点C的坐标及 的长，再利用三角
形的面积公式即可求出 的面积．
【详解】解：将 代入 ，得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ．
当 时， ，解得： ，
∴点C的坐标为 ， ，
11∴ ．
故答案为：9．
三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18. 计算： ．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算．分别进行零指数幂、负整数指数幂、二次根式及绝对值的运算，然
后代入特殊角的三角函数值代入运算即可．
【详解】解：
．
19. 求不等式 的整数解．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键．
先将 变形为 ，再解每一个不等式，取解集的公共部分作为不等式组的解集，
再找出其中的整数解即可．
【详解】解：由题意得 ，
12解①得： ，
解②得： ，
∴该不等式组的解集为： ，
∴整数解为：
20. 为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机
抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不
完整的统计图：
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查的总人数是______人，估计全校 名学生中最喜欢乒乓球项目的约有______人；
（2）补全条形统计图；
（3）学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行
个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
【答案】（1） ， ；
（2）补图见解析； （3） ．
【解析】
【分析】（ ）用最喜欢足球的学生人数除以其百分比可求出调查的总人数，用 乘以最喜欢乒乓球项
目的百分比可求出最喜欢乒乓球项目的学生人数；
（ ）求出最喜欢篮球项目的学生人数和最喜欢羽毛球项目的学生人数，即可补全条形统计图；
（ ）画出树状图，根据树状图即可求解；
本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图及正确画出
树状图是解题的关键．
【小问1详解】
13解：本次调查的总人数是 人，
估计全校 名学生中最喜欢乒乓球项目的约有 人，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解：最喜欢篮球项目的学生有 人，
∴最喜欢羽毛球项目的学生有 人，
∴补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：画树状图如下：
由树状图可知，共有 种等结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果有 种，
∴抽取的两人恰好是甲和乙的概率为 ．
21. 为建设全域旅游西昌，加快旅游产业发展． 年 月 日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区
唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积
为 平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（ ）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远
塔，组织九年级（ ）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平
地上 点处，测得塔顶 的仰角为 ，眼睛 距离地面 ，向塔前行 ，到达点 处，测得塔顶
14的仰角为 ，求塔高 ．（参考数据： ，结果精确到 ）
【答案】 ．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，设 ，解直角三角形得到
， ，再根据 可得 ，解方程求
出 即可求解，正确解直角三角形是解题的关键．
【详解】解：由题意可得， ， ， ， ，
设 ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
15答：塔高 为 ．
22. 如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于点 ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）把直线 向上平移3个单位长度与 的图象交于点 ，连接 ，求
的面积．
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等知
识，熟练掌握函数的平移法则是关键．
（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点 坐标，根据平行线间的距离可得 ，代
入数据计算即可．
【小问1详解】
解： 点 在正比例函数图象上，
，解得 ，
，
在反比例函数图象上，
16，
反比例函数解析式为 ．
【小问2详解】
解：把直线 向上平移3个单位得到解析式为 ，
令 ，则 ，
∴记直线与 轴交点坐标为 ，连接 ，
联立方程组 ，
解得 ， （舍去），
，
由题意得： ，
∴ 同底等高，
．
B卷（共50分）
四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23. 已知 ，则 的值为______．
17【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
将 代入 ，转化为解一元二次方程， ，要进行舍解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
将 代入
得， ，
即： ，
，
∴ 或 ，
∵ ，
∴ 舍，
∴ ，
故答案为：3．
24. 如图， 的圆心为 ，半径为 ， 是直线 上的一个动点，过点 作 的切线，
切点为 ，则 的最小值为______
【答案】
18【解析】
【详解】解：记直线 与x，y轴分别交于点A，K，连接 ，
当 ， ，当 ，即 ，
解得： ，
而
∴ ，
∴ 均是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 相切，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 最小时即 最小，
∴当 时，取得最小值，
即点P与点K重合，此时 最小值为 ，
在 中，由勾股定理得： ，
19∴ ，
∴ 最小值为 ．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加
辅助线是解题的关键．
五、解答题（共4小题，共40分）
25. 阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第 行有 个
点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
的
（1）探索：三角点阵中前8行 点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前 行的点数之
和为______
的
（2）体验：三角点阵中前 行 点数之和______（填“能”或“不能”）为500．
（3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，
第二排4盆，第三排6盆……第 排 盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
【答案】（1）36；120；
（2）不能 （3）一共能摆放20排．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解；
（2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断；
（2）先得到前n行的点数和是 ，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值．
【小问1详解】
20解：三角点阵中前8行的点数之和为 ，
前15行的点数之和为 ，
那么，前 行的点数之和为 ；
故答案为：36；120； ；
【小问2详解】
解：不能，
理由如下：
由题意得 ，
得 ，
，
∴此方程无正整数解，
所以三角点阵中前n行的点数和不能是500；
故答案为：不能；
【小问3详解】
解：同理，前 行的点数之和为 ，
由题意得 ，
得 ，即 ，
解得 或 （舍去），
∴一共能摆放20排．
26. 如图，在菱形 中， ， 是 边上一个动点，连接 ， 的垂直
21平分线 交 于点 ，交 于点 ．连接 ．
（1）求证： ；
（2）求 的最小值．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质证明 ，再结合 是 的垂直平分线，即可证明
；
（2）过点N作 于点F，连接 ， ，则 ，故
，此时 ，在 中，进行解直角三
角形即可．
【小问1详解】
证明：连接 ，
∵四边形 是菱形，
22∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：过点N作 于点F，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图：
即 ，
23∴在 中， ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，解直角三
角形，正确添加辅助线是解决本题的关键．
27. 如图， 是 的直径，点 在 上， 平分 交 于点 ，过点 的直线
，交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）连接 并延长，分别交 于 两点，交 于点 ，若 的半径为 ，求
的值．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据等腰三角形的性质及角平分线得到 ，根据平行线的性质得
，即可证明；
（2）连接 ，先解 ，求得 ， ，则 ， ，可证明
，由 ，得 ，故 ，证明
24，即可得到 ．
【小问1详解】
解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ 是 的半径
∴ 是 的切线；
25【小问2详解】
解：连接 ，
∵ ，
∴在 中， ，
由勾股定理得：
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
26∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理， 的直角三角形的性质，
等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．
28. 如图，抛物线 与直线 相交于 两点，与 轴相交于另一点
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 是直线 上方抛物线上的一个动点（不与 重合），过点 作直线 轴于点 ，交
直线 于点 ，当 时，求 点坐标；
（3）抛物线上是否存在点 使 的面积等于 面积的一半？若存在，请直接写出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为
27（2） 的坐标为
（3） 的坐标为 或 或 或
【解析】
【分析】（1）把 代入 求出 ，再用待定系数法可得抛物线 的解析式为
；
（2）设 ，则 ， ，由 ，可得 ，解
出 的值可得 的坐标为 ；
（3）过 作 轴交直线 于 ，求出 ，知 ，故 ，设
， 则 ， 可 得 ，
，根据 的面积等于 面积的
一半，有 ，可得 ，即 或 ，解出
的值可得答案．
【小问1详解】
解：把 代入 得： ，
，
把 ， 代入 得：
，
28解得 ，
抛物线的解析式为 ；
【小问2详解】
解：设 ，则 ， ，
，
，
解得 或 （此时 不在直线 上方，舍去）；
的坐标为 ；
【小问3详解】
解：抛物线上存在点 ，使 的面积等于 面积的一半，理由如下：
过 作 轴交直线 于 ，过点B作 ，延长 交x轴于点F，如图：
在 中，令 得 ，
解得 或 ，
， ，
，
，
29，
设 ，则 ，
，
∵
，
的面积等于 面积的一半，
，
，
或 ，
解得 或 ，
的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，解
一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
30
