文档内容
四川省凉山州 2021 年中考数学试题
A卷（共100分）
第I卷（选择题 共48分）
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是
正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．
1. （ ）
A. 2021 B. -2021 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值解答即可．
【详解】解： 的绝对值是2021，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了绝对值，利用绝对值解答是解题关键．
2. 下列数轴表示正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.【答案】D
【解析】
【分析】数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，据此判断．
【详解】解：A、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故表示错误；
B、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故表示错误；
C、没有原点，故表示错误；
D、符合数轴的定定义，故表示正确；
故选D．
【点睛】本题考查了数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，注意数轴的三要素缺
一不可．
3. “天问一号”在经历了7个月的“奔火”之旅和3个月的“环火”探测，完成了长达5亿千米的行程，
登陆器“祝融”号火星车于2021年5月15日7时18分从火星发来“短信”，标志着我国首次火星登陆任
务圆满成功，请将5亿这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变
成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：∵5亿=500000000，
∴5亿用科学记数法表示为：5×108．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 下面四个交通标志图是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此
进行判断即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，故不合题意；
B、不是轴对称图形，故不合题意；
C、是轴对称图形，故符合题意；
D、不是轴对称图形，故不合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重
合．
5. 的平方根是（ ）
A. B. 3 C. D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】求出81的算术平方根，找出结果的平方根即可．
【详解】解：∵ =9，
∴ 的平方根是±3．
故选：A．
【点睛】此题考查了平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
6. 在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段 ，点 的对应点 的坐标为 ，则
点 的对应点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点A到A′确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点B′的坐标．
【详解】解：∵ ， ，
∴平移规律为横坐标减4，纵坐标减4，
∵ ，∴点B′的坐标为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移
加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键．
7. 某校七年级1班50名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的成绩如表所示：
成绩 60 70 80 90 100
人数 3 9 13 16 9
则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（ ）
A. 90，80 B. 16，85 C. 16，24.5 D. 90，85
【答案】D
【解析】
【分析】根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；根据中位数定义，将该组数据按
从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为中位数．
【详解】解：90分的有16人，人数最多，故众数为90分；
处于中间位置的数为第25、26两个数，为80和90，
∴中位数为 =85分．
故选：D．
【点睛】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排
列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不
好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
8. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B. 等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合
C. 若 ，则点B是线段AC的中点
D. 三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心
【答案】C
【解析】
【分析】根据中点的定义，直角三角形的性质，三线合一以及外心的定义分别判断即可．
【详解】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故为真命题；B、等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合，故为真命题；
的
C、若在同一条直线上AB=BC，则点B是线段AC 中点，故为假命题；
的
D、三角形三条边 垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心，故为真命题；
故选C．
【点睛】本题考查了中点的定义，直角三角形的性质，三线合一以及外心的性质，属于基础知识，要熟练
掌握．
9. 函数 的图象如图所示，则关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负，再结合根的判别式即可得出△＞0，由此即可得
出结论．
【详解】解：观察函数图象可知：函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0．
在方程 中，
△= ，
∴一元二次方程 有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及根的判别式，根据一次函数图象经过的象限找出k、b
的正负是解题的关键．
10. 如图， 中， ，将 沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先在 RtABC中利用勾股定理计算出 AB=10，再利用折叠的性质得到 AE=BE，AD=BD=5，设
AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB= =10，
∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴AE=BE，AD=BD= AB=5，
设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，
在Rt△BCE中
∵BE2=BC2+CE2，
∴x2=62+（8-x）2，解得x= ，
∴CE= = ，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．
11. 点P是 内一点，过点P的最长弦的长为 ，最短弦的长为 ，则OP的长为（ ）
A. B. C. D.【答案】B
【解析】
【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的
弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．
【详解】解：如图所示，CD⊥AB于点P．
根据题意，得
AB=10cm，CD=6cm．
∴OC=5，CP=3
∵CD⊥AB，
∴CP= CD=3cm．
根据勾股定理，得OP= =4cm．
故选B．
【点睛】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦．
12. 二次函数 的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）
A. B. 函数的最大值为
C. 当 时， D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y轴的交点位置可判断a、b、c的符号，利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），从而分别判断各选项．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴ ，即b=2a，则b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
则abc＞0，故A正确；
当x=-1时，y取最大值为 ，故B正确；
由于开口向上，对称轴为直线x=-1，
则点（1，0）关于直线x=-1对称的点为（-3，0），
即抛物线与x轴交于（1，0），（-3，0），
∴当 时， ，故C正确；
由图像可知：当x=-2时，y＞0，
即 ，故D错误；
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线
的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决
定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴
在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
第II卷（非选择题 共52分）
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13. 函数 中，自变量x的取值范围是______________．
【答案】x≥-3且x≠0
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式组求解．
【详解】解：根据题意得：x+3≥0且x≠0，
解得x≥-3且x≠0．故答案为：x≥-3且x≠0．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围．考查的知识点为：分式有意义，分母不为0，二次根式有意
义，被开方数是非负数．
14. 已知 是方程 的解，则a的值为______________．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据方程解的定义，将x=1，y=3代入方程 ，即可求得a的值．
【详解】解：根据题意，将x=1，y=3代入方程 ，
得： ，
解得：a=-1，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程
验证二元一次方程的解．
15. 菱形 中，对角线 ，则菱形的高等于___________．
【答案】
【解析】
【分析】过A作AE⊥BC，垂足为E，根据菱形的性质求出菱形边长，再利用菱形的面积公式得到方程，
解之可得AE．
【详解】解：如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD的高，
∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24，
∴OB= BD=12，OA= AC=5，
在Rt△ABO中，AB=BC= =13，
∵S = ，
菱形ABCD
∴ ，解得：AE= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理的应用，能熟记菱形的性质是解此题的关键，注意：菱形的四
条边都相等，菱形的对角线互相平分且垂直．
16. 如图，将 绕点C顺时针旋转 得到 ．已知 ，则线段AB扫过的图
形（阴影部分）的面积为__________________．
【答案】
【解析】
【分析】由于将△ABC绕点C旋转120°得到△A′B′C′，可见，阴影部分面积为扇形ACA′减扇形BCB′，分别
计算两扇形面积，再计算其差即可．
【详解】解：如图：由旋转可得：
∠ACA′=∠BCB′=120°，又AC=3，BC=2，
S = = ，
扇形ACA′
S = = ，
扇形BCB′则线段AB扫过的图形的面积为 = ，
故答案为：
【点睛】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的查是解题的
关键．
17. 如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要
5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n个图形需要___________根火柴棍．
【答案】2n+1
【解析】
【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．
【详解】解：由图可知：
拼成第一个图形共需要3根火柴棍，
拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，
拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，
...
拼成第n个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，
故答案为：2n+1．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．
三、解答题（共5小题，共32分）
18. 解不等式 ．
【答案】
【解析】
【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【详解】解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化成1，得 ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解此题的关键点是能正确根据不等式的性质进行变形，注意：移
项要变号．
19. 已知 ，求 的值．
【答案】-4
【解析】
【分析】根据已知求出xy=-2，再将所求式子变形为 ，代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是掌握分式的运算法则和因式分解的应用．
20. 随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响，为了保护学生视力，
防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月
15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》，为贯彻《通知》精神、某学校团委
组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的
统计图．（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）获奖总人数为______人， _______；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请
利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）40，30；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）用B等级的人数除以对应百分比可得获奖总人数，再减去A、B、D的人数可得C等级的人
数，除以获奖总人数可得对应百分比，即可得到m值；
（2）求出C等级的人数，即可补全统计图；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出抽出的恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后根据
概率公式求解．
【详解】解：（1）8÷20%=40人，
（40-4-8-16）÷40×100%=30%，
则m=30；
（2）40-4-8-16=12人，
补全统计图如下：（3）如图，
共有12种情况，恰好选中1名男生和1名女生的有6种，
所以恰好选中1名男生和1名女生的概率是 ．
【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，列表法或树状图法求概率等知识点，能正确画出条形统计
图和树状图是解此题的关键．
21. 王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他
在点C处测得大树顶端A的仰角为 ，再从C点出发沿斜坡走 米到达斜坡上D点，在点D处测得
树顶端A的仰角为 ，若斜坡CF的坡比为 （点 在同一水平线上）．
（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．【答案】（1）2米；（2） 米
【解析】
【分析】（1）作DH⊥CE于H，解Rt△CDH，即可求出DH；
（2）延长AD交CE于点G，解Rt△GDH、Rt△CDH，求出GH、CH，得到GC，再说明AB=BC，在
△ABG中，利用正切的定义求出AB即可．
【详解】解：（1）过D作DH⊥CE于H，如图所示：
在Rt△CDH中， ，
∴CH=3DH，
∵CH2+DH2=CD2，
∴（3DH）2+DH2=（ ）2，
解得：DH=2或-2（舍），
∴王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；
（2）延长AD交CE于点G，设AB=x米，
由题意得，∠AGC=30°，
∴GH= = = ，
∵CH=3DH=6，
∴GC=GH+CH= +6，
在Rt△BAC中，∠ACB=45°，
∴AB=BC，
∴tan∠AGB= ，
解得：AB= ，
即大树AB的高度为 米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是
解题的关键．
22. 如图，在四边形 中， ，过点D作 于E，若 ．
（1）求证： ；
（2）连接 交 于点 ，若 ，求DF的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）过D作BC的垂线，交BC的延长线于点G，连接BD，证明四边形BEDG为正方形，得到
条件证明△ADE≌△CDG，可得AD=CD；
（2）根据∠ADE=30°，AD=6，得到AE，DE，从而可得BE，BG，设DF=x，证明△AEF∽△ABC，得到
比例式，求出x值即可．
【详解】解：（1）过D作BC的垂线，交BC的延长线于点G，连接BD，
∵∠DEB=∠ABC=∠G=90°，DE=BE，
∴四边形BEDG为正方形，
∴BE=DE=DG，∠BDE=∠BDG=45°，
∵∠ADC=90°，即∠ADE+∠CDE=∠CDG+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠CDG，又DE=DG，∠AED=∠G=90°，∴△ADE≌△CDG（ASA），
∴AD=CD；
（2）∵∠ADE=30°，AD=6，
∴AE=CG=3，DE=BE= = ，
为
∵四边形BEDG 正方形，
∴BG=BE= ，
BC=BG-CG= -3，
设DF=x，则EF= -x，
∵DE∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ，即 ，
解得：x= ，
即DF的长为 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定
理，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
B卷（共50分）
四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23. 若关于x的分式方程 的解为正数，则m的取值范围是_________．【答案】m＞-3且m≠-2
【解析】
【分析】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
【详解】解：方程两边同时乘以x-1得， ，
解得 ，
∵x为正数，
∴m+3＞0，解得m＞-3．
∵x≠1，
∴m+3≠1，即m≠-2．
∴m的取值范围是m＞-3且m≠-2．
故答案为：m＞-3且m≠-2．
【点睛】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知
数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．
24. 如图，等边三角形ABC的边长为4， 的半径为 ，P为AB边上一动点，过点P作 的切线
PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】连接OC和PC，利用切线的性质得到CQ⊥PQ，可得当CP最小时，PQ最小，此时CP⊥AB，再
求出CP，利用勾股定理求出PQ即可．
【详解】解：连接QC和PC，
∵PQ和圆C相切，
∴CQ⊥PQ，即△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，
∴当CP最小时，PQ最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴当CP⊥AB时，CP最小，此时CP⊥AB，∵AB=BC=AC=4，
∴AP=BP=2，
∴CP= = ，
∵圆C的半径CQ= ，
∴PQ= =3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的
作法，注意得到当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键．
五、解答题（共4小题，共40分）
25. 阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指
数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地．若 （ 且 ），那么x叫做以a为底N的对数，
记作 ，比如指数式 可以转化为对数式 ，对数式 可以转化为指数
式 ．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
，理由如下：
设 ，则 ．
．由对数的定义得
又．
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
（1）填空：① ___________；② _______，③ ________；
（2）求证： ；
（3）拓展运用：计算 ．
【答案】（1）5，3，0；（2）见解析；（3）2
【解析】
【分析】（1）直接根据定义计算即可；
（2）结合题干中的过程，同理根据同底数幂的除法即可证明；
（3）根据公式：log （M•N）=log M+log N和log =log M-log N的逆用，将所求式子表示为：
a a a a a a
，计算可得结论．
【详解】解：（1）①∵ ，∴ 5，
②∵ ，∴ 3，
③∵ ，∴ 0；
（2）设log M=m，log N=n，
a a
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）=
=
=2．
【点睛】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，
明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
26. 如图， 中， ，边OB在x轴上，反比例函数 的图象经过斜边OA的中
点M，与AB相交于点N， ．
（1）求k的值；
（2）求直线MN的解析式．
【答案】（1）6；（2）
【解析】
【分析】（1）设点A坐标为（m，n），根据题意表示出点B，N，M的坐标，根据△AOB的面积得到
，再根据M，N在反比例函数图像上得到方程，求出m值，即可得到n，可得M点坐标，代入反
比例函数表达式，即可求得k值；
（2）由（1）得到M，N的坐标，再利用待定系数法即可求出MN的解析式．
【详解】解：（1）设点A坐标为（m，n），
∵∠ABO=90°，∴B（m，0），又AN= ，
∴N（m， ），
∵△AOB的面积为12，
∴ ，即 ，
∵M为OA中点，
∴M（ ， ），
∵M和N在反比例函数图像上，
∴ ，化简可得： ，又 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴M（2，3），代入 ，
得 ；
（2）由（1）可得：M（2，3），N（4， ），
设直线MN的表达式为y=ax+b，
则 ，解得： ，
∴直线MN的表达式为 ．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，求
出相应的点的坐标是解决问题的关键．27. 如图，在 中， ，AE 平分 交BC于点E，点D在AB上， ．
是 的外接圆，交AC于点F．
（1）求证：BC是 的切线；
（2）若 的半径为5， ，求 ．
【答案】（1）见解析；（2）20
【解析】
【分析】（1）连接OE，由OA=OE，利用等边对等角得到一对角相等，再由AE为角平分线得到一对角相
等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行，得到AC与OE平行，再根据两直线平行
同位角相等及∠C为直角，得到OE与BC垂直，可得出BC为圆O的切线；
（2）过E作EG垂直于OD，利用AAS得出△ACE≌△AGE，得到AC=AG=8，从而可得OG，利用勾股定
理求出EG，再利用三角形面积公式可得结果．
【详解】解：（1）证明：连接OE，
∵OA=OE，
∴∠1=∠3，
∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OE∥AC，
∴∠OEB=∠C=90°，
则BC为圆O的切线；（2）过E作EG⊥AB于点G，
在△ACE和△AGE中，
，
∴△ACE≌△AGE（AAS），
∴AC=AG=8，
∵圆O的半径为5，
∴AD=OA+OD=10，
∴OG=3，
∴EG= =4，
∴△ADE的面积= =20．
【点睛】此题考查了切线的判定，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与
性质，切线的判定方法有两种：有点连接证垂直；无点作垂线，证明垂线段等于半径．
28. 如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点， ，
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大．求出点P的坐标
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q．使点P、B、M、Q为顶点的四
边形是平行四边形，若存在．请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）（ ， ）；（3）（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）
【解析】
【分析】（1）根据OB=OC=3OA，AC= ，利用勾股定理求出OA，可得OB和OC，得到A，B，C的
坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）判断出四边形BACP的面积最大时，△BPC的最大面积，过点P作y轴的平行线交BC于点H，求出
直线BC的表达式，设点P（x，-x2-2x+3），利用三角形面积公式S = ，即可求出S 面积
△BPC △BPC
最小时点P的坐标；
（3）分类讨论，一是当BP为平行四边形对角线时，二是当BP为平行四边形一边时，利用平移规律即可
求出点Q的坐标．
【详解】解：（1）∵OB=OC=3OA，AC= ，
∴ ，即 ，
解得：OA=1，OC=OB=3，
∴A（1，0），B（-3，0），C（0，3），代入 中，
则 ，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）如图，四边形PBAC的面积=△BCA的面积+△PBC的面积，
而△ABC的面积是定值，故四边形PBAC的面积最大，只需要△BPC的最大面积即可，
过点P作y轴的平行线交BC于点H，
∵B（-3，0），C（0，3），设直线BC的表达式为y=mx+n，
则 ，解得： ，
∴直线BC的表达式为y=x+3，
设点P（x，-x2-2x+3），则点H（x，x+3），S = = = ，
△BPC
∵ ，故S有最大值，即四边形PBAC的面积有最大值，
此时x= ，代入 得 ，
∴P（ ， ）；
（3）若BP为平行四边形的对角线，
则PQ∥BM，PQ=BM，
则P、Q关于直线x=-1对称，
∴Q（ ， ）；
若BP为平行四边形的边，
如图，QP∥BM，QP=BM，
同上可得：Q（ ， ）；如图，BQ∥PM，BQ=PM，
∵点Q的纵坐标为 ，代入 中，
解得： 或 （舍），
∴点Q 的坐标为（ ， ）；
如图，BP∥QM，BP=QM，
∵点Q的纵坐标为 ，代入 中，
解得： （舍）或 ，
∴点Q的坐标为（ ， ）；综上：点Q的坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的有关性质、一次函数的性质、平行四边形的性质，熟
练掌握二次函数的性质是解题的关键．
