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天津市 2013 年中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的）
1．（3分）（2013•天津）计算（﹣3）+（﹣9）的结果等于（ ）
A12 B ﹣12 C 6 D ﹣6
． ． ． ．
2．（3分）（2013•天津）tan60°的值等于（ ）
A1 B C D 2
． ． ． ．
3．（3分）（2013•天津）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A B C D
． ． ． ．
4．（3分）（2013•天津）中国园林网4月22日消息：为建设生态滨海，2013年天津滨海新区将
完成城市绿化面积共8210 000m2，将8210 000用科学记数法表示应为（ ）
A821×102 B 82.1×105 C 8.21×106 D 0.821×107
． ． ． ．
5．（3分）（2013•天津）七年级（1）班与（2）班各选出20名学生进行英文打字比赛，通过对参
赛学生每分钟输入的单词个数进行统计，两班成绩的平均数相同，（1）班成绩的方差为
17.5，（2）班成绩的方差为15，由此可知（ ）
A（1）班比（2）班的成绩稳定 B （2）班比（1）班的成绩稳定
． ．
C 两个班的成绩一样稳定 D 无法确定哪班的成绩更稳定
． ．
6．（3分）（2013•天津）如图是由3个相同的正方体组成的一个立体图形，它的三视图是
（ ）
A B C D
． ． ． ．
第 1 页 共 23 页7．（3分）（2013•天津）如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将
△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（ ）
A矩形 B 菱形 C 正方形 D 梯形
． ． ． ．
8．（3分）（2013•天津）正六边形的边心距与边长之比为（ ）
A ：3 B ：2 C 1：2 D ：2
． ． ． ．
9．（3分）（2013•天津）若x=﹣1，y=2，则 ﹣ 的值等于（ ）
A B C D
． ． ． ．
10．（3分）（2013•天津）如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情
境：
①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀
速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米；
②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停
止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x分，桶内的水量为y升；
③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动
至点A停止，设点P的运动路程为x，当点P与点A不重合时，y=S ；当点P与点A重合
△ABP
时，y=0．
其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为（ ）
A0 B 1 C 2 D 3
． ． ． ．
第 2 页 共 23 页二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）（2013•天津）计算a•a6的结果等于 ．
12．（3分）（2013•天津）一元二次方程x（x﹣6）=0的两个实数根中较大的根是 ．
13．（3分）（2013•天津）若一次函数y=kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，则
的取值范围是 ．
14．（3分）（2013•天津）如图，已知∠C=∠D，∠ABC=∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出
图中一组相等的线段 ．
15．（3分）（2013•天津）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为
（度）．
16．（3分）（2013•天津）一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随
机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于4
的概率是 ．
17．（3分）（2013•天津）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的
长为 ．
第 3 页 共 23 页18．（3分）（2013•天津）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C
均落在格点上．
（Ⅰ）△ABC的面积等于 ；
（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，
用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明） ．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）（2013•天津）解不等式组 ．
20．（8分）（2013•天津）已知反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）．
（Ⅰ）求这个函数的解析式；
（Ⅱ）判断点B（﹣1，6），C（3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由；
（Ⅲ）当﹣3＜x＜﹣1时，求y的取值范围．
21．（8分）（2013•天津）四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了“心系
雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学会生随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数
据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图①中m的值是 ；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
第 4 页 共 23 页22．（8分）（2013•天津）已知直线I与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥I于点D．
（Ⅰ）如图①，当直线I与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
（Ⅱ）如图②，当直线I与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．
23．（8分）（2013•天津）天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高
度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得
最高点C的仰角为54°，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD
（tan36°≈0.73，结果保留整数）．
第 5 页 共 23 页24．（8分）（2013•天津）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优
惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购
物超过50元后，超出50元的部分按95%收费，设小红在同一商场累计购物x元，其中x＞
100．
（1）根据题题意，填写下表（单位：元）
累计购物 130 290 … x
实际花费
在甲商场 127 …
在乙商场 126 …
（2）当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？
（3）当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？
25．（10分）（2013•天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），点B（0，4），点E在OB上，
且∠OAE=∠0BA．
（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′．
①设AA′=m，其中0＜m＜2，试用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小
值时点E′的坐标；
②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．
26．（10分）（2013•天津）已知抛物线y =ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线l，顶点为点M．若自
1
变量x和函数值y 的部分对应值如下表所示：
1
（Ⅰ）求y 与x之间的函数关系式；
1
（Ⅱ）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线
交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P（x，y ）．
2
（1）求y 与x之间的函数关系式；
2
（2）当x取任意实数时，若对于同一个x，有y ＜y 恒成立，求t的取值范围．
1 2
x … ﹣1 0 3 …
y =ax2+bx+c … 0 0 …
1
第 6 页 共 23 页天津市 2013 年中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的）
1．（3分）（2013•天津）计算（﹣3）+（﹣9）的结果等于（ ）
A12 B ﹣12 C 6 D ﹣6
． ． ． ．
考点：有理数的加法．
分析：根据有理数的加法法则，先确定出结果的符号，再把绝对值相加即可．
解答：解：（﹣3）+（﹣9）=﹣12；
故选B．
点评：本题考查了有理数的加法，用到的知识点是有理数的加法法则，比较简单，属于基础
X
kB1.cOM 题．
2．（3分）（2013•天津）tan60°的值等于（ ）
A1 B C D 2
． ． ． ．
考点：特殊角的三角函数值．
分析：根据记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案．
解答：解：tan60°= ．
故选C．
点评：本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内
容．
3．（3分）（2013•天津）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A B C D
． ． ． ．
考点：中心对称图形
分析：根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
解答：解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确；
故选D．
点评：本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转
180度后与原图形重合．
第 7 页 共 23 页4．（3分）（2013•天津）中国园林网4月22日消息：为建设生态滨海，2013年天津滨海新区将
完成城市绿化面积共8210 000m2，将8210 000用科学记数法表示应为（ ）
A821×102 B 82.1×105 C 8.21×106 D 0.821×107
． ． ． ．
考点：科学记数法—表示较大的数．
3718684
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：8 210 000=8.21×106，
X
kB1.cOM 故选：C．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）（2013•天津）七年级（1）班与（2）班各选出20名学生进行英文打字比赛，通过对参
赛学生每分钟输入的单词个数进行统计，两班成绩的平均数相同，（1）班成绩的方差为
17.5，（2）班成绩的方差为15，由此可知（ ）
A（1）班比（2）班的成绩稳定 B （2）班比（1）班的成绩稳定
． ．
C 两个班的成绩一样稳定 D 无法确定哪班的成绩更稳定
． ．
考点：方差．
分析：根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明
这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
解答：解：∵（1）班成绩的方差为17.5，（2）班成绩的方差为15，
∴（1）班成绩的方差＞（2）班成绩的方差，
∴（2）班比（1）班的成绩稳定．
故选B．
点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数
据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布
比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6．（3分）（2013•天津）如图是由3个相同的正方体组成的一个立体图形，它的三视图是
（ ）
A B C D
． ． ． ．
考点：简单组合体的三视图．
3718684
分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解答：解：所给图形的三视图是A选项所给的三个图形．
故选A．
点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．
第 8 页 共 23 页7．（3分）（2013•天津）如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将
△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（ ）
A矩形 B 菱形 C 正方形 D 梯形
． ． ． ．
考点：旋转的性质；矩形的判定．
3718684
分析：根据旋转的性质可得AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形
判断出四边形ADCF是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出
∠ADC=90°，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．
解答：解：∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，
∴AE=CE，DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC=BC，点D是边AB的中点，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCF矩形．
故选A．
点评：本题考查了旋转的性质，矩形的判定，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四
边形，有一个角是直角是平行四边形是矩形的判定方法，熟练掌握旋转变换只改变图
形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．
8．（3分）（2013•天津）正六边形的边心距与边长之比为（ ）
A ：3 B ：2 C 1：2 D ：2
． ． ． ．
考点：正多边形和圆．
3718684
分析：首先根据题意画出图形，然后设六边形的边长是a，由勾股定理即可求得OC的长，继
而求得答案．
解答：解：如图：设六边形的边长是a，
则半径长也是a；
经过正六边形的中心O作边AB的垂线OC，
则AC= AB= a，
∴OC= = a，
∴正六边形的边心距与边长之比为： a：a= ：2．
故选B．
第 9 页 共 23 页点评：此题考查了正多边形和圆的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
9．（3分）（2013•天津）若x=﹣1，y=2，则 ﹣ 的值等于（ ）
A B C D
． ． ． ．
考点：分式的化简求值．
3718684
分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x，y的值代入进行计算即可．
解答：
解：原式= ﹣
=
xkb1.com
=
= ，
当x=﹣1，y=2时，原式= = ．
故选D．
点评：本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
10．（3分）（2013•天津）如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情
境：
①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀
速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米；
②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停
止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x分，桶内的水量为y升；
③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动
至点A停止，设点P的运动路程为x，当点P与点A不重合时，y=S ；当点P与点A重合
△ABP
时，y=0．
其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为（ ）
A0 B 1 C 2 D 3
． ． ． ．
考点：函数的图象．
3718684
分析：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，所走路程为2000米，与图象不符合；
②小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，注水量为1.2×5=6升，
等4分钟，这段时间水量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量
为0，符合函数图象；
第 10 页 共 23 页③当点P在AC上运动时，S 的面积一直增加，当点P运动到点C时，S =6，这
△ABP △ABP
段时间为5，；当点P在CD上运动时，S 不变，这段时间为4，；当点P在DA上运
△ABP
动时，S 减小，这段时间为3，符合函数图象；
△ABP
解答：解：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，所走路程为2000米，与图象不符
合；
②小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，注水量为1.2×5=6升，
等4分钟，这段时间水量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水
量为0，符合函数图象；
③如图所示：
当点P在AC上运动时，S 的面积一直增加，当点P运动到点C时，S =6，这段
△ABP △ABP
时间为5，；当点P在CD上运动时，S 不变，这段时间为4，；当点P在DA上运动
△ABP
时，S 减小，这段时间为3，符合函数图象；
△ABP
综上可得符合图中所示函数关系的问题情境的个数为2．
故选C．
点评：本题考查了函数的图象，解答本题需要同学们仔细分析所示情景，判断函数图象是否
符合，要求同学们能将实际问题转化为函数图象，有一定难度．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）（2013•天津）计算a•a6的结果等于 a 7 ．
考点：同底数幂的乘法．
3718684
专题：计算题．
分析：利用同底数幂的法则计算即可得到结果．
解答：解：a•a6=a7．
故答案为：a7
点评：此题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（3分）（2013•天津）一元二次方程x（x﹣6）=0的两个实数根中较大的根是 6 ．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
3718684
专题：计算题．
分析：原方程转化为x=0或x﹣6=0，然后解两个一次方程即可得到原方程较大的根．
解答：解：∵x=0或x﹣6=0，
∴x =0，x =6，
1 2
∴原方程较大的根为6．
故答案为6．
点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分
解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可
得到一元二次方程的解．
13．（3分）（2013•天津）若一次函数y=kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，则
的取值范围是 k ＞ 0 ．
第 11 页 共 23 页考点：一次函数图象与系数的关系．
3718684
分析：根据一次函数图象所经过的象限确定k的符号．
解答：解：∵一次函数y=kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，
∴k＞0．
故填：k＞0．
点评：本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：
直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象
限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过
原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
14．（3分）（2013•天津）如图，已知∠C=∠D，∠ABC=∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出
图中一组相等的线段 AC=BD （答案不唯一） ．
考点：全等三角形的判定与性质．
3718684
专题：开放型．
w w w .x k b 1.c o m
分析：利用“角角边”证明△ABC和△BAD全等，再根据全等三角形对应边相等解答即可．
解答：解：∵在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（AAS），
∴AC=BD，AD=BC．
故答案为：AC=BD（答案不唯一）．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，是基础题，关键在于公共边AB的应用，开放型
题目，答案不唯一．
15．（3分）（2013•天津）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为 5 5
（度）．
考点：切线的性质．
3718684
分析：首先连接OA，OB，由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线的性质可得：OA⊥PA，
OB⊥PB，然后由四边形的内角和等于360°，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即
可求得答案．
解答：解：连接OA，OB，
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
即∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=360°﹣∠PAO﹣∠P﹣∠PBO=360°﹣90°﹣70°﹣90°=110°，
第 12 页 共 23 页∴∠C= ∠AOB=55°．
故答案为：55．
点评：此题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注
意掌握数形结合思想的应用．
16．（3分）（2013•天津）一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随
机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于4
的概率是 ．
考点：列表法与树状图法．
3718684
专题：计算题．
分析：先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的
占3种，然后根据概率的概念计算即可．
解答：解：如图，
随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，
其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，
所有两次摸出的小球标号的和等于4的概率= ．
故答案为 ．
点评：本题考查了列表法或树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，
再找出某事件所占有的结果数m，然后利用概率的概念求得这个事件的概率= ．
17．（3分）（2013•天津）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的
长为 7 ．
考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
3718684
第 13 页 共 23 页分析：先根据边长为9，BD=3，求出CD的长度，然后根据∠ADE=60°和等边三角形的性质，
证明△ABD∽△DCE，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得CE的长度，即可求
出AE的长度．
解答：解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC；
∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6；
∴∠BAD+∠ADB=120°
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠DAB=∠EDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE，
则 = ，
即 = ，
解得：CE=2，
故AE=AC﹣CE=9﹣2=7．
故答案为：7．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角形的
性质证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键．
18．（3分）（2013•天津）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C
均落在格点上．
（Ⅰ）△ABC的面积等于 6 ；
（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，
用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明） 取格点 P ，连接 PC ，过
点 A 画 PC 的平行线，与 BC 交于点 Q ，连接 PQ 与 AC 相交得点 D ，过点 D 画 CB 的平行线，
与 AB 相交得点 E ，分别过点 D 、 E 画 PC 的平行线，与 CB 相交得点 G ， F ，则四边形 DEFG 即
为所求 ．
考点：作图—相似变换；三角形的面积；正方形的性质．
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专题：计算题．
分析：（Ⅰ）△ABC以AB为底，高为3个单位，求出面积即可；
（Ⅱ）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点P，连接PC，过点A画PC的
平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB
相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即
为所求
解答：
解：（Ⅰ）△ABC的面积为： ×4×3=6；
（Ⅱ）如图，取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与
AC相交得点D，过点D画CB的平行线，
第 14 页 共 23 页与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，
则四边形DEFG即为所求．
故答案为：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，
连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E
画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求
点评：此题考查了作图﹣位似变换，三角形的面积，以及正方形的性质，作出正确的图形是解
本题的关键．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）（2013•天津）解不等式组 ．
考点：解一元一次不等式组．
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专题：计算题．
分析：分别解两个不等式得到x＜3和x＞﹣3，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等
式组的解集．
解答：
解： ，
解①得x＜3，
解②得x＞﹣3，
所以不等式组的解集为﹣3＜x＜3．
点评：本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同
小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．
20．（8分）（2013•天津）已知反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）．
（Ⅰ）求这个函数的解析式；
（Ⅱ）判断点B（﹣1，6），C（3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由；
（Ⅲ）当﹣3＜x＜﹣1时，求y的取值范围．
考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特
征．
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分析：（1）把点A的坐标代入已知函数解析式，通过方程即可求得k的值．
（Ⅱ）只要把点B、C的坐标分别代入函数解析式，横纵坐标坐标之积等于6时，即该点
在函数图象上；
（Ⅲ）根据反比例函数图象的增减性解答问题．
解答：
解：（Ⅰ）∵反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3），
∴把点A的坐标代入解析式，得
3= ，
第 15 页 共 23 页解得，k=6，
∴这个函数的解析式为：y= ；
（Ⅱ）∵反比例函数解析式y= ，
∴6=xy．
分别把点B、C的坐标代入，得
（﹣1）×6=﹣6≠6，则点B不在该函数图象上．
3×2=6，则点C中该函数图象上；
（Ⅲ）∵当x=﹣3时，y=﹣2，当x=﹣1时，y=﹣6，
又∵k＞0，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴当﹣3＜x＜﹣1时，﹣6＜y＜﹣2．
点评：本题考查了反比例函数图象的性质、待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数
图象上点的坐标特征．用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．
21．（8分）（2013•天津）四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了“心系
雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学会生随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数
据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 5 0 ，图①中m的值是 3 2 ；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；加权平均数；中位数；众数．
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分析：（1）根据条形统计图即可得出样本容量根据扇形统计图得出m的值即可；
（2）利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可；
（3）根据样本中捐款10元的人数，进而得出该校本次活动捐款金额为10元的学生人
数．
解答：解：（1）根据条形图4+16+12+10+8=50（人），
m=100﹣20﹣24﹣16﹣8=32；
（2）∵ = （5×4+10×16+15×12+20×10+30×8）=16，
∴这组数据的平均数为：16，
∵在这组样本数据中，10出现次数最多为16次，
∴这组数据的众数为：10，
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，
第 16 页 共 23 页∴这组数据的中位数为： （15=15）=15；
（3）∵在50名学生中，捐款金额为10元的学生人数比例为32%，
∴由样本数据，估计该校1900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%，有
1900×32%=608，
∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名．
故答案为：50，32．
点评：此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中
位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位
数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一
组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
22．（8分）（2013•天津）已知直线I与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥I于点D．
（Ⅰ）如图①，当直线I与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
（Ⅱ）如图②，当直线I与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．
考点：切线的性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系．
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分析：（Ⅰ）如图①，首先连接OC，根据当直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l于点D．易证得
OC∥AD，继而可求得∠BAC=∠DAC=30°；
（Ⅱ）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得
∠AFB=90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性
质，求得∠B的度数，继而求得答案．
解答：解：（Ⅰ）如图①，连接OC，
∵直线l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠BAC=∠DAC=30°；
（Ⅱ）如图②，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF=90°﹣∠B，
∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°，
在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，
∴∠AEF+∠B=180°，
∴∠B=180°﹣108°=72°，
∴∠BAF=90°﹣∠B=180°﹣72°=18°．
第 17 页 共 23 页点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注意
掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
23．（8分）（2013•天津）天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高
度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得
最高点C的仰角为54°，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD
（tan36°≈0.73，结果保留整数）．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
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分析：首先根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，在Rt△ACD中，易求得
BD=AD﹣AB=CD﹣112；在Rt△BCD中，可得BD=CD•tan36°，即可得CD•tan36°=CD
﹣112，继而求得答案．
解答：解：根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，
∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45°，
∴AD=CD，
∵AD=AB+BD，
∴BD=AD﹣AB=CD﹣112（m），
∵在Rt△BCD中，tan∠BCD= ，∠BCD=90°﹣∠CBD=36°，
∴tan36°= ，
∴BD=CD•tan36°，
∴CD•tan36°=CD﹣112，
∴CD= ≈ ≈415（m）．
答：天塔的高度CD为：415m．
点评：本题考查了仰角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三
角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
第 18 页 共 23 页24．（8分）（2013•天津）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优
惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购
物超过50元后，超出50元的部分按95%收费，设小红在同一商场累计购物x元，其中x＞
100．
（1）根据题题意，填写下表（单位：元）
累计购物 130 290 … x
实际花费
在甲商场 127 …
在乙商场 126 …
（2）当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？
（3）当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？
考点：一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．
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分析：（1）根据已知得出100+（290﹣100）×0.9以及50+（290﹣50）×0.95进而得出答案，同理
即可得出累计购物x元的实际花费；
（2）根据题中已知条件，求出0.95x+2.5，0.9x+10相等，从而得出正确结论；
（3）根据0.95x+2.5与0.9x+10相比较，从而得出正确结论．
解答：解：（1）在甲商场：100+（290﹣100）×0.9=271，
100+（290﹣100）×0.9x=0.9x+10；
在乙商场：50+（290﹣50）×0.95=278，
50+（290﹣50）×0.95x=0.95x+2.5；
（2）根据题意得出：
0.9x+10=0.95x+2.5，
解得：x=150，
∴当x=150时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同，
（3）由0.9x+10＜0.95x+2.5，
解得：x＞150，
0.9x+10＞0.95x+2.5，
解得：x＜150，
y =0.95x+50（1﹣95%）=0.95x+2.5，正确；
B
∴当小红累计购物大于150时上没封顶，选择甲商场实际花费少；
当小红累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场实际花费少．
点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用，此题问题较多且不是
很简单，有一定难度．涉及方案选择时应与方程或不等式联系起来．
25．（10分）（2013•天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），点B（0，4），点E在OB上，
且∠OAE=∠0BA．
（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′．
①设AA′=m，其中0＜m＜2，试用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小
值时点E′的坐标；
②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．
第 19 页 共 23 页考点：相似形综合题．
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分析：
（Ⅰ）根据相似三角形△OAE∽△OBA的对应边成比例得到 = ，则易求OE=1，所以
E（0，1）；
（Ⅱ）如图②，连接EE′．在Rt△A′BO中，勾股定理得到A′B2=（2﹣m）2+42=m2﹣
4m+20，在Rt△BE′E中，利用勾股定理得到BE′2=E′E2+BE2=m2+9，则
A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2（m﹣1）2+27．所以由二次函数最值的求法知，当m=1即点
E′的坐标是（1，1）时，A′B2+BE′2取得最小值．
解答：解：（Ⅰ）如图①，∵点A（﹣2，0），点B（0，4），
∴OA=2，OB=4．
∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°，
∴△OAE∽△OBA，
∴ = ，即 = ，
解得，OE=1，
∴点E的坐标为（0，1）；
（Ⅱ）①如图②，连接EE′．
由题设知AA′=m（0＜m＜2），则A′O=2﹣m．
在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=（2﹣m）2+42=m2﹣4m+20．
∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，
∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．
∴∠BEE′=90°，EE′=m．
又BE=OB﹣OE=3，
∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9，
∴A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2（m﹣1）2+27．
当m=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时，点E′的坐标是（1，1）．
②如图②，过点A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3．
易证△AB′A′≌△EBE′，
∴B′A=BE′，
∴A′B+BE′=A′B+B′A′．
当点B、A′、B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．
易证△AB′A′∽△OBA′，
∴ = = ，
∴AA′= ×2= ，
第 20 页 共 23 页∴EE′=AA′= ，
∴点E′的坐标是（ ，1）．
点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质以及勾股定理等知识点．此题
难度较大，需要学生对知识有一个系统的掌握．
26．（10分）（2013•天津）已知抛物线y =ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线l，顶点为点M．若自
1
变量x和函数值y 的部分对应值如下表所示：
1
（Ⅰ）求y 与x之间的函数关系式；
1
（Ⅱ）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线
交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P（x，y ）．
2
（1）求y 与x之间的函数关系式；
2
（2）当x取任意实数时，若对于同一个x，有y ＜y 恒成立，求t的取值范围．
1 2
x … ﹣1 0 3 …
y =ax2+bx+c … 0 0 …
1
考点：二次函数综合题．
专题：探究型．
分析：
（I）先根据物线经过点（0， ）得出c的值，再把点（﹣1，0）、（3，0）代入抛物线y 的解
1
析式即可得出y 与x之间的函数关系式；
1
（II）先根据（I）中y 与x之间的函数关系式得出顶点M的坐标．
1
①记直线l与直线l′交于点C（1，t），当点A′与点C不重合时，由已知得，AM与BP互
相垂直平分，故可得出四边形ANMP为菱形，所以PA∥l，再由点P（x，y
2
）可知点A（x，
t）（x≠1），所以PM=PA=|y
2
﹣t|，过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q（1，y
2
），故QM=|y
2
﹣3|，
PQ=AC=|x﹣1|，在Rt△PQM中，根据勾股定理即可得出y
2
与x之间的函数关系式，再
由当点A与点C重合时，点B与点P重合可得出P点坐标，故可得出y 与x之间的函
2
数关系式；
②据题意，借助函数图象：当抛物线y 开口方向向上时，可知6﹣2t＞0，即t＜3时，抛
2
物线y 的顶点M（1，3），抛物线y 的顶点（1， ），由于3＞ ，所以不合题意，当
1 2
抛物线y 开口方向向下时，6﹣2t＜0，即t＞3时，求出y ﹣y 的值；若3t﹣11≠0，要使
2 1 2
第 21 页 共 23 页y ＜y 恒成立，只要抛物线方向及且顶点（1， ）在x轴下方，因为3﹣t＜0，只要3t
1 2
﹣11＞0，解得t＞ ，符合题意；若3t﹣11=0，y ﹣y =﹣ ＜0，即t= 也符合题意．
1 2
解答：
解：（Ⅰ）∵抛物线经过点（0， ），
∴c= ．
∴y =ax2+bx+ ，
1
∵点（﹣1，0）、（3，0）在抛物线y =ax2+bx+ 上，
1
∴ ，解得 ，
∴y 与x之间的函数关系式为：y =﹣ x2+ x+ ；
1 1
（II）∵y =﹣ x2+ x+ ，
1
∴y =﹣ （x﹣1）2+3，
1
∴直线l为x=1，顶点M（1，3）．
①由题意得，t≠3，
如图，记直线l与直线l′交于点C（1，t），当点A′与点C不重合时，
∵由已知得，AM与BP互相垂直平分，
∴四边形ANMP为菱形，
∴PA∥l，
又∵点P（x，y ），
2
∴点A（x，t）（x≠1），
∴PM=PA=|y ﹣t|，
2
过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q（1，y
2
），
∴QM=|y ﹣3|，PQ=AC=|x﹣1|，
2
在Rt△PQM中，
∵PM2=QM2+PQ2，即（y ﹣t）2=（y ﹣3）2+（x﹣1）2，整理得，y = （x﹣1）2+ ，
2 2 2
即y = x3﹣ x+ ，
2
∵当点A与点C重合时，点B与点P重合，
∴P（1， ），
∴P点坐标也满足上式，
∴y 与x之间的函数关系式为y = x3﹣ x+ （t≠3）；
2 2
②根据题意，借助函数图象：
当抛物线y2开口方向向上时，6﹣2t＞0，即t＜3时，抛物线y 的顶点M（1，3），抛物线
1
y 的顶点（1， ），
2
第 22 页 共 23 页∵3＞ ，
∴不合题意，
当抛物线y 开口方向向下时，6﹣2t＜0，即t＞3时，
2
y ﹣y =﹣ （x﹣1）2+3﹣[ （x﹣1）2+
1 2
]
= （x﹣1）2+ ，
若3t﹣11≠0，要使y ＜y 恒成立，
1 2
只要抛物线y= （x﹣1）2+ 开口方向向下，且顶点（1， ）在x轴下
方，
∵3﹣t＜0，只要3t﹣11＞0，解得t＞ ，符合题意；
若3t﹣11=0，y ﹣y =﹣ ＜0，即t= 也符合题意．
1 2
综上，可以使y ＜y 恒成立的t的取值范围是t≥ ．
1 2
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法二次函数解的解析式、勾股定理及
二次函数的性质，解答此类题目时要注意数形结合思想的运用．
第 23 页 共 23 页
