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专题 05 平行四边形六大模型
一、中点四边形 二、十字架模型
三、梯子模型 四、对角互补模型
五、与正方形有关三垂线 六、正方形与45°角的基本图
一、中点四边形
中点四边形问题，我们要想到中位线. 中点四边形问题，关键点在于对角线的数量和位置上的特点，如果
能记住结论，那么解题将事半功倍
（一）中点四边形一定是平行四边形
1. 当原四边形对角线相等时，其中点四边形为菱形
2. 当原四边形对角线垂直时，其中点四边形为矩形3. 当原四边形对角线垂直且相等时，其中点四边形为正方形
（二）中点四边形的周长等于原四边形对角线之和
（三）中点四边形的面积等于原四边形面积的二分之一
二、十字架模型与正方形有关的问题，往往涉及全等、边长问题，关键在于对正方形的边、直角的准确把握，中考常考正
方形模型，原因在于正方形的变化多样.
三、梯子模型
梯于问题果非常重要的一类最值问题，关键点在于取梯子的中运用斜边中线和勾股定理来解决，得到两条
线段的和是所求的点最大值，
四、对角互补模型
对角互补，邻边相等是经典的一类旋转模型。相等邻边的夹角可以是60°，可以是90°，处理这种模型的关
键在于旋转，旋转的角度的大小是相等邻边的夹角.
模型1:全等形一-90°对角互补模型
模型2:全等形--120°对角互补模型
模型 3:全等形一一任意角对角互补模型
模型4:相似形一-90°对角互补模型（后面会学到）五、与正方形有关三垂线
六、正方形与45°角的基本图
一、中点四边形
一．选择题（共2小题）
1．（2022春•兰山区期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的
中点，则下列结论一定正确的是（ ）A．四边形EFGH是矩形
B．四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的
C．四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和
D．四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和
2．（2022春•济阳区期末）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H
分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
二．解答题（共4小题）
3．（2022春•咸安区期末）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点O是△ABC内一点，连
接OA，OB，OC，点F，G分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，F，G，E．
（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；
（2）当OA⊥DE时，求证：四边形DFGE是矩形；
（3）若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是： ．
4．（2022春•忻城县期中）如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，依次顺序连接各边中点得
到四边形EFGH．
（1）猜想四边形EFGH是什么特殊四边形；
（2）对你的猜想给予证明．5．（2022春•工业园区校级期末）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的
中点，
（1）求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E、F、
G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．
6．（2022春•仙居县期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中
点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形．
（2）若四边形ABCD的对角线互相垂直且它们的乘积为48，求四边形EFGH的面积．二、十字架模型
一．选择题（共1小题）
1．（2022春•汉阴县期末）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF
相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB ＝S四边形DEOF 中，正确结论的
个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．解答题（共4小题）
2．（2022春•石阡县期中）如图，点E、F是正方形ABCD中CD、AD边上的点，BE＝CF，求证：DF＝
CE．3．（2022春•惠民县期末）（1）如图①，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上
一点，过A点作AG⊥EB，垂足为G，求证：OE＝FO；
（2）如图②，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G．AG的延长线交DB的延长线
于F，其他条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
4．（2022春•海淀区校级期中）在正方形ABCD中，P是边BC上一动点（不与点B、C重合），E是AP
的中点，
过点E作MN⊥AP，分别交AB、CD于点M，N．（1）判定线段MN与AP的数量关系，并证明；
（2）连接BD交MN于点F．
①根据题意补全图形；
②用等式表示线段ME，EF，FN之间的数量关系，直接写出结论 ．
5．（2022春•孝南区期中）如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在
CD边上，且BP＝CQ，连接AP、BQ交于点E．
（1）求证：AP⊥BQ；
（2）当P运动到BC中点处时（如图2），连接DE，请你判断线段DE与AD之间的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，过A点作AM⊥DE于点H，交BQ、CD于点N、M，若AB＝2，求
QM的长度．三、梯子模型
一．填空题（共3小题）
1．（2022春•湖南期中）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边
ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．在运动过程中：
（1）Rt△AOB斜边中线的长度是否发生变化 （填“是”或“否”）；
（2）点D到点O的最大距离是 ．
2．（2020春•江岸区校级月考）如图，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）
上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．木棍滑动的过程中，点P到点
O的距离不变化，在木棍滑动的过程中，△AOB的面积最大为 ．
3．（2018秋•姜堰区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，点A在y轴上，点C在
x轴上，则点A在移动过程中，BO的最大值是 ．四、对角互补模型
一．选择题（共1小题）
1．（2018春•吉州区期末）如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向△ABC外侧作△ABD，使得∠ADB
＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD沿着顺时针旋转至△CAE，则下列结论：
①D、A、E三点共线；②△CDE为等边三角形；③DC平分∠BDA；④DC＝DB+DA，其中正确的
有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．解答题（共4小题）
2．（2021秋•莆田期末）如图，点P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分线OC上，AP⊥BP，点A在
x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．
（1）求点P的坐标．
（2）当∠APB绕点P旋转时，
①OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．
②请求出OA2+OB2的最小值．
3．（2020春•通山县期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．理解：
（1）在你所学过四边形中，满足等补四边形定义的四边形是 ；
画图：
（2）如图1，在正方形网格中，线段AB的端点在格点上（小正方形的顶点），请你画出1个以格点为
顶点，AB为边的等补四边形ABCD；
探究：
（3）如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由．
4．（2021春•莘县校级期末）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”．（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 （请填
序号）；
（2）在“完美”四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，连接AC．
①如图1，求证：AC平分∠BCD；
小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分∠BCD：
想法一：通过∠B+∠D＝180°，可延长CB到E，使BE＝CD，通过证明△AEB≌△ACD，从而可证AC
平分∠BCD；
想法二：通过AB＝AD，可将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△AEB，可证C，B，
E三点在一条直线上，从而可证AC平分∠BCD．
请你参考上面的想法，帮助小明证明AC平分∠BCD；
②如图2，当∠BAD＝90°，用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明．
5．（2021秋•丹阳市期末）四边形ABCD若满足∠A+∠C＝180°，则我们称该四边形为“对角互补四边
形”．（1）四边形ABCD为对角互补四边形，且∠B：∠C：∠D＝2：3：4，则∠A的度数为 ；
（2）如图1，四边形ABCD为对角互补四边形，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD．
求证：AC平分∠BCD．
小云同学是这么做的：延长CD至M，使得DM＝BC，连AM，可证明△ABC≌△ADM，得到△ACM是
等腰直角三角形，由此证明出AC平分∠BCD，还可以知道CB、CD、CA三者关系为： ；
（3）如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD＝60°，AB＝AD，试证明：
①AC平分∠BCD；
②CA＝CB+CD；
（4）如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠ABC＝60°，AD＝CD，则BA、BC、BD三者
关系为： ．五、与正方形有关三垂线
一、单选题
1．（2021春·全国·八年级专题练习）如图，在正方形 中，点E在 边上， 于点G，交
于点F.若 ， ，则 的面积与四边形 的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·八年级课时练习）如图，在正方形 中，点G为 边上一点，以 为边向右作正方形
，连接 ， 交于点P，连接 ，过点F作 交 于点H，连接 ，交 于点K，
下列结论中错误的是（ ）
A． B． 是等腰直角三角形
C．点P为 中点 D．
二、填空题
3．（2021春·全国·八年级专题练习）如图，正方形 的边长为3，点 在 上，点 在 的延长
线上，且 ，则四边形 的面积为：______．4．（2023春·八年级课时练习）如图，在 中， ，AC=8，BC=7，以斜边AB为边向外作
正方形ABDE，连接CE，则CE的长为______．
三、解答题
5．（2023春·八年级课时练习）已知，如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC
上一动点(点D不与点B，C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF，当点D在线段BC的反向延长线
上，且点A，F分别在直线BC的两侧时．
(1)求证：△ABD≌△ACF；
(2)若正方形ADEF的边长为 ，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度．6．（2021春·全国·八年级专题练习）探究证明：
（1）如图1，正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM⊥BN．求证：BN=AM；
（2）如图2，矩形ABCD中，点M在BC上，EF⊥AM，EF分别交AB、CD于点E、F．求证：
；
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边
BC、AB上，求 的值．7．（2021春·全国·八年级专题练习）如图1，已知正方形 和正方形 ，点 在同一直线上，
连接 ， ， 与 相交于点 ．
（1）求证： ．
（2）如图2， 是 边上的一点，连接 交 于点 ，且 ．
①求证： ；
②若 ，直接写出 的值．
8．（2023春·八年级课时练习）（1）如图1，正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于F，猜想AE与AF的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接AC，过点A作AM⊥AC交CB的延长线于M，观察并猜想CE与
MF的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：
王师傅有一块如图所示的板材余料，其中∠A=∠C=90°，AB=AD．王师傅想切一刀后把它拼成正方形．请
你帮王师傅在图3中画出剪拼的示意图．
9．（2023春·八年级课时练习）如图，四边形 是正方形，点 是线段 的延长线上一点，点 是
线段 上一点，连接 ，以点 为直角顶点作 交 的角平分线于 ，过点 作
交 于 ，连接 ， ， ．（1）求证： ．
（2）求证： ．
（3）若 ， ，求 的长．
10．（2023春·八年级课时练习）平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C在坐标系上，点B
（6，6），P是射线OB上一点，将△AOP绕点A顺时针旋转90°，得△ABQ，Q是点P旋转后的对应点．(1)如图1，当OP= 时，求点Q的坐标；
(2)如图2，设点P（x，y）（0＜x＜6），△APQ的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出当S取最小
值时，点P的坐标；
(3)当BP+BQ= 时，直接写出点Q的坐标．
11．（2022秋·河南郑州·九年级校考阶段练习）（1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动
点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP＝MN；
（2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，
AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN；
（3）若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的最大值与最小值．
六、正方形与45°角的基本图
一、单选题1．（2023春·八年级课时练习）如图，有一正方形的纸片ABCD，边长为6，点E是DC边上一点且DC＝
3DE，把 ADE沿AE折叠使 ADE落在 AFE的位置，延长EF交BC边于点G，连接BF有以下四个结论：
①∠GAE＝45°；②BG+DE＝GE；③点G是BC的中点；④连接FC，则BF⊥FC；
其中正确的结论序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③
2．（2023春·八年级课时练习）如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将
△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连结AG，CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；
②BG=CG；③S△AGE=18；④∠GAE=45°，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④① D．①②④
3．（2023春·八年级课时练习）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动，且满足
∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N，下列说法中：①BE+DF＝EF；②点A到线段EF的距
离一定等于正方形的边长；③BE＝2，DF＝3，则S AEF＝15；④若AB＝6 ，BM＝3，则MN＝5．其
△
中结论正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题4．（2023春·八年级课时练习）如图，正方形 的边长为1，点 在边 上运动（不与点 ， 重
合）， ，点 在射线 上，且 ， 与 相交于点 ，连接 、 、 ．
则下列结论：① ；② 平分 ；③ ；④ 的面积的最大值是 ；其
中正确的结论是______．
5．（2023春·八年级课时练习）如图，在正方形ABCD中，E是线段CD上一点，连接AE，将 ADE沿
AE翻折至 AEF，连接BF并延长BF交AE延长线于点P，当PF＝ BF时， ＝_____．
三、解答题
6．（2023春·八年级课时练习）如图，点 ， 分别在正方形 的边 ， 上， ，
点 在 的延长线上，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．7．（2023春·八年级课时练习）已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两
边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系： ；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果
不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，AH＝6，求NH的长．（可利用（2）得到
的结论）8．（2023春·八年级课时练习）如图．在正方形 中，点E在 边上，点F在 延长线上，
，连接 交 于点H，连接 ．
（1）求证 ；
（2）求 的值；
（3）探究 、 、 三条线段之间的数量关系，并证明．9．（2023春·八年级课时练习）将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为
，点E的坐标为 ，并且实数a，b使式子 成立，
(1)直接写出点D、E的坐标：D______，E______．
(2)∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，
①如图①，求证AE＝EF；
②如图②，连接AF交DC于点G，作 交AE于点M，作 交AF于点N，连接MN，求四边
形MNGE的面积；
(3)如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且AP＝CQ，求
的最小值．10．（2022春·河南南阳·八年级校联考期末）已知正方形ABCD，点E，F分别是边AB，BC上的动点．
（1）如图1，点E，F分别是边AB，CD上的中点，证明DE＝DF；
（2）如图2，若正方形ABCD的边长为1， BEF的周长为2．
①试证明∠EDF＝45°； △
②请你进一步探究图形的其它重要性质，并将如下A，B，C，D四个结论中，正确的代号直接填写在横线
上（不必写出推理过程）：_________．
A． DEF一定是等腰三角形．
B．△EF＝AE+CF．
C． DEF中，EF边上的高为定值．
D．△DEF的面积存在最小值．
△
11．（2021春·陕西安康·八年级统考期末）如图，在 中， 的平分线交 于点 ，交的延长线于点 ，以 、 为邻边作 ，如图①所示．
（1）求证： 是菱形；
（2）若 ，连接 、 、 ，如图②所示，求证： ；
（3）若 ， ， ， 是 的中点，如图③所示，求 的长．
12．（2023春·八年级课时练习）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°．EA交
BD于M，AF交BD于N．(1)作△APB≌△AND（如图①），求证：△APM≌△ANM；
(2)求证： ；
(3)矩形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，∠MAN=∠CMN=45°，（如图②），请你直接写出线段MN，
BM，DN之间的数量关系．
13．（2022春·辽宁葫芦岛·八年级校考期中）如图，正方形 的边长为 ，点P从点A出发，以每
秒 的速度沿从点A向终点O运动，点Q从点O同时出发，以相同的速度沿射线 方向运动，规定点
P到达点O时，点Q也停止运动，连接 ，过点P作 的垂线，与过点Q平行于 的直线l相交于点
D， 与y轴交于点E，连接 ，设点P运动的时间为t（秒）（1） 的度数为
（2）点D的运动总路径长为______ ：
（3）探索线段 、 、 的数量关系，并说明理由；
（4）当 为等腰三角形时，求t的值．
14．（2022春·湖南长沙·八年级校考阶段练习）将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，
点A的坐标为 ，点E的坐标为 ，并且实数a，b使式子 成立．(1)直接写出点D、E的坐标：D______，E______．
(2) ，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
①如图①，求证 ；
②如图②，连接AF交DC于点G，作 交AE于点M，作 交AF于点N，连接MN，求四
边形MNGE的面积．
(3)如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且 ，求
的最小值．
