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专题 05 平行四边形 50 道压轴题型专训（10 大题型）
题型一 平行四边形的判定与性质压轴题
题型二 矩形的判定与性质压轴题
题型三 菱形的判定与性质压轴题
题型四 正方形的判定与性质压轴题
题型五 平行四边形的动点问题
题型六 平行四边形的存在性问题
题型七 平行四边形中的折叠问题
题型八 平行四边形中的最值问题
题型九 三角形中位线压轴题
题型十 平行四边形综合
【经典例题一 平行四边形的判定与性质压轴题】
1．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图， 的对角线 ， 交于点 ， 平分 ，交
于点 ，且 ， ，连接 ，下列结论：① ；② ；③
；④ 垂直平分 ；⑤ ，其中成立的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点E是
上的一点，点F是边 上一点，将平行四边形 沿 折叠，得到四边形 ，点A的对应点为点
C，点D的对应点为点G，则 的长度为 ．3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）平行四边形 中，点 在边 上，连接 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，延长 、 交于点 ， 的垂直平分线交 于 ，连接 、 ，求证：
；
(3)如图3，在（2）的条件下，若 ，且 ，求 的长．
4．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图①，在 中， ．动点 以每秒5个单位长度
的速度从点 出发沿 运动，同时动点 以每秒2个单位长度的速度从点 出发沿 运动，当点、点 中有一点停止运动，另一点也同时停止运动．设点 运动的时间为 秒．
(1)当点 从 向 运动时， ______， ______；
当点 从 向 运动时， ______；（用含 的代数式表示）．
(2)当直线 恰好平分 的面积时，求 的值．
(3)如图②，点 、 分别为 、 的中点，当以 、 、 、 为顶点的四边形面积是 面积
的 时，直接写出所有满足条件的 的值．
5．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，已知平行四边形 中， 于
于 相交于点 ．
(1)求证： ；
(2)如图2，连接 ，求证： ；
(3)如图3，若 ，且以 、 、 为边构成的三角形的面积为10，此时平行四边形 的面
积为 ．
【经典例题二 矩形的判定与性质压轴题】6．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，
中， ，点 为 边上一动点（不与点 ， 重合）， 于点 ， 点 ，若
， ，则 的最小值为（ ）A．3 B．2 C． D．
7．（2025·甘肃定西·一模）如图，在矩形 中， 的角平分线 与 交于点 ， 的角平分
线 与 交于点 ，若 ，点 是 的中点，则 的长为 ．
8．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图1，在矩形 中， ，点E在边 上， ．
动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 向终点C运动．设点P运动的时间为 秒
，连结 ，当点P运动到点D时， ．
(1) _________；
(2)当 _________秒时， 平分矩形 的面积；
(3)连结 ，当 的面积为6时，求 的值；
(4)如图2，作点A关于直线PE的对称点 ，当点 落在矩形 的边上时，直接写出 的值．
9．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）矩形 中， ，点 为对角线 上一点，过
点 作 于点 交边 于点 ，将 沿 折叠得 ，连接 ．(1)如图1，若点 落在边 上，求证： ；
(2)如图2，若 三点在同一条直线上，求 的长；
(3)若 是以 为底的等腰三角形，求 的长．
10．（2025·安徽马鞍山·一模）如图：已知矩形 ，E，F分别为 ， 边上的点， ， 的延
长线交于点G， ．
(1)求证： ；
(2)如图2，Q，H分别是 ， 边上的点， 交 于点P， ， ；
①求证： ；
②连接 ，求 的度数．
【经典例题三 菱形的判定与性质压轴题】
11．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，在菱形 中， ， 、 分别是 、 上
的动点，满足 ．若 ，则 周长的最小值为（ ）
A． B． C．12 D．18
12．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在边长为8的菱形 中，点 为边 ， 上的动
点，且 ，连接 ，若菱形 面积为60，则 的最小值为（ ）A．15 B．16 C．17 D．18
13．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在菱形 中， ， ， 交对角线
于点 ，点E、F分别在线段 和射线 上，且 ，连接 、 ，则 的最小值为
．
14．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出
发沿 方向以 的速度向点 匀速运动，同时点 从点 出发沿 方向以 的速度向点 匀速运
动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 ， 运动的时间是 秒，过点 作
于点 ，连接 ， ．
(1) ， ， ， （用含 的代数式表示）；
(2)试说明：无论 为何值，四边形 总是平行四边形；
(3)连接 ， 与 能垂直吗？如果能，求出相应的 值；如果不能，请说明理由；
(4)直接写出当 为 时， 为直角三角形．
15．（2025八年级下·全国·专题练习）在菱形 中， ， 是直线 上一动点，以 为边
向右侧作等边 （A， ， 按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．(1)如图1，当点 在线段 上，且点 在菱形 内部或边上时，连接 ，则 与 的数量关系是
， 与 的位置关系是 ；
(2)如图2，当点 在线段 上，且点 在菱形 外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予
以证明；若不成立，请说明理由；
【经典例题四 正方形的判定与性质压轴题】
16．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，正方形 的边长为 ，点 与点 分别为射线 ，
上一点，且 ，连接 ， 并交于点 ，点 为边 上一点， ，连接 ，则线段
长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
17．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，正方形 的边长为 ， 为 上一点，且 ，
为 边上的一个动点，连接 ，以 为边向右侧作等边 ，连接 ，则 的最小值为
．
18．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动、
如图1，小华将矩形纸片 折叠，点C落在 边上的点F处，折痕为 ，连接 ，然后将纸片展开．
(1)四边形 的形状为______；
(2)如图2，点G是 上一点，且 ，连接 ， 平分 交 于点M，连接 ，猜想
和 的数量关系并加以证明；
(3)在（2）的条件下，如图3，过点M作 ，垂足为点
①求 的值；
②若 ， ，请直接写出四边形 的面积．
19．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图①，四边形 为正方形， 为对角线 上一点，连
接 ， ．
(1)求证： ；
(2)如图2，过点 作 ，交边 于点 ，以 ， 为邻边作矩形 ，连接 ．
①求证：矩形 是正方形；
②若正方形 的边长为 ， ，求正方形 的边长；
(3)若正方形 的边长为 ，连接 ，如图③，直接写出 的值．
20．（2025八年级下·全国·专题练习）如图， 中， ， 、 外角平分线交于
点 ，过点 分别作直线 ， 的垂线， ， 为垂足．(1) °（直接写出结果不写解答过程）
(2)①求证：四边形 是正方形．
②若 ，求 的面积．
(3)如图（2），在 中， ，高 ， ，则 的长度是 （直接写出结果不写
解答过程）．
【经典例题五 平行四边形的动点问题】
21．（2025八年级下·全国·专题练习）已知正方形 的边长为4，点 为线段 上的动点（不与点
重合），点 关于直线 的对称点为点 ，连接 ， ， ， ，当 是以 为腰的等腰三
角形时， 的值为 ．
22．（2025·陕西西安·二模）如图，在菱形 中， ， ．点E、F、G、H分别是边
的中点，在直线 上方有一动点P，且满足 ．则 周长的最小
值为 ．23．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在菱形 中，点E是 边的中点，动点P
在 边上运动，以 为折痕将 折叠得到 ，连接 ．若 ， ，则 ，
的最小值是 ．
24．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，在平行四边形 中， ， ， ，
平行四边形 的面积是 ，动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿折线 向点 运
动，到点 停止，设点 运动的时间为 （秒）．
(1)求 的长；
(2)用含 的代数式表示 的长；
(3)当点 与 某个点连线将 的面积二等分时，求 的值；
25．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）在正方形 中，O为对角线 的中点，点E是对角线
上的动点，连接 ，点F在直线 上（点F不与点D重合），连接 ， ．
(1)如图1，当E在线段 上时，求证： ；
(2)如图2，若 ，当E在线段 上，且 时，求 的长．
【经典例题六 平行四边形的存在性问题】
26．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在四边形 中， ， ，且 ，， ，若动点P从A点出发，以每秒 的速度沿线段 向点D运动；动点Q从C点
出发以每秒 的速度沿 向B点运动，当Q点到达B点时，动点 同时停止运动，设点 同时
出发，并运动了t秒，回答下列问题：
(1) cm；
(2)当 秒时，四边形 成为矩形．
(3)当t为多少时， ？
(4)是否存在t，使得 是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．
27．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图1，在矩形 中， 是线段 上一点，作 交对
角线 于点 ，设 ，若 ， ，将 沿 折叠得到 ．
(1)当 时，求 关于 的表达式，并求出 的取值范围．
(2)在（1）的条件下，矩形 边上是否存在一点 ，使得以 为顶点的四边形为平行四边形，若
存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，当 在 的角平分线上时，此时 ___________．（用 的代数式表示）
28．（23-24八年级下·湖南郴州·期中）已知，如图，O为坐标原点，四边形 为矩形， ，
，点D是 的中点，动点P在线段 上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形 是平行四边形？
(2)在直线 上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并
求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在线段 上有一点M，且 ，当P运动多少秒时，四边形 的周长最小，并求出点M的坐标．
29．（23-24八年级下·天津北辰·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ．在
上取一点 ，沿 折叠，点 恰好落在 上的点 处．
(1)点 的坐标为______．
(2)求点 的坐标；
(3)若点 是平面内一点，是否存在点 ，使得以 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直
接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
30．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图1，在平面直角坐标系中 中，矩形 的顶点A、B分别
在x轴、y轴上，点 ， ，点M、N分别为线段 上的动点，将矩形 沿直线
折叠，A、C的对应点分别是 、 ．
(1)如图2，若点 落在点B处，则 ；(2)如图3，折叠的某一时刻，点 落在矩形的边 上，且 ，求 的长；
(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，是否存在点 、 ，使得以点 ，M，D，E为顶
点的四边形是菱形，若存在，请直接写出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典例题七 平行四边形中的折叠问题】
31．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，长方形 中， ， ，点 为边 上一个动点，
将 沿 折叠得到 ，点 的对应点为 ，当射线 恰好经过 的中点 时， 的长为
（ ）
A． B． 或 C． D． 或
32．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠， ， ．
点 是线段BD上一点．则 的最小值为 ．
33．（2025八年级下·全国·专题练习）如图1，在矩形 中， ， ，点 ， 分别在 ，
上，将矩形 沿直线 折叠．使点 落在 边上的 处，点 落在 处，连接 ，若 ．(1)求 的长；
(2)证明 ；
(3)如图2， 为 中点，连接 ．求 的长．
34．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图1，在平面直角坐标系中有长方形 ，点 ，将长方
形 沿 折叠，使得点 落在点 处， 边交 轴于点 ， ．
(1)求点 的坐标；
(2)如图2，点 为 的中点，在直线 上是否分别存在点 ，使得 的周长最小？如果存在，求
出 周长的最小值；如果不存在，请说明理由；
(3)点 为 轴上一动点，作直线 交直线 于点 ，存在点 使得 为等腰三角形，请直接写出
的度数．
35．（23-24九年级下·辽宁丹东·开学考试）综合与实践
问题情境
数学综合实践课上老师和同学们一起进行折纸，通过折叠探究其中的数学奥妙．
操作发现
（1）实践小组按照如图1所示的方式，将矩形纸片 沿对角线 折叠，使点 落在点 处， 交
于点 ，则 的形状是______，若 ， ，则 ______；
继续探究
（2）勤学小组按照如图2所示的方式，将矩形纸片 分别沿 折叠，点 ， 的对应点为点，使 落在对角线 上，且 两点恰好重合．
①请判断四边形 的形状，并说明理由；
②若 ，求 的长．
深入探究
（3）博学小组按照如图3所示的方式，首先将矩形纸片 对折，使 与 重合，得到折痕 ，
然后把纸片展开；将纸片沿过点 的直线折叠，使得点 落在 上的点 处，折痕交 于点 ，交
于点 ，延长 交 的延长线于点 ，然后展开纸片，若 ， ，则 ______．
【经典例题八 平行四边形中的最值问题】
36．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在矩形 中， ， ，点P、点Q分别在
上， ，线段 在 上，且 ，连接 ，则线段 的最小长度是
（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
37．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，菱形 的边长为4，且 ， 是 的中点，
为 上一点且 的周长最小，则 的周长的最小值为（ ）A． B． C． D．
38．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，矩形 中， ， ，点 从 点沿 向 点
移动，若过点 作 的垂线交 于 点，过点 作 的垂线交 于 点，则 的长度最小为
．
39．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 中，已知 ， ， ，
的平分线交 于点 ，点 从 点开始，沿射线 运动．
(1)计算 的长度；
(2)点 运动到何处时与点 的距离最小，并求出最小距离；
(3)点 在运动过程中， 的最小值是 ．
40．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图， 中， ，点 为边 上一点．(1)如图1，若 于点 ， ，求 的长；
(2)如图2，已知 ，延长 至点 ，以 、 为边作 ，连接 、 ，若 于
点 ，求证： ；
(3)如图3，已知 ，将 沿直线 翻折，点 落在点 ，在线段 上求一点 ，使得
的值最小，请直接写出最小值．
【经典例题九 三角形中位线压轴题】
41．（24-25八年级上·山东泰安·期末）在四边形 中， 、 分别是 、 的中点．
(1)如图1，在四边形 中，若 是 的中点， ， ， ， ，求
的长．
(2)如图2，连接 并延长，分别与 、 的延长线交于点 、 ， 为 中点，若 ，求证：
．
(3)如图3，在 中， ， 点在 上， ， 、 分别是 、 的中点，连接 、
并延长，与 的延长线交于点 ，连接 ，若 ，判断 的形状，并说明理由．
42．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图1，在 中， 是 的中点，
点E在线段 上，连结 ，作 交直线 于点 ，连结 ．【初步尝试】
（1）如图2，当 时，线段 的长度是______，线段 的长度是______．
【结论探究】
（2）如图3，小宁猜想“ ”，但她未能想出证明思路，小波介绍了添加辅助线的方法，
如表所示，请帮小宁完成证明．
如图，延长 至G，使 ，连结 ．
【拓展应用】
（3）如图4，当点E在线段的延长线上时，连结 ，作 交直线 于点F，连结 ．请补全
图形，并求出当 时，线段 的长．
43．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）【思维导图】
丞丞同学通过全等三角形的学习，简要地绘制了关于三角形中线的思维导图．
【初步应用】
（1）如图①，在 中， 是 的中点，连接 ，过点 作 于点 ，若 的面积是
，求 的长．
【推导明理】（2）如图②， 是 的中线，若 ．求 的取值范围．
丞丞同学利用所学的数学知识及解题经验，先延长 至点 ，使得 ，连接 ，从而得到
，进而通过全等三角形的性质和三角形三边的关系得出 的取值范围；在辅助线的做法上，
霖霖同学经过思考，先过点 作 ，交 的延长线于点 ，从而得到 ，进而解决
问题．
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．
【拓展运用】
（3）如图③，在 中， ， 分别是 上一点，连接 ， 是 的中点，连接
，若 ，求证： ．
44．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）【问题初探】
（1）如图1，在 中， ，且 ，点 是 的中点，点 为对角线 上的点，且
，连接线段 ．若 ，求 的长．
【类比拓展】
（2）如图2， 中， 平分 ， 于 ， ．求证： ；
【学以致用】
（3）如图3，在 ， ， 点在 上， ， 、 分别是 、 的中点，连结
并延长，与 的延长线交于点 ，连结 ，若 ， ， ，求 的长．45．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）【基础巩固】
如图1，在四边形 中， ，连结 ， 、 、 分别是 、 、 的中点，连结 、
，求证： ．
【类题突破】
如图2，在四边形 中， ， ， 分别是 ， 的中点．连结 并延长，分别与 ，
的延长线交于点 ， ．请问 与 有怎样的数量关系，并说明理由；
【应用拓展】
如图3，在四边形 中， ， ，垂足为 ．点 在 上， ，连结 ，点
、 分别是 、 的中点，求 的长度．
【经典例题十 平行四边形综合】
46．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在矩形 中， ，若 ， ， ， 分别是
， ， ， 边上的动点（顶点除外）．
(1)如图①，若 ， ， ， 分别是 ， ， ， 边的中点．①试判断四边形 的形状，并给出证明；
②当四边形 是正方形时，求四边形 的周长．
(2)如图②，已知 ， ，试判断四边形 的周长是否会随着点 位置的变化而
变化．若不会，请求出其周长；若会，请说明理由．
47．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形 中， ， 分别是直线 ，直线 上一点，
过点 作射线 ，射线 ， ．
(1)若四边形 为菱形， ， ，求证： ；
(2)若四边形 为正方形， ，连接 ，当 ， 时，求 的长．
48．（23-24八年级下·广东湛江·期中）已知在 中， ， ，点D为直线 上
一动点（点D不与B，C重合），以 为边作正方形 ，连接 ．
(1)如图1，当点D在线段 上时，求证：
(2)如图2，当点D在线段 的延长线上时，请判断 三条线段之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图2，延长 交 于点G，连接 ，若已知 ， ，求 的长．
49．（2025·河南信阳·一模）在数学综合与实践活动课上，李老师对正方形纸片 进行如下操作：如
图1，将正方形纸片沿过点D的一条直线翻折，使点A落在点F处，折痕为 ，请同学们在图1 的基础
上进行探究．
【操作发现】
（1）如图2，小林同学延长 交射线 于点 ，连接 ，过点 作 的垂线，交 的延长线于点
，则线段 与 的数量关系是 ．【深入探究】
（2）如图3，小明在图2的基础上延长 ，交 的延长线于点H，图3中哪条线段与 相等？ （在
横线上写出该线段），并给出证明．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，若正方形纸片 的边长为6，当 时，请直接写出线段 的长 ．
50．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形 中，点 、 分别在边 、 上．连接
、 ．
(1)如图1，四边形 为正方形时，连结 ，且 ，
①已知 ， ，求 的长；
②已知 ，求 的值；
(2)如图2，四边形 为矩形， ，点 为 的中点， ， ，求 的
长．．
