文档内容
专题05 平行四边形50道压轴题型专训（10大题型）
【题型目录】
题型一 平行四边形的性质与判定压轴题
题型二 矩形的性质与判定压轴题
题型三 菱形的性质与判定压轴题
题型四 正方形的性质与判定压轴题
题型五 三角形的中位线压轴题
题型六 四边形中的折叠问题
题型七 四边形中的最值问题
题型八 平行四边形中的动点问题
题型九 平行四边形的存在性问题
题型十 四边形其他综合问题
【经典压轴题一 平行四边形的性质与判定压轴题】
1．（2023下·全国·八年级假期作业）在四边形 中， ， ．
(1)如图①，求证：四边形 是平行四边形；
(2)如图②， 平分 ，交 于点 ．若 ， ，求 的面积；
(3)如图③， 平分 ，交 于点 ，作 交射线 于点 ，交 于点 ．若 ，
请探究线段 ， ， 之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)3
(3) 或
【详解】解：（1）证明： ， ．
， ，
， 四边形 是平行四边形．（2）在 中， ， ．
平分 ， ， ，
．
如图①，作 交 的延长线于点 ， ．
图①
， ， ，
，
．
（3）如图②、图③，作 交射线 于点 ．
当点 在线段 上时，如图②．
图②
， ， ， ．
四边形 是平行四边形，
， ，
．
在 和 中，
， ．
由（2）易知 ．
，， ．
又 ， ，
即 ；
当点 在 的延长线上时，如图③．
图③
同理可得 ， ，
，即 ．
综上所述，线段 ， ， 之间的数量关系为 或
2．（2023上·吉林·八年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学
教第78页的部分内容：
例 如图， 的对角线 和 相交于点 过点 且与边 分别相交于点 和点 ．求
证： ．
分析要证明 ，只要证明它们所在的两个三角形全等即可．
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ （平行四边形的对角线互相平分），
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
【方法运用】如图 ，平行四边形 的对角线 和 相交于点 过点 且与 分别相
交于点 ， ， 的周长为 ，求 的值；【拓展提升】如图 ，平行四边形 的对角线 和 相交于点 过点 且与 的延长线
分别相交于点 ，连结点 ，若 ， 的面积为1，则四边形 的面积为
________；
【拓展应用】如图 ，若四边形 是平行四边形，过点 作直线 分别交边 于 ，过点
作直线 分别交边 于 ，且 ，若 ，则
________．
【答案】【方法运用】 ；
【拓展提升】 ；
【拓展提升】 ．
【分析】（ ）利用平行四边形的性质得出 ， ，则有 ，证明
即可；
（ ）利用平行四边形的性质及 即可求解；
（ ）过 作 ， ，利用等面积法即可；
此题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
【方法运用】∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ 的周长
，
，
∴ ；
【拓展提升】∵ ，
∴ ，
又∵ ，
同【方法运用】得： ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
故答案为： ；
【拓展应用】∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
，
∴ 而 ，过 作 ， ，
∴
∴ ，
∴ ，由 ， ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（2023下·湖北武汉·八年级湖北省水果湖第二中学校考期中）已知 为平行四边形．
(1)如图1，若 于M， 于N，求证： ；
(2)如图2，若 为两条对角线，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，
（1）证明 ，即可得出结论；
（2）过点A作 于 ，过点 作 于 ，利用勾股定理进行证明即可．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ 于 ， 于 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：过点A作 于 ，过点 作 于 ，则： ，
由（1）可知： ，在 和 中，根据勾股定理得：
， ，
，
在 和 中，根据勾股定理得：
， ，
，
∵ ，
∴
．
4．（2024·辽宁抚顺·统考一模） 中， ，垂足为点 ，连接 ，将 绕点E逆时针旋转
，得到 ，连接 ．
(1)如图 ，当点 在线段 上， 时，求证： ；
(2)如图 ，当点 在线段 延长线上， 时，
如图 ，当点 在线段 延长线上， 时，请猜想并直接写出线段 、 、 的数量关系；
(3)在（ ）、（ ）的条件下，若 ， ，请直接写出图 、图 中线段 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)图 ： ；图 ： ；
(3) ， ．
【分析】（ ）证明 得到 ，由，得到 ，利用线段的和差关系和等量代换即
可求证；
（ ）证明 得到 ，由，得到 ，利用线段的和差关系和等量代换即可求证；（ ）分三种情况，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明： 于点 ，
，
，
，
，
将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，
， ，
，
( )，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
；
（2）解：图 ： ；图 ： ；
理由：如图 ， 交 的延长线于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
如图 ， 交 的延长线于点 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： ， ．
理由：如图 ，∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图 ，∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，不符合题意，舍去；
如图 ，∵ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质、勾
股定理等知识，证明 是解题的关键．
5．（2023上·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，在平行四边形 中， ，
， ． 动点 从点 出发沿 以2cm/s速度向终点 运动，同时点 从点 出发，以8cm/s
速度沿射线 运动，当点 到达终点时，点 也随之停止运动，设点 的运动时间为 秒（ ）
(1) 的长为 ．
(2)用含 的代数式表示线段 的长．
(3)连结 ．是否存在 的值，使得 与 互相平分？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
(4)若点 关于直线 对称的点恰好落在直线 上，请直接写出 的值．
【答案】(1)
(2) 或
(3)存在，
(4) 或
【分析】（1）根据平行四边形的性质得 ，再根据勾股定理即可求解；
（2）根据题意可得 ，先求出当点Q与点B重合时，所花费的时间，再根据题意分两种情况讨论即
可：当点Q在线段 上时和当点Q在线段 的延长线上时；（3）连接 ，假设 与 互相平分，则可得四边形 是平行四边形，进而可得 ，
解得即可到答案；
（4）根据题意分两种情况讨论即可：当点P关于直线 对称的点落在点A下方时和当点P关于直线
对称的点落在点A上方时．
【详解】（1）∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
（2）在 中， ， ，
由题意得， ，
当点Q与点B重合时， ，
∴ ，
当点Q在线段 上时， ，
当点Q在线段 的延长线上时， ，
综上所述， 或 ；
（3）存在，理由如下：
如图，连接 ，
若 与 互相平分，则四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴当 时， 与
（4）当点P关于直线 对称的点落在点A下方时，如图，
由对称得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
当点P关于直线 对称的点落在点A上方时，如图，
由对称得， ，
∵ ，
∴ ，∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
综上所述，t的值为 或2．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理的应用和动点问题，轴对称的性质，等腰三角形
的判定与性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
【经典压轴题二 矩形的性质与判定压轴题】
6．（2024上·山西吕梁·八年级统考期末）综合与实践
问题情境：
在数学课上，老师让同学们利用长方形纸片 进行折叠研究数学问题：如图1，点P是长方形
的边 上一动点，连接 ，将 沿着 折叠得到 ．
初步探究：
（1）如图1，当点P与点A重合时， 与 交于点E，求证： ；
深入探究：
（2）如图2，当点P为 的中点时，延长 交 于点F，连接 ，求证： ；拓展延伸：
（3）在问题（2）中，若 ， ， 的面积为 ，直接写出长方形 的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】本题考查了矩形的折叠，等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，特殊角的直角三角形的
应用．
（1）根据矩形的性质和折叠的性质，得 ， ，根据平行线性质，得
到 ，继而得到 ，得到 ，证明即可．
（2）根据折叠的性质，矩形的性质，得到 ， ，结合
,得证 可得 ．
（3）利用 ， ，勾股定理分割计算面积后求和即可．
【详解】(1)∵矩形 ，根据题意，得
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故 ．
(2)根据题意，得 ，
，∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）根据题意，得 ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
根据(2)得 ， ，
∴ ，
∴ ．
7．（2024上·甘肃酒泉·八年级校联考期末）综合与实践：
在《第七章平行线的证明》中我们学习了平行线的证明，今天我们继续探究：折纸中的数学——长方形纸
条的折叠与平行线：
(1)知识初探：如图1，长方形纸条 中， ， ， .将长方形
纸条沿直线 折叠，点A落在 处，点D落在 处， 交 于点G．
①若 ，求 的度数．
②若 ，则 ________（用含α的式子表示）．
(2)类比再探：如图2，在图1的基础上将 对折，点C落在直线 上的 处.点B落在 处，得到折
痕 ，点 、G、E、 在同一条直线上，则折痕 与 有怎样的位置关系？并说明理由．
【答案】(1)① ；② ；(2) ，理由见解析
【分析】本题主要考查了长方形的性质、折叠的性质、平行线的判定与性质、平角的定义等知识点；熟练
掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）①由题意得 ，则 ，由平行线的性质得
，由平角的定义即可得出结果；②由题意得 ，则
，由平行线的性质得 ，由平角的定义即可解答；
（2）由题意得 ， ，由平行线的性质得
，推出 ，最后根据平行线的判定定理即可解答．
【详解】（1）解：①由题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
②由题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）解： ，理由如下：
由题意得： ， ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ．
8．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）如图，在矩形 中， ， ，点E是 上一点.将
沿 折叠后，得到 .点F在矩形 内部，延长 交 于点G.(1)如图①，当点E是 中点时，求 的长；
(2)如图②，在（1）的条件下，当矩形变化为平行四边形时，求证： ；
(3)如图③，在矩形 中，当点F落在矩形对角线 上时， 的长是
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查矩形与折叠，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识 ：
（1）连接 ，由折叠得 ，证明 ，得 ，设 ，则
，在 中，根据勾股定理列方程求出x的值即可；
（2）延长 交 的延长线于点 ，证明 得 ，由折叠得
，得 ，即 ，从而可得结论；
（3）由勾股定理得 ，由折叠得 , ， ，设 ，则 ，
根据勾股定理列方程求出x的值即可．
【详解】（1）连接 ，如图①，
∵ 是 的中点，
∴ ，∵ 沿 折叠后，得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得， ，
即 ；
（2）延长 交 的延长线于点 ，如图②，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ,
∴ ，
∵ 是 的中点，∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
由折叠得 ，
∴ ， ，
∴
∴ ，即 ；
（3）如图③，在 中， ，
即 ，
由折叠得 , ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得， ，
即 ．
故答案为： ．
9．（2023上·吉林松原·九年级统考期末）定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、
无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形．(1)如图1，将 纸片沿中位线 折叠，使点 落在 边上的 处，再将纸片分别沿 ， 折叠，
使点 和点 都与点 重合，得到双层四边形 ，则双层四边形 为______形．
(2) 纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形 为矩形，若 ， ，求 的长．
(3)如图3，四边形 纸片满足 ， ， ， ， ．把该纸片折叠，
得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时 的长．
【答案】(1)矩
(2)
(3)答案不唯一，见解析
【分析】（1）由折叠的性质可得 ，可得四边形 是矩形；
（2）由勾股定理可求 ，由“ ”可证 ，可得 ，由折叠的性质可得
， ，即可求解；
（3）分三种情况讨论，由正方形的性质和勾股定理可求解．
【详解】（1）双层四边形 为矩形，
理由如下：由折叠的性质可得 ， ，
，
，
，
同理可得 ，
四边形 是矩形，
故答案为：矩；
（2） 四边形 为矩形，
， ， ，
， ，
又 为平行四边形，， ，
由折叠得 ， ，
，
在 与 中，
，
，
，
由折叠得 ， ，
，
又 ，
，
又 ， ，
．
（3）有以下三种基本折法：
折法1中，如图所示：
由折叠的性质得： ， ， ， ， ，
四边形 是叠合正方形，
，
，
， ；
折法2中，如图所示：由折叠的性质得：四边形 的面积 梯形 的面积， ， ，
， ， ，
，
四边形 是叠合正方形，
，正方形 的面积 ，
，
，
设 ，则 ，
梯形 的面积 ，
，
，
，
，
，
解得： ，
， ．
折法3中，如图所示，作 于 ，则 ， 分别为 ， 的中点，
则 ， ，正方形的边长 ，
， ，
．
综上所述： 或11或 ．
【点睛】本题属于四边形综合题目，主要考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、梯形面积的计算、
解方程等知识的综合运用；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置
变化，对应边和对应角相等．
10．（2023上·吉林长春·八年级吉林省第二实验学校校考期末）如图①，在矩形 中， ，
，点E在边 上，且 ，动点P从点E出发，沿折线 以每秒1个单位长度的速
度运动．作 ， 交边 或边 于点Q，连接 ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．
设点P的运动时间为t秒．
(1)当点P和点B重合时，线段 的长为______；
(2)当点Q和点D重合时，求 的值；(3)当点P在边 上运动时，如图②，求证： 为定值，并求这个值；
(4)作点E关于直线 的对称点F，连接 、 ，当四边形 和矩形 的重叠部分为轴对称四
边形时，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3) 为定值，且这个值为1
(4) 或 或
【分析】（1）证明四边形 是矩形，进而在 中，勾股定理即可求解；
（2）利用矩形的性质及角之间的互余关系求出 ，根据勾股定理求出 ，证明
，得出 ，根据勾股定理求出 ，即可求出结果；
（3）过 作 于点 ，利用矩形的性质及角之间的互余关系可证明 得出 ，
即可得出结论；
（4）分三种情况讨论，①如图所示，当点 在 上时，②当 点在 上时，当 ，A重合时符合题意，
此时如图，③当点 在 上，当 ， 重合时，此时 与点 重合，则 是正方形，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接 ，
∵四边形 是矩形，∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
当点 和点 重合时，
∴ ， ，
在 中， ，
即： ；
故答案为： ．
（2）解：当点 和点 重合时，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
（3）解：过 作 于点 ，则有 ， ，
又∵矩形 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
即 为定值，且这个值为1；
（4）解：①如图所示，当点 在 上时，
∵ ， ，
在 中， ，则 ，
∵ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
当 时，点 在矩形内部，
∴ 符合题意；
②当 点在 上时，当 ，A重合时符合题意，此时如图，
则 ， ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
当 且 时，点 在矩形外部，不符合题意；
③当点 在 上，当 ， 重合时，此时点 与点 重合，则 是正方形，此时 ；
当 时，点 在矩形外部，不符合题意；综上所述， 或 或 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及
性质，勾股定理，求正弦值，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键．
【经典压轴题三 菱形的性质与判定压轴题】
11．（2024上·吉林长春·八年级校考期末）【教材呈现】下图是华师版数学教材八年级下册第 页的部
分内容
例 如图 ，已知矩形 的对角线 的垂直平分线与边 分别交于点 ，求证：四
边形 是菱形.
分析 要证四边形 是菱形，由已知条件可知 ，所以只需证明四边形 是平行四边形，
又知 垂直平分 ，所以只需证 .
请根据教材分析，结合图 ，写出完整的证明过程
证明 【结论应用】如图 ，直线 分别交矩形 的边 于点 ，将矩形 沿 翻
折，使点 与点 重合，点 落到点 处，若 ， ，则矩形 的面积为________.
图① 图②
【答案】（ ）证明见解析；（ ） ．
【分析】（ ）由垂直平分线的性质得到 ， ，由矩形的性质得到 ，进而可证明
，得到 ，即可得到四边形 为平行四边形，进而由 得到四边形
是菱形；
（ ）折叠得到 ， ， ， ，由矩形得到 ，
进而得到 ，得到 ，即可求出 ，再由勾股定理可得到 ，根据矩形面积计算公式即可求解；
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定，折叠的性质，勾股
定理，掌握以上定理是解题的关键．
【详解】（ ）证明：∵ 为 的垂直平分线，
∴ ， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是菱形；
（ ）由折叠得到， ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴矩形 的面积 ，
故答案为： ．
12．（2023上·山西晋中·九年级统考期末）综合与实践【问题情境】
数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片 先沿 折叠．
【特例探究】
（1）如图1，使点C与点A重合，点D的对应点记为 ，折痕与边 ， 分别交于点E，F．四边形
的形状为 ，请说明理由；
（2）如图2，若点F为 的中点， ， ，延长 交 于点P．求 与
的数量关系，并说明理由；
【深入探究】
（3）如图3，若 ， ， ，连接 ，当点E为 的三等分点时，直接写出 的值．
【答案】（1）菱形，理由见解析；（2） ，理由见解析；（3） 或
【分析】（1）先根据矩形的性质、平行线的性质可得 ，再根据折叠的性质可得
， ，根据等腰三角形的性质可得 ，从
而可得 ，然后根据菱形的判定即可得；
（2）连接 ，证出 ，根据全等三角形的性质即可得；
（3）分两种情况：①当点 为 的三等分点，且 时，②当点 为 的三等分点，且
时，利用折叠的性质和勾股定理求解即可得．
【详解】解：（1）四边形 的形状为菱形，理由如下：
四边形 是矩形，
，
，
由折叠的性质可知， ， ，
，
，，
∴四边形 的形状为菱形，
故答案为：菱形；
（2）如图，连接 ，
四边形 是矩形，
，
由折叠的性质可知， ， ，
，
点 为 的中点，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（3）①当点 为 的三等分点，且 时，则 ，
如图，过点 作 于点 ，
四边形 是矩形， ， ，
，∴四边形 是矩形，
，
，
，
，
由折叠的性质可知， ，
在 中， ，
；
②当点 为 的三等分点，且 时，则 ，
如图，过点 作 于点 ，
同理可得： ，
，
，
由折叠的性质得： ，
在 中， ，
，
综上， 的值为 或 ．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，较难的
是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．13．（2023上·吉林白城·九年级统考期末）已知 为等边三角形，点D为直线 的一个动点（点D
不与B、C重合），以 为边作菱形 （A、D、E、F逆时针排列），使 ，连接 ．
(1)如图1，当点D在边 上时，求证：① ；② ；
(2)如图2，点D在 的延长线上且其他条件不变时，结论 是否成立？若不成立，请写出
之间存在的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)不成立，存在的数量关系为： ，理由见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握等边三角形的
性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）①由 ，可得 ，证明 ，进而
得证；②由 ，可得 ；
（2）由题意，同理（1）可证 ，则 ；由 ，可得
．
【详解】（1）①证明：∵ 为等边三角形，
∴ ．
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
②证明：∵ ，∴ ；
（2）解：不成立，存在的数量关系为： ，理由如下：
同理（1）可证 ，
∴ ；
又∵ ，
∴ ．
14．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图， 是四边形 的对角线，边 在其所在的直线上
平移，将通过平移得到的线段记为 ，连接 、 ．
(1)如图1，四边形 是正方形时，作 ，垂足为O，连接 、 ．判断 、 之间的数
量关系和位置关系，并证明；
(2)如图2，四边形 是菱形时，设 ，点O在 上，且 ．判断 与 的
数量关系，写出推理过程，并用含有 的代数式表示 ；
(3)在（2）的条件下，若 ， ，当四边形 是菱形时（如图3），请直接写出线段
平移的距离为 ．
【答案】(1) ， ，证明见解析
(2) ，理由见解析，
(3)
【分析】（1）证明 ，由全等三角形的性质得出 ， ，证出
，则可得出结论；
（2）证明 ，得出 ， ，则可得出结论；（3）过点 作 于点 ， 于点 ，则四边形 是矩形，得出 ，由勾股定
理求出 的长，则可得出答案．
【详解】（1）解： ， ．
证明： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
在 和 中，
， ， ，
，
， ，
，
；
（2） ，
四边形 是菱形，
， ，
，
，
，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，，
即 ，
，
，
；
（3）过点 作 于点 ， 于点 ，则四边形 是矩形，
，
由题意知四边形 和四边形 是菱形，
， ， ，
，
，
设 ，
， ，
，
，
，
，
线段 平移的距离为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，平移的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15．（2024上·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）已知，如图， 为射
线 上的一动点， 为 的角平分线且交 于点 ，以 为边在 内部作菱形 ，使
得 交 于点 ，连接 并延长交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)判断 与 的位置关系并证明；
(3)若 的周长为3，求菱形 的周长．
【答案】(1)见解析
(2) ，证明见解析
(3)
【分析】（1）由菱形 ，可得 ，进而可证 ；
（2）由 ，可得 ，由 为 的角平分线，可得 ，
由 ， ，可得 ，进而可证 ；
（3）如图，在 上取点 ，连接 ，使 ，证明 ，则 ，
，如图，过 作 ，则 是等边三角形， ，证明四边形 是平行
四边形，则 ， ， ，即 ，由 的周长为3，可
得 ，即 ， ， ，如图，连接 ，则 是等边三角形，
，由等边对等角，三角形内角和定理可求 ，由勾股定理得
，然后求周长即可．【详解】（1）证明：∵菱形 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解： ，证明如下；
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的角平分线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图，在 上取点 ，连接 ，使 ，
由（2）可知， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
如图，过 作 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形， ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，∵ 的周长为3，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
∴菱形 的周长为 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角
的性质，平行线的判定，等边三角形的判定与性质，等边对等角，平行四边形的判定与性质，勾股定理等
知识．熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线
的判定，等边三角形的判定与性质，等边对等角，平行四边形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
【经典压轴题四 正方形的性质与判定压轴题】
16．（2024上·云南昭通·八年级统考期末）（1）如图1，已知在正方形 中，点E、F分别在边
上运动，当 时，求证： ；
（2）如图2，若将直角三角形 沿斜边翻折得到 ，且 ，点E、F分别在边
上运动，且 ，试猜想（1）中的结论还成立吗？请加以说明；【答案】（1）证明详见解析；（2）成立，证明详见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，对称的性质，解此题的关键是正确作出辅
助线得出全等三角形．
（1）延长 ，并取 ，证明 ，得到 ， ，再证明
即可得出结论；
（2）延长 ，取 ，同（1）的推理过程即可得证．
【详解】（1）证明：延长 ，并取 ，
，
又 ， ，
，
， ，
，
即 ．
在 和 中，
，，
，
；
（2）成立，如图， ，
证明：延长 ，取 ，
又 ， ，
，
， ， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
（1）中的结论还成立， ．
17．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）【问题呈现】
四边形 和 都是正方形，直线 ， 交于点P．
【问题解决】
（1）如图1，点G在边 上，判断线段 和 的关系，并证明；【类比探究】
（2）如图2，将正方形 绕点A逆时针旋转一个锐角．
①（1）中线段 和 的关系是否仍成立？说明理由；
②若正方形 的边长为 ，对角线 与 的交点为O，在正方形 的旋转过程中，请直接写
出点P与点O的距离________．
【答案】（1） ， ，证明见解析；（2）①成立，见解析；②
【分析】（1）证明 和 全等，可得 ，即可求解；
（2）①证明设 交 于点I，则 ， 和 全等，可得 ，
即可求解；
②连接 ．根据勾股定理求出 ，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：（1） ，证明如下：
∵四边形 和 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∵点G在边AB上，
∴点E，A，D三点在同一条直线上，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
（2）①成立，理由如下：
如图，设 交 于点I，则 ，
∵四边形 和 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵四边形 是正方形，
∴
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜
边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
18．（2023上·吉林长春·八年级校联考期末）综合与实践
活动课上，老师让同学们翻折正方形 进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展了空间观念，
并积累了数学活动经验．
【问题背景】如图1，过点A引射线 ，交边 于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在
射线 上的点G处，折痕 交 于E，延长 交 于F．
【问题探究】
(1)如图2，当点H与点C重合时， 与 的大小关系是______； 是______三角形．
(2)如图3，当点H为边 上任意一点时（点H与点C不重合），连接 ，猜想 与 的数量关系，
并说明理由．
(3)在（2）条件下，当 ， 时，CF的长为______．
【答案】(1) ；等腰直角；
(2) ，理由见解析；
(3) ．
【分析】（1）根据 证明 ， ，即可解决问题．
（2）结论： ，证明方法类似（1）．
（3）设 ，则 ， ，利用勾股定理构建方程求出 即可．【详解】（1）解：如图，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
由翻折可知： ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形．
故答案为： ；等腰直角；
（2）结论： ．
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
由翻折可知 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，解得： ，即 的长为 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质，解直角三
角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常
考题型．
19．（2023下·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）【问题情境】
（1）如图1，已知 是正方形， 是对角线 上一点，求证： ；请你完成证明．
【深入探究】
（2）如图2，在正方形 中，点 是对角线 上一点， ， ，垂足分别为 ． ，
连接 ，猜想 与 的数量关系，并证明你的猜想．
【拓展应用】
（3）如图3，在正方形 中，若 ， 是 上一点，过点 作 于 ， 于 ．
则 最小值为_______．【答案】（1）见解析；（2） ，证明见解析；（3） ．
【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质：
（1）利用正方形的性质，证明 求解，进而推出线段关系；
（2）根据矩形的性质，证明 ，再利用（1）的结论 ，进而得证；
（3）连接 ， ， ， ， ，
，四边形 是矩形， ，由（1）可知 ， ，
当 时， ，进而求出 的最小值．
【详解】解：（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）猜想： ．
证明：连接 ，如图2，由（1）可知， ，
∵ ，垂足分别为E、F，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ；
（3）连接 ，如图3所示，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
由（1）可知 ，
∴ ．
∵四边形 是正方形，
∴ ，
当 时， 最小，
此时 ，∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
20．（2024上·重庆开州·九年级统考期末）如图，正方形 中， 是 边上的动点， 交
延长线于点 ， 交 于点 ，连接 ．
(1)若 ，求 的长；
(2)若点 是 的中点，探究 、 、 的数量关系，并说明理由；
(3)正方形 的边长为2，直接写出四边形 面积的最大值．
【答案】(1)
(2) ，见解析
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质可得 ， ，然后求出 ，再根据等角的
余角相等求出 ，再利用“角边角”证明 ，根据全等三角形对应边相等可得
，从而得到 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；
（2）过点 作 交 于点 ，利用全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质解答即可；
（3）连接 ，连接 ， 设它们交于点 ，利用已知条件和（1）的结论得到 ，则点
在以正方形的中心 为圆心，对角线的一半为半径的圆弧 上，当点 运动弧 的中点时，点 到
的距离最大；过点 作 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，利用全等三角形的
判定与性质和等底等高的三角形的面积相等可得：三角形 的面积 四边形 的面积，利用三角形
的面积公式解答即可得出结论．【详解】（1）解：在正方形 中， ， ，
，
，
，
，
，
，
又 ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
（2）解： 、 、 的数量关系为： ．理由：
如图，过点 作 交 于点 ，
在 和 中，
，，
，
由（1）知： ，
，
．
， ，
．
∵ ，
，
．
在 和 中，
，
，
，
由（1）知： 是等腰直角三角形，
，
， ，
，
，
；
（3）解：四边形 面积的最大值为 ．理由：
连接 ，连接 ， 设它们交于点 ，如图，正方形 的边长为2，
， ，
．
是等腰直角三角形，
，
，
．
点 在以 为弦，所含圆周角为 的圆弧上运动，
即点 在以正方形的中心 为圆心，对角线的一半为半径的圆弧 上，
当点 运动弧 的中点时，点 到 的距离最大．如图，
则 ，
由（1）知： ， ，
，
，
，
，
过点 作 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
，
在 和 中，，
，
，
， ， ，
，
∴ ，
三角形 的面积 四边形 的面积，
由题意： ， ，
．
三角形 的最大面积为 ．
四边形 面积的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角
三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【经典压轴题五 三角形的中位线压轴题】
21．（2024上·浙江湖州·八年级统考期末）如图1， 中， ， 于点E， 于
点D， ， 与 交于点F，连结 ．
(1)求证： ；
(2)求 的度数；(3)如图2， ，点P是线段 上一点，连结 ，将 沿直线 翻折，使得点C落在同一平
面内的点 处，当 为等腰三角形时，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) ；
(3)当 或 时， 是等腰三角形．
【分析】（1）利用等角的余角相等求得 ，再利用 证明 ，即可推出
；
（2）先证明 是等腰直角三角形，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得 的度数，
据此求解即可；
（3）分两种情况讨论，画出图形，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 且平分 ，
∴ ，
当 时， 为等腰三角形；
当点 在 上时，如图，
由折叠的性质得 ， ， 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由三角形中位线定理得 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴点 在 上，∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
综上，当 或 时， 是等腰三角形．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，三
角形中位线定理等知识；应牢固掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质等知识点，并灵活运用．
22．（2024上·山东潍坊·八年级统考期末）八年级我们学习了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于
第三边，并且等于第三边的一半．
【问题背景】
已知 ， 均是等腰三角形，且有公共顶点 ， ，连接 ， 是
的中点，连接 ， ．
(1)【思路探究】
如图1，当 与 在同一直线上时，延长 交 于点 ，求证： ；
(2)【迁移应用】
如图2，当 时，延长 ， 交于点 ，连接 ，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出
辅助线是解题的关键．
（1）先证 为等腰直角三角形，推出 ，进而可证 为 的中位线，根据中位线
的性质可得 ；
（2）延长 交 于点 ，连接 ，可得 ， ， 均为等腰直角三角形，根据三角形
中位线的性质可证 ， ，再证 ，推出 ，即可证明．
【详解】（1）证明： ， 为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，
点 为线段 的中点，
又 点 为线段 的中点，
为 的中位线，
．
（2）证明：延长 交 于点 ，连接 ，则易知 与 均为等腰直角三角形，
， ，
点 为 中点，又点 为 中点，
．
为等腰直角三角形， ，
为等腰直角三角形，
， ，
点 为 中点，
又 点 为 中点，
．
在 与 中，
，
，
，
．23．（2023上·吉林·八年级校考期末）如图，点E为平行四边形 的边 上的一点，连接 并延长
使 ，连接 并延长，使 ，点H是 的中点，连接 ， ．
(1)若 ， ，求 的度数；
(2)求证：四边形 为平行四边形；
(3)连接 ，交 于点O，若 ， ，直接写出 的长度．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)2
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质．
（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
（2）由平行四边形的性质得 ， ，再证 是 的中位线，得 ，
，证出 ， ，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（3）连接 、 、 ，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可．
【详解】（1）∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ 是 的中位线，∴ ， ，
∵H为FG的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形；
（3）如图，连接 ， ，
∵ ，H为FG的中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
24．（2024上·河南南阳·九年级统考期末）综合与探究：
(1)【教材呈现】下面是华师版 上教材 页的一道习题，请完成证明：如图 ，在四边形 中， ， 是对角线 的中点， 是 的中点， 是 的中点．求证：
；
(2)【拓展延伸】
如图 ，在四边形 中， 是 的中点， 是 的中点．连接 并延长分别与
的延长线交于点 ．求证： ；
(3)【问题解决】
如图 ，在 中， ，点 在 上， ， 是 的中点， 是 的中点，连接
并延长，与 的延长线交于点 ，连接 ．若 ，当 是直角三角形时，直接写出
的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3) 的长为 或 ．
【分析】（ ）证 是 的中位线， 是 的中位线，则 ， ，再证
，即可得出结论；
（ ）连接 ，取 中点 ，连接 ， ，由（ ）得 ，再证明 ，
即可求证；
（ ）连接 ，取 中点 ，连接 ， ，由（ ）得 ，证明 ，
，由 ， 是 的中点，则 ， ，最后分 当
， 当 两种情况即可求解；
此题考查了三角形中位线定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形中
位线定理及正确添加辅助线是解题的关键．
【详解】（1）∵ 是对角线 的中点， 是 的中点， 是 的中点，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，连接 ，取 中点 ，连接 ， ，由（ ）得 ，
∵ 是 的中点， 是 的中点，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（3）如图，连接 ，取 中点 ，连接 ， ，由（ ）得 ，
同（ ）可知， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 是 的中点，
∴ ，
∴ ，∵ 是直角三角形， ，
∴ 当 ，
由勾股定理得， ，
当 ，
由勾股定理得， ，
综上可知 的长为 或 ．
25．（2023上·湖北武汉·九年级统考阶段练习）已知以 的边 为边向外作等腰 和
， ， ， ， 分别为 中点，连 ，
， ．
(1)若 ，求 的长；
(2)求 ；
(3) 的长度的最大值为______．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（ ）先证明 ，得到 ，由 得到
，利用勾股定理即可求解；
（ ）分别证明 ， ，推导出 ，在 和利用勾股定理构建方程即可求解；
（ ）由（ ）知 ， ，由三角形的中线可得 ，可证明到 等腰直
角三角形的性质，当点 三点共线是 最大，最大值为 ，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）连接 相交于点 ， 相交于点 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）延长 至点 使 ，连接 ，延长 交 于点 ，∵ 使 中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ， ， 是 中点，
设 ， ，则 ， ，在 和 中，
即 ，解得
∴ ；
（3）如图，取 的中点 ，连接 ，连接 ， 相交于点 ， 相交于
点 ， 相交于点 ，
由（ ）可得， ， ，
∴ ，
∵点 为 的中点，点 为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
同理可得： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 等腰直角三角形的性质，
∵ ，
∴当点 三点共线是 最大，最大值为 ，
∴ 的最大值 ，
∴ 的长度的最大值 ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的中位线性质，
正确作出辅助线是解题的关键．
【经典压轴题六 四边形中的折叠问题】
26．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在长方形 中，已知 ，点P是 上的
一个动点，连接 ，将 沿 折叠，点B的对应点为 ，射线 交线段 或线段 交于点E．
(1)如图①，四边形 是正方形，点E在线段 上，且点E是 的中点，求 的长；
(2)如图②，当 时，射线 恰好经过点D，求 的长；
【答案】(1)2
(2)10
【分析】本题考查折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握
折叠前后对应边相等，对应角相等．
（1）根据折叠的性质可得 ， ， ，通过证明
，推出 ，再用勾股定理解 即可；
（2）设 ，由折叠可知 ， ， ，解 可得
，推出 ，再解 求出 的值即可．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
四边形 是正方形， ，
， ，
点E是 的中点，，
设 ，则 ，
由折叠可知 ， ， ，
在 和 中，
，
，
，
，
在 中， ，
，
解得 ，
；
（2）解：如图，
由折叠可知 ， ， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
，
解得 ，即 ，
．27．（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，将矩形 （ ）沿 折叠后，点 落
在点 处，且 交 于点 ，若 ， ．
(1)求 的长；
(2)求 和 的面积；
(3)求 中 点到 边上的距离．
【答案】(1) ；
(2) ， ；
(3) ．
【分析】（1）易证 ，在直角 中，根据勾股定理就可以求出 的长；
（2）由折叠的性质得 ， ， ， ，由 ，
即可得出结果；
（3）由勾股定理得出 的长，设 到 边上的距离为 ，则 ，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，由折叠性质得： ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ．
在 中，由勾股定理得： ，即： ，解得： ，
∴ ；
（2）解：由折叠的性质得： ， ， ， ，
∴ ，
；
（3）解： ，设 到 边上的距离为 ，
则 ，即： ，解得： ，
∴ 到 边上的距离为 ．
【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形面积计算等知识，熟练掌握折叠的性质，
运用三角形面积公式计算是解题的关键．
28．（2023·江苏泰州·统考二模）如图 ，将 纸片按照下列图示方式折叠：①将
沿 折叠，使得点 落在 边上的点 处，折痕为 ；②将 沿 折叠，使得点 与点 重合，
折痕为 ；③将 沿 折叠，点 落在点 处，展开后如图 ， 、 、 、 为图 折叠
过程中产生的折痕．
(1)求证： ；
(2)若 落在 的右侧，求 的范围；(3)是否存在 使得 与 的角平分线重合，如存在，请求 的大小；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2) ；
(3)不存在，理由见解析．
【分析】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握折
叠的性质是解题的关键．
（1）由第二次翻折可得 垂直平分 ，由第一次翻折可得 ，证出四边形 是菱形，则可得
出结论；
（2）设 ，求出 ， ，当 落在 的右侧时，
，求出 ，则可得出答案；
（3）设 ， ， ，得出 ，求出 ，
，则可得出结论．
【详解】（1）证明：由第二次翻折可得 垂直平分 ，由第一次翻折可得 ，
与 垂直且互相平分，
四边形 是菱形，
；
（2）解：设 ，
四边形 是菱形，
，
， ，
当 落在 的右侧时， ，
，
，
；
（3）解：不存在．
若存在 使得 与 的角平分线重合，
设 ， ， ，
，
，
，
不存在 使得 与 的角平分线重合．29．（2023上·江苏徐州·八年级统考期中）数学实验：
对矩形纸片进行折纸操作，可以得到一些特殊的角、特殊的三角形．如图 ，①将矩形纸片 对折，
使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点 落在 上的点 处，并使折
痕经过点 ，得到折痕 ，同时得到线段 ．
提出问题：（1）观察所得到的 ， 和 ，猜想这三个角之间有什么关系？证明你的猜想．
变式拓展：
如图2，对折矩形纸片 ，使 与 重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点 落在
上的点 处，并使折痕经过点 ，得到折痕 、线段 ．
提出问题：
（2）已知 ，求 的长．
（3）若点 是线段 上一动点，当 周长最小时， ________．
【答案】（1） ．
（2） ．
（3） ．
【分析】（1）根据翻折的性质、等边三角形的判定和性质证明即可；
（2）由折叠可知： ， ，再证明四边形 是矩形，可得
， ，根据勾股定理列出等式即可求出 ．（3）由 垂直平分 ，可得 ，即 ，当 、 、 三点共线时，
最小，此时 周长最小，再证明 ，得出 ，即
可求得答案．
【详解】解：（1）猜想： ，理由如下：
如图 ，连接 ，
四边形 是矩形，
，
将矩形纸片 对折，使 与 重合，得到折痕 ，
垂直平分 ，
，
再一次折叠纸片，使点 落在 上的点 处，并使折痕经过点 ，得到折痕 ，同时得到线段 ，
， ，
，
是等边三角形，
，
， ，
．
（2）如图2，
由折叠可知： ，，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
，
由折叠可知： ，
，
在 中，根据勾股定理得：
，
，
．
（3）如图3，连接 ，
由（2）知： 垂直平分 ，
，
，
当 、 、 三点共线时， 最小，
此时 周长最小，
在 和 中，，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，翻折变换，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的
判定和性质，轴对称求最短路径等知识，解题的关键是掌握翻折的性质．
30．（2023上·江苏淮安·九年级统考期中）在一次数学探究性学习活动中，某学习小组进行以下的探究操
作；
(1)如图1，矩形 中， ， ，点P是边 上的一个动点，将 沿 进行翻折到
，当Q点折叠到 上时，求 和 的长．
(2)如图2，当矩形 变成正方形，且正方形的边长为 ，在P点移动的过程中，当 时，
求 的长．
(3)当矩形 变成正方形，且正方形的边长为10，请在备用图中探究并直接写出当 为等腰三角形
时线段AP的长．
【答案】(1) ，
(2)(3) 或
【分析】（1）设 ，则 ，由折叠的性质可得 ， ，由勾股定理可
得 ， ，即可求解；
（2）过 作 交 于 ，交 于 ，取 的中点 ，连接 ，可证 ，从而可
得 ， ，设 ，则有 ，设 ，则 ，设 ，则 ，
由勾股定理可得 ， ， ，即可求解；
（3）①当 时， 在 的垂直平分线上，过 作 交 于 ，交 于 ，由勾股定理
可得 ，设 ，则 ，再由 ，即可求解；②当 时，过
作 交 于 ，交 于 ，同理可求解， ③当 时， 与 重合，不符合题意．
【详解】（1）解： 四边形 是矩形，
， ， ，
设 ，则 ，
由折叠得： ， ，
在 中：
，
，
在 中：
，
即： ，
解得： ，；
故： ， ．
（2）解：如图，过 作 交 于 ，交 于 ，取 的中点 ，连接 ，
，
四边形 是正方形，
， ，
四边形 是矩形， ，
， ，
由折叠得： ，
，
，
，
，
，
在 和 中
，
( )，
，
，
设 ，则有 ，
，
在 中：即： ，
解得： ，
， ，
设 ，则 ，
在 中：
，
在 中：
解得： ，
， ，
，
，
，
设 ，则 ， ，
在 中：
即： ，
解得： ；
故 的长为 ．
（3）解：①当 时，
在 的垂直平分线上，
如图，过 作 交 于 ，交 于 ，，
由（2）同理可证：
四边形 是矩形，
， ， ，
，
在 中： ，
，
，
设 ，则 ，
，
在 中： ，
即： ，
解得： ，
故 ；
②当 时，
如图，如图，过 作 交 于 ，交 于 ，，
，
，
在 中： ，
，
设 ，则 ，
，
同理可得： ，
解得： ，
故 ；
③当 时，
与 重合，不符合题意；
综上所述：当 为等腰三角形时， 的长为 或 时．
【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定
理，等腰三角形的性质等，掌握相关的性质及判定方法，能根据折叠性质将已知条件转化到直角三角形中
用勾股定理求解的典型解法，根据等腰三角形的腰不同进行分类讨论是解题的关键．
【经典压轴题七 四边形中的最值问题】
31．（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，正方形 中，点 为边 的上一动点，作 交
、 分别于 、 点，连 ．(1)若点E为 的中点，求证：F点为 的中点；
(2)若点E为 的中点， ， ，求 的长；
(3)若正方形边长为4，直接写出 的最小值________．
【答案】(1)见解析
(2)2
(3)
【分析】（1）证明 ，推出 ，由 ， ，推出 ，即可
证明 点为 的中点；
（2）延长 到 ，使得 ，连接 ，根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质
即可解决问题．
（3）取 的中点 ，连接 ， ，由直角三角形的性质求出 ，由勾股定理求出 ，
当 、 、 共线时， 的值最小，则可求出答案．
【详解】（1）解：证明：如图1中，
四边形 是正方形，
， ，
，
，， ，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
点为 的中点；
（2）延长 到 ，使得 ，连接 ，
，
，
又 ， 分别是 ， 的中点，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，，
是等腰直角三角形，
，
．
（3）取 的中点 ，连接 ， ，
，
，
，
、 、 共线时， 的值最小，最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定
和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
32．（2022下·江苏镇江·八年级校联考阶段练习）如图，在 中，E、F分别为边AB、CD的中点，
BD是对角线，过A点作 交CB的延长线于点G．(1)求证： ；
(2)当 满足什么条件时，四边形DEBF是菱形（不需要证明）
(3)请利用备用图分析，在（2）的条件下，若 ， ，点M为BF的中点，当点P在BD边
上运动时，求 的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)当∠ADB=90°时，四边形DEBF是菱形，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到DF=BE，AB∥CD，根据平行四边形的判定定理证明四边形
DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论；
（2）根据矩形的判定定理得到四边形AGBD是矩形，根据直角三角形的性质得到ED=EB，证明结论；
（3）连接EM交BD于P，根据轴对称的性质证明此时PF+PM的值最小，根据等边三角形的性质计算即
可．
【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF=BE，又AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE∥BF；
（2）当∠ADB=90°时，四边形DEBF是菱形．
理由：∵∠ADB=90°，又E为边AB的中点，
∴ED=EB，又四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形；
（3）连接EF，连接EM交BD于P，
∵四边形DEBF是菱形，
∴点E和点F关于BD轴对称，此时PF+PM的值最小，
∵四边形DEBF是菱形，∠DEB=120°，
∴∠EBF=60°，
∴△BEF是等边三角形，又BE=2，
∴EM= ，即PF+PM的最小值为 ．【点睛】本题属于四边形综合题，考查的是平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质，轴对称变换的
性质以及等边三角形的性质的综合运用，掌握相关的判定定理和性质定理、正确作出辅助性是解题的关键．
33．（2023下·江苏·八年级专题练习）问题提出
(1)如图，点 、 是直线 外两点，在直线 上找一点 ，使得 最小．
问题探究
(2)在等边三角形 内有一点 ，且 ， ， ，求 度数的大小．
问题解决
(3)如图，矩形 是某公园的平面图， 米， 米，现需要在对角线 上修一凉亭 ，
使得到公园出口 、 ， 的距离之和最小．问：是否存在这样的点 ？若存在，请画出点 的位置，并
求出 的和的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)对角线 上不存在这样的点 ，使得到公园出口 、 ， 的距离之和最小，理由见解析
【分析】（1）根据两点间线段距离最短，连接点 ，与直线 交于点 ，点 即为所求．；
（2）把 绕点 逆时针旋转 得到 ，由旋转的性质可知 是等边三角形，从而得到
，由勾股定理逆定理可知 ，从而求得 ，即可求解；
（3）连接 ，设在 内一点 ，把 绕点 逆时针旋转 得到 ，
，由旋转的性质， 、 是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可得当时最短，从而得到 最小值为 的长，点 为 、 的交点，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，连接点 ，与直线 交于点 ，点 即为所求．
（2）解：如图2，把 绕点 逆时针旋转 得到 ，
由旋转的性质， ， ， ，
是等边三角形，
， ，
， ，
，
，
；
故 ；
（3）解：如图，连接 ，设在 内一点 ，把 绕点 逆时针旋转 得到 ，
由旋转的性质， ， ， ， ， ， ，
、 是等边三角形，
，，
根据两点间线段距离最短得：当 时最短，
是等边三角形，
以 为一边作等边三角形 ，
最小值为 的长，此时点 在线段 上，
点 为 、 的交点．
若点 与点 重合，即 在对角线 上，
则点 为 与 的交点，此时点 （E）与点 重合，
显然不符合题意，故点 不在对角线 上，
即对角线 上不存在这样的点 ，使得到公园出口 、 ， 的距离之和最小．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了旋转知识、三角形全等、特殊角直角三角形、等边三角形的性
质和勾股定理，熟练掌握旋转知识构建全等三角形是解题的关键．
34．（2021下·江苏徐州·八年级统考期中）如图，在正方形 中，边 、 分别在 轴、 轴上，
点 的坐标为 ，点 在线段 上，以点 为直角顶点， 为直角边作等腰直角三角形 ，
交 轴于点 ．
（1）当 时，则点 坐标为______；
（2）连接 ，当点 在线段 上运动时， 的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求
出其周长；
（3）连接 ，当点 在线段 上运动时，求 的最小值．
【答案】（1） ；（2）不变，8；（3）
【分析】（1）如图，过点 作 轴于 ．证明 ，推出 ， ，
可得结论．（2）结论： 的周长不变．想办法证明 即可．
（3）由（1）可知， ，推出 ，推出点 的运动轨迹是射线 ，过点 作
于 ，当点 与点 重合时， 的值最小．
【详解】解：（1）如图，过点 作 轴于 ．
四边形 是正方形， ，
， ，
是等腰直角三角形，
， ，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
．
故答案为： ．
（2）结论： 的周长不变．
理由：将 绕点B逆时针旋转 得到 ．
，
，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
的周长 ．
（3）由（1）可知， ，
，
点 的运动轨迹是射线 ，过点 作 于 ，当点 与点 重合时， 的值最小，
最小值 ，
的最小值为 ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性
质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
35．（2020上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）某课外活动小组对课本上的一道习题学习后，进行了拓展
应用：
（1）如图1，是在直线l上找一点P，使得PA＋PB最短（画图即可）．
（2）如图2，应用：已知正方形ABCD中，E为AB的中点，在线段BD上找一点P，使得PA＋PE的值最
小，画图即可．
（3）探索：E为正方形ABCD的AB边的中点，如图3，M为BC上一点，N为CD上一点，连接EM，
MN，NA，请你应用（1）的原理，在图2中找出点M，N，使得EM＋MN＋NA的值最小，画图即可．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】（1）先作点A关于直线l的对称点A′，再连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′P+PB=A′B，由“两
点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点．
（2）因为A点关于BD的对称点就是点C，连接CE，与BD的交点即为P点．此时PA+PE=CE最小；
（3）作G 和E关于BC对称 ，再作H 和A关于CD对称，连接GH分别交BC和CD于M、N，M、N即为所求作的点．
【详解】解：（1）如图1所示：先作点A关于直线l的对称点A′，再连接A′B交l于点P，点P即为所求
的点.
（2）如图2，连接CE，与BD交于点P，点P即为所求作的点．
理由：根据作图可知，AP=CP，所以AP+PE=CP+PE=CE，所以此时PA+PE=CE最小；
（3）如图3，作G 和E关于BC对称， 再作H 和A关于CD对称，连接GH分别交BC和CD于M、N，
M、N即为所求作的点.
理由：根据作图可知EM=GM，AN=HN，所以EM+MN+AN=GM+MN+HN=GH，所以此时EM+MN+NA
的值最小．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质和运用对称性解决最短距离问题，特别是（3）中利用轴对称得出
当且仅当G、M、N、H四点共线时EM+MN+AN最小是解决问题的关键．【经典压轴题八 平行四边形中的动点问题】
36．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，在矩形 中， ，动点
P、Q分别从点A、C同时出发，点P以 的速度向终点B匀速运动，点Q以 的速度向终点D匀
速运动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为 ．
(1)当 时，四边形 面积是多少?
(2)当t为何值时，以点P、Q、D为顶点的三角形是以 为腰的等腰三角形．
【答案】(1)
(2)当 的值为 或 或 时，以点P、Q、D为顶点的三角形是以 为腰的等腰三角形．
【分析】（1）先求出 ，再直接用梯形的面积公式即可；
（2）分 两种情况，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意知， ， ， ，
∵在矩形 中， ，
∴ ， ，
， ．
当 时， ， ，
，
．（2）解：作 于点E，
则四边形 是矩形，
， ，则 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
点 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形， ，
①当 时，即： ，
，
(舍去)或 ．
②当 时，即， ，
或 ．
综上所述：当 的值为 或 或 时，以点P、Q、D为顶点的三角形是以 为腰的等腰三角形．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的定义，解本题的关键是
用时间表示出 ，用方程的思想是解本题的难点．
37．（2023下·江苏常州·八年级统考期中）如图，在平行四边形 中， ， ， ，点P从点B出发，沿射线 方向运动；点Q从点D同时出发，沿 方向运动，到点A 为止，运动的时
间为t．
(1)若点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，若运动到以点P、C、D、Q为顶点
的四边形为平行四边形时，求t的值；
(2)若点 P 的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，若运动中能使以点P、C、D、Q
为顶点的四边形为菱形，请直接写出m、n的数量关系．
【答案】(1) 秒或5秒
(2) 或
【分析】（1）由题意可知， ， ，分两种情况讨论：①当点P在线段 上时；②当点P在
线段 的延长线上时，表示出 的长，根据平行四边形的性质列方程求解即可得到答案；
（2）由题意可知， ， ，分两种情况讨论：①当点P在线段 上时，根据菱形的性质，得
到 ，进而求得 ，即可得到答案；②当点P在线段 的延长线上时，先利用勾股定理，
求出 ，然后根据菱形的性质，得到 ， ，再利用勾股定理求出 ，进而求得 ，
即可得到答案．
【详解】（1）解： 平行四边形 中， ， ，
， ，
由题意可知， ， ，
①当点P在线段 上时，此时 ， ，
四边形 是平行四边形，
，
，解得： 秒；
②当点P在线段 的延长线上时，此时 ， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
解得： 秒，
综上可知，当t的值为 秒或5秒时，以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形；
（2）解：由题意可知， ， ，
①当点P在线段 上时， ，
四边形 是菱形，
，
，
，
，
，即 ；
②如图，当点P在线段 的延长线上时， ，
四边形 是平行四边形，
，
， ， ，
， ，
四边形 是菱形，
， ， ，
，四边形 是平行四边形，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
综上可知，当 或 时，以点P、C、D、Q为顶点的四边形为菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论的思想解决
问题是解题关键．
38．（2023下·江苏南京·八年级南京五十中校联考期中）已知：如图，在矩形 中， ， ．
在 上取一点 ， ，点 是 边上的一个动点，以 为一边作菱形 ，使点 落在 边
上，点 落在矩形 内或其边上．若 ， 的面积为 ．
(1)如图1，当四边形 是正方形时， 的值为 ，S的值为 ；
(2)如图2，当四边形 是菱形时，
①求证： ；
②求 与 的函数关系式；
(3)当x 时， 的面积 最大；当 时， 的面积 最小；
(4)在点F运动的过程中，请直接写出点 运动的路线长： ．【答案】(1) ，
(2)①见解析；②
(3) ；
(4)
【分析】（1）只要证明 即可解决问题；
（2）①连接 ，理由平行线的性质证明即可；
②如图，作 于Q，想办法证明 ，可得 ，由此即可解决问题；
（3）①如图3中，当点N与D重合时，x的值最小， 的面积最大，在 中，
，S的最大．②如图4中，当点M在 上时，x的值最大， 的面积最小；
（4）如图3中，在 的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行 的线段，点M
运动的路线长 的长 ．
【详解】（1）解：如图1中，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
，
，．
过点M作 于点H．
同法可证 ，
可得 ，
．
故答案为： ；
（2）①连接
四边形 为矩形，
四边形 为菱形，
即
② ，
过点M作 ，垂足为Q
四边形 为矩形四边形 为菱形
在 和 中
，
∴
．
（3）解：①如图3中，
当点N与D重合时，x的值最小， 的面积最大，
在 中， ，
∴S的最大值 ；
②如图4中，
当点M在 上时，x的值最大， 的面积最小，
此时同（2）易证 ,
，∴ ，
∴ ，
∴S的最小值为 ；
故答案为： ； ．
（4）解：如图3中，
在 的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行 的线段，点M运动的路线长
的长 ，
故答案为： ．
【点睛】本题属于四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一
次函数的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学
会利用一次函数的性质确定最值问题，属于中考压轴题．
39．（2023下·江苏无锡·八年级校考阶段练习）已知，如图，O为坐标原点，四边形 为矩形，
A(10，0)，C(0，4)，点D是 的中点，动点P在线段 上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．
设动点P的运动时间为t秒
(1)当t为何值时，四边形 是平行四边形？
(2)在直线 上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并
求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在线段 上有一点M，且 ，当P运动 秒时，四边形 的周长最小，并画图标出点M
的位置．
【答案】(1)
(2)存在， 时， ， ； 时， ， 时， ， ；
(3) ，图见解析
【分析】（1）先求出 ，进而求出 ，再由运动知 进而由平行四边形的性质建立方程
即可得出结论；
（2）分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论；
（3）先判断出四边形 周长最小，得出 最小，即可确定出点 的位置，再用三角形的中
位线得出 ，进而求出 ，即可得出结论．
【详解】（1）解： 四边形 为矩形， ， ， ， ，
， ，
点 是 的中点，
，
由运动知，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
；
（2）①当 点在 的右边时，如图1，四边形 为菱形，
，
在 中，由勾股定理得： ，
；
，
，
②当 点在 的左边且在 线段上时，如图2，
；
同①得出 ，
， ，
③当 点在 的左边且在 的延长线上时，如图3，
同①得出， ，
， ，
综上所述， 时， ， ； 时， ， 时， ， ；
（3）如图 ，由 知， ，，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 的周长为
，
最小时，四边形 的周长最小，
作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，
，
，
，
，
，
， ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，三角形中位线的性质，坐标与
图形，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
40．（2023下·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）如图，点O为矩形 的对称中心，
．点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，
点E的运动速度为 ，点F的运动速度为 ，点G的运动速度为 ．当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动，在运动过程中， 关于直线 的对称图形是 设点
E，F，G运动的时间为t（单位：s）
(1)当 __________s时，四边形 为正方形；
(2)当x为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形可能全等？
(3)是否存在实数t，使得点 与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)2或
(3)不存在实数 ，使得点 与点 重合
【分析】（1）根据正方形的判定定理列出方程，解方程得到答案；
（2）分 、 两种情况，根据全等三角形的性质列出方程，计算即可；
（3）分别求出 与 重合、 与 重合的时间，比较大小得出结论．
【详解】（1）当 时， ，
四边形 为菱形，
，
四边形 为正方形，
此时， ，
解得： ，
故答案为： ；
（2）由题意得： ， ， ，
则 ， ，
当 时， ， ，
， ，解得： ， ，
当 时， ， ，
， ，
解得： ， ，
综上所述，当 为2或 时，以点 ， ， 为顶点的三角形与以点 ， ， 为顶点的三角形全等；
（3）假设存在实数 ，使得点 与点 重合，
过点 作 于 ，作 于 ，
由题意得： ， ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
同理，在 中， ，
即 ，
解得： ，
，
假设不成立，
不存在实数 ，使得点 与点 重合．
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，矩形的性质、全等三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解
题的关键．
【经典压轴题九 平行四边形的存在性问题】
41．（2023上·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形 在直角坐标系中，点B、点C都在x轴上，其中 ， ， ，E是线段 的中点．
(1)求出C，D的坐标；
(2)平面内是否存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的
坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)存在，点N的坐标为 或 或
【分析】（1）根据平行四边形的性质可求得 的长，从而求得点 的坐标；
（2）分 为对角线， 为对角线， 为对角线三种情况讨论，利用中点坐标公式即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
，
，
，
∴点C的坐标为 ，点D的坐标为 ；
（2）理由如下：
是线段 的中点，
∴点E的坐标为 ，即 ，
设点N的坐标为 ，
当 为对角线时，
，
解得： ，的坐标为 ；
当 为对角线时，
，
解得： ，
的坐标为 ；
当 为对角线时，
，
解得： ，
的坐标为 ，
综上可知，点N的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质．讨论平行四边形存在性问题时，按对角线进行分类
讨论，画出图形再计算．
42．（2023下·广西柳州·八年级校考期中）如图，直角坐标系中，平行四边形 的边 ，
， ，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，点Q以每秒 个单位的速度从
点O向点C运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t．
(1)求出点C，B的坐标；(2)当t为何值时， ？
(3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点M，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，
请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点M的坐标为 或
【分析】（1）作 于点D，则 是等腰直角三角形，可求出点C的坐标，再根据平行四边形
的性质求点B的坐标；
（2）当 时，则 ，可求出此时t的值；
（3）根据（2）所求得t的值，再求出 的长，以A、P、Q、M为顶点的平行四边形可以
为对角线，以此分类讨论，求出所有符合条件的点M的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，作 于点D，
，
，
，
，
，
，
，
∵四边形 是平行四边形，，
，
；
（2）解：如图，当 时， ，
，
，
，
，
解得 ；
（3）解：存在，
当平行四边形 以 为对角线，设 交x轴于点E，
，
，
∵点Q以每秒 个单位的速度从点O向点C运动，
由（2）得： 时，
∴ ，∵ ，
，即 ，
，
由（2）得： ，
，
；
当平行四边形 以 为对角线，则 ，
，
；
当平行四边形 以 为对角线，作 交 的延长线于点G，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
综上所述，点M的坐标为 ， 或 ；
【点睛】此题重点考查平面直角坐标系的有关知识、平行四边形的判定与性质、求动点问题中的函数关系
式、数形结合、分类讨论等数学思想的运用等知识与方法，解第（2）小题涉及用转化法表示图形的面积，
解第（3）小题时应注意求出所有符合条件的结果，此题综合性强，属于压轴题．
43．（2023下·山东青岛·八年级统考期末）已知，平行四边形 中， ， ，
，点 ， 分别是线段 和 上的动点，点 以 的速度从点 出发沿 向点 运
动，同时点 以 的速度从点 出发，在 上沿 方向往返运动，当点 到达点 时，点
， 同时停止运动．连接 ， ．设运动时间为 ，请回答下列问题：
(1)当 为何值时， 平分 ？
(2)在运动过程中，是否存在某一时刻 ，使得以 ， ， ， 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存
在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
(3)连接 并延长，交 的延长线与点 ，连接 ．设 的面积为 ，求 与 之间的关系式．
【答案】(1)
(2)当 时，以 ， ， ， 四点为顶点的四边形是平行四边形
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，当 平分 ，可得 是等腰三角形，即 ，
由此即可求解；
（2）以 ， ， ， 四点为顶点的四边形是平行四边形，则 ，分别用含 的式子表示
的长度，根据题意，分类讨论，即可求解；（3）如图所示，过点 作 交 于点 ，作 交 于点 ，根据平行四边形 的
性质，可得 是等腰直角三角形，由此可求出 ， ，再根据 ，由此
即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，即 ，
∵点 以 的速度从点 出发沿 向点 运动，
∴ ，
∴ ．
（2）解：假设存在合题意的 ，便得以 ， ， ， 四点为顶点的四边形是平行四边形，则 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵点 的速度为 ，点 的速度为 ，
∴点 从点 运动到点 的时间为 ，点 从点 运动到点 的时间为 ，点 从点
返回运动到点 的时间为 ，
∴①当 时， ， ，
∵ ，
∴ ，解得 （不符合题意，舍去），
②当 时， ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，综上所述，当 时，以 ， ， ， 四点为顶点的四边形是平行四边形．
（3）解：如图所示，过点 作 交 于点 ，作 交 于点 ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
在 中， ，同理可得， ，
∵点 的速度为 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查动点与几何图形的综合，掌握动点运动的规律，平行四边形的性质及判定，等腰三
角形的性质，勾股定理，不规则图形面积的计算方法等知识是解题的关键．
44．（2022下·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）在平面直角坐标系中， 的顶点A在y轴正半轴上，
BC边在x轴上，已知 ， ，且点B点C关于关于y轴对称(1)如图1，求点A的坐标．
(2)如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，若 ，求OE的长．
(3)如图3，在（2）的条件下，点Q是 外一点，连接AQ、BQ、CQ，并且CQ交AO于F，交AB于
G，且 ，请问是否存在点P使得四边形 为平行四边形？若存在
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)
【分析】（1）根据对称性得到 ，由勾股定理得到 ，则 ；
（2）如图所示，在 上取一点H使得 ，设 ，则 ，由勾股定理建立方程
，解方程求出 ，利用三角形外角的性质得到 ，进而证明
，则 ；
（3）如图所示，延长 到H，使得 ，连接 ，证明 得到
，则 ，设 ，则
，再由 推出 ，再证明
，进而证明 ，得到 ，如图所示，过点Q作
于M，则四边形 是矩形，得到 ，证明 ，得到
，则 ，设点P的坐标为 ，由 的中点坐标相同，得到 ，解得 ，则 ．
【详解】（1）解：∵ ，且点B、点C关于关于y轴对称，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ；
（2）解：如图所示，在 上取一点H使得 ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点B、点C关于关于y轴对称，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（3）解：如图所示，延长 到H，使得 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
如图所示，过点Q作 于M，则四边形 是矩形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
设点P的坐标为 ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ 的中点坐标相同，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，平行四
边形的性质，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
45．（2023上·湖南怀化·九年级校考开学考试）综合与探究：如图，直线AB： 分别交x轴，y轴
于点B，E，过点A作直线 分别交x轴，y轴于点 ， ．
(1)求直线 的解析式．(2)在y轴左侧作直线 轴，分别交直线 ， 于点F，G．当 时，过点G作直线
轴，交y轴于点H．能否在直线 上找一点P，使 的值最小，求出P点的坐标．
(3)M为直线 上一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在点Q使得以P，Q，M，O为顶点的四边形为平
行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点Q的坐标 ，或 ，或 ．
【分析】（1）运用待定系数求解即可；
（2）可证 ，设 ，则 ，再根据对称性得 、 、 ，根
据两点之间线段最短，可知点P为 与直线 的交点时， 取最小值．确定直线
的解析式为 ，再令 ，求解；
（3）分三种情况讨论：四边形分别为 ， ， ，结合平行四边形的判定和点与坐标关系
求解．
【详解】（1）解；设直线 解析式为 ，由 ， 得
，解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
（2）解： 与y轴交于点 ， 与y轴交于点 ，
∴ ．
∴ ．设 ，则 ，
将 代入 ，得 ，解得 ，
∴ ， ， ．
直线AB： 与y轴于点 ， 与点 重合.
设F关于直线 的对称点 ，则 ，
∵点P在 上，由对称知， ，
∴ ，
如图，连接 ，则 ,
当P，D ， 三点共线，即点P为 与直线 的交点时， ，此时
取最小值．
设直线 的解析式为 ，则
，解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
令 ，得 ，
∴ ．
（3）解：存在，点Q的坐标 ，或 ，或 ．
①如图，当 ， 时，四边形 是平行四边形；由 ， 时， ，得 ，
∴
∴
∴ ．
②如图，当 ， 时，四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴
③如图，当 ， ，四边形 是平行四边形，
过点P作 轴，垂足为N，过点M作 轴，垂足为K，
∵ ，
∴ ．
而 ，
∴ ．
∴ ．
又 ， ，
∴ ．
∴ ， ．∴点M的纵坐标为 ．
时， ，得
∴
综上，点Q的坐标为 ，或 ， ．
【点睛】本题考查确定一次函数解析式，轴对称的性质，一次函数的性质，平行四边形的判定等，掌握数
形结合的思想，由平行四边形判定方法得到线段间的数量关系是是解题的关键．
【经典压轴题十 四边形其他综合问题】
46．（2023下·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在边长为12的正方形 内部有两个大小相同的矩形
、 ， 与 相交于点 ， 与 相交于点 ， ， ．
(1)用含有 、 的代数式表示矩形 与矩形 重叠部分的面积 ，并求出 应满足的条件；
(2)当 ， 时，
① 的长为________
②四边形 旋转后能与四边形 重合，请指出该图形所在平面内能够作为旋转中心的点，并分别
说明如何旋转的（至少两种）．
【答案】(1) ，(2)①8；②见解析
【分析】（1）根据矩形和正方形的性质可x、y表示出 的长，利用长方形面积公式即可得到面积，
再求出x的取值范围；
（2）①由 ， ，得到 ，由 得到
，即可解得 ；
②如图，连接 设相交的点为点O，再进一步求出旋转中心与旋转角即可．
【详解】（1）∵ ， ，四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴重叠部分长方形的面积为： ，
∵长方形 与长方形 有重叠部分，正方形 边长为12，
∴ ，即 ．
（2）①∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：8
②如图，连接 设相交的点为点O，∵ ，
∴四边形 、 都是正方形，点 既是 的中点也是 的中点，点 既是 的中点也是
的中点，
∴该图形所在平面上可以作为旋转中心的点为点 、点 、点 ，
四边形 绕着点 逆时针方向（或顺时针方向）旋转 可与四边形 重合；
四边形 绕着点 顺时针方向旋转 （或逆时针方向旋转 ）可与四边形 重合；
四边形 绕着点 逆时针方向旋转 （或顺时针方向旋转 ）可与四边形 重合．
【点睛】本题考查正方形的性质及旋转的性质，根据四边形 、 都是正方形，正确找出旋转中
心是解题关键．
47．（2022下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）【方法回顾】
如图1，过正方形 的顶点A作一条直l交边 于点P， 于点E， 于点F，猜想 ，
， 三条线段的数量关系： ，并证明你的猜想．
【问题解决】
如图2，菱形 的边长为 ，过点A作一条直线l交边 于点P，且 ，点F是 上一点，
且 ，过点B作 ，与直线l交于点E，若 ，求 的长．
【思维拓展】
如图3，在正方形 中，点P在 所在直线上的上方， ，连接 ， ，若 的面积与
的面积之差为 ，则 的值为 （用含m的式子表示）【答案】[方法回顾] ，理由见解析；[问题解决] ；[思维拓展]
【分析】[方法回顾]如图1，利用“AAS”证明 ，则 ， ，然后利用
得到 ．
[问题解决]证明 ，推出 ， ，再利用勾股定理构建方
程解决问题即可．
[思维拓展]如图3中，过点P作 交 的延长线于N， 交 的延长线于M，设 ，
，设 ，由 ，推出 ，可得 ，利用勾股定理即可
解决问题．
【详解】[方法回顾]
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
[问题解决]
∵四边形 为菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
[思维拓展]
如图3中，过点P作 交 的延长线于N， 交 的延长线于M，设 ， ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股
定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
48．（2023下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）[初步探究]（1）如图1，在四边形 中， ，点E是边 上一点， ， ，连接 、
．则 的形状为_______．
[解决问题]
（2）如图2，在矩形 中，点P是边 上一点，在边 、 上分别作出点E、F，使得点E、F、
P是一个等腰直角三角形的三个顶点，且 ， ．（要求∶仅用圆规作图，保留作图痕迹，
简要写出作法）．
[拓展应用]
（3）如图3，在平面直角坐标系 中，已知点 ，点 ，点C在第一象限内，点D在y轴的右
侧，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是正方形，求出点C的坐标．
（4）如图4，在平面直角坐标系 中，已知点 ，点C是y轴上的动点，线段 绕着点C按逆时
针方向旋转 至线段 ， ，连接 、 ，直接写出 的最小值．
【答案】（1）等腰直角三角形，（2）见解析，作法：以点D为圆心 长为半径作弧交 于点F，以点
C为圆心， 长为半径作弧交 于点E，连接 ， ， ，点E、F即为所求，（3） ， ，
（4）
【分析】（1）证明 ，即可求解；
（2）如图，以点D为圆心 长为半径作弧交 于点F，以点C为圆心， 长为半径作弧交 于点
E，连接 ， ， ，点E、F即为所求；
（3）以点A、B、C、D为顶点的四边形是正方形，就是以点A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形，
分 、 、 ，三种情况求解即可；
（4）求出 ，则： ， 的值相当于求点到点 和点 的最小值，即可求解．
【详解】（1） 是等腰直角三角形，
证明：∵在 和 中，
，
，
， ，
∵在 中， ，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）解：以点D为圆心 长为半径作弧交 于点F，以点C为圆心， 长为半径作弧交 于点E，
连接 ， ， ，
∴点E、F即为所求；
（3）如图，当 ， 时，过点C作 于点F，过点B作 于点 ，
点 ，点 ，， ， ，
，
， ，
. ， ，
，
， ，
，
， ，
，
点C坐标为 ；
如图，当 ， 时，过点B作 ，过点C作 ，
， ，
， ，
，
， ，
，
， ，
，
点C坐标为 ；
如图，当 ， 时，过点C作 于点E，过点B作 于点F，过点B作
于点E，， ,
，且 ， ，
，
， ，
,
，
，
， ，
点C的坐标 ，
综上所述：点C的坐标为： ， ， ；
（4）如图作 于H，
设点C的坐标为 ，
由（1）知： ， ，
则点 ，则： ，
的值，相当于求点 到点 和点 的最小值，
相当于在直线 上寻找一点 ，使得点P到 ，到 的距离和最小，
作M关于直线 的对称点 ，
易知 ，
，
的最小值为 ．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的
判定与性质、勾股定理、尺规作图以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定
与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
49．（2023下·江苏连云港·八年级统考期末）【问题情境】期中调研试题中的第26题对苏科版八年级下册
数学教材第94页第19题第（1）题进行了探究．小明在期末复习时，对该题进行了新的探究．
【探究活动1】（1）如图，在正方形 中，点 、 、 分别在边 、 和 上，且 ，
垂足为 ．那么 与 相等吗？证明你的结论；
【探究活动2】（2）如图，在（1）的条件下，当M在正方形 的对角线 上时，连接 ，将
沿着 翻折，点 落在点 处．
①四边形 是正方形吗？请说明理由；
②若 ，如图，点 在 上，且 ，直接写出 的最小值为 ．【答案】（1）相等，理由见解析（2）①是，理由见解析；②
【分析】（1）过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，证明 ，由此可得
；
（2）①连接 ，证明 ，所以 ， ，由折叠可知： ，
，由四边形内角和和平角的定义可得， ，所以 ，则
，所以四边形 为菱形，再由“有一个角是直角的菱形是正方形”可得结论；
②作 交 的延长线于点 ，作 交 于点 ，可证 ，由此可得
，易证 为等腰直角三角形，所以 ，则 ，可得
， ；作点 关于 的对称点 ，则 ，可得
，求出 的值即可得出结论．
【详解】解：（1）相等，理由如下：
如图，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，
，
，
四边形 是正方形，
， ，
， ，
四边形 为平行四边形，，
，
，
．
在 和 中，
，
，
，
又 ，
．
（2）①是，理由如下：
连接 ．
由（1）的结论可知： ．
四边形 是正方形，
，
在 和 中，
，
，
， ，
由折叠可知： ， ．
，
，，
，
，
，
，
，
四边形 为菱形，
又 ，
四边形 为正方形．
②作 交 的延长线于点 ，作 交 于点 ．
，
，
， ，
，
， ．
， ，
为等腰直角三角形，
，
．
，
， ，
作点 关于 的对称点 ，则 ， ，．
作 交 的延长线于点 ，易证 ，
，
的最小值 ，即 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等
腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形
的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
50．（2023下·江苏泰州·八年级统考期中）在正方形 的对角线 上任取一点 ，连接 ，过点
作 的垂线交边 于点 ．
(1)如图1，写出 与 的数量关系并加以证明；
(2)如图2，连接 交 于点 ，若 ， ，求 的长；
(3)在（2）的条件下，将 沿着 翻折，得到 ，如图3，连接 ，求 的面积．
【答案】(1) ，见解析
(2)
(3)
【分析】（1）过 点分别作 ， ，垂足分别为点 、点 ．证 平分 ，得
，再证 （ ）即可；
（2）过点 点分别作 ， ，垂足分别为点 、点 ．由角平分线的性质定理可得
．根据 得到 ，求得 ；
（3）连接 ，根据翻折得 ，所以 ，可得 ，
．
【详解】（1）解： ．
理由如下：
过 点分别作 ， ，垂足分别为点 、点 ．
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ 平分 ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ （ ），
∴ ．
（2）过点 分别作 ， ，垂足分别为点 、点 ．由（1）知， 平分 ，
∴ ．
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）连接 ，如图，
根据翻折得 ，所以 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 中， ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、正方形的性质的
综合应用及勾股定理，解决问题的关键是做出适当的辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
