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2017 年四川省泸州市中考数学试卷
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（3分）﹣7的绝对值是（ ）
A．7 B．﹣7 C． D．﹣
2．（3分）“五一”期间，某市共接待海内外游客约567000人次，将567000用科学记数法表
示为（ ）
A．567×103 B．56.7×104C．5.67×105D．0.567×106
3．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．2x•3x=6x B．3x﹣2x=x C．（2x）2=4x D．6x÷2x=3x
4．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）已知点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（ ）
A． B．2 C．6 D．8
7．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．四边都是相等的四边形是矩形
B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
8．（3分）下列曲线中不能表示y与x的函数的是（ ）
第1页（共26页）A． B． C． D．
9．（3分）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研
究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元 50 年）给出求其面积的海伦公式 S=
，其中p= ；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202﹣1261）曾提
出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S= ，若一个三角形
的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是
（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）已知抛物线y= x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离
与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（ ，3），P是抛物线y= x2+1上一个动点，
则△PMF周长的最小值是（ ）
第2页（共26页）A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分）
13．（3分）在一个不透明的袋子中装有4个红球和2个白球，这些球除了颜色外无其他差别，
从袋子中随机摸出一个球，则摸出白球的概率是 ．
14．（3分）分解因式：2m2﹣8= ．
15．（3分）若关于x的分式方程 + =3的解为正实数，则实数m的取值范围是 ．
16．（3分）在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O．若
OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为 cm．
三、解答题（每题6分，共18分）
17．（6分）计算：（﹣3）2+20170﹣ ×sin45°．
18．（6分）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知AF=DC，∠A=∠D，BC∥EF，求证：AB=DE．
19．（6分）化简： •（1+ ）
第3页（共26页）四、本大题共2小题，每小题7分，共14分
20．（7分）某单位750名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动，为了解职工的捐数量，采用
随机抽样的方法抽取30名职工作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本、5
本、6本、7本、8本五类，分别用A、B、C、D、E表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整
的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）求这30名职工捐书本数的平均数、众数和中位数；
（3）估计该单位750名职工共捐书多少本？
21．（7分）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查
发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书
柜3个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数
量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．
第4页（共26页）五、本大题共2小题，每小题8分，共16分.
22．（8分）如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行
30nmile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之
间的距离．
23．（8分）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，﹣6），且与反比例函数y=﹣ 的图象
交于点B（a，4）
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB向上平移10个单位后得到直线l：y=kx+b（k≠0），l与反比例函数y= 的
1 1 1 1 2
图象相交，求使y＜y 成立的x的取值范围．
1 2
六、本大题共两个小题，每小题12分，共24分
24．（12分）如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于
点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．
（1）求证：DF∥AO；
（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．
第5页（共26页）25．（12分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）
三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；
（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F，若
△PEB、△CEF的面积分别为S、S，求S﹣S 的最大值．
1 2 1 2
2017 年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（3分）（2017•泸州）﹣7的绝对值是（ ）
A．7 B．﹣7 C． D．﹣
【分析】根据绝对值的性质解答，当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a．
【解答】解：|﹣7|=7．
故选A．
第6页（共26页）【点评】本题考查了绝对值的性质，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身
的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
2．（3分）（2017•泸州）“五一”期间，某市共接待海内外游客约567000人次，将567000用
科学记数法表示为（ ）
A．567×103 B．56.7×104C．5.67×105D．0.567×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：567000=5.67×105，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2017•泸州）下列各式计算正确的是（ ）
A．2x•3x=6x B．3x﹣2x=x C．（2x）2=4x D．6x÷2x=3x
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=6x2，不符合题意；
B、原式=x，符合题意；
C、原式=4x2，不符合题意；
D、原式=3，不符合题意，
故选B
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（3分）（2017•泸州）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（
）
第7页（共26页）A． B． C． D．
【分析】根据左视图是从左边看到的图形解答．
【解答】解：左视图有2行，每行一个小正方体．
故选D．
【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
5．（3分）（2017•泸州）已知点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
【分析】根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得a、b的值，根据有理数的加法，
可得答案．
【解答】解：由A（a，1）关于原点的对称点为B（﹣4，b），得
a=4，b=﹣1，
a+b=3，
故选：C．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的坐标规律：关于原
点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
6．（3分）（2017•泸州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长
是（ ）
A． B．2 C．6 D．8
【分析】根据垂径定理，可得答案．
【解答】解：由题意，得
第8页（共26页）OE=OB﹣AE=4﹣1=3，
CE=CD= = ，
CD=2CE=2 ，
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理，利用勾股定理，垂径定理是解题关键．
7．（3分）（2017•泸州）下列命题是真命题的是（ ）
A．四边都是相等的四边形是矩形
B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【分析】根据矩形的判定定理，菱形的性质，正方形的判定判断即可得到结论．
【解答】解：A、四边都相等的四边形是菱形，故错误；
B、矩形的对角线相等，故错误；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，
故选D．
【点评】此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的
真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8．（3分）（2017•泸州）下列曲线中不能表示y与x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】函数是在一个变化过程中有两个变量x，y，一个x只能对应一个y．
【解答】解：当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．
选项C中的图形中对于一个自变量的值，图象就对应两个点，即y有两个值与x的值对应，因
而不是函数关系．
故选C．
第9页（共26页）【点评】考查了函数的概念，理解函数的定义，是解决本题的关键．
9．（3分）（2017•泸州）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经
进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S=
，其中p= ；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202﹣1261）曾提
出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S= ，若一个三角形
的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的三边长分别为2，3，4的面积，从而
可以解答本题．
【解答】解：∵S= ，
∴若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是：S= =
，
故选B．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积．
11．（3分）（2017•泸州）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则
tan∠BDE的值是（ ）
A． B． C． D．
第10页（共26页）【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF= AF，EF= AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF=
DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF= =2 x，再由三角函数定义即可得出
答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE= BC= AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴ = ，
∴EF= AF，
∴EF= AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF= DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF= =2 x，
∴tan∠BDE= = = ；
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形
的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
12．（3分）（2017•泸州）已知抛物线y= x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F
（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（ ，3），P是抛物线y= x2+1
上一个动点，则△PMF周长的最小值是（ ）
第11页（共26页）A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y= x2+1于点P，由PF=PE结合三角形三边关系，
即可得出此时△PMF周长取最小值，再由点F、M的坐标即可得出MF、ME的长度，进而得出
△PMF周长的最小值．
【解答】解：过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y= x2+1于点P，此时△PMF周长最小值，
∵F（0，2）、M（ ，3），
∴ME=3，FM= =2，
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及三角形三边关系，根据三角形的三边关系确定点P
的位置是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分）
13．（3分）（2017•泸州）在一个不透明的袋子中装有4个红球和2个白球，这些球除了颜色外
无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出白球的概率是 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值
就是其发生的概率．
【解答】解；袋子中球的总数为：4+2=6，
∴摸到白球的概率为： = ，
第12页（共26页）故答案为： ．
【点评】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，
其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
14．（3分）（2017•泸州）分解因式：2m2﹣8= 2 （ m+ 2 ）（ m ﹣ 2 ） ．
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式．
【解答】解：2m2﹣8，
=2（m2﹣4），
=2（m+2）（m﹣2）．
故答案为：2（m+2）（m﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因
式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
15．（3分）（2017•泸州）若关于x的分式方程 + =3的解为正实数，则实数m的取值范
围是 m ＜ 6 且 m ≠ 2 ．
【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
【解答】解： + =3，
方程两边同乘（x﹣2）得，x+m﹣2m=3x﹣6，
解得，x= ，
由题意得， ＞0，
解得，m＜6，
∵ ≠2，
∴m≠2，
故答案为：m＜6且m≠2．
【点评】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、
分式方程无解的判断方法是解题的关键．
第13页（共26页）16．（3分）（2017•泸州）在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足
为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为 4 cm．
【分析】连接AO并延长，交BC于H，根据勾股定理求出DE，根据三角形中位线定理求出BC，根
据直角三角形的性质求出OH，根据重心的性质解答．
【解答】解：连接AO并延长，交BC于H，
由勾股定理得，DE= =2 ，
∵BD和CE分别是边AC、AB上的中线，
∴BC=2DE=4 ，O是△ABC的重心，
∴AH是中线，又BD⊥CE，
∴OH= BC=2 ，
∵O是△ABC的重心，
∴AO=2OH=4 ，
故答案为：4 ．
【点评】本题考查的是重心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重
心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
三、解答题（每题6分，共18分）
17．（6分）（2017•泸州）计算：（﹣3）2+20170﹣ ×sin45°．
【分析】首先计算乘方、开方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（﹣3）2+20170﹣ ×sin45°
=9+1﹣3 ×
=10﹣3
=7
第14页（共26页）【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运
算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括
号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实
数范围内仍然适用．
18．（6分）（2017•泸州）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知AF=DC，∠A=∠D，BC∥EF，求
证：AB=DE．
【分析】欲证明AB=DE，只要证明△ABC≌△DEF即可．
【解答】证明：∵AF=CD，
∴AC=DF，
∵BC∥EF，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB=DE．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判
定方法是解决问题的关键．
19．（6分）（2017•泸州）化简： •（1+ ）
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：原式= • = ．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
第15页（共26页）四、本大题共2小题，每小题7分，共14分
20．（7分）（2017•泸州）某单位750名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动，为了解职工
的捐数量，采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结
果共有4本、5本、6本、7本、8本五类，分别用A、B、C、D、E表示，根据统计数据绘制成了如图
所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）求这30名职工捐书本数的平均数、众数和中位数；
（3）估计该单位750名职工共捐书多少本？
【分析】（1）根据题意列式计算得到D类书的人数，补全条形统计图即可；
（2）根据次数出现最多的数确定众数，按从小到大顺序排列好后求得中位数；
（3）用捐款平均数乘以总人数即可．
【解答】解（1）捐D类书的人数为：30﹣4﹣6﹣9﹣3=8，
补图如图所示；
（2）众数为：6 中位数为：6
平均数为： = （4×4+5×6+6×9+7×8+8×3）=6；
（3）750×6=4500，
即该单位750名职工共捐书约4500本．
【点评】此题主要考查了中位数，众数，平均数的求法，条形统计图的画法，用样本估计总体的
思想和计算方法；要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；找中位数要把数据按从
第16页（共26页）小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出
现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
21．（7分）（2017•泸州）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进
的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜
4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数
量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．
【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：若购买甲种书柜3个、乙
种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出
方程求解即可；
（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个．根据：所需经费=甲图书柜总费用+乙
图书柜总费用、总经费W≤1820且购买的甲种图书柜的数量≥乙种图书柜数量列出不等式组，
解不等式组即可的不等式组的解集，从而确定方案．
【解答】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意得：
，
解之得： ，
答：设甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．
（2）解：设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个；
由题意得：
解之得：8≤m≤10
因为m取整数，所以m可以取的值为：8，9，10
即：学校的购买方案有以下三种：
方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个，
方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，
方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．
【点评】本题主要考查二元一次方程组、不等式组的综合应用能力，根据题意准确抓住相等关
第17页（共26页）系或不等关系是解题的根本和关键．
五、本大题共2小题，每小题8分，共16分.
22．（8分）（2017•泸州）如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向
东航行30nmile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小
岛C之间的距离．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：∠BCD=30°，设BC=x，解直角三角形即可得到结
论．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：
∠BCD=30°，设BC=x，则：
在Rt△BCD中，BD=BC•sin30°= x，CD=BC•cos30°= x；
∴AD=30 x，
∵AD2+CD2=AC2，即：（30+ x）2+（ x）2=702，
解之得：x=50（负值舍去），
答：渔船此时与C岛之间的距离为50海里．
【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利
用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
23．（8分）（2017•泸州）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，﹣6），且与反比例函数
第18页（共26页）y=﹣ 的图象交于点B（a，4）
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB向上平移10个单位后得到直线l：y=kx+b（k≠0），l与反比例函数y= 的
1 1 1 1 2
图象相交，求使y＜y 成立的x的取值范围．
1 2
【分析】（1）根据点B的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，根据
点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）根据“上加下减”找出直线l的解析式，联立直线l和反比例函数解析式成方程组，解
方程组可找出交点坐标，画出函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出使y＜y
1 2
成立的x的取值范围．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=﹣ 的图象过点B（a，4），
∴4=﹣ ，解得：a=﹣3，
∴点B的坐标为（﹣3，4）．
将A（2，﹣6）、B（﹣3，4）代入y=kx+b中，
，解得： ，
∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣2．
（2）直线AB向上平移10个单位后得到直线l的解析式为：y=﹣2x+8．
1
联立直线l和反比例函数解析式成方程组，
，解得： ， ，
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为（1，6）和（3，2）．
画出函数图象，如图所示．
观察函数图象可知：当0＜x＜1或x＞3时，反比例函数图象在直线l的上方，
∴使y＜y 成立的x的取值范围为0＜x＜1或x＞3．
1 2
第19页（共26页）【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、待
定系数法求一次函数解析式以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标利用待定
系数法求出直线AB的解析式；（2）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出两函数图
象的交点坐标．
六、本大题共两个小题，每小题12分，共24分
24．（12分）（2017•泸州）如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与
边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．
（1）求证：DF∥AO；
（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．
【分析】（1）欲证明DF∥OA，只要证明OA⊥CD，DF⊥CD即可；
（2）过点作EM⊥OC于M，易知 = ，只要求出EM、FM、FC即可解决问题；
【解答】（1）证明：连接OD．
∵AB与⊙O相切与点D，又AC与⊙O相切与点，
∴AC=AD，∵OC=OD，
∴OA⊥CD，
∴CD⊥OA，
第20页（共26页）∵CF是直径，
∴∠CDF=90°，
∴DF⊥CD，
∴DF∥AO．
（2）过点作EM⊥OC于M，
∵AC=6，AB=10，
∴BC= =8，
∴AD=AC=6，
∴BD=AB﹣AD=4，
∵BD2=BF•BC，
∴BF=2，
∴CF=BC﹣BF=6．OC= CF=3，
∴OA= =3 ，
∵OC2=OE•OA，
∴OE= ，
∵EM∥AC，
∴ = = = ，
∴OM= ，EM= ，FM=OF+OM= ，
∴ = = = ，
∴CG= EM=2．
第21页（共26页）【点评】本题考查切线的性质、直径的性质、切线长定理、勾股定理、平行线分线段成比例定理
等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
25．（12分）（2017•泸州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，
0）、C（0，2）三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；
（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F，若
△PEB、△CEF的面积分别为S、S，求S﹣S 的最大值．
1 2 1 2
【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）当点D在x轴上方时，则可知当CD∥AB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D
在x轴下方时，可证得BD∥AC，利用AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直线BD和
抛物线的解析式可求得D点坐标；
（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，可设出P点坐标，从而可表示出PH的长，可表示出
△PEB的面积，进一步可表示出直线AP的解析式，可求得F点的坐标，联立直线BC和PA的解
析式，可表示出E点横坐标，从而可表示出△CEF的面积，再利用二次函数的性质可求得S﹣
1
S 的最大值．
2
【解答】解：
第22页（共26页）（1）由题意可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+2；
（2）当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，
∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，
∴四边形ABDC为等腰梯形，
∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件，
∴D（3，2）；
当点D在x轴下方时，
∵∠DBA=∠CAO，
∴BD∥AC，
∵C（0，2），
∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（﹣1，0）代入可求得k=2，
∴直线AC解析式为y=2x+2，
∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=﹣8，
∴直线BD解析式为y=2x﹣8，
联立直线BD和抛物线解析式可得 ，解得 或 ，
∴D（﹣5，﹣18）；
综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18）；
第23页（共26页）（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，如图2，
设P（t，﹣ t2+ t+2），
由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=﹣ x+2，
∴H（t，﹣ t+2），
∴PH=y﹣y=﹣ t2+ t+2﹣（﹣ t+2）=﹣ t2+2t，
P H
设直线AP的解析式为y=px+q，
∴ ，解得 ，
∴直线AP的解析式为y=（﹣ t+2）（x+1），令x=0可得y=2﹣ t，
∴F（0，2﹣ t），
∴CF=2﹣（2﹣ t）= t，
联立直线AP和直线BC解析式可得 ，解得x= ，即E点的横坐标为
，
∴S= PH（x﹣x）= （﹣ t2+2t）（5﹣ ），S= • • ，
1 B E 2
第24页（共26页）∴S﹣S= （﹣ t2+2t）（5﹣ ）﹣ • • =﹣ t2+5t=﹣ （t﹣ ）2+ ，
1 2
∴当t= 时，有S﹣S 有最大值，最大值为 ．
1 2
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的面积、
二次函数的性质、方程思想伋分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）
中确定出D点的位置是解题的关键，在（3）中用P点的坐标分别表示出两个三角形的面积是
解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大．
第25页（共26页）参与本试卷答题和审题的老师有：bjf；gbl210；sks；星期八；dbz1018；2300680618；王学峰；
弯弯的小河；zgm666；家有儿女；曹先生；三界无我；知足长乐；放飞梦想；nhx600；Ldt（排名
不分先后）
菁优网
2017年6月23日
第26页（共26页）
