文档内容
2014 年四川省南充市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2014年 四川南充） =（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．（2014年 四川南充）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2=a5 B．（a2）3=a5 C．a3+a3=a6 D．（a+b）2=a2+b2
3．（2014年 四川南充）下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2014年 四川南充）如图，已知AB∥CD，∠C=65°，∠E=30°，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．32.5° C．35° D．37.5°
5．（2014年 四川南充）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为
（1， ），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣ ，1） B．（﹣1， ） C．（ ，1） D．（﹣ ，﹣1）
6．（2014年 四川南充）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A． B． C． D．
7．（2014年 四川南充）为积极响应南充市创建“全国卫生城市”的号召，某校1500名学生参
加了卫生知识竞赛，成绩记为A、B、C、D四等．从中随机抽取了部分学生成绩进行统计，绘制
成如图两幅不完整的统计图表，根据图表信息，以下说法不正确的是（ ）
A． 样本容量是200
B．D等所在扇形的圆心角为15°
C． 样本中C等所占百分比是10%
D． 估计全校学生成绩为A等大约有900人
8．（2014年 四川南充）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则
∠B的度数为（ ）
A． 30°B． 36°C． 40° D． 45°
9．（2014年 四川南充）如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方
式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（ ）
A． B．13π C．25π D．25
10．（2014年 四川南充）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax
1
2+bx
1
=ax
2
2+bx
2
，且
x ≠x ，x +x =2．
1 2 1 2
其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2014年 四川南充）分式方程 =0的解是 ．
12．（2014年 四川南充）分解因式：x3﹣6x2+9x= ．
13．（2014年 四川南充）一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，3，x，4，5，若这组数据的中
位数为3，则这组数据的方差是 ．
14．（2014年 四川南充）如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部
分的面积是 ．（结果保留π）
15．（2014年 四川南充）一列数a ，a ，a ，…a ，其中a =﹣1，a = ，a = ，…，a =
1 2 3 n 1 2 3 n
，则a +a +a +…+a = ．
1 2 3 201416．（2014年 四川南充）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶
点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD（包括端点），设BA′=x，则x的取
值范围是 ．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17．（2014年 四川南充）计算：（ ﹣1）0﹣（ ﹣2）+3tan30°+（ ）﹣1．
18．（2014年 四川南充）如图，AD、BC相交于O，OA=OC，∠OBD=∠ODB．求证：AB=CD．
19．（2014年 四川南充）在学习“二元一次方程组的解”时，数学张老师设计了一个数学活动．
有A、B 两组卡片，每组各3张，A组卡片上分别写有0，2，3；B组卡片上分别写有﹣5，﹣1，1．
每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同．甲从A组中随机抽取一张记为x，乙从B组中
随机抽取一张记为y．
（1）若甲抽出的数字是2，乙抽出的数是﹣1，它们恰好是ax﹣y=5的解，求a的值；
（2）求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax﹣y=5的解的概率．（请用树形图或列表法求解）20．（2014年 四川南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣2 x+m=0，有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的最大整数值；
（2）在（1）的条下，方程的实数根是x ，x ，求代数式x 2+x 2﹣x x 的值．
1 2 1 2 1 2
21．（2014年 四川南充）如图，一次函数y =kx+b的图象与反比例函数y = 的图象相交于点
1 2
A（2，5）和点B，与y轴相交于点C（0，7）．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）当x取何值时，y ＜y ．
1 222．（2014年 四川南充）马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业救助
船A、B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上，
在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处．（参考数据：sin36.5°≈0.6，
cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75）．
（1）求可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离；
（2）若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，
试通过计算判断哪艘船先到达P处．
23．（2014年 四川南充）今年我市水果大丰收，A、B两个水果基地分别收获水果380件、320
件，现需把这些水果全部运往甲、乙两销售点，从A基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每
件40元和20元，从B基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件15元和30元，现甲销售点
需要水果400件，乙销售点需要水果300件．
（1）设从A基地运往甲销售点水果x件，总运费为w元，请用含x的代数式表示w，并写出x
的取值范围；
（2）若总运费不超过18300元，且A地运往甲销售点的水果不低于200件，试确定运费最低的
运输方案，并求出最低运费．
24．（8分）（2014年 四川南充）如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点
F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG，（1）求证：直线EP为⊙O的切线；
（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2=BF•BO．试证明BG=PG；
（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB= ．求弦CD的长．
25．（2014年 四川南充）如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐
标为﹣3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴
于C，交直线AB于D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，S四边形OBDC =2S
△BPD
；（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2014 年四川省南充市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2014年 四川南充） =（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【分析】按照绝对值的性质进行求解．
【解析】根据负数的绝对值是它的相反数，得：|﹣ |= ．故选C．
【点评】绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的
绝对值是0．
2．（2014年 四川南充）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2=a5 B．（a2）3=a5 C．a3+a3=a6 D．（a+b）2=a2+b2
【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A；根据幂的乘方，可判断B；
根据合并同类项，可判断C；根据完全平方公式，可判断D．
【解析】A、底数不变指数相加，故A正确；B、底数不变指数相乘，故B错误；
C、系数相加字母部分不变，故C错误；D、和的平方等于平方和加积的二倍，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了完全平方公式，和的平方等于平方和加积的二倍．
3．（2014年 四川南充）下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先判断主视图，再根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解析】A、主视图是扇形，扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
B、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
C、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；D、主视图是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确．故选D．
【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部
分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（2014年 四川南充）如图，已知AB∥CD，∠C=65°，∠E=30°，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．32.5° C．35° D．37.5°
【分析】根据平行线的性质求出∠EOB，根据三角形的外角性质求出即可．
【解析】设AB、CE交于点O．
∵AB∥CD，∠C=65°，∴∠EOB=∠C=65°，
∵∠E=30°，∴∠A=∠EOB﹣∠E=35°，故选C．
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出∠EOB的
度数和得出∠A=∠EOB﹣∠E．
5．（2014年 四川南充）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为
（1， ），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣ ，1） B．（﹣1， ） C．（ ，1） D．（﹣ ，﹣1）
【分析】过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出
∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等
可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可．
【解析】如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°，
又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE，
在△AOD和△OCE中， ，∴△AOD≌△OCE（AAS），
∴OE=AD= ，CE=OD=1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣ ，1）．故选A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造
出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
6．（2014年 四川南充）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的基本性质解不等式得解集为﹣2＜x≤3，所以选D．
【解析】解不等式 得：x≤3．解不等式x﹣3＜3x+1得：x＞﹣2
所以不等式组的解集为﹣2＜x≤3．故选D．
【点评】考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等
式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，
如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的
解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用
空心圆点表示．7．（2014年 四川南充）为积极响应南充市创建“全国卫生城市”的号召，某校1500名学生参
加了卫生知识竞赛，成绩记为A、B、C、D四等．从中随机抽取了部分学生成绩进行统计，绘制
成如图两幅不完整的统计图表，根据图表信息，以下说法不正确的是（ ）
A． 样本容量是200 B．D等所在扇形的圆心角为15°
C． 样本中C等所占百分比是10%
D． 估计全校学生成绩为A等大约有900人
【分析】根据条形统计图和扇形统计图提供的数据分别列式计算，再对每一项进行分析即可．
【解析】A、 =200（名），则样本容量是200，故本选项正确；B、成绩为A的人数是：
200×60%=120（人），成绩为D的人数是200﹣120﹣50﹣20=10（人），
D等所在扇形的圆心角为：360°× =18°，故本选项错误；
C、样本中C等所占百分比是1﹣60%﹣25%﹣ =10%，故本选项正确；
D、全校学生成绩为A等大约有1500×60%=900人，故本选项正确；故选：B．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计
图直接反映部分占总体的百分比大小．
8．（2014年 四川南充）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则
∠B的度数为（ ）
A． 30°B． 36°C． 40° D． 45°【分析】求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠B，
【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，
∵CD=AD，∴∠C=∠CAD，
∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出
∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C关系．
9．（2014年 四川南充）如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方
式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（ ）
A． B．13π C．25π D．25
【分析】连接BD，B′D，首先根据勾股定理计算出BD长，再根据弧长计算公式计算出 ，
的长，然后再求和计算出点B在两次旋转过程中经过的路径的长即可．
【解析】连接BD，B′D，∵AB=5，AD=12，∴BD= =13，
∴ = = ，∵ = =6π，
∴点B在两次旋转过程中经过的路径的长是： +6π= ，故选：A．
【点评】此题主要考查了弧长计算，以及勾股定理的应用，关键是掌握弧长计算公式l= ．
10．（2014年 四川南充）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax
1
2+bx
1
=ax
2
2+bx
2
，且
x ≠x ，x +x =2．
1 2 1 2
其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤
【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣ =1，得到b=﹣2a＞0，即
2a+b=0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x=1时，
函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm；根据抛物线的对称
性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x=﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0；
把ax 2+bx =ax 2+bx 先移项，再分解因式得到（x ﹣x ）[a（x +x ）+b =0，而x ≠x ，则a
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
]
（x +x ）+b =0，即x +x =﹣ ，然后把b=﹣2a代入计算得到x +x =2 ．
1 2 1 2 1 2
]
【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为性质x=﹣ =1，
∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线对称轴为性质x=1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为性质x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧
∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误；
∵ax 2+bx =ax 2+bx ，∴ax 2+bx ﹣ax 2﹣bx =0，
1 1 2 2 1 1 2 2
∴a（x +x ）（x ﹣x ）+b（x ﹣x ）=0，
1 2 1 2 1 2
∴（x ﹣x ）[a（x +x ）+b =0，而x ≠x ，∴a（x +x ）+b =0，即x +x =﹣ ，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
] ]
∵b=﹣2a，∴x +x =2，所以⑤正确．故选D．
1 2【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决
定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次
项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴
左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线
与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个
交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2014年 四川南充）分式方程 =0的解是 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分
式方程的解．
【解析】去分母得：x+1+2=0，解得：x=﹣3经检验x=﹣3是分式方程的解．
故答案为：x=﹣3
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为
整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
12．（2014年 四川南充）分解因式：x3﹣6x2+9x= ．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解析】x3﹣6x2+9x=x（x2﹣6x+9）=x（x﹣3）2．
【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于需要进行二次
分解因式．
13．（2014年 四川南充）一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，3，x，4，5，若这组数据的中
位数为3，则这组数据的方差是 ．
【分析】先根据中位数的定义求出x的值，再求出这组数据的平均数，最后根据方差公式S2=
[（x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2 进行计算即可．
1 2 n
【解析】∵按从小到大的顺序排列为1，2]，3，x，4，5，若这组数据的中位数为3，∴x=3，
∴这组数据的平均数是（1+2+3+3+4+5）÷6=3，∴这组数据的方差是：（[ 1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2 = ．故答案
]
为： ．
【点评】本题考查了中位数和方差：一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为 ，则方差S2=
1 2 n
[（x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2 ；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列
1 2 n
后，最中间的那个数（或最中间两个]数的平均数）．
14．（2014年 四川南充）如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部
分的面积是 ．（结果保留π）
【分析】设AB于小圆切于点C，连接OC，OB，利用垂径定理即可求得BC的长，根据圆环（阴
影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2），以及勾股定理即可求解．
【解析】设AB于小圆切于点C，连接OC，OB．∵AB于小圆切于点C，
∴OC⊥AB，∴BC=AC= AB= ×8=4cm．
∵圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）
又∵直角△OBC中，OB2=OC2+BC2
∴圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）=π•BC2=16πcm2．故答案是：16π．【点评】此题考查了垂径定理，切线的性质，以及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，注
意到圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2），利用勾股定理把圆的半径之间的关
系转化为直角三角形的边的关系．
15．（2014年 四川南充）一列数a ，a ，a ，…a ，其中a =﹣1，a = ，a = ，…，a =
1 2 3 n 1 2 3 n
，则a +a +a +…+a = ．
1 2 3 2014
【分析】分别求得a 、a 、a 、…，找出数字循环的规律，进一步利用规律解决问题．
1 2 3
【解析】a =﹣1，a = = ，a = =2，a = =﹣1，…，
1 2 3 4
由此可以看出三个数字一循环，2004÷3=668，
则a +a +a +…+a =668×（﹣1+ +2）=1002．故答案为：1002．
1 2 3 2014
【点评】此题考查了找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按
照什么规律变化的，找出规律是解题的关键．
16．（2014年 四川南充）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶
点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD（包括端点），设BA′=x，则x的取
值范围是 ．
【分析】作出图形，根据矩形的对边相等可得BC=AD，CD=AB，当折痕经过点D时，根据翻折
的性质可得A′D=AD，利用勾股定理列式求出A′C，再求出BA′；当折痕经过点B时，根据翻折
的性质可得BA′=AB，此两种情况为BA′的最小值与最大值的情况，然后写出x的取值范围即
可．
【解析】如图，∵四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=17，∴BC=AD=17，CD=AB=8，①当折痕经过点D时，由翻折的性质得，A′D=AD=17，
在Rt△A′CD中，A′C= = =15，
∴BA′=BC﹣A′C=17﹣15=2；
②当折痕经过点B时，由翻折的性质得，BA′=AB=8，
∴x的取值范围是2≤x≤8．故答案为：2≤x≤8．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，难点在于判断出BA′的最小值与最大
值时的情况，作出图形更形象直观．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17．（2014年 四川南充）计算：（ ﹣1）0﹣（ ﹣2）+3tan30°+（ ）﹣1．
【分析】本题涉及零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对
每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果
【解析】原式=1﹣ +2+ +3=6．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关
键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点
的运算．
18．（2014年 四川南充）如图，AD、BC相交于O，OA=OC，∠OBD=∠ODB．求证：AB=CD．
【分析】根据等角对等边可得OB=OC，再利用“边角边”证明△ABO和△CDO全等，根据全
等三角形对应边相等证明即可．
证明：∵∠OBD=∠ODB，∴OB=OD，在△ABO和△CDO中， ，∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB=CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，准确识图确定出全等的三角形并求出OB=OD
是解题的关键．
19．（2014年 四川南充）在学习“二元一次方程组的解”时，数学张老师设计了一个数学活动．
有A、B 两组卡片，每组各3张，A组卡片上分别写有0，2，3；B组卡片上分别写有﹣5，﹣1，1．
每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同．甲从A组中随机抽取一张记为x，乙从B组中
随机抽取一张记为y．
（1）若甲抽出的数字是2，乙抽出的数是﹣1，它们恰好是ax﹣y=5的解，求a的值；
（2）求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax﹣y=5的解的概率．（请用树形图或列表法求解）
【分析】（1）将x=2，y=﹣1代入方程计算即可求出a的值；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax﹣y=5的解的
情况数，即可求出所求的概率．
【解析】（1）将x=2，y=﹣1代入方程得：2a+1=5，即a=2；
（2）列表得：
0 2 3
﹣5 （0，﹣5） （2，﹣5） （3，﹣5）
﹣1 （0，﹣1） （2，﹣1） （3，﹣1）
1 （0，1） （2，1） （3，1）
所有等可能的情况有9种，其中（x，y）恰好为方程2x﹣y=5的解的情况有（0，﹣5），（2，﹣
1），（3，1），共3种情况，
则P= = ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（2014年 四川南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣2 x+m=0，有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的最大整数值；
（2）在（1）的条下，方程的实数根是x ，x ，求代数式x 2+x 2﹣x x 的值．
1 2 1 2 1 2
【分析】（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不
等式，求出m的取值范围，进而得出m的最大整数值；（2）根据（1）可知：m=1，继而可得一元二次方程为x2﹣2 x+1=0，根据根与系数的关系，可
得x +x =2 ，x x =1，再将x 2+x 2﹣x x 变形为（x +x ）2﹣3x x ，则可求得答案．
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
【解析】∵一元二次方程x2﹣2 x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=8﹣4m＞0，
解得m＜2，故整数m的最大值为1；
（2）∵m=1，∴此一元二次方程为：x2﹣2 x+1=0，
∴x +x =2 ，x x =1，
1 2 1 2
∴x 2+x 2﹣x x =（x +x ）2﹣3x x =8﹣3=5．
1 2 1 2 1 2 1 2
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系与根的判别式．此题难度不大，解题的关键
是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0
方程没有实⇔数根．掌握根与系数的关系：x ，x 是一⇔元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时⇔，
1 2
x +x = ，x x = ．
1 2 1 2
21．（2014年 四川南充）如图，一次函数y =kx+b的图象与反比例函数y = 的图象相交于点
1 2
A（2，5）和点B，与y轴相交于点C（0，7）．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）当x取何值时，y ＜y ．
1 2
【分析】（1）将点C、点A的坐标代入一次函数解析式可得k、b的值，将点A的坐标代入反比
例函数解析式可得m的值，继而可得两函数解析式；
（2）寻找满足使一次函数图象在反比例函数图象下面的x的取值范围．【解析】（1）将点（2，5）、（0，7）代入一次函数解析式可得： ，解得： ．
∴一次函数解析式为：y=﹣x+7；
将点（2，5）代入反比例函数解析式：5= ，
∴m=10，
∴反比例函数解析式为：y= ．
（2）由题意，得： ，
解得： 或 ，
∴点D的坐标为（5，2），
当0＜x＜2或x＞5时，y ＜y ．
1 2
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是联立解析式，求出
交点坐标．
22．（2014年 四川南充）马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业救助
船A、B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上，
在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处．（参考数据：sin36.5°≈0.6，
cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75）．
（1）求可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离；
（2）若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，
试通过计算判断哪艘船先到达P处．【分析】（1）过点P作PE⊥AB于点E，在Rt△APE中解出PE即可；
（2）在Rt△BPF中，求出BP，分别计算出两艘船需要的时间，即可作出判断．
【解析】（1）过点P作PE⊥AB于点E，由题意得，∠PAE=36.5°，∠PBA=45，
设PE为x海里，则BE=PE=x海里，
∵AB=140海里，∴AE=（140﹣x）海里，
在Rt△PAE中， ，即： 解得：x=60海里，
∴可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离为60海里；
（2）在Rt△PBE中，PE=60海里，∠PBE=45°，
则BP= PE=60 ≈84.8海里，
B船需要的时间为： ≈2.83小时，
在Rt△PAE中， =sin∠PAE，∴AP=PE÷sin∠PAE=60÷0.6=100海里，
∴A船需要的时间为：100÷40=2.5，∵2.83＞2.5，∴A船先到达．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解仰角的定义，能利用三角函
数值计算有关线段，难度一般．
23．（2014年 四川南充）今年我市水果大丰收，A、B两个水果基地分别收获水果380件、320
件，现需把这些水果全部运往甲、乙两销售点，从A基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每
件40元和20元，从B基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件15元和30元，现甲销售点
需要水果400件，乙销售点需要水果300件．
（1）设从A基地运往甲销售点水果x件，总运费为w元，请用含x的代数式表示w，并写出x
的取值范围；（2）若总运费不超过18300元，且A地运往甲销售点的水果不低于200件，试确定运费最低的
运输方案，并求出最低运费．
【分析】（1）表示出从A基地运往乙销售点的水果件数，从B基地运往甲、乙两个销售点的水
果件数，然后根据运费=单价×数量列式整理即可得解，再根据运输水果的数量不小于0列出
不等式求解得到x的取值范围；
（2）根据一次函数的增减性确定出运费最低时的运输方案，然后求解即可．
【解析】（1）设从A基地运往甲销售点水果x件，则从A基地运往乙销售点的水果（380﹣x）
件，
从B基地运往甲销售点水果（400﹣x）件，运往乙基地（x﹣80）件，
由题意得，W=40x+20（380﹣x）+15（400﹣x）+30（x﹣80），
=35x+11000，
即W=35x+11000，∵ ，∴80≤x≤380，即x的取值范围是80≤x≤380；
（2）∵A地运往甲销售点的水果不低于200件，∴x≥200，∵35＞0，
∴运费W随着x的增大而增大，
∴当x=200时，运费最低，为35×200+11000=18000元，
此时，从A基地运往甲销售点水果200件，从A基地运往乙销售点的水果180件，
从B基地运往甲销售点水果200件，运往乙基地120件．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，准确表示出从
A、B两个基地运往甲、乙两个销售点的水果的件数是解题的关键．
24．（8分）（2014年 四川南充）如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点
F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG，
（1）求证：直线EP为⊙O的切线；
（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2=BF•BO．试证明BG=PG；
（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB= ．求弦CD的长．【分析】（1）连接OP，先由EP=EG，证出∠EPG=∠BGF，再由∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，推出
∠EPG+∠OPB=90°来求证，
（2）连接OG，由BG2=BF•BO，得出△BFG∽△BGO，得出∠BGO=∠BFG=90°得出结论．
（3）连接AC、BC、OG，由sinB= ，求出r，由（2）得出∠B=∠OGF，求出OF，再求出BF，FA，
利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以2得出CD长度．
（1）证明：连接OP，∵EP=EG，∴∠EPG=∠EGP，
又∵∠EPG=∠BGF，∴∠EPG=∠BGF，∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，∵CD⊥AB，∴∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，∴∠EPG+∠OPB=90°，
∴直线EP为⊙O的切线；
（2）证明：如图，连接OG，
∵BG2=BF•BO，∴ = ，∴△BFG∽△BGO，∴∠BGO=∠BFG=90°，∴BG=PG；
（3）【解析】如图，连接AC、BC、OG，
∵sinB= ，∴ = ，∵OB=r=3，∴OG= ，
由（2）得∠EPG+∠OPB=90°，
∠B+∠BGF=∠OGF+∠BGO=90°，∴∠B=∠OGF，
∴sin∠OGF= = ∴OF=1，
∴BF=BO﹣OF=3﹣1=2，FA=OF+OA=1+3=4，
在RT△BCA中，
CF2=BF•FA，∴CF= = =2 ．∴CD=2CF=4 ．
【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵活运
用直角三角形中的正弦值．
25．（2014年 四川南充）如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐
标为﹣3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴
于C，交直线AB于D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，S四边形OBDC =2S
△BPD
；
（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由x=0时带入y=x﹣1求出y的值求出B的坐标，当x=﹣3时，代入y=x﹣1求出y
的值就可以求出A的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式；
（2）连结OP，由P点的横坐标为m可以表示出P、D的坐标，可以表示出S四边形OBDC 和2S
△BPD
建立方程求出其解即可．
（3）如图2，当∠APD=90°时，设出P点的坐标，就可以表示出D的坐标，由△APD∽△FCD就
可与求出结论，如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，就有 ，可以表示出AD，再由
△PAD∽△FEA由相似三角形的性质就可以求出结论．
【解析】（1）∵y=x﹣1，∴x=0时，y=﹣1，∴B（0，﹣1）．
当x=﹣3时，y=﹣4，∴A（﹣3，﹣4）．
∵y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点，∴ ，∴ ，
∴抛物线的解析式为：y=x2+4x﹣1；
（2）∵P点横坐标是m（m＜0），∴P（m，m2+4m﹣1），D（m，m﹣1）
如图1①，作BE⊥PC于E，
∴BE=﹣m．
CD=1﹣m，OB=1，OC=﹣m，CP=1﹣4m﹣m2，
∴PD=1﹣4m﹣m2﹣1+m=﹣3m﹣m2，
∴ ，
解得：m =0（舍去），m =﹣2，m =﹣ ；
1 2 3
如图1②，作BE⊥PC于E，
∴BE=﹣m．PD=1﹣4m﹣m2+1﹣m=2﹣4m﹣m2，
∴ ，
解得：m=0（舍去）或m=﹣3，
∴m=﹣ ，﹣2或﹣3时S四边形OBDC =2S
△BPD
；
（3））如图2，当∠APD=90°时，设P（a，a2+4a﹣1），则D（a，a﹣1），
∴AP=m+4，CD=1﹣m，OC=﹣m，CP=1﹣4m﹣m2，
∴DP=1﹣4m﹣m2﹣1+m=﹣3m﹣m2．
在y=x﹣1中，当y=0时，x=1，∴（1，0），∴OF=1，
∴CF=1﹣m．AF=4 ．∵PC⊥x轴，∴∠PCF=90°，
∴∠PCF=∠APD，∴CF∥AP，∴△APD∽△FCD， ，
∴ ，
解得：m=1舍去或m=﹣2，
∴P（﹣2，﹣5）
如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，
∴∠AEF=90°．CE=﹣3﹣m，EF=4，AF=4 ，PD=1﹣m﹣（1﹣4m﹣m2）=3m+m2．
∵PC⊥x轴，∴∠DCF=90°，∴∠DCF=∠AEF，∴AE∥CD．∴ ，
∴AD= （﹣3﹣m）．∵△PAD∽△FEA，∴ ，∴ ，
∴m=﹣2或m=﹣3
∴P（﹣2，﹣5）或（﹣3，﹣4）与点A重合，舍去，
∴P（﹣2，﹣5）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，四边形的面积公式的运用，三角
形的面积公式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时函数的解析式是关键，用相似
三角形的性质求解是难点．
