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2024 年中考第三次模拟考试（湖南长沙卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 年是龙年，本次春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”，请问 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查相反数的概念：绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数， 的相反数是 ．
【详解】 且 与 符号相反
是 的相反数．
故选：B．
2．把点 向上平移3个单位后再关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先按照平移规律得到 ，再按关于原点对称得到 即可．
【详解】解：把点 向上平移3个单位后得到 ，再关于原点对称的点的坐标是 ．
故选：B．
【点睛】此题考查了点的平移和关于原点对称，熟练掌握规律是解题的关键．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法和除法、积的乘方、幂的乘等知识点，根据合并同类项同底数幂的乘法和除法、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可．
【详解】
解：A. ，故该选项错误，不符合题意；
B. ，故该选项错误，不符合题意；
C. ，故该选项错误，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意．
故选D．
4．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、
绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形是关于对称轴两边的图形折叠后重合．
【详解】解： ．该图像使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项符合题意；
．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意；
．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意；
．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意．
故选：A．
5．餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国
每年浪费的食物总量折合粮食约 万吨．将数据 万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值
与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于 时， 是正整数；当原数的绝对值小于 时，
是负整数．
【详解】解：将数据 万用科学记数法表示为 ．
故选：A．
6．下列说法正确的是（ ）
A．调查“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查的方式
B．数据 ， ， ， ， 的中位数是4
C．“清明时节雨纷纷”是必然事件
D．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为 ，则
乙的成绩比甲的稳定
【答案】A
【分析】本题考查了统计与概率的有关知识，难度不大．利用调查方式的选择、中位数的定义、事件
可能性大小判定及方差的意义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、调查“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查的方式，故此选项符合题
意；
B、数据3，5，4，1，2的中位数是3，故此选项不符合题意；
C、“清明时节雨纷纷”是随机事件，故此选项不符合题意；
D、甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差 ，则甲的成绩比
乙的稳定，故此选项不符合题意．
故选：A．
7．如图，直线 ，线段 交 ， 于D，B两点，过点A作 ，交直线 于点C，若 ，
则 （ ）A．70° B．100° C．110° D．160°
【答案】C
【分析】利用垂直定义可得 的度数, 根据三角形外角的性质求得 ，再利用平行线的性质可得
的度数即可解答．
【详解】解：∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂直定义、三角形外角的性质、平行线的性质等知识点,明确各角之间的关系
是解答本题的关键．
8．如图， 是 的直径， 与 相切于点 ， ， 的延长线交 于点 ，则 的
度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解题的关键是根据切线的性质可得 ，从而得
到 ，再由圆周角定理，即可求解．
【详解】解：∵ 与 相切于点 ，，∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
又∵在 中， 是圆心角且所对的弧是 ， 是圆周角且所对的弧也是 ，
∴ ，
即 的度数是 ．
故选：A．
9．如图，在 中， ， ， ，以点B为圆心， 长为半径画弧，与 交
于点D，再分别以点A，D为圆心，大于 长为半径画弧，两弧分别交于点E、F，作直线 分别
交 、 于点P、Q，则 的长是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意 ，根据勾股定理求得 ，推得 ，根据垂直平分线的性质可得
， ，根据正切的定义即可得到．
【详解】∵以点B为圆心， 长为半径画弧，与 交于点D，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵分别以点A，D为圆心，大于 长为半径画弧，两弧分别交于点E、F，作直线 分别交 、
于点P、Q，
即 垂直平分 ，∴ ， ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了尺规作图——垂直平分线，线段垂直平分线的性质，正切的定义，勾股定理等，
熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
10．中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算筹最晚出现在春
秋晚期战国初年．1至9这9个数字的纵式和横式的表示数码如下图所示，算筹记数的方法为：个位
用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式…，以此类推，就可以用算筹表示出任意大的自
然数了．
根据上述材料， 的运算结果可用算筹表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先计算 ，然后结合题意，根据图示表示出625即可求解．
【详解】解： ，
根据题意，6、2、5，表示如下：故选：D
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．要使代数式 有意义，则a的取值范围为 ．
【答案】 /
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
【详解】解： 代数式 有意义，
， ．故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，根据题意得出关于a的不等式是解题的关键．
12．方程 的解是 ．
【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程
的解．
【详解】解：去分母得： ，
移项合并得： ，
检验：当 时， ，
∴分式方程的解为 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
13．一个不透明的盒子中有红黄两种颜色的小球 个，它们除颜色外，其他都相同．小婷从中随机抽取一
个小球后又放回，经过反复试验，发现从中抽取的小球中红色小球和黄色小球的次数的比稳定在
左右，那么估计红色小球的个数为 ．
【答案】
【分析】本题考查利用频率估计概率，根据利用频率估计红色小球和黄色小球的次数的比稳定在
左右，列方程求解可得．解题的关键是理解：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右
摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这
个固定的近似值就是这个事件的概率．当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．也考查了分式方程的应用．
【详解】解：设红色小球的个数为 ，
根据题意，得： ，解得： ，
经检验， 是原方程的解且符合题意，
∴估计红色小球的个数为 ．
故答案为： ．
14．如图， 的半径为 是 的内接三角形，半径 于点 ．当 时， 的
长是 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查圆与三角形的综合，等腰直角三角形的性质的综合，根据题意可得 是等腰直角三
角形，半径 于 ，根据等腰三角形的“三线合一”，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 的半径为 ，
∴ ，
∵ 是 的内接三角形， ，
∴ ，∴ 是等腰直角三角形， ， ， ，
∵半径 于 ，
∴ ，
故答案为： ．
15．关于x的一元二次方程 没有实数解，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式小于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解
集即可得到m的取值范围．
【详解】解：∵一元二次方程 没有实数根，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解决本题的关键是掌握一元二次方程的判别式．
16．如图，已知一次函数 的图像经过点 ，与反比例函数 的图像在第一象限交于点
．若一次函数 的值随 值的增大而增大，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图像与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标
满足两函数的解析式．如图，过点 分别作 轴与 轴的垂线，分别交反比例函数图像于 点和 点，
先确定 点与 点坐标，由于一次函数 的值随 值的增大而增大，则一次函数图像必过第一、三象限，所以 点只能在 点与 点之间，于是可确定 的取值范围．理解反比例函数图像与一次函数的
交点确定方法及一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，过点 分别作 轴与 轴的垂线，分别交反比例函数图像于 点和 点，
把 代入 ，得： ；
把 代入 ，得 ，
∴ ，，B ，
∵一次函数 的值随 值的增大而增大，
∴ 点只能在 点与 点之间，
∴ 的取值范围是 ．
故答案为： ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9
分，第24、25每题10分，共72分）
17．计算： ．
【答案】
【分析】
本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握绝对值化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂与
零指数幂的运算法则；根据绝对值化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂与零指数幂的运算法则
解题即可．【详解】解：
．
18．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】
此题考查了分式的化简求值，根据分式四则混合运算法则化简分式，再把字母的值代入计算即可．
【详解】
当 时，
原式 ．
19．为优化社区风貌，提升“夜长沙”气质，某小区购进一款新型路灯，如图是路灯架造型示意图．已知
支撑臂AB与支撑柱 的夹角 ，支撑臂 ， ．（参考数据：
， ， ， ， ）(1)求B点与支撑柱 的距离；
(2)若 cm，支撑臂 ，求路灯C离地面的距离．
【详解】（1）解：如图，由题意可得： ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴B点与支撑柱 的距离为 ；
（2）如图，过 作 交 于 ，过 作 于 ，过 作 于 ，过 作
于 ，
则 ，四边形 ，四边形 为矩形，∴ ， ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴路灯C离地面的距离为 ．
20．某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查，根据调查结果，绘制了如下不完整
的统计图表：
时间 （分
组别 频数
钟）
A 6
B 14
C
D 8
E 4
请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：(1)频数分布统计表中的 ______；
(2)补全频数分布直方图；
(3)小明说：“我的书面作业完成时间是此次问卷调查所得数据的中位数.”那么小明书面作业完成时间
在哪个范围内？
(4)若E组有两名男生和两名女生，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，求
出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率.
【详解】（1）解：抽取的总人数 （人），
，
故答案为： ；
（2）如图；
（3）因为50个数的中位数是第25、26个数的平均数，第25、26个数在B组，
所以小明书面作业完成时间在 范围内；
（4）所画树状图如图所示，
总共有12种等可能结果，其中抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，所以抽取的
2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率 ．
21．如图，在 中， ， 是 的平分线，过点 作 于点 ，延长 交
的延长线于点 ，且 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线， ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，∴ 的长为 ．
22．为增加校园绿化面积，某校计划在林荫道边栽种甲、乙两种树苗．已知购买 棵甲种树苗和 棵乙种
树苗共花费 元，购买 棵乙种树苗比 棵甲种树苗多花费 元．
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元；
(2)若购买甲、乙两种树苗共 棵，且购买乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的 倍，则购买甲、乙
两种树苗至少要花费多少线？请写出购买方案．
【详解】（1）解：设甲种树苗每棵的价格为 元，乙种树苗每棵的价格为 元，购买甲、乙两种树苗
的费用为元，
根据题意，得： ，
解得： ，
答：甲种树苗每棵的价格为 元，乙种树苗每棵的价格为 元．
（2）设购买甲种树苗 棵，则购买乙种树苗 棵，购买甲、乙两种树苗的费用为 元，
根据题意得： ，
解得： ，
购买甲、乙两种树苗需要花费： ，
∵
∴ 随 的增大而减小，
当 时， 取得最小值，此时 （元），
则 （棵），
答：购买甲、乙两种树苗至少要花费 元钱，此时购买甲种树苗 棵，乙种树苗 棵．
23．如图 ，在矩形 中，已知 ， ，点 是线段 上的一个动点，连接 并延长，交
射线 于点 ．点 与点 关于直线 对称，延长 交 于点 ，连接 ．(1)求证： ；
(2)如图 ，若点 恰好落在对角线 上，求 的值；
(3)若 ，求线段 的长．
【详解】（1）证明：∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
由折叠可知： ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵四边形 为矩形， ， ，
∴ ， ， ，
由（1）知： ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵点 是线段 上的一个动点，
由（2）知：当点 恰好落在对角线 上时， ，
∵四边形 为矩形， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴当 时，设 的延长线交 于点 ，如图3，
∵由 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
由（1）可知： ，
设 ，则 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
24．定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“奇妙四边形”．(1)若 是圆的“奇妙四边形”，则 是_________（填序号）：
①矩形；②菱形；③正方形
(2)如图1，已知 的半径为R，四边形 是 的“奇妙四边形”．求证： ；
(3)如图2，四边形 是“奇妙四边形”，P为圆内一点， ， ，
，且 ．当 的长度最小时，求 的值．
【详解】（1）解：若平行四边形 是“奇妙四边形”，则四边形 是正方形．
理由∶
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 是矩形，
∵四边形 是“奇妙四边形”，
∴ ，
∴矩形 是正方形，
故答案为∶③；
（2）证明∶过点B作直径 ，分别连接 ， ， ， ，∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是“奇妙四边形”，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ；
（3）解：连接 交 于E，设 的长度为a， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵∴ ，
整理得 ，
∴
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴a有最小值2，
即 的长度最小值为2，
∴ ，
解得∶ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题是圆的综合题，考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，一元二次方程的解法，
熟练的建立数学模型并灵活应用是解本题的关键．
25．对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量 与函数值 满足：当 时，
（ 为实数，且 ，我们称这个函数在 上是“民主函数”．比如：函数
在 上是“民主函数”．理由： 由 ，得 ． ，
，解得 ， ， 是“民主函数”．(1)反比例函数 是 上的“民主函数”吗？请判断并说明理由：
(2)若一次函数 在 上是“民主函数”，求此函数的解析式（可用含 的代数式表示）；
(3)若抛物线 在 上是“民主函数”，且在 上的最小值为 ，
设抛物线与直线 交于 点，与 轴相交于 点．若 的内心为 ，外心为 ，试求 的
长．
【详解】（1）解：当 时，则： ，
∵ ，在第一象限内 随 的增大而减小，
∴ 时， ，
∴ ，
∴反比例函数 是 上的“民主函数”；
（2）由题意，得：当 时， ，
∵ ，
当 时， 随着 的增大而增大，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ，解得： ，
即： ；
当 时， 随着 的增大而减小，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ，解得： ，
即： ；
综上： 或 ；
（3）∵抛物线的顶点式为 ，顶点坐标为 ，， ，
，
抛物线 在 上是递增的，
当 时，取最小值，
，解得， ，
抛物线的函数表达式为 ，
抛物线与直线 相交于 、 两点，设 ， ，
假设 点在 点的左侧，即 ，
，解得， ， ，
在 中， ， ， ，
， ， ，
外心 在线段 的垂直平分线上，设 ，则 ，
，解得， ，
，在 中 ， 根 据 内 心 的 性 质 ， 设 内 心 到 各 边 距 离 为 ， 得
，
，
∵ 是等腰三角形， 轴为 的角平分线，
内心 在 轴上，
，
，
．
