文档内容
2012年四川省泸州市中考数学试卷
一、选择题（每小题2分，共24分）
1．（2分）﹣ 的相反数是（ ）
A．5 B． C．﹣ D．﹣5
2．（2分）将如图所示的直角梯形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）“保护水资源，节约用水”应成为每个公民的自觉行为．下表是某个小区随机抽查
到的10户家庭的月用水情况，则下列关于这10户家庭的月用水量说法错误的是（ ）
月用水量（吨） 4 5 6 9
户数（户） 3 4 2 1
A．中位数是5吨 B．众数是5吨
C．极差是3吨 D．平均数是5.3吨
4．（2分）计算2x3•x2的结果是（ ）
A．2x B．2x5 C．2x6 D．x5
5．（2分）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长
是（ ）
第1页（共25页）A．24 B．16 C．4 D．2
6．（2分）为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：
（1）若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；
（2）若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.80元/度计算（未超过部分仍按每
度电0.50元计算）．
现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用
图象表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2分）如图，在△ABC中，AB为 O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为（
） ⊙
A．50° B．60° C．70° D．80°
8．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥2 B．k≤2 C．k＞﹣2 D．k＜﹣2
第2页（共25页）9．（2分）已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三
角形的周长等于（ ）
A．13 B．11 C．11 或13 D．12或15
10．（2 分）如图，边长为 a 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30°得到正方形
A′B′C′D′，图中阴影部分的面积为（ ）
A． a2 B． a2 C．（1﹣ ）a2 D．（1﹣ ）a2
11．（2分）如图，在△OAB中，C是AB的中点，反比例函数y＝ （k＞0）在第一象限的图象
经过A、C两点，若△OAB面积为6，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
12．（2分）如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F，
连接AF．设 ＝k，下列结论：（1）△ABE∽△ECF，（2）AE平分∠BAF，（3）当k＝1时，
△ABE∽△ADF，其中结论正确的是（ ）
第3页（共25页）A．（1）（2）（3） B．（1）（3） C．（1）（2） D．（2）（3）
二、填空题（每小题3分，共15分）
13．（3分）分解因式：x3﹣6x2+9x＝ ．
14．（3分）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的
半径为 ．
15．（3分）设x ，x 是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则x 2+x 2+4x x 的值为
1 2 1 2 1 2
．
16．（3分）有三张正面分别标有数字3，4，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余完全相同，
现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，记下数字后将卡片背面朝上放回，又洗匀后从
中再任取一张，则两次抽得卡片上数字的差的绝对值大于1的概率是 ．
17．（3分）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M ，M ，M ，…M 分
1 2 3 n
别为边B B ，B B ，B B ，…，B B 的中点，△B C M 的面积为S ，△B C M 的面积为
1 2 2 3 3 4 n n+1 1 1 1 1 2 2 2
S ，…△B M 的面积为S ，则S ＝ ．（用含n的式子表示）
2 n n n n n
∁
三、（每小题5分，共15分）
18．（5分）计算：（﹣1）2012×（3﹣ ）0﹣ + ．
π
19．（5分）先化简，再求值： ÷（x﹣1﹣ ），其中x＝ ．
20．（5分）如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，
使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．
求证：AE∥BC．
第4页（共25页）四、（每小题6分，共12分）
21．（6分）某种子培育基地用A、B、C、D四种型号的小麦种子共2000粒进行发芽实验，将从
中选出发芽率高的种子进行推广．通过实验可知，C型号种子的发芽率为95%，根据实验
数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
（1）根据图甲求用于实验的D型号种子的粒数，并将图乙的统计图补充完整．
（2）通过计算，回答应选哪一个型号的种子进行推广．
22．（6分）某商店准备购进甲、乙两种商品．已知甲商品每件进价15元，售价20元；乙商品
每件进价35元，售价45元．
（1）若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商
品各多少件？
（2）若该商店准备用不超过3100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出
后获利不少于890元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少？（利润＝售
价﹣进价）
五、（每小题7分，共14分）
23．（7分）“五一”节期间，小明和同学一起到游乐场游玩．如图为某游乐场大型摩天轮的
示意图，其半径是20m，它匀速旋转一周需要24分钟，最底部点B离地面1m．小明乘坐的
车厢经过点B时开始计时．
（1）计时4分钟后小明离地面的高度是多少？
（2）在旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面31m以上的空中？
24．（7分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与y轴、x轴分别交于点A（0， ）、B（3，0），与反
第5页（共25页）比例函数y＝ 的图象在第一象限交于C、D两点．
（1）求该一次函数的解析式．
（2）若AC•AD＝ ，求k的值．
六、（第25题9分，第26题11分，共20分）
25．（9分）如图，△ABC内接于 O，AB是 O的直径，C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点
H，连接AD，分别交CE、BC⊙于点P、Q⊙，连接BD．
（1）求证：P是线段AQ的中点；
（2）若 O的半径为5，AQ＝ ，求弦CE的长．
⊙
26．（11分）如图，二次函数y＝﹣ x2+mx+m+ 的图象与x轴相交于点A、B（点A在点B的
左侧），与y轴相交于点C，顶点D在第一象限．过点D作x轴的垂线，垂足为H．
（1）当m＝ 时，求tan∠ADH的值；
（2）当60°≤∠ADB≤90°时，求m的变化范围；
（3）设△BCD和△ABC的面积分别为S 、S ，且满足S ＝S ，求点D到直线BC的距离．
1 2 1 2
第6页（共25页）第7页（共25页）2012年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共24分）
1．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：﹣ 的相反数是 ，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．【分析】根据直角梯形上下底不同得到旋转一周后上下底面圆的大小也不同，进而得到旋
转一周后得到的几何体的形状．
【解答】解：题中的图是一个直角梯形，上底短，下底长，绕对称轴旋转后上底形成的圆小
于下底形成的圆，因此得到的立体图形应该是一个圆台．
故选：D．
【点评】本题属于基础题，主要考查学生是否具有基本的识图能力，以及对点、线、面、体之
间关系的理解．
3．【分析】根据中位数、众数、极差和平均数的概念，对选项一一分析，即可选择正确答案．
【解答】解：A、中位数＝（5+5）÷2＝5（吨），正确，故选项错误；
B、数据5吨出现4次，次数最多，所以5吨是众数，正确，故选项错误；
C、极差为9﹣4＝5（吨），错误，故选项正确；
D、平均数＝（4×3+5×4+6×2+9×1）÷10＝5.3，正确，故选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平均数、中位数、众数和极差的概念．要掌握这些基本概念才能熟
练解题．
4．【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答．
【解答】解：2x3•x2＝2x5．
故选：B．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
5．【分析】由菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC＝6，BD＝4，即可得AC⊥BD，求得OA
与OB的长，然后利用勾股定理，求得AB的长，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝4，
第8页（共25页）∴AC⊥BD，
OA＝ AC＝3，
OB＝ BD＝2，
AB＝BC＝CD＝AD，
∴在Rt△AOB中，
AB＝ ＝ ，
∴菱形的周长是：
4AB＝4 ．
故选：C．
【点评】此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应
用．
6．【分析】根据题意求出电费与用电量的分段函数，然后根据各分段内的函数图象即可得解．
【解答】解：根据题意，当0≤x≤100时，y＝0.5x，
当x＞100时，y＝100×0.5+0.8（x﹣100），
＝50+0.8x﹣80，
＝0.8x﹣30，
所以，y与x的函数关系为y＝ ，
纵观各选项，只有C选项图形符合．
故选：C．
【点评】本题考查了分段函数以及函数图象，根据题意求出各用电量段内的函数解析式是
解题的关键．
7．【分析】由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即
可求得∠A的度数，然后由三角形的内角和定理，即可求得∠C的度数．
【解答】解：∵∠BOD＝100°，
∴∠A＝ ∠BOD＝50°，
∵∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°．
故选：C．
第9页（共25页）【点评】此题考查了圆周角定理与三角形的内角和定理．此题难度不大，注意掌握在同圆
或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此
题的关键．
8．【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式的意义可得到△≥0，即（﹣
4）2﹣4×1×2k≥0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个实数根，
∴△≥0，即（﹣4）2﹣4×1×2k≥0，
解得k≤2．
∴k的取值范围是k≤2．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0
时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方
程没有实数根．
9．【分析】首先从方程x2﹣6x+8＝0中，确定第三边的边长为2或4；其次考查2，3，6或4，3，
6能否构成三角形，从而求出三角形的周长．
【解答】解：由方程x2﹣6x+8＝0，得：
解得x ＝2或x ＝4，
1 2
当第三边是2时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去；
当第三边是4时，三角形的周长为4+3+6＝13．
故选：A．
【点评】考查了三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养
成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应弃之．
10．【分析】设B′C′与CD交于点E．由于阴影部分的面积＝S正方形ABCD ﹣S四边形AB′ED ，又S
正方形 ABCD ＝a 2，所以关键是求 S 四边形 AB′ED ．为此，连接 AE．根据 HL 易证
△AB′E≌△ADE，得出∠B′AE＝∠DAE＝30°．在直角△ADE中，由正切的定义得出
DE＝AD•tan∠DAE＝ a．再利用三角形的面积公式求出S四边形AB′ED ＝2S△ADE ．
【解答】解：设B′C′与CD交于点E，连接AE．
在△AB′E与△ADE中，∠AB′E＝∠ADE＝90°，
，
第10页（共25页）∴△AB′E≌△ADE（HL），
∴∠B′AE＝∠DAE．
∵∠BAB′＝30°，∠BAD＝90°，
∴∠B′AE＝∠DAE＝30°，
∴DE＝AD•tan∠DAE＝ a．
∴S四边形AB′ED ＝2S△ADE ＝2× ×a× a＝ a2．
∴阴影部分的面积＝S正方形ABCD ﹣S四边形AB′ED ＝（1﹣ ）a 2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形、旋转的性质，直角三角形的判定及性质，图形的面积以及
三角函数等知识，综合性较强，有一定难度．
11．【分析】分别过点A、点C作OB的垂线，垂足分别为点M、点N，根据C是AB的中点得到
CN为△AMB的中位线，然后设MN＝NB＝a，CN＝b，AM＝2b，根据OM•AM＝ON•CN，
得到OM＝a，最后根据面积＝3a•2b÷2＝3ab＝6求得ab＝2从而求得k＝a•2b＝2ab＝4．
【解答】解：分别过点A、点C作OB的垂线，垂足分别为点M、点N，如图，
∵点C为AB的中点，CN∥AM，
∴CN为△AMB的中位线，
∴MN＝NB＝a，CN＝b，AM＝2b，
又∵OM•AM＝ON•CN
∴OM＝a
∴这样面积＝3a•2b÷2＝3ab＝6，
∴ab＝2，
∴k＝a•2b＝2ab＝4，
故选：B．
第11页（共25页）【点评】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义及三角形的中位线定理，解题的关
键是正确的作出辅助线．
12．【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，可得∠B＝∠C＝90°，又由EF⊥AE，利用同角的余
角相等，即可求得∠BAE＝∠FEC，然后利用有两角对应相等的三角形相似，证得
△ABE∽△ECF；
（2）由（1），根据相似三角形的对应边成比例，可得 ，又由E是BC的中点，即可得
，继而可求得tan∠BAE＝tan∠EAF，即可证得AE平分∠BAF；
（3）当k＝1时，可得四边形ABCD是正方形，由（1）易求得CF：CD＝1：4，继而可求得
AB：CD与BE：DF的值，可得△ABE与△ADF不相似．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴△ABE∽△ECF；
故（1）正确；
（2）∵△ABE∽△ECF，
∴ ，
∵E是BC的中点，
即BE＝EC，
∴ ，
第12页（共25页）在Rt△ABE中，tan∠BAE＝ ，
在Rt△AEF中，tan∠EAF＝ ，
∴tan∠BAE＝tan∠EAF，
∴∠BAE＝∠EAF，
∴AE平分∠BAF；
故（2）正确；
（3）∵当k＝1时，即 ＝1，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∵△ABE∽△ECF，
∴ ＝2，
∴CF＝ CD，
∴DF＝ CD，
∴AB：AD＝1，BE：DF＝2：3，
∴△ABE与△ADF不相似；
故（3）错误．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的判定与性质以及三
角函数的定义．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题（每小题3分，共15分）
13．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：x3﹣6x2+9x，
＝x（x2﹣6x+9），
＝x（x﹣3）2．
故答案为：x（x﹣3）2．
第13页（共25页）【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于需要进行
二次分解因式．
14．【分析】利用底面周长＝展开图的弧长可得．
【解答】解： ，解得r＝ ．
故答案为： ．
【点评】解答本题的关键是有确定底面周长＝展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的
弧长公式和圆的周长公式求值．
15．【分析】根据根与系数的关系得出x +x ＝3，x •x ＝﹣1，把x 2+x 2+4x x 化成
1 2 1 2 1 2 1 2
+2x x 代入求出即可．
1 2
【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝﹣ ＝3，x •x ＝ ＝﹣1，
1 2 1 2
则x 2+x 2+4x x ＝ +2x x
1 2 1 2 1 2
＝32+2×（﹣1）
＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了根与系数的关系的应用，关键是把所求的代数式化成含有 x +x 和
1 2
x •x 的形式，题目比较好，难度适中．
1 2
16．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽得卡片
上数字的差的绝对值大于1的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次抽得卡片上数字的差的绝对值大于1的有2种情况，
第14页（共25页）∴两次抽得卡片上数字的差的绝对值大于1的概率是： ．
故答案为： ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不
遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以
上完成的事件；概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．【分析】由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M ，M ，M ，…M 分别
1 2 3 n
为边B B ，B B ，B B ，…，B B 的中点，即可求得△B C M 的面积，又由B ∥B C ，即
1 2 2 3 3 4 n n+1 1 1 n n n 1 1
可得△B M ∽△B C M ，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，∁求得答案．
n n n 1 1 n
【解答】解∁：∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M
1
，M
2
，M
3
，…M
n
分
别为边B B ，B B ，B B ，…，B B 的中点，
1 2 2 3 3 4 n n+1
∴S ＝ ×B C ×B M ＝ ×1× ＝ ，
1 1 1 1 1
S△B1C1M2 ＝ ×B
1
C
1
×B
1
M
2
＝ ×1× ＝ ，
S△B1C1M3 ＝ ×B
1
C
1
×B
1
M
3
＝ ×1× ＝ ，
S△B1C1M4 ＝ ×B
1
C
1
×B
1
M
4
＝ ×1× ＝ ，
S△B1C1Mn ＝ ×B
1
C
1
×B
1
M
n
＝ ×1× ＝ ，
∵B ∥B C ，
n n 1 1
∴△∁B
n n
M
n
∽△B
1
C
1
M
n
，
∁
∴S△BnCnMn ：S△B1C1Mn ＝（ ）2＝（ ）2，
即S ： ＝ ，
n
∴S ＝ ．
n
故答案为： ．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式．
第15页（共25页）此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的
关键．
三、（每小题5分，共15分）
18．【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、开立方的知识，在计算时，需要针对每个考点分别
进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝1×1﹣2+2＝1．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型，解决此类题目
的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂等考点的运算．
19．【分析】先通分计算括号里的，再计算除法，最后把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝ ×
＝ ，
当x＝ 时，原式＝ ＝ +1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是通分、约分，以及分子、分母的因式分
解．
20．【分析】根据等边三角形的性质得到∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，BC＝AC，根据全等三角
形的判定定理证明△BCD≌△ACE，根据全等三角形的性质、平行线的判定定理证明．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，BC＝AC，
同理，∠ECD＝60°，CD＝CE，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE，
∴∠EAC＝∠B＝60°，
∴∠EAB+∠B＝180°，
∴AE∥BC．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的
三个角都是60°、三条边相等、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
第16页（共25页）四、（每小题6分，共12分）
21．【分析】（1）用实验的小麦的种子总粒数乘以D型号种子所占的百分比，进行计算即可得
解，根据C型号种子所占的百分比以及发芽率列式进行计算求出C型号发芽的种子粒数，
然后补全统计图；
（2）分别求出A、B、C、D型号的种子的发芽率，选择发芽率最高的型号的种子进行推广．
【解答】解：（1）D型号种子的粒数：2000×（1﹣20%﹣20%﹣35%）＝2000×25%＝500（粒）；
C型号种子的发芽数为：2000×20%×95%＝380，
补全统计图如图所示；
（2）A、B、C、D型号种子的发芽率分别为：
A： ×100%＝90%，
B： ×100%＝92.5%，
C：95%；
D： ×100%＝94%，
∵95%最大，
∴应选C型号的种子进行推广．
【点评】本题考查的是条形统计图与扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得
到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22．【分析】（1）设购进甲、乙两种商品分别为x件与y件，根据甲种商品件数+乙种商品件数
＝100，甲商品的总进价+乙种商品的总进价＝2700，列出关于x与y的方程组，求出方程
组的解即可得到x与y的值，得到购进甲、乙两种商品的件数；
（2）设商店购进甲种商品a件，则购进乙种商品（100﹣a）件，根据甲商品的总进价+乙种
商品的总进价小于等于3100，甲商品的总利润+乙商品的总利润大于等于890列出关于a
第17页（共25页）的不等式组，求出不等式组的解集，得到a的取值范围，根据a为正整数得出a的值，再表
示总利润W，发现W与a成一次函数关系式，且为减函数，故a取最小值时，W最大，即可
求出所求的进货方案与最大利润．
【解答】解：（1）设购进甲种商品x件，购进乙商品y件，
根据题意得： ，
解得： ，
答：商店购进甲种商品40件，购进乙种商品60件；
（2）设商店购进甲种商品a件，则购进乙种商品（100﹣a）件，
根据题意列得： ，
解得：20≤a≤22，
∵总利润W＝5a+10（100﹣a）＝﹣5a+1000，W是关于a的一次函数，W随a的增大而减
小，
∴当a＝20时，W有最大值，此时W＝900，且100﹣20＝80，
答：应购进甲种商品20件，乙种商品80件，才能使总利润最大，最大利润为900元．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的性质，以及一元一次不等式组的
应用，弄清题中的等量关系及不等关系是解本题的关键．
五、（每小题7分，共14分）
23．【分析】（1）设4分钟后小明到达点C，过点C作CD⊥OB于点D，根据旋转的时间可以
求得旋转角∠COD，利用三角函数即可求得OD的长，从而求解；
（2）当旋转到E处时，作弦EF⊥AO交AO的延长线于点H，连接OE，OF，此时EF离地面
高度为HA，在直角△OEH中，利用三角函数求得∠HOE的度数，则∠EOF的度数即可求
得，则旋转的时间即可求得．
【解答】解：（1）设4分钟后小明到达点C，过点C作CD⊥OB于点D，DA即为小明离地的
高度，
∵∠COD＝ ×4＝60°，
∴OD＝ OC＝ ×20＝10，
第18页（共25页）∴DA＝20﹣10+1＝11（m）．
答：计时4分钟后小明离地面的高度是11m；
（2）∵当旋转到E处时，作弦EF⊥AO交AO的延长线于点H，连接OE，OF，此时EF离地
面高度为HA．
当HA＝31时，OH＝31﹣1﹣20＝10，
∴OH＝ OE，
∴∠HOE＝60°，
∴∠FOE＝120°．
∵每分钟旋转的角度为： ＝15°，
∴由点E旋转到F所用的时间为： ＝8（分钟）．
答：在旋转一周的过程中，小明将有8分钟的时间连续保持在离地面31m以上的空中．
【点评】本题考查了垂径定理以及三角函数，正确根据三角函数求得角的度数是关键．
24．【分析】（1）把点A（0， ）、B（3，0）代入一次函数y＝ax+b求出ab的值即可得出此函数
的解析式；
（2）分别过点C、D作CE⊥y轴于E，DF⊥y轴于F，再由AB两点的坐标判断出∠ABO的
度数，设C（x ，y ），D（x ，y ），联立一次函数与反比例函数的解析式可得出x •x ＝ k，
1 1 2 2 1 2
在Rt△ACE与Rt△ADF中可分别用x ，x 表示出AC及AD的长，再由AC•AD＝ 即可
1 2
求出k的值．
【解答】解：（1）∵一此函数y＝ax+b的图象经过点A（0， ），（3，0），
∴ ，解得 ，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣ x+ ；
第19页（共25页）（2）分别过点C、D作CE⊥y轴于E，DF⊥y轴于F，
在Rt△AOB中，
∵AO＝ ，BO＝3，
∴∠ABO＝30°，
∵直线AB与双曲线y＝ 相交于点C、D，
设C（x ，y ），D（x ，y ），
1 1 2 2
∵ ，得x2﹣3x+ k＝0，
∴x •x ＝ k，
1 2
在Rt△ACE中，
∵∠ACE＝∠ABO＝30°，CE＝x ，
1
∴AC＝ •2＝ x ，
1
同理，在Rt△ADF中，AD＝ •2＝ x ，
2
∵AC•AD＝ ，
∴ x • x ＝ ，即x •x ＝ ，
1 2 1 2
∴ k＝ ，
∴k＝ ．
第20页（共25页）【点评】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用
锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
六、（第25题9分，第26题11分，共20分）
25．【分析】（1）首先利用等角对等边证明：∠ACP＝∠CAP得到：PA＝PC，然再证明PC＝
PQ，即可得到P是AQ的中点；
（2）首先证明：△CAQ∽△CBA，依据相似三角形的对应边的比相等求得AC、BC的长度，
然后根据直角三角形的面积公式即可求得CH的长，则可以求得CE的长．
【解答】（1）证明：∵AB是 O的直径，弦CE⊥AB，
∴ ＝ ． ⊙
又∵C是 的中点，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ．
∴∠ACP＝∠CAP．
∴PA＝PC，
∵AB是直径．
∴∠ACB＝90°．
∴∠PCQ＝90°﹣∠ACP，∠CQP＝90°﹣∠CAP，
∴∠PCQ＝∠CQP．
∴PC＝PQ．
∴PA＝PQ，即P是AQ的中点；
（2）解：∵ ＝ ，
∴∠CAQ＝∠ABC．
又∵∠ACQ＝∠BCA，
∴△CAQ∽△CBA．
∴ ＝ ＝ ＝ ．
又∵AB＝10，
∴AC＝6，BC＝8．
根据直角三角形的面积公式，得：AC•BC＝AB•CH，
∴6×8＝10CH．
第21页（共25页）∴CH＝ ．
又∵CH＝HE，
∴CE＝2CH＝ ．
【点评】本题考查了圆周角定理以及相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，正确
理解定理是关键．
26．【分析】（1）先将m＝ 代入y＝﹣ x2+mx+m+ ，运用配方法改写成顶点式，求出顶点
D，与x轴的交点A与B的坐标，得到DH，AH的长度，再根据正切函数的定义即可求出
tan∠ADH的值；
（2）先将y＝﹣ x2+mx+m+ 运用配方法改写成顶点式，求出顶点D，与x轴的交点A与B
的坐标，得到DH，AH的长度，再由抛物线的对称性可知当60°≤∠ADB≤90°时，
30°≤∠ADH≤45°，然后根据30°，45°角的正切函数值及锐角三角函数的增减性即可求出
m的变化范围；
（3）设DH与BC交于点M，则点M的横坐标为m．先运用待定系数法求出直线BC的解析
式，则可用含m的代数式表示点M的坐标，再根据S△DBC ＝S△ABC 求出m的值，从而得出A
（﹣1，0），B（5，0），C（0， ），S△ABC ＝ ×6× ＝ ．设点D到直线BC的距离为d，根据
S△DBC ＝ BC•d＝ ，即可求出d的值．
【解答】解：（1）∵当m＝ 时，y＝﹣ x2+ x+2＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
第22页（共25页）∴顶点D（ ， ），与x轴的交点A（﹣1，0），B（4，0），
∴DH＝ ，AH＝ ﹣（﹣1）＝ ，
∴tan∠ADH＝ ＝ ＝ ；
（2）y＝﹣ x2+mx+m+ ＝﹣ （x﹣m）2+ ，
∴顶点D（m， ），
令y＝﹣ x2+mx+m+ ＝0，解得：x＝﹣1或2m+1
则与x轴的交点A（﹣1，0），B（2m+1，0），
∴DH＝ ，AH＝m﹣（﹣1）＝m+1，
∴tan∠ADH＝ ＝ ．
当60°≤∠ADB≤90°时，由对称性得30°≤∠ADH≤45°，
∴当∠ADH＝30°时， ＝ ，
∴m＝2 ﹣1，
当∠ADH＝45°时， ＝1，
∴m＝1，
∴1≤m≤2 ﹣1；
（3）设DH与BC交于点M，则点M的横坐标为m．
设过点B（2m+1，0），C（0，m+ ）的直线解析式为；y＝kx+b，
则 ，
第23页（共25页）解得 ，
即y＝﹣ x+m+ ．
当x＝m时，y＝﹣ m+m+ ＝ ，
∴M（m， ）．
∴DM＝ ﹣ ＝ ，AB＝（2m+1）﹣（﹣1）＝2m+2，
又，∵S△DBC ＝S△ABC ，
∴ •（2m+1）＝（2m+2）•（m+ ），
又∵抛物线的顶点D在第一象限，
∴m＞0，解得m＝2．
当m＝2时，A（﹣1，0），B（5，0），C（0， ），
∴BC＝ ＝ ，
∴S△ABC ＝ ×6× ＝ ．
设点D到直线BC的距离为d．
∵S△DBC ＝ BC•d，
∴ × •d＝ ，
∴d＝ ．
答：点D到直线BC的距离为 ．
第24页（共25页）【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求函数的解
析式，抛物线的顶点坐标公式，正切函数的定义，三角形的面积以及点到直线的距离的求
法，综合性较强，有一定难度．其中（3）正确表示S△DBC ＝ DM•OB，从而根据S△DBC ＝
S△ABC 求出m的值是解题的关键．
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