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2019年四川省自贡市中考数学试卷
一、选择题[共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1．（4分）﹣2019的倒数是（ ）
A．﹣2019 B．﹣ C． D．2019
2．（4分）近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．
现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示应为（ ）
A．2.3×104 B．23×103 C．2.3×103 D．0.23×105
3．（4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的
成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
5．（4分）如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
第1页（共24页）6．（4分）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．（4分）实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．|m|＜1 B．1﹣m＞1 C．mn＞0 D．m+1＞0
8．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1
9．（4分）一次函数y＝ax+b与反比列函数y＝ 的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c
的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系
如图所示，则该容器是下列四个中的（ ）
第2页（共24页）A． B． C． D．
11．（4分）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折
起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的
圆形桌面的面积之比最接近（ ）
A． B． C． D．
12．（4分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x
轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得
最小值时，tan∠BAD的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝120°，则∠2＝ ．
第3页（共24页）14．（4分）在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别
是1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是 分．
15．（4分）分解因式：2x2﹣2y2＝ ．
16．（4分）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足
球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，
依题意，可列方程组为 ．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线
BD交AC于点E，DE＝ ．
18．（4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠ 、∠ 如图所示，则cos
（ + ）＝ ． α β
α β
三、解答題（共8个题，共78分）
19．（8分）计算：|﹣3|﹣4sin45°+ +（ ﹣3）0
π
20．（8分）解方程： ﹣ ＝1．
21．（8分）如图， O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．
求证：（1） ＝⊙ ；（2）AE＝CE．
22．（8分）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知
识竞赛．
第4页（共24页）收集教据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：
分）：
90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97
88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82
整理分析数据：
成绩x（单位：分） 频数（人数）
60≤x＜70 1
70≤x＜80
80≤x＜90 17
90≤x＜100
（1）请将图表中空缺的部分补充完整；
（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学．根据上面统计结果估
计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；
（3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的
四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图
案的概率是 ．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y ＝
1 2
（m≠0）的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标；
（3）直接写出当y ＞y 时，x的取值范围．
1 2
第5页（共24页）24．（10分）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22017+22018
则2S＝2+22+…+22018+22019
①
﹣ 得2S﹣S＝S＝22019 ②﹣1
②∴S＝①1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）1+2+22+…+29＝ ；
（2）3+32+…+310＝ ；
（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．
25．（12分）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆
时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．
线段DB和DG的数量关系是 ；
①写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．
（②2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，
连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点
F和点G．
如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并
①给出证明；
如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接
②写出线段GM的长度．
第6页（共24页）26．（14分）如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两
点．
（1）求抛物线C函数表达式；
（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边
形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M
的坐标；
（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于
到直线y＝ 的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．
第7页（共24页）2019年四川省自贡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题[共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1．【分析】直接利用倒数的定义进而得出答案．
【解答】解：﹣2019的倒数是﹣ ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：23000＝2.3×104，
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图
象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
4．【分析】根据方差的意义求解可得．
【解答】解：∵乙的成绩方差＜甲成绩的方差，
∴乙的成绩比甲的成绩稳定，
故选：B．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均
值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
第8页（共24页）5．【分析】根据俯视图是从物体上面看，从而得到出物体的形状．
【解答】解：从上面观察可得到：
．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的概简单几何体的三视图，本题的关键是要考虑到俯视图中看
见的棱用实线表示．
6．【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的
取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．
【解答】解：设第三边为x，
根据三角形的三边关系，得：4﹣1＜x＜4+1，
即3＜x＜5，
∵x为整数，
∴x的值为4．
三角形的周长为1+4+4＝9．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．
7．【分析】利用数轴表示数的方法得到m＜0＜n，然后对各选项进行判断．
【解答】解：利用数轴得m＜0＜1＜n，
所以﹣m＞0，1﹣m＞1，mn＜0，m+1＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了实数与数轴：数轴上的点与实数一一对应；右边的数总比左边的数大．
8．【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4m＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＜0，
解得m＞1．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有
如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的
两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
9．【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为x＝
第9页（共24页）﹣ ，找出二次函数对称轴在y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y ＝ax+b图象过第一、二、四象限，
1
∴a＜0，b＞0，
∴﹣ ＞0，
∴二次函数y ＝ax2+bx+c开口向下，二次函数y ＝ax2+bx+c对称轴在y轴右侧；
3 3
∵反比例函数y ＝ 的图象在第一、三象限，
2
∴c＞0，
∴与y轴交点在x轴上方．
满足上述条件的函数图象只有选项A．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关
键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负．本题属于基础题，难度不大，
熟悉函数图象与系数的关系是解题的关键．
10．【分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解．
【解答】解：相比较而言，前一个阶段，用时较少，高度增加较快，那么下面的物体应较细．
由图可得上面圆柱的底面半径应大于下面圆柱的底面半径．
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据用的时间长短来判断相应的函
数图象．
11．【分析】连接AC，根据正方形的性质得到∠B＝90°，根据圆周角定理得到AC为圆的直径，
根据正方形面积公式、圆的面积公式计算即可．
【解答】解：连接AC，
设正方形的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴AC为圆的直径，
∴AC＝ AB＝ a，
则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为： ＝ ≈ ，
第10页（共24页）故选：C．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握圆周角定理、正方形的性质是解题的关键．
12．【分析】如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD＝ CF＝5，推出点D的运动轨迹是
以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与 K相切时，△ABE的面积最小，作
EH⊥AB于H．求出EH，AH即可解决问题． ⊙
【解答】解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD＝ CF＝5，
∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，
∴当直线AD与 K相切时，△ABE的面积最小，
∵AD是切线，点⊙D是切点，
∴AD⊥KD，
∵AK＝13，DK＝5，
∴AD＝12，
∵tan∠EAO＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴OE＝ ，
∴AE＝ ＝ ，
第11页（共24页）作EH⊥AB于H．
∵S△ABE ＝ •AB•EH＝S△AOB ﹣S△AOE ，
∴EH＝ ，
∴AH＝ ＝ ，
∴tan∠BAD＝ ＝ ＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积
等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13．【分析】直接利用平角的定义结合平行线的性质得出答案．
【解答】解：∵∠1＝120°，
∴∠3＝180°﹣120°＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝60°．
故答案为：60°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠2＝∠3是解题关键．
14．【分析】根据众数的定义求解可得．
【解答】解：这组数据的众数是90分，
故答案为：90．
【点评】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个
数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
15．【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
第12页（共24页）【解答】解：2x2﹣2y2＝2（x2﹣y2）＝2（x+y）（x﹣y）．
故答案为：2（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二
次分解，注意分解要彻底．
16．【分析】根据题意可得等量关系： 4个篮球的花费+5个足球的花费＝466元， 篮球的
单价﹣足球的单价＝4元，根据等①量关系列出方程组即可． ②
【解答】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由题意得：
，
故答案为： ，
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出
题目中的等量关系．
17．【分析】由 CD∥AB，∠D＝∠ABE，∠D＝∠CBE，所以 CD＝BC＝6，再证明
△AEB∽△CED，根据相似比求出DE的长．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝8，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CDE，
∵CD∥AB，
∴∠D＝∠ABE，
∴∠D＝∠CBE，
∴CD＝BC＝6，
∴△AEB∽△CED，
∴ ，
∴CE＝ AC＝ ×8＝3，
BE＝ ，
DE＝ BE＝ × ＝ ，
第13页（共24页）故答案为 ．
【点评】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题
的关键．
18．【分析】给图中相关点标上字母，连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可
得出∠ ＝30°，同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠ ，由∠AEC＝60°结合∠AED＝
∠AEC+α∠CED可得出∠AED＝90°，设等边三角形的边长α为a，则AE＝2a，DE＝ a，利
用勾股定理可得出AD的长，再结合余弦的定义即可求出cos（ + ）的值．
【解答】解：给图中相关点标上字母，连接DE，如图所示． α β
在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，
∴∠ ＝30°．
同理α，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠ ．
又∵∠AEC＝60°， α
∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．
设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°•a＝ a，
∴AD＝ ＝ a，
∴cos（ + ）＝ ＝ ．
α β
故答案为： ．
【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出
含一个锐角等于∠ +∠ 的直角三角形是解题的关键．
三、解答題（共8个题α，共β78分）
19．【分析】原式第一项利用绝对值的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三
项化为最简二次根式，第四项利用零指数幂法则计算即可得到结果．
第14页（共24页）【解答】解：原式＝3﹣4× +2 +1＝3﹣2 +2 +1＝4．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得
到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，方程左右两边相等，
所以x＝2是原方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21．【分析】（1）由AB＝CD知 ＝ ，即 + ＝ + ，据此可得答案；
（2）由 ＝ 知AD＝BC，结合∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE可证△ADE≌△CBE，
从而得出答案．
【解答】证明（1）∵AB＝CD，
∴ ＝ ，即 + ＝ + ，
∴ ＝ ；
（2）∵ ＝ ，
∴AD＝BC，
又∵∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE．
【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆
或等圆中， 圆心角相等， 所对的弧相等， 所对的弦相等，三项“知一推二”，一项
相等，其余①二项皆相等． ② ③
22．【分析】（1）由已知数据计数即可得；
（2）用总人数乘以样本中对应部分人数所占比例即可得；
（3）根据题意先画出树状图，得出共有12种等可能的结果数，再利用概率公式求解可得．
【解答】解：（1）补全图表如下：
第15页（共24页）（2）估计该校初一年级360人中，获得表彰的人数约为360× ＝120（人）；
（3）将印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
则共有12种等可能的结果数，其中小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的结
果数为6，
所以小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率，也考查了条形统计图与样本估计
总体．
23．【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据一次函数y ＝x+2，求得与y轴的交点P，此交点即为所求；
1
（3）根据AB两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求x的取值范围．
【解答】解：（1）把A（3，5）代入y ＝ （m≠0），可得m＝3×5＝15，
2
∴反比例函数的解析式为y ＝ ；
2
把点B（a，﹣3）代入y ＝ ，可得a＝﹣5，
2
第16页（共24页）∴B（﹣5，﹣3）．
把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y ＝kx+b，可得 ，
1
解得 ，
∴一次函数的解析式为y ＝x+2；
1
（2）一次函数的解析式为y ＝x+2，令x＝0，则y＝2，
1
∴一次函数与y轴的交点为P（0，2），
此时，PB﹣PC＝BC最大，P即为所求，
令y＝0，则x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∴BC＝ ＝3 ．
（3）当y ＞y 时，﹣5＜x＜0或x＞3．
1 2
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次
函数的解析式，根据点的坐标求线段长，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．
24．【分析】（1）利用题中的方法设S＝1+2+22+…+29，两边乘以2得到2S＝2+22+…+210，然
后把两式相减计算出S即可；
（2）利用题中的方法设S＝3+32+33+34+…+310 ，两边乘以3得到3S＝3+32+33+34+35+…
+311 ，然后把两式相减计算出S即可；
（3）利用（2）的方法计算．
【解答】解：（1）设S＝1+2+22+…+29
则2S＝2+22+…+210
①
﹣ 得2S﹣S＝S②＝210﹣1
②∴S＝①1+2+22+…+29＝210﹣1；
第17页（共24页）故答案为：210﹣1
（2）设S＝3+32+33+34+…+310 ，
则3S＝32+33+34+35+…+311 ①，
﹣ 得2S＝311﹣3， ②
② ①
所以S＝ ，
即3+32+33+34+…+310＝ ；
故答案为： ；
（3）设S＝1+a+a2+a3+a4+..+an ，
则aS＝a+a2+a3+a4+..+an+an+1 ①，
﹣ 得：（a﹣1）S＝an+1 ②﹣1，
②a＝1①时，不能直接除以a﹣1，此时原式等于n+1；
a不等于1时，a﹣1才能做分母，所以S＝ ，
即1+a+a2+a3+a4+..+an＝ ，
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方
法是解决这类问题的方法．
25．【分析】（1） 根据旋转的性质解答即可；
根据正方形的①性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
②（2） 根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
作辅①助线，计算BD和BF的长，根据平行线分线段成比例定理可得BM的长，根据线段
②的差可得结论．
【解答】解：（1） DB＝DG，理由是：
∵∠DBE绕点B逆时①针旋转90°，如图1，
第18页（共24页）由旋转可知，∠BDE＝∠FDG，∠BDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBD＝45°，
∴∠G＝45°，
∴∠G＝∠CBD＝45°，
∴DB＝DG；
故答案为：DB＝DG；
BF+BE＝ BD，理由如下：
②由 知：∠FDG＝∠EDB，∠G＝∠DBE＝45°，BD＝DG，
∴①△FDG≌△EDB（ASA），
∴BE＝FG，
∴BF+FG＝BF+BE＝BC+CG，
Rt△DCG中，∵∠G＝∠CDG＝45°，
∴CD＝CG＝CB，
∵DG＝BD＝ BC，
即BF+BE＝2BC＝ BD；
（2） 如图2，BF+BE＝ BD，
①
理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB＝ ∠ADC＝ ×60°＝30°，
由旋转120°得∠EDF＝∠BDG＝120°，∠EDB＝∠FDG，
在△DBG中，∠G＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠DBG＝∠G＝30°，
∴DB＝DG，
∴△EDB≌△FDG（ASA），
∴BE＝FG，
第19页（共24页）∴BF+BE＝BF+FG＝BG，
过点D作DM⊥BG于点M，如图2，
∵BD＝DG，
∴BG＝2BM，
在Rt△BMD中，∠DBM＝30°，
∴BD＝2DM．
设DM＝a，则BD＝2a，
BM＝ a，
∴BG＝2 a，
∴ ＝ ，
∴BG＝ BD，
∴BF+BE＝BG＝ BD；
过点A作AN⊥BD于N，过D作DP⊥BG于P，如图3，
②
Rt△ABN中，∠ABN＝30°，AB＝2，
∴AN＝1，BN＝ ，
∴BD＝2BN＝2 ，
∵DC∥BE，
第20页（共24页）∴ ＝ ，
∵CM+BM＝2，
∴BM＝ ，
Rt△BDP中，∠DBP＝30°，BD＝2 ，
∴BP＝3，
由旋转得：BD＝BF，
∴BF＝2BP＝6，
∴GM＝BG﹣BM＝6+1﹣ ＝ ．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比
例定理，正方形和菱形的性质，直角三角形 30 度的角性质等知识，本题证明
△FDG≌△BDE是解本题的关键．
26．【分析】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求得二次函数的解析
式；
（2）过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，﹣
a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出△AMB面积的最大值，
可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；
（3）如图2，分别过点B，C作直线y＝ 的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点
F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝ 的距离，其中F（1，a），连接
BF，CF，则可根据BF＝BN，CF＝CN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）由题意把点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝ax2+2x+c，
得， ，
解得a＝﹣1，c＝3，
∴此抛物线C函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，
将点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝kx+b中，
第21页（共24页）得， ，
解得，k＝1，b＝1，
∴y ＝x+1，
AB
设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），
则MK＝﹣a2+2a+3﹣（a+1）
＝﹣（a﹣ ）2+ ，
根据二次函数的性质可知，当a＝ 时，MK有最大长度 ，
∴S△AMB最大 ＝S△AMK +S△BMK
＝ MK•AH+ MK•（x ﹣x ）
B H
＝ MK•（x ﹣x ）
B A
＝ × ×3
＝ ，
∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，
S最大 ＝2S△AMB最大 ＝2× ＝ ，M（ ， ）；
（3）存在点F，
∵y＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为直线x＝1，
当y＝0时，x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），
如图2，分别过点B，C作直线y＝ 的垂线，垂足为N，H，
若抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝
的距离，设F（1，a），连接BF，CF，
第22页（共24页）则BF＝BN＝ ﹣3＝ ，CF＝CH＝ ，
由题意可列： ，
解得，a＝ ，
∴F（1， ），
设抛物线上任一点P坐标为（x，﹣x2+2x+3），
则PF2＝（x﹣1）2+（﹣x2+2x+3﹣ ）2＝x4﹣4x3+ x2﹣5x+ ，
设点P到直线y＝ 的距离为d，
则d2＝（﹣x2+2x+3﹣ ）2＝x4﹣4x3+ x2﹣5x+ ，
∴PF2＝d2，
即PF＝d，
∴在抛物线C的对称轴上存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直
线y＝ 的距离，
点F的坐标为（1， ）．
第23页（共24页）【点评】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能
够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，△ABM的面积最大，且此时线段MK的长
度也最大．
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