文档内容
2020-2021 学年八年级数学下册期末突破易错挑战满分（北师大版）
易错15 平行四边形中的动点问题
【典型例题】
1．（2020·浙江八年级期末）如图，在四边形 中，
．动点P从点B出发，沿射线 的方向以每
秒 的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段 上以每秒 的速度向点D运动，点
P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当 时，若四边形 是平行四边形，求出满足要求的t的值；
（2）当 时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为 ，求相应的t的值；
（3）当 时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为 ，求相应的t的值．
【答案】（1）t=5；（2）t=9；（3）t=15
【分析】
（1）由平行四边形的性质得出DQ=CP，当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，由题意得出方程，
解方程即可；
（2）当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，由梯形面积公式得出方程，解方程即可；
（3）当10.5≤t＜16时，点P到达C点返回，由梯形面积公式得出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形，
∴DQ=CP，
当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，如图1所示：∵DQ=AD-AQ=16-t，
CP=21-2t
∴16-t=21-2t
解得：t=5；
即当t=5秒时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，如图1所示：
CP=21-2t，DQ=16-t，
若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，
则 （DQ+CP）×AB=60，
即 （16-t+21-2t）×12=60，
解得：t=9；
即当0＜t＜10.5时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，t的值为9秒；
（3）当10.5≤t＜16时，如图2所示，点P到达C点返回，CP=2t-21，DQ=16-t，
则同（2）得： （DQ+CP）×AB=60，
即 （16-t+2t-21）×12=60，
解得：t=15．
即当10.5≤t＜16时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，t的值为15秒．【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定与性质、梯形的面积等知识，熟练掌
握直角梯形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【专题训练】
一、选择题
1．（2021·全国九年级专题练习）如图，在四边形 中， ，且 ， ．动
点P，Q分别从A，C同时出发，P以 的速度由A向D运动．Q以 的速度由C向B运动，
______s时四边形 为平行四边形．
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】C
【分析】
由运动时间为x秒，则AP=x，QC=2x，而四边形ABQP是平行四边形，所以AP=BQ，则得方程x=6-2x求解．
【详解】
解：∵运动时间为x秒，
∴AP=x，QC=2x，
∵四边形ABQP是平行四边形，∴AP=BQ，
∴x=6-2x，
∴x=2．
答：2秒后四边形ABQP是平行四边形．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质．此题根据路程=速度×时间，得出AP、QC的长，然后根据已知条件
列方程求解．
2．（2021·新乡市·河南师大附中九年级其他模拟）如图，直线m经过点B且平行于AC，点P为直线m上
的一动点，连接PC，PA，随着点P在直线m上移动，则下列说法中一定正确的是（ ）
A． 与 全等 B． 与 的周长相等
C． 与 的面积相等 D．四边形ACBP是平行四边形
【答案】C
【分析】
由全等三角形和平行四边形的判定，以及同底等高三角形的面积相等，可以得出正确的选项．
【详解】
解：选项A，因为点A，B，C是定点，而点P是直线m上的动点，所以 与 不一定全等，故
A错误；
选项B， 的周长是定值，而 的周长随着点P位置的变化而变化，所以B错误；
选项C，由于 与 都可以看作是以AC为底边的三角形，且直线m平行于AC，可由平行线间
的距离处处相等知道 与 属于同底等高的三角形，故二者面积相等，所以选项C正确；
选项D，由于P是动点，点A，B，C，是定点，所以BP不总是等于AC，而平行四边形的对边应该相等，
所以选项D错误．故选：C．
【点睛】
本题是考查全等三角形和平行四边形的判定，以及同底等高三角形的面积相等的，属于中等难度的题目．
3．（2020·浙江温州市·实验中学八年级期中）已知
▱
ABCD，点E是边BC上的动点，以AE为边构造
AEFG，使点D在边FG上，当点E由B往C运动的过程中， AEFG面积变化情况是（ ）
▱ ▱
A．一直增大 B．保持不变
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】B
【分析】
延长BE，与GF的延长线交于点P，先证明四边形ADPE是平行四边形，再证明△AGD≌△EFP，得出平行
四边形AGFE的面积等于平行四边形ADPE的面积，又AD∥BP，根据两平行线之间的距离处处相等得出平
行四边形ABCD的面积等于平行四边形ADPE的面积，进而得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形
AEFG面积．所以根据图示进行判断即可．
【详解】
解：设△ABE，△ECH，△HFD，△DGA的面积分别为S、S、S、S，
1 2 3 4
延长BE，与GF的延长线交于点P．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BP，∠ADG＝∠P．
∵四边形AEFG是平行四边形，
∴AG∥EF，AE∥DP，AG＝EF，
∴∠G＝∠EFP．
∵AD∥BP，AE∥DP，
∴四边形ADPE是平行四边形．
在△AGD与△EFP中，，∴△AGD≌△EFP（AAS），
∴S＝S ，
4 △EFP
∴S+S ＝S +S ，
4 四边形AEFD △EFP 四边形AEFD
即S ＝S ，
▱AEFG ▱ADPE
又∵ ADPE与 ADCB的一条边AD重合，且AD边上的高相等，
▱ ▱
∴S ＝S ，
▱ABCD ▱ADPE
∴平行四边形ABCD的面积＝平行四边形AEFG的面积．
故 AEFG面积不变，
▱
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形面积变化情况，解题的关键是根据两平行线之间的距离处处相等得出平行四边形
ABCD的面积等于平行四边形ADPE的面积，进而得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形AEFG面
积．
4．（2019·山东济宁市·八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，
AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD
向点F运动：点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点
Q也时停止运动，当点P运动（ ）秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
A．2 B．3 C．3或5 D．4或5
【答案】C
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，由平行线的性质可得BF=DF=12cm，可得AD=AF+DF=18cm=BC，由平行四边形的性质可得PF=EQ，列出方程可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD＝BC
∴∠ADB＝∠MBC，且∠FBM＝∠MBC
∠ADB＝∠FBM
∴BF＝DF＝12cm
∴AD＝AF+DF＝18cm＝BC，
∵点E是BC的中点
∴EC＝ BC＝9cm，
∵以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形
∴PF＝EQ
∴6﹣t＝9﹣2t，或6﹣t＝2t﹣9
∴t＝3或5
故选C．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定，利用方程思想解决问题是解本题的关键．
5．（2019·四川绵阳市·中考模拟）如图，
▱
ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，E、F为线段BD上两动
点（不与端点重合）且EF＝ BD连接AE，CF，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（ ）
A．等于定值5﹣ B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
【答案】D【解析】
【分析】
由平行四边形的性质得出OB＝OD，OA＝OC，得出OB＝EF＝OD，BE＝OF，OE＝DF，由勾股定理求出
AC＝ ＝4，OB＝ ＝ ，当BE＝OE时，AE+CF的值最小，E为OB的中点，
由直角三角形的性质得出AE＝ OB，同理：CF＝ OD，即可得出结果
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵EF＝ BD，
∴OB＝EF＝OD，
∴BE＝OF，OE＝DF，
∵AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，
∴AC＝ ＝4，
∴OA＝2，
∴OB＝ ＝ ，
当BE＝OE时，AE+CF的值最小，E为OB的中点，
∴AE＝ OB，
同理：CF＝ OD，
∴AE+CF＝OB＝ ，
即AE+CF的最小值为 ；
故选：D．【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和勾股
定理是解题的关键．
6．（2020·河北沧州市·九年级其他模拟）如图，在四边形 中， ， ， ，
是 的中点．点 以每秒1个单位长度的速度从点 出发，沿 向点 运动；点 同时以每秒3个单
位长度的速度从点 出发，沿 向点 运动．点 停止运动时，点 也随之停止运动．若以点
为顶点的四边形是平行四边形，则点 运动的时间为（ ）
A．1 B． C．2或 D．1或
【答案】D
【分析】
要使得以P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形，已知 ，即要使PD=EQ即可，设点P的运
动时间为t (0≤t≤6) 秒，分别表示出PD，EQ的长度，根据PD=EQ列方程求解即可．
【详解】
设点P的运动时间为t (0≤t≤6) 秒，则AP=t，CQ=3t，
由E是BC的中点可得：BE=EC=8，
要使得以P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形，已知 ，即要使PD=EQ即可．（1）如图：点Q位于点E右侧时，
PD=6－t，CQ=3t，EQ=8－3t，
6－t =8－3t，
t=1（秒）；
（2）如图：点Q位于点E左侧时，
PD=6－t，CQ=3t，EQ=3t－8，
6－t =3t－8，
t= （秒）．
综上所述：P的运动时间为1或 秒．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定方法以及一元一次方程的应用，熟记平行四边形的判定方法，根据对应边
相等列方程是解题关键．
7．（2017·江苏苏州市·）如图①，在
▱
ABCD中，∠B=120°，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至
点A停止．设点P运动的路程为xcm，△PAB的面积为ycm2，y关于x的函数的图象如图②所示，则图②中
H点的横坐标为（ ）A．11 B．14 C．8+ D．8+
【答案】B
【解析】
试题分析：作CM⊥AB于M，如图所示：
当点P在CD上运动时，△PAB的面积不变，
由图②得：BC＝4cm，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBM＝60°，
∴CM＝4× ＝ ，
∵△ABC的面积＝ AB•CM＝ AB× ＝ ，
∴AB＝6cm，
∴OH＝4＋6＋4＝14，
∴点H的横坐标为14．
故选B．
点睛：本题考查了平行四边形的性质、动点问题的函数图象．解决本题的关键是利用函数图象和三角形面
积确定AB的长．8．（2020·山东济南市·八年级期末）如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形
AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，
则∠C的度数等于（ ）
A．100° B．105° C．115° D．120°
【答案】B
【解析】
分析：根据旋转的性质得出AB=AB′，∠BAB′=30°，进而得出∠B的度数，再利用平行四边形的性质得出
∠C的度数即可．
详解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′
与点C是对应点，点D′与点D是对应点），∴AB=AB′，∠BAB′=30°，∴∠B=∠AB′B=（180°﹣30°）
÷2=75°，∴∠C=180°﹣75°=105°．
故选B．
点睛：本题主要考查了旋转的性质以及平行四边形的性质，根据已知得出∠B=∠AB′B=75°是解题的关键．
二、填空题
9．（2019·山西运城市·八年级期末）如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6 cm,动点P,Q分别从
A,C同时出发,P以1 cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C向B运动(Q运动到B时两点同时停
止运动),则________后四边形ABQP为平行四边形.
【答案】2s
【解析】
【分析】
设运动时间为t秒，则AP=t，QC=2t，根据四边形ABQP是平行四边形，得AP=BQ，则得方程t=6-2t即可
求解．【详解】
如图，设t秒后，四边形APQB为平行四边形，
则AP=t，QC=2t，BQ=6-2t，
∵AD∥BC，
∴AP∥BQ，
当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∴t=6-2t，
∴t=2，
当t=2时，AP=BQ=2＜BC＜AD，符合．
综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形．
故答案为2s．
【点睛】
此题主要考查的是平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是关键．
10．（2019·武汉二中广雅中学八年级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝18cm，
BC＝30cm．点E从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动：点F从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B
运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t秒，M为BC上一点
且CM＝13cm，t＝_____s秒时，以D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】 或13
【分析】
由题意得出DE＝t，CF＝2t，当点F在点M的右边；当点F在点M的左边；以D、M、E、F为顶点的四
边形是平行四边形时，DE＝MF，分别得出方程，解方程即可．
【详解】
解：由题意得：DE＝t，CF＝2t，
∵AD∥BC，
当点F在点M的右边MF＝13﹣2t，以D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，DE＝MF，即t＝13﹣2t，
解得：t＝ ；
当点F在点M的左边MF＝2t﹣13，以D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，DE＝MF，
即t＝2t﹣13，
解得：t＝13；
综上所述，t＝ s或13s时，以D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为： 或13
【点睛】
本题考查的是四边形的动点问题，主要涉及的知识是平行四边形的判定，运用了方程思想来求解．
11．（2020·广东九年级专题练习）如图，四边形 中， ， ， ，
是 上一点，且 ，点 从点 出发以 的速度向点 运动，点 从点 出发，以
的速度向点 运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为 ，则当以 、 、
、 为顶点的四边形是平行四边形时， __________．
【答案】 或 .
【分析】
分两种情形列出方程即可解决问题
【详解】
①当点 在线段 上， 时，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，
则有 ，解得 ，②当 在线段 上， 时，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，
则有 ，解得 ，
综上所述， 或 时，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为： 或
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想
思考问题．
12．（2020·辽宁营口市·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P在AD边上
以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运
动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组
成平行四边形的次数有______次．
【答案】3
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=12,AD∥BC，
∵四边形PDQB是平行四边形，
∴PD=BQ，
∵P的速度是1cm/秒，
∴两点运动的时间为12÷1=12s，
∴Q运动的路程为12×4=48cm，
∴在BC上运动的次数为48÷12=4次．
第一次PD=QB时，12−t=12−4t，解得t=0，不合题意，舍去；
第二次PD=QB时，Q从B到C的过程中，12−t=4t−12，解得t=4.8；
第三次PD=QB时，Q运动一个来回后从C到B，12−t=36−4t，解得t=8；第四次PD=QB时，Q在BC上运动3次后从B到C，12−t=4t−36，解得t=9.6.
∴在运动以后，以P、D. Q、B四点组成平行四边形的次数有3次，
故答案为3.
点睛：本题考查了平行四边形的判定．注意能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意掌握分类讨
论思想的应用．
13．（2020·浙江杭州市·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=4，BC=12，点E是BC的
中点．点P、Q分别是边AD、BC上的两点，其中点P以每秒1个单位长度的速度从点A运动到点D后再
返回点A，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发向点B运动．当其中一点到达终点时停止运动．
当运动时间t为_____秒时，以点A、P，Q，E为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】2或 .
【分析】
分别从当Q运动到E和B之间与当Q运动到E和C之间去分析, 根据平行四边形的性质, 可得方程, 继而
可求得答案.
【详解】
解： E是BC的中点,
BE=CE= BC= 12=6,
①当Q运动到E和C之间, 设运动时间为t, 则AP=t, DP=AD-AP=4-t, CQ=2t,EQ=CE-CQ=6-2t
t=6-2t,
解得: t=2;
②当Q运动到E和B之间,设运动时间为t,则AP=t, DP=AD-AP=4-t, CQ=2t,
EQ=CQ-CE=2t-6 ,
t=2t-6,
解得: t=6（舍），③P点当D后再返回点A时候，Q运动到E和B之间,设运动时间为t，
则AP=4-（t-4）=8-t, EQ=2t-6，
8-t=2t-6， ,
当运动时间t为2、 秒时,以点P,Q,E，A为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为: 2或 .
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质及解一元一次方程.
14．（2021·全国八年级课时练习）如图，在 中， ， ， ，点 是
边上一动点，以 为对角线的所有平行四边形 中，对角线 最小的值是_____．
【答案】
【分析】
由平行四边形的对角线互相平分可知， ， ，根据垂线段最短可知，当 取最小值时，
最短，此时 ，由三角形中位线定理即可求出答案．
【详解】
在 中， ，
，
四边形 是平行四边形，
， ，当 取最小值时， 最短，此时 ，
是 的中位线，
，
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理以及垂线段最短，熟练掌握平行四边形的性质是解题的
关键．
15．（2020·成都市·四川电子科大实验中学九年级期中）如图，四边形 是平行四边形， ，
， ，点 、 是 边上的动点，且 ，则四边形 周长的最小值为
______．
【答案】
【分析】
根据题意，将点 沿 向右平移2个单位长度得到点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ，交
于点 ，在 上截取 ，连接 ， ，此时四边形 的周长为 ，则
当点 、 、 三点共线时，四边形 的周长最小，进而计算即可得解．
【详解】
如下图，将点 沿 向右平移2个单位长度得到点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ，交
于点 ，在 上截取 ，连接 ， ，
∴ ， ，
此时四边形 的周长为 ，当点 、 、 三点共线时，四边形 的周长最小，
， ， ，
经过点 ，
，
，
，
，
，
，
四边形 周长的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了四边形周长的最小值问题，涉及到含 的直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握相
关轴对称作图方法以及线段长的求解方法是解决本题的关键．
16．（2019·四川省成都市七中育才学校八年级期中）如图，在 中， ， ，
为 边上一动点，以A 、 为边作平行四边形 ，则对角线 的最小值为__________．【答案】
【分析】
以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，
所以应该过O作A B的垂线PO，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值．
【详解】
解：∵四边形APCQ是平行四边形，
∴AO=CO，OP=OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过点O作OP´⊥AB于P´，
∵∠BAC=45°
∴∠AP´O是等腰直角三角形，
∵AO= AC=4，
∴OP´=
∴PQ的最小值= 2OP´=
故答案为：
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和垂线段最短．找到最短线段是解决本题的关键．
17．（2020·河南南阳市·八年级期中）如图，在
▱
ABCD中，AB＝3 ，BC＝10，∠A＝45°，点E是边
AD上一动点，将△AEB沿直线BE折叠，得到△FEB，设BF与AD交于点M，当BF与 ABCD的一边垂
▱
直时，DM的长为_____．
【答案】4或7
【分析】
如图1，当BF⊥AD时，如图2，当BF⊥AB时，根据折叠的性质和等腰直角三角形的判定和性质即可得到
结论．
【详解】
解：如图1，当BF⊥AD时，
∴∠AMB＝90°，
∵将△AEB沿BE翻折，得到△FEB，
∴∠A＝∠F＝45°，
∴∠ABM＝45°，
∵AB＝3 ，
∴AM＝BM＝3 ＝3，∵平行四边形ABCD，BC＝AD＝10，
∴DM＝AD﹣AM＝10﹣3＝7；
如图2，当BF⊥AB时，
∵将△AEB沿BE翻折，得到△FEB，
∴∠A＝∠EFB＝45°，
∴∠ABF＝90°，
此时F与点M重合，
∵AB＝BF＝3 ，
∴AF＝3 ＝6，
∴DM＝10﹣6＝4．
综合以上可得DM的长为4或7．
故答案为：4或7．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质及折叠的特点．
三、解答题
18．（2020·淮阳第一高级中学初中部八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为6cm，点E在AB边上，
且 ，动点M从点C开始，以 的速度沿折线C－B－E移动，动点N同时由点D开始，以
的速度沿边DC移动，几秒钟时四边形EMND是平行四边形？【答案】 秒
【分析】
根据平行四边形的性质可知当EM平行且等于DN时，四边形EMDN为平行四边形，所以可设经过t
（t≥3）秒后，EM等于DN，据此列出方程求解即可．
【详解】
解：设t（t≥3）秒时四边形EMND为平行四边形．
由题意知，此时点M运动到BE上，则 ， ， ，
由 可得， ，
解得， ．
所以 秒时四边形EMND为平行四边形．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对边相等列出方程是解决此题的关键．
19．（2020·内蒙古通辽市·九年级月考）在四边形 中，
；点 从点 出发，以 的速度向点
运动；点 从点 同时出发，以 的速度向点 运动． 规定其中一个动点到达端点时另一个动点也
停止运动．从运动开始． 何时图中会出现平行四边形？点 最近距离为多少 ？【答案】 或 ； ．
【分析】
设经过t s时，AP=BQ，结合题意此时四边形ABQP为平行四边形．根据平行四边形的性质列方程即可得
到结论，当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，利用平行四边形的性质列方程求解，P，Q两点之间
最短时， 从而可得答案．
【详解】
解：当四边形 为平行四边形时，
当四边形 为平行四边形时，综上：当 或 的时候出现平行四边形．
两点最短时，
此时四边形 为矩形，所以 之间的最短距离为 ．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
20．（2016·江苏扬州市·八年级月考）如图所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A＝90°，AB＝12，BC
＝21，AD=16．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A
出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之
停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△DPQ的面积为S，用含有t的代数式表示S．
（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？
【答案】S=96－6t；t=5.
【解析】
试题分析：（1）首先将QD的长度用含t的代数式来表示，然后得出三角形的面积与t之间的关系；（2）
根据平行四边形的判定定理得出OD=PC，列出关于t的一元一次方程，求出t的值．
试题解析：（1）根据题意得：AQ=t，则QD="16-t"
1
∴S= （16－t）×12=96－6t
2
（2）∵AD∥BC∴当QD=PC时，四边形PCDQ是平行四边形
∵BP=2t
∴PC=21-2t
∴16-t=21-2t
∴t="5"
答：当t为5秒时，四边形PCDQ是平行四边形
考点：（1）平行四边形的性质；（2）一次函数；（3）动点问题．
21．（2019·广东实验中学附属天河学校八年级月考）如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，
沿B→A→C→B的方向以3的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以2的速度运动．
（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？
（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点
A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置．
【答案】（1） 秒；（2）运动了 秒 或 秒时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，此时点D在
BC上，且BD= 或 ．
【分析】
（1）设经过t秒钟两点第一次相遇，然后根据点M运动的路程+点N运动的路程=AB+CA列方程求解即可；
（2）首先根据题意画出图形：如图②，当0≤t≤ 时，DM+DN=AN+CN=8；当 ＜t≤4时，此时A、M、N
三点在同一直线上，不能构成平行四边形；4＜t≤ 时，MB+NC=AN+CN=8；当 ＜t≤8时，△BNM为等边三角形，由BN=BM可求得t的值．
【详解】
解：（1）设经过t秒钟两点第一次相遇，由题意得：
3t+2t=16，
解得：t= ，
所以，经过 秒钟两点第一次相遇；
（2）①当0≤t≤ 时，点M、N、D的位置如图2所示：
∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DM=AN，DM//AN．DN//AB
∴∠MDB=∠C=60°，∠NDC=∠B=60°
∴∠NDC=∠C．
∴ND=NC
∴DM+DN=AN+NC=AC+BN=8，即：3t+2t=8，t= ，
此时点D在BC上，且BD= （或CD= ），②当 ＜t≤4时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；
③4＜t≤ 时，点M、N、D的位置如图所1示：
∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DN=AM，AM∥DN．
∴∠NDB=∠ACB=60°
∵△ABC为等腰三角形，
∴∠B=60°．
∴∠MDB=∠B．
∴MD=MB．
∴MB+NC=AN+CN=8，3t-8+2t-8=8，解得：t= ，
此时点D在BC上，且BD= （或CD= ），
④当 ＜t≤8时，点M、N、D的位置如图3所示：则BN=16-2t，BM=24-3t，
由题意可知：△BNM为等边三角形，
∴BN=BM，即：2t-8=3t-16，解得t=8，此时M、N重合，不能构成平行四边形．
答：运动了 秒或 秒时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，此时点D在BC上，且BD= 或 ．
【点睛】
本题主要考查的是平行四边形的性质和等边三角形的性质，利用平行四边形的性质和等边三角形的性质求
得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键．
22．（2021·安徽九年级一模）如图，在□ ABCD中，点P在对角线AC上一动点，过点P作PM//DC，且
PM=DC，连接BM，CM，AP，BD．
（1）求证： △ADP≌△BCM；
（2）若PA= PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得到AD=BC，∠ADC+∠BCD= ，由PM//DC，且PM=DC，证
得四边形PMCD是平行四边形，得到PD=CM，∠PDC+∠DCM= ，推出∠ADP=∠BCM，即可证得结论；（2）作BH⊥AC于H，DG⊥AC于G，根据四边形ABCD是平行四边形，得到△ABC≌△CDA，BH=DG，求
得 ， ，利用△ADP≌△BCM，得到 ，即可求出答案．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠ADC+∠BCD= ，
∵PM//DC，且PM=DC，
∴四边形PMCD是平行四边形，
∴PD=CM，∠PDC+∠DCM= ，
∴∠ADP=∠BCM，
∴△ADP≌△BCM；
（2）解：作BH⊥AC于H，DG⊥AC于G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△ABC≌△CDA，
∴BH=DG，
∴ ，即 ，
，即 ，
∵△ADP≌△BCM，
∴ ，
∴ = ．【点睛】
此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，同底等高或同高的三角形的面积关系，证明
△ADP≌△BCM并利用其全等的性质解决问题是解题的关键．
23．（2020·吉林长春市·八年级期末）如图①，在 中，AB=3，AD=6．动点P沿AD边以每秒
个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为 秒．
（1）线段PD的长为_________（用含t的代数式表示）．
（2）当CP平分∠BCD时，求t的值．
（3）如图②，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在CB上往返运动．P、Q两点同时出
发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动。当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，直接
写出t的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）4.8秒或7.2秒或9.6秒．
【分析】
（1）直接根据PD=AD-AP求解即可；
（2）由平行线的性质和角平分线的定义证明∠DPC=∠DCP，得到DP=DC=3，然后列方程求解即可；
（3）分4中情况列一元一次方程求解即可．
【详解】解：（1）PD=AD-AP= ．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD=AB=3，
∴∠DPC=∠BCP．
∵CP平分∠BCD，
∴∠BCP=∠DCP，
∴∠DPC=∠DCP，
∴DP=DC=3，
∴ ，
∴ ；
（3）当0
