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专题 5.4 三角函数的图象与性质
【新高考专用】
题型一 三角函数的定义域、值域问题
1．（2024·河南郑州·一模）已知函数f(x)=2sin ( ωx− π ) (ω>0)在 [ 0, π] 上的值域为[−1,2]，则ω的
6 2
取值范围为（ ）
[4 ] [4 8] [2 4] [2 8]
A． ,2 B． , C． , D． ,
3 3 3 3 3 3 3
2．（2024·浙江温州·一模）若函数f (x)=2sin( ωx− π ) ,(ω>0)，x∈ [ 0, π] 的值域为[−√3,2]，则ω
3 2
的取值范围是（ ）
[5 ] [5 10]
A． ,4 B． ,
3 6 3
[5 5] [5 10]
C． , D． ,
6 3 3 3
√1
3．（23-24高一下·江西赣州·阶段练习）函数y= −cosx的定义域为 .
2
4．（2024·山东济南·一模）已知函数 f (x)=sin ( ωx− π ) (ω>0) 在[ 0, π]上的值域为[ − √3 ,1 ]，则 ω 的
3 2 2
取值范围为 ．
题型二 三角函数的图象识别与应用
xcos2x
5．（2024·四川成都·三模）函数f(x)= 的图象大致是（ ）
ln(x2+1)A． B．
C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）函数 exsin2x 图象大致是（ ）
f (x)=
e2x−1
A． B．
C． D．
7．（2024·湖北武汉·二模）函数 的部分图象如图所示，则 .
f (x)=2sin(2x+φ)+1(|φ|<π) φ=
8．（23-24高三下·湖北襄阳·开学考试）函数f (x)=sin(ωx+φ)（ω>0，φ∈(−π,π)）的图象如图所
示，与 轴的交点坐标为( √3)，与直线 1的相邻三个交点的横坐标依次为π，7π，5π，则
y 0,− y=
2 2 6 18 6φ
的值为 ．
ω
题型三 由部分图象求函数的解析式
9．（2024·陕西商洛·模拟预测）将函数f (x)的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后再向左
π π
平移 个单位长度，得到函数g(x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|< ) 的部分图象如图所示，则函数
12 2
f (x)的解析式为（ ）
π π
A．f (x)=3sin( 4x+ ) B．f (x)=3sin( 4x+ )
2 6
π π
C．f (x)=3sin( x+ ) D．f (x)=3sin( x+ )
6 2
10．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 的部分图象如图所
f (x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)
示，则下列结论正确的编号是（ ）
π
( )
①函数f (x)的图象关于点 ,0 成中心对称；
6(
2π
)
②函数f (x)的解析式可以为f (x)=2cos 2x− ；
3
[π 13π]
③函数f (x)在 , 上的值域为[0,2]；
12 24
2 π
④若把f (x)图像上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位，则所得函数是
3 12
π
y=2sin( 3x+ ) .
12
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
11．（2024·湖南邵阳·三模）宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写到：“轻绡剪翅约秋霜，点水低飞恋野塘”，
描绘了蜻蜓点水的情形，蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹，截取其中一段水波纹，其形状可近似于用
π
函数f (x)=Asin(ωx+φ) ( A>0，ω>0，|φ|< ) 的图象来描述，如图所示，则f (x)= ．
2
12．（2024·湖南·一模）已知函数f (x)=Asin(ωx+φ)+B（其中A>0,ω>0,|φ|<π）的部分图象如图所
示，有以下结论：
(5π
)
①f (x)≥f
6
π
②f (x)+f ( −x )=2
6
[4π ]
③f (x)在 ,2π 上单调递增
3
所有正确结论的序号是 .
题型四 三角函数图象变换问题π
13．（2024·山东潍坊·二模）将函数f (x)=cosx的图象向右平移 个单位长度，再将所得图象上的所有点，
2
纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)的图象，则g(x)=（ ）
x x
A．sin2x B．sin C．−sin D．cos2x
2 2
π π
14．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f(x)=2sin ( 2x+ ) ，把f(x)的图象向左平移 个单位长度
3 3
得到函数g(x)的图象，则（ ）
π
A．g(x)是偶函数 B．g(x)的图象关于直线x=− 对称
4
π π
C．g(x)的图象关于直线x= 对称 D．g(x)的图象关于点 ( ,0 ) 中心对称
2 4
1
15．（2024·江苏·模拟预测）将函数f (x)=sin(2x+φ)图象上的每个点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不
2
π
变），再将得到的图象向左平移 个单位长度，所得的图象关于y轴对称，写出一个符合条件的φ的值
6
.
π
16．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f (x)=sin ( x+ ) ，给出下列结论：
6
①f (x)的最小正周期为2π；
π
( )
②f 是f (x)的最大值；
6
π
③把函数y=sinx的图象向左平移 个单位长度，可以得到y=f (x)的图象．
6
其中所有正确结论的序号为 ．
题型五 三角函数的单调性问题
π π π
17．（2024·上海长宁·一模）已知函数y=sin( ωx+ ) (ω>0)在区间 ( − , ) 上单调递增，则ω的
6 2 3
取值范围是（ ）
( 4) ( 6]
A．(0,1] B．(0,1) C． 1, D． 0,
3 5
18．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0)满足：对∀x∈R，有f (0)≤f (x)≤f ( π ) ，若存在唯一的ω值，使得y=f (x)在区间 [π −m, π +m ] (m>0)上单调递减，则实
2 4 4
数m的取值范围是（ ）
( π] ( π π] ( π π] ( π π ]
A． 0, B． , C． , D． ,
12 28 12 20 12 28 20
19．（2024·四川·模拟预测）已知函数f (x)=sin( ωx+ π ) （ω>0），当x∈ ( − 2π , π) 时，f (x)单调
3 3 6
递增，则ω的取值范围是 ．
π π
20．（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=2sin( ωx− ) (ω>0)在区间 ( 0, ) 上不单调，且在区间
6 3
(2π
)
,π 上单调，则ω的取值范围是 ．
3
题型六 三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用
| x|
21．（2024·陕西宝鸡·三模）已知函数f(x)=cosx+ sin ，则下列结论正确的是（ ）
2
π
( )
A．f(x)在区间 0, 单调递增
2
B．f(x)的图象关于直线x=π对称
( 9)
C．f(x)的值域为 0,
8
D．若关于x的方程f(x)=a在区间[0,2π]有实数根，则所有根之和组成的集合为{π,2π}
22．（2024·四川·模拟预测）已知函数g(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<π,0<φ<π)，对于任意x∈R，有
π π π
g ( −x )=g ( +x )=−g ( x− ) ，则以下错误的为（ ）
3 6 6
2π
A．函数g(x)的最小正周期为
3
(11 )
B．函数g(x)的图象关于点 π,0 对称
12
π π
( )
C．函数g(x)在 − , 上单调递减
12 12
D．函数g(x)在(−π,π)上共有6个极值点
π
23．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数f
(x)=√2cos(
2x−
)
，x∈R．
4(1)求函数f (x)的最小正周期和单调递减区间；
[ π π]
(2)求函数f (x)在区间 − , 上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值；
8 2
(3)求函数f (x)的对称轴与对称中心．
24．（2024·广东佛山·一模）记T为函数f (x)=sin(ωx+φ)的最小正周期，其中ω>0,0<φ<π，且
√3 1
f (0)= ，直线x= T为曲线y=f (x)的对称轴.
2 12
(1)求φ；
(2)若 在区间 上的值域为[ √3]，求 的解析式.
f (x) [π,2π] −1, f (x)
2
题型七 三角函数的零点问题
25．（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=sin(2πωx)(ω>0)在区间(0,2)上单调，且在区间[0,18]上有5
个零点，则ω的取值范围为（ ）
(1 5 ) [1 5 ]
A． , B． ,
9 36 9 36
(1 1) [1 1]
C． , D． ,
9 8 9 8
π π
26．（2024·四川雅安·一模）已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)（ω>0且− <φ< ），设T为函数f(x)的
2 2
(T)
最小正周期，f =−1，若f(x)在区间[0,1]有且只有三个零点，则ω的取值范围是（ ）
4
(17π 23π] [17π 23 ) (7π 10π] [7π 10π )
A． , B． , π C． , D． ,
6 6 6 6 3 3 3 327．（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=√3sinωx+cosωx(ω>0)在(π,2π)内没有零点，则ω的取
值范围为 .
π π
28．（2024·全国·模拟预测）若函数f (x)=sin( ωx+ ) (ω>0)在区间 ( ,π) 上至少有两个零点，则实
3 2
数ω的取值范围是 ．
题型八 三角函数模型
29．（2024·河南·模拟预测）如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移y（单位：cm）与时间t（单位：
s ）之间的函数关系式是 y=Kcos(ωt+φ) ( K>0,ω>0,φ∈ ( − π , π ))，其中 A(0,1),B(4,1) ，振幅为
2 2
2，则前3秒该质点走过的路程为（ ）
A． B． C． D．
−√3cm √3cm (5−√3)cm (7−√3)cm
30．（2024·全国·模拟预测）如图，一个筒车按逆时针方向转动．设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离
为d（单位：米）（在水面下，则d为负数）．若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，d与时间t（单
π
位：分钟）之间的关系为d=4sin(
2t−
)+2．某时刻t
（单位：分钟）时，盛水筒W在过点O（O为
6 0
π
筒车的轴心）的竖直直线的左侧，且到水面的距离为5米，则再经过 分钟后，盛水筒W（ ）
6
A．在水面下 B．在水面上
C．恰好开始入水 D．恰好开始出水31．（2024·四川·模拟预测）如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O到水平地面的距离为60米，最
上端的点记为Q现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直
角坐标系，则经过10分钟点Q距离地面 米.
32．（2024·安徽池州·模拟预测）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车
发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车
按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5米，设筒车上的
某个盛水筒P的初始位置为点D（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，t分钟时，该盛水筒距水面
π
距离为H=f (t)=Asin(ωt+φ)+b ( A>0,ω>0,|φ|< ,t≥0 ) ，则f (2023)= .
2
题型九 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用
1 π
33．（2024·天津·二模）将函数f (x)=cos❑ 2x−sinxcosx− 的图象向左平移 个单位长度得到函数
2 8
g(x)的图象，下列结论正确的是（ ）
π
( )
A．g(x)是最小正周期为π的偶函数 B．点 ，0 是g(x)的对称中心
4
[ π π] 1 ( π )
C．g(x)在区间 − ， 上的最大值为 D．g(x)在区间 0， 上单调递减
12 3 2 434．（2024·天津·二模）已知函数f (x)=sin2x+2sinxcosx−cos2x，关于f (x)有下面四个说法：
π
① f (x)的图象可由函数g(x)=√2sin2x的图象向右平行移动 个单位长度得到；
8
[ π π]
② f (x)在区间 − , 上单调递增；
4 4
当 [π π]时， 的取值范围为[√3−1 ]；
③ x∈ , f (x) ,√2
6 2 2
④ f (x)在区间[0,2π]上有3个零点．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
π
35．（2024·四川达州·二模）将函数f(x)=2sinxcos ( x− )+sinxcosx−√3cos2x的图象向左平移
3
π
a(a>0)个单位得到函数g(x)的图象．若g
( )=−2，则a的最小值为
．
3
36．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数f (x)=sin❑ 2ωx+√3sinωxcosωx(ω>0)的最小正周期为π，
则下列结论中正确的有 .
π
①函数f (x)的图象关于直线x= 对称；
3
(π kπ )
②函数f (x)的对称中心是 + ,0 (k∈Z)；
12 2
[π 5π]
③函数f (x)在区间 , 上单调递增；
12 12
1 π
④函数f (x)的图象可以由g(x)=cos2x+ 的图象向右平移 个单位长度得到.
2 3
一、单选题
π
1．（2024·山东滨州·二模）已知函数f (x)=sin( ωx+ ) (ω>0)在[0,2π]上有且仅有4个零点，直线
6
π π
x= 为函数y=f (x)图象的一条对称轴，则f ( )=（ ）
6 3
1 1 √3 √3
A． B．− C．− D．
2 2 2 22．（2024·云南大理·模拟预测）已知函数y=f (x)的部分图象如图，则f (x)的解析式可能为（ ）
3 5
A．f (x)=sinx+ex+e−x− B．f (x)=sinx−ex−e−x+
2 2
cosx
C．f (x)=cosx⋅(ex+e−x) D．f (x)=
ex+e−x
π
3．（2024·山东济南·三模）函数f(x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|< ) 的部分图象如图所示，下
2
列说法错误的是（ ）
3π
A．函数的周期是 B．函数y=f(x)的图象的过点(0,√3)
2
C．函数y=f(x)在 [ −π,− 5π] 上单调递减D．当x∈ ( − 13π ,− 3π )时，f(x)>1
6 6 2
1
4．（2024·全国·二模）如图，已知函数f(x)=cos(ωx+φ)，点A，B是直线y= 与函数y=f(x)的图象
2
π
的两个交点，若|AB|= ，则函数f(x) 的单调递减区间为（ ）
3[ π 2π ] [ π π ]
A． kπ+ ,kπ+ (k∈Z) B． kπ− ,kπ+ (k∈Z)
6 3 3 6
[ 2π π ] [ π 4π ]
C． 2kπ− ,kπ+ (k∈Z) D． 2kπ+ ,kπ+ (k∈Z)
3 3 3 3
π π
5．（2024·全国·三模）若偶函数f (x)=|cos(ωx+φ)|+|sin(ωx+φ)|( ω>0,|φ|< ) 的最小正周期为 ，
2 2
则（ ）
A．ω=2 B．φ的值是唯一的
π
C．f (x)的最大值为√3 D．f (x)图象的一条对称轴为x=
4
1
6．（2024·河南新乡·一模）将函数y=sinx图象上所有点的横坐标变为原来的 (ω>1)，纵坐标不变，
ω
π [π ]
再将所得图象向右平移 个单位长度后得到函数f (x)的图象，若f (x)在区间 ,π 上恰有5个零点，则
3 3
ω的取值范围是（ ）
[ 13) [ 15) ( 13] ( 15]
A． 5, B． 6, C． 5, D． 6,
2 2 2 2
7．（2024·全国·模拟预测）半径为2m的圆盘边缘上有一个质点M，它的初始位置为M ．圆盘按逆时针方
0
π
向做匀速圆周运动，其角速度为 rad/s．如图，以圆盘圆心O为原点，建立平面直角坐标系，且
4
π
∠M Ox= ，则点M的横坐标x关于时间t（单位：s）的函数解析式为（ ）
0 3
π π
A．x=2cos ( 8t+ ) B．x=2cos ( 8t− )
3 3
π π π π
C．x=2cos ( t+ ) D．x=2cos ( t− )
4 3 4 3π
8．（2024·辽宁·三模）已知函数f (x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|< ) ，图象如图所示，下列说法
2
正确的是（ ）
π
A．函数f (x)的振幅是2，初相是
6
π
B．若函数f (x)的图象上的所有点向左平移 后，对应函数为奇函数，则ω=2
12
( π π ) [ 10]
C．若函数f (x)在 , 上单调递减，则ω的取值范围为 2,
3 2 3
(7π
)
D．若函数f (x)的图象关于 ,0 中心对称，则函数f (x)的最小正周期T的最小值为7π
12
二、多选题
π
9．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知函数f (x)=sin(ωx+φ)(0<ω<3,|φ|< )图象上相邻两点
2
A ( x , √2) ,B ( x , √2)，若 |x −x |= π，且 y=f ( x− π )为奇函数，则（ ）
1 2 2 2 1 2 3 6
π
A．ω=2 B．φ=
4
π π
C．函数f ( x+ ) 为偶函数 D．函数f (x)在区间 ( 0, ) 上单调递增
6 3
π
10．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|< ) 的部分图象如图
2
所示，则下列结论中正确的是（ ）π
A．φ=
6
π
B．函数f (x)的图象可由y=sin2x的图象向左平移 个单位长度得到
6
11π
C．x=− 是函数f (x)图象的一条对称轴
6
π
D．若|f (x )−f (x )|=2，则|x −x |的最小值为
1 2 2 1 2
11．（2024·湖北襄阳·二模）已知函数f(x)=sin ( x− π )+cos ( x− 5π ) ，将函数f(x)的图像横坐标缩
3 6
1 π
短为原来的 倍，再向左平移 单位，得到函数g(x).则下列结论中正确的是（ ）
2 3
(
2π
)
A．f x− 为偶函数
3
B．不等式g(x)≥1的解集为¿
[ 3π]
C．g(x)在 π, 上单调递增
2
[ π 5π] 4π
D．函数g(x)在 − , 的零点为x ,x ,x 且x 0,− <φ< ，满足f (x )= f (x )=2
2 2 1 2
(π 2π )
的|x −x |的最小值为π，若函数f (x)在区间 , 内有零点，无最值，则φ的取值范围是 .
1 2 4 3
( π) π
13．（2024·内蒙古赤峰·二模）将函数 f (x)=2sin ωx+ (ω>0)的图象向右平移 个单位，得到函
6 6ω
[ π π]
数y=g(x)的图象，若函数y=g(x)在 − , 上为增函数，则ω的取值范围是 .
6 414．（2024·广东佛山·二模）近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建
设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周
2π
运动，角速度大小为2πrad/s，圆上两点A，B始终满足∠AOB= ，随着圆O的旋转，A，B两点的
3
位置关系呈现周期性变化.现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假
设运动开始时刻，即t=0秒时，点A位于圆心正下方：则t= 秒时，A，B两点的竖直距离第一次为
0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为f (t)= .
四、解答题
15．（2024·浙江·模拟预测）已知函数f (x)=sinx−√3cosx.
π
( )
(1)求f 的值，
6
(2)求函数y=f (x)⋅sinx的单调递增区间.
π √3
16．（2024·陕西西安·一模）已知函数f (x)=2cosxsin( x+ ) −2√3cos2x+ ,x∈R．
3 2
(1)求函数的对称中心与对称轴；
(2)当x∈[0,π]时，求函数f (x)的单调递增区间及f (x)的最值及取得最值时x的集合．
π
17．（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=2sin(ωx+φ) ( ω>0,|φ|≤ ) .
2(3π
) (
π
)
(1)若f (x)的图象经过点A ,0 ，B ,2 ，且点B恰好是f (x)的图象中距离点A最近的最高点，试
4 4
求f (x)的解析式；
(5π
) (
3π
)
(2)若f (0)=−1，且f (x)在 ,π 上单调，在 0, 上恰有两个零点，求ω的取值范围.
9 4
π
18．（2024·海南·模拟预测）已知函数f (x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|< ) 的部分图象如图所示，
2
(7π
)
点P(0,−1)，Q ,0
12
(1)求f (x)的解析式；
π
(2)将f (x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移 个单位长
3
[ π ]
度，得到g(x)的图象，求g(x)在区间 − ,0 上的最值.
2
19．（2024·安徽合肥·模拟预测）某商场零食区改造，如图，原零食区是区域ODBC，改造时可利用部分
π
为扇形区域OAD，已知∠OCB=∠COA= ，OC=10√3米，BC=10米，区域OBC为三角形，区域
2
π
OAB是以OA为半径的扇形，且∠AOD= ．
6(1)若需在区域OABC外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度；
(2)在区域OAD中，设置矩形区域HGIF作为促销展示区，求促销展示区的面积S的最大值．
