文档内容
专题 8.4 空间向量与立体几何
题型一 空间向量及其运算
题型二 空间共面向量定理
题型三 求平面的法向量
题型四 利用空间向量证明平行，垂直
题型五 求空间角
题型六 已知夹角求其他量
题型七 求异面直线，点到面或者面到面的距离
题型八 求点到线的距离
题型九 点的存在性问题
题型一 空间向量及其运算
例1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行六面体ABCD﹣ABC D 中，AB＝5，AD
1 1 1 1
＝3，AA＝4，∠DAB＝90°，∠BAA＝∠DAA ＝60°，设 ， ， ．
1 1 1
(1)用 ， ， 表示 ；
(2)求AC 的长．
1
例2．（2022·全国·高二专题练习）已知向量 ， ， 且
，则 （ ）
A． B．2 C． D．3
练习1．（2023春·高二课时练习）如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F
分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：(1)
(2)
(3)
练习2．（2022·高三课时练习）已知： ， ∥ ，
⊥ ，求：
(1) ， ， ；
(2) 与 所成角的余弦值.
练习3．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）如图，在三棱锥 中，点 ， 分别是
， 的中点， 是 的中点，设 ， ， ，用 ， ， 表示 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
练习4．（2023·山东·校联考模拟预测）定义两个向量 与 的向量积 是一个向量，它
的模 ，它的方向与 和 同时垂直，且以 的顺序符合右手法则
（如图），在棱长为2的正四面体 中，则 （ ）A． B．4 C． D．
练习5．（2022·高三单元测试）（多选）已知空间中三点A（0，1，0），B（1，2，0），
C（﹣1，3，1），则正确的有（ ）
A． 与 是共线向量
B． 的单位向量是（1，1，0）
C． 与 夹角的余弦值是
D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣1，3）
题型二 空间共面向量定理
例3．（2022·高二课时练习）（多选）若 构成空间的一个基底，则下列向量共面
的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
例4．（2023春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）已知向量 ， 不共线， ，
， ，则（ ）
A． 与 共线 B． 与 共线
C． ， ， ， 四点不共面 D． ， ， ， 四点共面
练习6．（2023春·河南安阳·高三安阳一中校联考开学考试）在空间直角坐标系中，已知
点 ，若 四点共面，则 __________.
练习7．（2023春·高三课时练习）设空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，若点满足向量关系 （其中 ），试问： ， ， ， 四点是
否共面？
练习8．（2023·高二校考课时练习）已知 是空间的一组基底，则可以与向量
， 构成基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
练习9．（2022·北京·高三强基计划）（多选）如图，已知正三棱锥 的侧棱长为
l，过其底面中心O作动平面 ，交线段 于点S，交 的延长线于M，N两点．则
下列说法中正确的是（ ）
A． 是定值 B． 不是定值
C． D．
练习10．（2022秋·重庆·高三统考期末）（多选）若 构成空间的一个基底，
则下列说法中正确的是（ ）
A．存在 ，使得
B． 也构成空间的一个基底
C．若 ，则直线 与 异面
D．若 ，则 ， ， ， 四点共面
题型三 求平面的法向量
例5．（2023·全国·高三专题练习）设向量 是直线l的方向向量，
是平面α的法向量，则（ ）A． B． 或 C． D．
例6．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知 ，
， ，则平面ABC的一个法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
练习11．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知点 在平面 内，
是平面 的一个法向量，则下列点 中，在平面 内的是（ ）
A． B． C． D．
练习12．（2023春·高三课时练习）已知 ，则平面 的一个单
位法向量是（ ）
A． B．
C． D．
练习13．（2023春·高三课时练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，
PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝ ，试建立恰当的空间直角坐标系，
求平面PCD的一个法向量.
练习14．（2023春·高二课时练习）已知在正方体 中，E， F分别是BB
1，
DC的中点，求证： 是平面ADF的一个法向量．
1 1
练习15．（2023春·高三课时练习）在棱长为2的正方体 中，E，F分别为棱 的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
(1)平面 的一个法向量；
(2)平面 的一个法向量.
题型四 利用空间向量证明平行，垂直
例7．（2022·全国·高二专题练习）如图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M在PD
上，N在AC上，若 ，用向量法证明：直线MN∥平面PAB.
例8．（2022·高二课时练习）如图，在正方体 中，
求证：
(1)求AC与 所成角的大小；
(2)平面 平面 ；
(3) 平面 ．练习16．（2023春·高三课时练习）如图所示，正三棱柱ABC－ABC 的所有棱长都为2，
1 1 1
D为CC 的中点．求证：AB⊥平面ABD.
1 1 1
练习17．（2023春·高三课时练习）如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，
BD∥CE，且CE＝CA＝2BD.求证：平面DEA⊥平面ECA.
练习18．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯
形，其中 . 平面 ，且 ，点 在棱
上，点 为 中点.若 ，证明：直线 平面 .
练习19．（2022·全国·高三专题练习）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，
.
(1)求证：PA⊥底面ABCD；
(2)求PC的长.练习20．（2023·北京密云·统考三模）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，
平面 平面 ， ， ， ， ， 分别是 ， 的
中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
题型五 求空间角
例9．（2023·青海西宁·统考二模）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，
平面 平面 ，AB＝BC＝2，M，N分别为 ，AC的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)从条件①：AB⊥MN，条件②：BM＝MN中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN
所成角的正弦值．
例10．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，四边形 为菱形，
， 平面 ， ， ．(1)求证：平面 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值．
练习21．（2022春·湖南株洲·高三统考期末）如图，四边形 是正方形， 平面
， ， ， ， 为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦.
练习22．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边
长为2的菱形，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O， 底面ABCD， ，点E，F
分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．
(1)求证：平面 平面PCD；
(2)求二面角P－EF－O的正弦值．练习23．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在长方体
中， ， ， ， 交 于点E.
(1)证明：直线 平面 ；
(2)求AD与平面 所成角的正弦值.
练习24．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）如图，四边形 是边长为
2的菱形， ，四边形 为矩形， ，且平面 平面 .
(1)求 与平面 所成角的正弦值；
(2)求平面 与平面 夹角大小；
(3)若在线段 上存在点 ，使得 平面 ，求点 到平面 的距离.
练习25．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）如图，在三棱柱
中， 平面 ， ， ， 为 的中点， 交 于点 ．
(1)证明： ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值．题型六 已知夹角求其他量
例11．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知 和 所在的平面互相
垂直， ， ， ， ， 是线段 的中点， .
(1)求证： ；
(2)设 ，在线段 上是否存在点 （异于点 ），使得二面角 的大小为
.
例12．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）如图， 且 ，
， 且 ， 且 . 平面 ，
.
(1)求平面 与平面 的夹角的正弦值；
(2)若点 在线段 上，且直线 与平面 所成的角为 ，求线段 的长.
练习26．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图，正三棱柱 的所有棱长均为
为 的中点， 为 上一点，
(1)若 ，证明： 平面 ；
(2)当直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长度.练习27．（2023春·辽宁朝阳·高三校联考期中）如图，在正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，D为
AB的中点， .
(1)若 证明:DE⊥平面A₁B₁E；
(2)若直线BC₁与平面A₁B₁E所成角为 求λ的值.
练习28．（2023春·江苏泰州·高三泰州中学校考期中）如图，在多面体 中，四边
形 与 均为直角梯形， ， . 平面 ， ，
.
(1)已知点G为AF上一点，且 ，试判断 是否与平面 平行，并说明理由；
(2)已知直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求该多面体 的体积.
练习29．（2023·北京东城·统考二模）如图，直角三角形 和等边三角形 所在平面
互相垂直， ， 是线段 上一点.
(1)设 为 的中点，求证： ；(2)若直线 和平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
练习30．（河北省2023届高三模拟（六）数学试题）在圆柱 中，等腰梯形 为
底面圆 的内接四边形，且 ，矩形 是该圆柱的轴截面， 为圆
柱的一条母线， .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)设 ， ，试确定 的值，使得直线 与平面 所成角的正弦值为
.
题型七 求异面直线，点到面或者面到面的距离
例13．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）在直角梯形 中， ，
， ，现将 沿着对角线 折起，使点D到达点P位置，
此时二面角 为 ．
(1)求异面直线 ， 所成角的余弦值；
(2)求点A到平面 的距离．
例14．（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期末）如图①菱形 ，
．沿着 将 折起到 ，使得 ，如图②所示．(1)求异面直线 与 所成的角的余弦值；
(2)求异面直线 与 之间的距离．
练习31．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示的五面体ABCDFE中，面ABCD是边长
为2的正方形，AE⊥面ABCD，DF∥AE，且DF AE＝1，N为BE的中点.
(1)求证：FN∥平面ABCD；
(2)求二面角N﹣MF﹣D的余弦值；
(3)求点A到平面MNF的距离.
练习32．（2023·高一课时练习）如图所示，在空间四边形 中， ，
， ， ．
(1)求证： ；
(2)求异面直线 与 的距离；
(3)求二面角 的大小．
练习33．（2021秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考期中）如图是一棱长为 的正方体，则异面直线 与 之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
练习34．（2023·重庆·统考模拟预测）在多面体 中，四边形 是边长为4
的正方形， ，△ABC是正三角形．
(1)若 为AB的中点，求证：直线 平面 ；
(2)若点 在棱 上且 ，求点C到平面 的距离．
练习35．（2023·北京丰台·北京丰台二中校考三模）如图，在四棱锥 中，
平面 ， ， ， ， . 为 的中点，点 在
上，且 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值；
(3)若棱 上一点 ，满足 ，求点 到平面 的距离.题型八 求点到线的距离
例15．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底
面 为正方形，且 ， 为棱 的中点，点 在 上，且 ，
则 的中点 到直线 的距离是______．
例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，直四棱柱 的底面 为平行
四边形， ， ，点P，M分别为 ， 上靠近 的三
等分点．
(1)求点M到直线 的距离；
(2)求直线PD与平面 所成角的正弦值.
练习36．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知点 ，
若 ， 两点在直线l上，则点A到直线l的距离为______.
练习37．（2023秋·山西临汾·高二统考期末）如图所示，在四棱锥 中，平面
平面 ，底面 为矩形， ， 是棱 上一点，
且 .(1)求点 到直线 的距离；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
练习38．（2023春·高二课时练习）如图，正方形 的中心为O，四边形 为矩
形，平面 平面 ，点G为 的中点， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求点D到直线 的距离.
练习39．（2022秋·陕西西安·高二校考阶段练习）在长方体 中， ，
， ， 是 的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题：
(1)求直线 与 所成的角的余弦值；
(2)求点 到直线 的距离．
练习40．（2022秋·湖北十堰·高二统考期末）如图所示，在几何体 中，， 平面 ，则点
E到直线 的距离为_________、直线 与平面 所成角的正弦值为
_______________．
题型九 点的存在性问题
例17．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）如图，四棱锥 中， 平面 ，
， ， ， ， 为线段 上一点，点 在边 上
且 .
(1)若 为 的中点，求四面体 的体积；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角的余弦值是 ？若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由.
例18．（2023春·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）如图，在四棱锥 中，
已知底面 是正方形， 底面 ，且 ， 是棱 上动点.
(1)证明： 平面 .(2)线段 上是否存在点 ，使二面角 的余弦值是 ？若存在，求 的值；
若不存在，请说明理由.
练习41．（2023·全国·高三对口高考）如图所示的几何体中，四边形 是等腰梯形，
， ， 平面 ， ， .
(1)求二面角 的余弦值；
(2)在线段AB（含端点）上，是否存在一点P，使得 平面 .若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.
练习42．（2022秋·贵州遵义·高三习水县第五中学校联考期末）如图，在四棱锥
中， ，且 .点
是线段 上一动点.
(1)当 平面 时，求 的值；
(2)点 是线段 上运动的过程中，能否使得二面角 的大小为 ？若存在，
求出 的位置；若不存在，说明理由.
练习43．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）在梯形 中，
， ， 为 的中点，将 沿 折起至的位置，且 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)判断在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 成角的正弦值为 .若存在，
求出 的长；若不存在，请说明理由.
练习44．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在三棱锥P-ABC中，若已知 ，
，点P在底面ABC的射影为点H，则
(1)证明：
(2)设 ，则在线段PC上是否存在一点M，使得 与平面 所成
角的余弦值为 ，若存在，设 ，求出 的值，若不存在，请说明理由.
练习45．（2023·福建厦门·统考模拟预测）（多选）如图，在棱长为1的正方体
中，点 满足 ，其中 ，则（ ）
A．B．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，三棱锥 的体积为定值
