专题5.4三角恒等变换2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题 5.4 三角恒等变换 练基础 1．（2021·四川德阳市·高三二模（文））在平面直角坐标系中，已知点 ， ，那么 （ ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【解析】 利用利用两点间的距离公式求得 . 【详解】 . 故选：A 1 2．（2018·全国高考真题（文））（2018年全国卷Ⅲ文）若sinα= ，则cos2α=（ ） 3 8 7 7 8 A． B． C．− D．− 9 9 9 9 【答案】B 【解析】 2 7 cos2α=1−2sin2α=1− = 9 9 故答案为B. 3．（2021·商丘市第一高级中学高三月考（文））已知 ，则 的所有取值之和为（ ） A．－5 B．－6 C．－3 D．2 【答案】D 【解析】 利用诱导公式和二倍角公式化简已知式，得到 或 ，即得 的可能取值， 求和即可. 【详解】 依题意得， ，即 ， 即 ， 故 或 ， 所以 或 ，可得 或 ， 所以 的所有取值之和为2． 故选：D. 4．（2021·北京北大附中高三其他模拟）已知 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由余弦的二倍角公式，先求出 的值，结合角 的范围可得答案. 【详解】 由 ，可得 又 ，则故选：A 5．（2022·河南高三月考（理））若 ，且 ，则 （ ） A．-7 B． C． D．-7或 【答案】A 【解析】 利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再解方程即可； 【详解】 解：因为 ， 所以 ， 所以 ， 得 ， 则 或 ， 又 ， 所以 . 故选：A 6．（2021·江苏淮安市·高三三模）设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A． B．C． D． 【答案】D 【解析】 根据正弦函数的单调性，结合不等式性质，可得到a的范围；利用二倍角公式化简b、c，结合函数单调性， 可得到b、c的大致范围；从而，可以比较a、b、c的大小. 【详解】 因为 ，所以有 ， 即 ，所以 ； 因为 ，而 ， 所以有 ，所以 ，即 ； 因为 ，而 所以 ； 显然， ，而 ，所以 ，即 所以 故选：D 7．（2020·河北高三其他模拟（文））已知函数 ( )的最小正 周期为 ，关于函数 的性质，则下列命题不正确的是（ ） A． B．函数 在 上的值域为C．函数 在 上单调递增 D．函数 图象的对称轴方程为 ( ) 【答案】D 【解析】 首先把函数的关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求 出结果. 【详解】 解：函数 ， 由于函数 的最小正周期为 ，即 ，所以 ，故A正确； 故 . 对于B：由于 ，所以函数 的最小值为 ，函数的最大值为3， 故函数的值域为 ，故B正确； 对于C：当 时， ，故函数在该区间上单调递增，故C正确； 对于D：当 ， 时，整理得 ( )为函数的对称轴，故D错误. 故选：D. 2 sinx 8.（2020·全国高考真题（文））若 3 ，则cos2x__________．1 【答案】9 【解析】 2 8 1 cos2x12sin2 x12( )2 1  3 9 9 . 1 故答案为：9. 9．（2021·贵溪市实验中学高二期末） 的值是___________. 【答案】 【解析】 由 进行转化，可得答案. 【详解】 解：由 故答案为： . 10．（2021·山东高三其他模拟）若 ，则 ＝__________________． 【答案】﹣ 【解析】 先用诱导公式化简，再根据二倍角及 变形，再求值即可. 【详解】 解：因为tan（π﹣α）＝﹣tanα＝4， 所以tanα＝﹣4，则cos（2α＋ ）＝sin2α＝2sinαcosα＝ ＝ ＝﹣ ． 故答案为：﹣ ． 练提升 TIDHNE 1．（2021·广东佛山市·高三其他模拟） （ ） A．2 B．－2 C．1 D．－1 【答案】D 【解析】 利用切化弦，三角恒等变换，逆用两角差的正弦公式，二倍角公式，诱导公式化简求值. 【详解】 2．（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖， 清代称攒尖．攒尖建筑的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．辽宁省实验中学校园内的明心亭，为一 个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为 ， 它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 分别用 和 表示出 的一半，得出侧棱与底面边长的比，再根据正八边形的结构特征求出底面内切圆 的半径与边长的关系，即可求出结果． 【详解】 设 为正八棱锥 底面内切圆的圆心，连接 ， ， 取 的中点 ，连接 、 ，则 是底面内切圆半径 ，如图所示： 设侧棱长为 ，底面边长为 ， 由题意知 ， ，则 ，解得 ； 由底面为正八边形，其内切圆半径 是底面中心 到各边的距离， 中， ，所以 ， 由 ，解得 ，所以 ， 所以 ，解得 ， 即侧棱与底面内切圆半径的长度之比为 ． 故选:A．   3.（2020·海南枫叶国际学校高一期中）若3cos22sin( )，( ,)则 的值为( ) 4 2 sin2 4 2 5 2 7 7    A． B． C． D． 9 9 9 9 【答案】C 【解析】  因为3cos22sin( )， 4   所以3cos22(sin coscos sin) 2(cossin)， 4 4 3(cos2sin2) 2(cossin) ， 3(cossin)(cossin) 2(cossin) ，  因为( ,)，所以 ， 2 cossin0 3(cossin) 2 所以 ， 2 cossin 所以 3 ， 2 两边平方得，12cossin 9 7 sin2 所以 9 ， 故选：Ctan 2   π 3  π 4．（2019·江苏高考真题）已知tan    ，则sin  2 的值是_____.  4  4 2 . 【答案】 . 10 【解析】 tan tan tan1tan 2      tan1 tan1 3 由tan  ，    4 1tan 3tan25tan20 得 ， 1 tan 解得tan2，或 3.     sin 2 sin2cos cos2sin    4 4 4 2 22sincoscos2sin2  sin2cos2=   2 2  sin2cos2  22tan1tan2 =   2  tan21  ， 222122  2 =  = ； 当 tan2 时，上式 2  22 1  10   1  1 2  2    1     2   3  3  2 = . 当 1 时，上式= 2   1 2  10 tan     1  3   3    2 sin 2  .   综上，  4  10 5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数 在 上恰有10个零点，则m的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 先用降幂公式和辅助角公式化简 ，再转化为图象与 轴交点个数问题. 【详解】 ∵ ， ∴ ， ∵ 在 上恰有10个零点， ∴ 在 上恰有10个解， ∴ ，解得 ， 故答案为： ． 6．（2021·上海复旦附中高三其他模拟）已知函数 .若存在 ，对任意 ，都有 成立.给出下列两个命题： （1）对任意 ，不等式 都成立. （2）存在 ，使得 在 上单调递减.则其中真命题的序号是__________.（写出所有真命题的序号） 【答案】（1）（2） 【解析】 由辅助角公式可得 ，由题意可得 是 的最小值点， 关于 对称，由三 角函数的性质逐个分析各个选项，即可求得结论． 【详解】 解：函数 ，其中 为锐角，且 ， 由题意， 是 的最小值点，所以 关于 对称， 因为 的最小正周期 ，所以 为最大值，所以任意 ， ，故 （1）正确； 因为函数 在 上单调递减， 取 ，则 ，所以 即在 内单调递减，故 （2）正确； 故答案为：（1）（2） 7．（2021·全国高三其他模拟（文））已知角 ， ，若 ， ，则 ___________. 【答案】 【解析】 根据 的范围确定 的范围，然后求出 和 ，将 变形为 ，结合两角和的余弦公式即可求解. 【详解】 ∵ ， ， ∴ ， ， 又 ， ，∴ ∴ ， ， ∴ . 故答案为： . 8．（2021·江西新余市·高一期末（理））已知单位圆上第三象限内的一点 沿圆周逆时针旋转 到点 ，若点 的横坐标为 ，则点 的横坐标为___________. 【答案】 【解析】 首先设 ，根据题意得到 ，从而得到 ， ，再根据 求解即可. 【详解】 由题意设 ， 从而点 沿圆周逆时针旋转 到点 ，即 点坐标为 ， 所以 ， ， ∵ ，∴ ，则 ， 所以 . 所以点 的横坐标为 . 故答案为：  4 1 0 sin= tan() 9.（2020·浙江吴兴�湖州中学高三其他）已知 2 ， 5， 3，则tansin()  _______；  __. 2cos( ) 4 3 【答案】3 2 【解析】  4 16 3 0 sin= cos 1sin2 1  因为 ， ，所以 ， 2 5 25 5 sin 4 tan  所以 cos 3 ， 1 tan() 因为 3 tantan() tantan[()] 所以 1tantan() 4 1 5 ( ) 3 3 3   3 ， 4 1 5 1 ( ) 3 3 9 sin() sin tan 3 3     所以  cossin 1tan 13 2 ， 2cos( ) 4 3 故答案为：3；2 . 10．（2021·聊城市·山东聊城一中高三其他模拟）在① 是函数 图象的一条对称轴，② 是函 数 的一个零点，③函数 在 上单调递增，且 的最大值为 ，这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中，并解答．已知函数 ，__________，求 在 上的单调递减 区间． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择见解析；单调递减区间为 ， ． 【解析】 利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 ， 若选①，利用正弦函数的对称性可得 ， ，得 ， ，又 ，可得 ，可求 ； 若选②，由题意可得 ，可得 ， ，又 ，可得 ，可求 ； 若选③，可求 ，可得 ，可得 ， 利用正弦函数的单调性，结合 ，即可求解 在 ， 上的单调递减区间． 【详解】 解：． ①若 是函数 图象的一条对称轴， 则 ， ，即 ， ， 得 ， ， 又 ，∴当 时， ， ． ②若 是函数 的一个零点， 则 ，即 ， ， 得 ， ． 又 ，∴当 时， ，所以， ． ③若 在 上单调递增，且 的最大值为 ． 则 ，故 ，所以 ． 由 ， ， 得 ， ，令 ，得 ，令 ，得 ， 又 ， 所以 在 上的单调递减区间为 ， ． 练真题 TIDHNE 1．（2021·全国高考真题（文））函数 的最小正周期和最大值分别是（ ） A． 和 B． 和2 C． 和 D． 和2 【答案】C 【解析】 利用辅助角公式化简 ，结合三角函数最小正周期和最大值的求法确定正确选项. 【详解】 由题， ，所以 的最小正周期为 ，最大值为 . 故选：C． 2．（2021·北京高考真题）函数 ，试判断函数的奇偶性及最大值（ ） A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2 C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为 【答案】D 【解析】 由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大 值.【详解】 由题意， ，所以该函数为偶函数， 又 ， 所以当 时， 取最大值 . 故选：D. 3．（2019·全国高考真题（文））tan255°=（ ） 3 3 3 3 A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+ 【答案】D 【解析】 3 1 tan450 tan300 3  2 3. =1tan450tan300 3 1 tan2550 tan(1800 750)tan750 tan(450300) 3 π 4．（2019·全国高考真题（文理））已知a∈（0，2 ），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ） 1 5 A．5 B． 5 3 2 5 C． 3 D． 5 【答案】B 【解析】   4sincos2cos2.  0,  ,cos0  2sin2cos21，  2 ． 1 5sin21, sin2 sin0,  2sincos，又sin2cos21， 5，又sin0，5 sin 5 ，故选B． 5.（2020·全国高考真题（理））已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ=（ ） A．–2 B．–1 C．1 D．2 【答案】D 【解析】 ， ， 令 ，则 ，整理得 ，解得 ，即 . 故选：D. 6．（2020·全国高考真题（文））已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由题意可得： ， 则： ， ， 从而有： ， 即 . 故选：B.