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专题 5.4 三角函数综合练
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023春·浙江宁波·高二校联考期中）角 终边上有一点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用任意角三角函数的定义求解.
【详解】因为角 终边上有一点 ，所以 ,
所以 ，
故选:D.
2．（2023秋·浙江杭州·高三杭师大附中校考期末）若函数 在[0,a]上的值
域是 ,则实数a的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ,当 ,则 ,画出 的函数图像分析即可.
【详解】设 ,当 ,则 ，
画出 的图像,要使 ，
必须 ,所以 ，所以实数 的最大值为 .
故选: C
3．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）在下列四个函数，① ②
（3） ④ 中，最小正周期为π的所有函数为
（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④
【答案】B
【分析】对每一个函数逐一研究其周期即可得解.
【详解】① ，为偶函数，不具有周期性，①不满足题意；
②函数 的图像是将 的图像在 轴下方的全部对称到 轴上方，故函数
的最小正周期为 ，故②满足题意；
③函数 的周期为 ，故③满足题意；
④函数 的周期为 ，故④满足题意.
故选：B.
4．（广西邕衡金卷2023届高三第三次适应性考试数学（理）试题）已知 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求 ，再将目标式化为齐次式求解即可.
【详解】由已知得： ，所以 .
故选：A
5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知函数
在 上单调递增，则f（x）在 上的零点可能有
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】根据条件求出 的取值范围，再运用整体代入法求解.【详解】由 ，
，即 只能取0，得
，
因为 在 上单调递增，则 解得 ，
由 ，则 ，设 ，
则 ，因为 ， ，
所以函数 在 上的零点最多有2个；
故选：A.
6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）现代建筑物的设计中通常会运用各种曲线、
曲面，将美感发挥到极致.如图所示是位于深圳的田园观光塔，它的主体呈螺旋形，高
15.6m，结合旋转楼梯的设计，体现了建筑中的数学之美.某游客从楼梯底端出发一直走到
顶部.现把该游客的运动轨迹投影到塔的轴截面，得到曲线方程为
（x，y的单位：m）.该游客根据观察发现整个运动过程中，
相位的变化量为 ，则 约为（ ）
A．0.55 B．0.65 C．0.75 D．0.85
【答案】A
【分析】根据建筑物的高，游客的初始位置和最后位置，表达出运动过程的位移变化量，
即可计算出 的值.
【详解】由旋转楼梯高为 知，投影到轴截面上后，
对应曲线 中，游客移动的水平距离是15.6，
∵初始时游客在最底端，
∴当 时，初相为 ，∵整个运动过程中，相位的变化量为 ，且最后游客在最高点，
∴最后的位置 ，
∴ ，
解得： ，
故选：A.
7．（2023·四川遂宁·统考模拟预测）已知函数 ，则下列结论中
正确的是（ ）
A． 在区间 上单调递减
B． 到的图像可由函数 的图像向右平移 个单位得到
C． 是 图像的一条对称轴
D． 的最大值为
【答案】D
【分析】结合三角函数的性质、图像变换和利用导数研究三角函数的单调性即可.
【详解】因为
，
所以 ，
对于A：1弧度 ，所以 ，
当 时 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，故A错误；
对于B：将 图像向右平移 个单位
得到 ，即B错误.
对于C：由导数的性质得，
所以 不是极值点，即 不是 的对称轴，故C错误；
对于D：当 时， 且 ，
所以 ，故D正确；
故选：D8．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换运算求解.
【详解】由题意可得：
，
则 .
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的
得0分
9．（2022春·高三课时练习）下列说法中正确的有（ ）
A．若 ，则
B．已知角 ，若 ，则
C．已知角 ，若 ，则
D．对于任意角 都有
【答案】AC
【分析】利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】对A，因为 ，所以 ，正确；
对B， ， ， 的值为负数，不正确；
对C， ， 在第一象限，则 ，正确；
对D，当 时， ， 不存在，故不正确.
故选：AC.
10．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）函数
的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A．
B．若把 图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到的函数在 上
是增函数
C．若把函数 的图象向右平移 个单位，则所得函数是奇函数
D． ，若 恒成立，则 的最小值为
【答案】AD
【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据函数坐标得伸缩、平移与解析式之间得联
系求出变换后的解析式即可判断出B、C，将定义域代入函数中解得值域即可判断出D.
【详解】 ， ，由图可知 ，
将点 代入解析式得 ，
所以 ，A正确；
图象上各点的横坐标缩短为原来的 得 ，所得函数增区间为
，B错误；
的图象向右平移 个单位得 ，C错误；
，分离参数可得 ，
时， ， ，所以 的最小值
为 ，D正确.
故选：AD
11．（2023春·辽宁沈阳·高三校联考期中）一半径为 的水轮示意图如图所示，水轮圆
心O距离水面 ，已知水轮每 逆时针转动一圈，若当水轮上点P从水中浮出时（图中点 ）开始计时，则（ ）
A．点P距离水面的高度 与 之间的函数关系式为
B．点P第一次到达最高点需要
C．在水轮转动的一圈内，有 的时间，点P距离水面的高度不低于
D．当水轮转动 时，点P在水面下方，距离水面
【答案】AC
【分析】对于选项A，先由题意结合图象可判断函数关系为三角函数模型，代入相关数据
即可；对于B项，由三角函数最值判定；对于C项，利用三角函数的单调性解不等式即可；
对于D项，带入函数关系式求函数值即可.
【详解】对于A，由题意可判定点P距离水面的高度 与 的函数关系为三角函数模
型，
以水轮中心为原点，以平行水平面的直线 轴建立平面直角坐标系，
当 时， ，以OP为终边的角为 ，根据水轮每 逆时针转动一圈可
知水轮的角速度为 ，由题意可得： ，A正确；
对于B，令 ，解得 ，点P第一次到达最高点需要 ，B错误；
对于C，令 ，解得 ，即在水轮转动的一圈
内，有 的时间，点P距离水面的高度不低于 ，C正确；
对于D，当 时， ，即点P在水面下方，距离水面
，D错误，
故选：AC．
12．（2023春·江苏泰州·高三江苏省口岸中学校考阶段练习）下列各式中，值为 的有
（ ）
A．sin7°cos23°+ sin 83°cos 67° B．4sin10°cos20°cos 40°C． D．
【答案】ABD
【分析】对于A，由诱导公式及两角和的正弦公式化简求值；对于B，用二倍角公式化简
求值；对于C，由二倍角公式及辅助角公式化简求值；对于D，先去括号，由两角和的正
切公式化简求值.
【详解】 ，故A
正确；
，故B正确；
，故C错误；
对D，
，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．（2023春·辽宁锦州·高三校考期中）若 ， ，则
________
【答案】
【分析】先根据商数关系化弦为切求出 ，再根据 利用
两角和的正切公式即可得解.
【详解】 ，解得 ，
则 .故答案为： .
14．（2023春·山东日照·高三日照一中校考阶段练习）函数
，若方程 恰有三个不同的解，记为 ， ， ，
则 的取值范围是________.
【答案】
【分析】作出函数的图像，由 恰有三个不同的解，得 的范围，得到 的对
称性，再判断 的范围，利用数形结合求解.
【详解】作出函数的图像如图所示，
根据图像可知 恰有三个不同的解时 ，设 ，
令 ，可得 ，令 ，得 ，
根据对称性可知 关于 对称，所以 ，
又因为 ，所以 .
故答案为： .
15．（2023春·江西景德镇·高三景德镇一中校考期中）已知函数
的部分图像如图所示，则函数的解析式为______．【答案】
【分析】根据题意，由图像可得函数周期从而得到 ，再将点 代入，即可得到
结果.
【详解】由图像可知， ，即 ，则 ，
将 代入可得， ，即 ， ，
解得 ， ，
且 ，则 ，
再将 代入可得，可得 ，
所以函数解析式为 .
故答案为:
16．（2023春·河南南阳·高三校联考阶段练习）计算 _______．
【答案】
【分析】利用诱导公式、倍角正弦公式得
，再由 关系求值即可.
【详解】
，
由 ， ，
所以 ，
综上， .
故答案为：四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
17．（2023春·安徽合肥·高二合肥一中校考期中）合肥一中云上农舍有三处苗圃，分别位
于图中 的三个顶点，已知 , ．为了解决三个苗圃的灌溉
问题，现要在 区域内（不包括边界）且与B,C等距的一点O处建立一个蓄水池，并
铺设管道OA、OB、OC．
(1)设 ，记铺设的管道总长度为 ，请将y表示为 的函数；
(2)当管道总长取最小值时，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据锐角三角函数即可表示 ， ，进而可求解，
（2）利用 ，结合三角函数的最值可得 ，即可利用辅助角公式求解.
【详解】（1）由于 , 在 的垂直平分线 上，
若设 ，则 , ∴
则 ；
（2）令 得
故 ，又 ，故 则
此时： ，即 得
又 ，故 ,故18．（2023春·江苏常州·高一统考期中）已知函数
的最大值为 ．
(1)求 的最小正周期；
(2)求使 成立的自变量x的集合．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，由周期公式求函数最小正周期，
由函数最大值求出 的值.
（2）根据函数解析式，利用整体代入法解不等式.
【详解】（1）因为
．
根据题意， ，解得 ．
故 ．
所以函数 的最小正周期 ．
（2）由 ，即 ．
则 ，解得 ，其中 ．
故使 成立时x的集合 ．
19．（2023春·北京·高三101中学校考期中）已知函数 .
(1)某同学利用五点法画函数 在区间 上的图象.他列出表格，并填入了部分数据，
请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；(2)已知函数 .
①若函数 的最小正周期为 ，求 的单调递增区间；
②若函数 在 上无零点，求 的取值范围(直接写出结论).
x
0
0 2 0 0
【答案】(1)答案见详解
(2)① ； ②
【分析】（1）令 为 可完善表格，描点可得图象；
（2）①先求出 的解析式，根据周期可得 ，然后可得单调区间；
②先求 的范围，再根据没有零点列出限制条件，可得范围.
【详解】（1）表格填写如下：
x
0
0 2 0 -2 0
图象如下：
（2）①由题意 ，， ，即 .
令 ,解得 .
所以g(x)的单调递增区间为 .
② ， 时， ，
因为函数 在 上无零点，所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为(0，1) .
20．已知角 的终边经过点 ．
(1)求 、 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）由三角函数的定义可求得 、 的值；
（2）求出 的值，利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】（1）解：因为角 的终边经过点 ，
由三角函数定义可得 ，
.
（2）解：由三角函数的定义可得 ，
原式
.
21．（2023春·北京·高三101中学校考期中）已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数 的解析式
的两个作为已知.
条件①：函数 的最小正周期为 ；
条件②：函数 的图象经过点 ；
条件③：函数 的最大值为 .
(1)求 的解析式及最小值；
(2)若函数 在区间 上有且仅有2条对称轴，求t的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简 ，选择①②：由周期得出 ，由 得出
，进而求出 的解析式及最小值；选择①③：由周期得出 ，由 的最大值为
得出 ，进而求出 的解析式及最小值；选择②③：由 得 ，又
因为函数 的最大值为 ，所以 ，与 矛盾，不符合题意.
（2）因为 ，所以 ，由题意得 ，求解即可．
【详解】（1）由题可知，
.
选择①②：
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
所以 .
当 ，即 时， ，
所以函数 的最小值为－1.选择①③：
因为 ，所以 ，
又因为函数 的最大值为 ，所以 .
所以 ，
当 ，即 时， .
所以函数 的最小值为 .
选择②③：因为 ，所以 .
又因为函数 的最大值为 ，所以 ，与 矛盾，不符合题意.
（2）因为 ，所以 ，
又因为 在区间上 上有且仅有2条对称轴，
所以 ，所以 ，所以 .
22．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）已知函数
的相邻两对称轴间的距离为 ， ．
(1)求 的解析式和单调递增区间；
(2)将函数 的图像向右平移 个単位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的 （纵坐
标不变），得到函数 的图像，若方程 在 上的根从小到大依次
为， ，若 ，试求 与 的值．
【答案】(1) ，单调递增区间为
(2) 为5，m为 ．
【分析】（1）根据题意，先由降幂公式与辅助角公式化简，然后再由函数周期即可求得 ，
从而得到其解析式，再由正弦型函数的单调区间即可得到结果；
（2）根据题意，先由函数的图像变换得到函数 的解析式，然后结合图像求得方程的根，分别得到 .
【详解】（1）函数
因为函数 图像的相邻两对称轴间的距离为 ，所以 ，可得 ，
所以 ，其单调递增区间为 ．
（2）
将函数 的图像向右平移 个单位长度，可得 的图像，再把横坐标缩
小为原来的 ，得到函数 的图像，
由方程 ，即 ，即 ，
因为 ，可得 ，
设 ，其中 ，即 ，
结合正弦函数 的图像，可得方程 在区间 有5个解，即 ，
其中 ， ， ， ，
即 ，解得 ；
，解得 ，
即 ，解得 ；
，解得 .所以 ．
所以 为5，m为 ．
【点睛】本题综合性较强，考查了三角函数的图像变换以及性质，还有三角恒等变换；第
二问的关键在于先得到函数 的解析式，然后再解方程即可.
