文档内容
2020-2021 学年八年级数学下册期末突破易错挑战满分（北师大版）
易错16 平行四边形中的折叠问题
【典型例题】
1．（2019·安徽九年级专题练习）如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在
△OAB
外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
【答案】（1）见解析；（2）OG=1.
【分析】
（1）首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得DO=DA，再根据等边对等角可得
∠DAO=∠DOA=30°，进而算出∠AEO=60°，再证明BC∥AE，CO∥AB，进而证出四边形ABCE是平行四边形．
（2）设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8-x，再利用三角函数可计算出AO，再利用勾股定理计算出OG的长
即可．
【详解】
解：（1）证明：在Rt△OAB中，D为OB的中点，∴DO="DA" ．
∴∠DAO=∠DOA ="30°," ∠EOA="90°" ．∴∠AEO ="60°" ．
又∵△OBC为等边三角形，∴∠BCO=∠AEO =60°．∴BC∥AE．
∵∠BAO=∠COA =90°，∴OC∥AB．
∴四边形ABCE是平行四边形．
（2）设OG=x，由折叠可知：AG=GC=8－x．
在Rt△ABO中，∵∠OAB =90°，∠AOB =30°，OB=8，∴OA=OB·cos30°=8× = ．在Rt△OAG中，OG2+OA2=AG2，即 ，解得， ．
∴OG=1．
【专题训练】
一、选择题
1．（2021·全国八年级课时练习）如图,在 中,将 沿 折叠后,点 恰好落在 的延长线
上的点 处,若 则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的性质可得CD=AB=3，AD=BC，由折叠可知AE=AD，CE=CD=3，∠ACE=∠ACD，∠ACE
＋∠ACD=180°，从而求出∠ACE=∠ACD=90°，DE=6，利用勾股定理即可求出AD，从而求出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=3，AD=BC
∵将 沿 折叠后,点 恰好落在 的延长线上的点 处,
∴AE=AD，CE=CD=3，∠ACE=∠ACD，∠ACE＋∠ACD=180°
∴∠ACE=∠ACD=90°，DE=6
在Rt 中，AD=
∴AE=5∴ 的周长为AD＋AE＋DE=16
故选C．
【点睛】
此题考查的是平行四边形的性质、折叠的性质和勾股定理，掌握平行四边形的性质、折叠的性质和勾股定
理是解题关键．
2．（2018·浙江杭州市·八年级期末）如图，将
▱
ABCD沿对角线AC进行折叠，折叠后点D落在点F处，
AF交BC于点E，有下列结论：①△ABF≌△CFB；②AE＝CE；③BF∥AC；④BE＝CE，其中正确结论的个
数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据SSS即可判定△ABF≌△CFB，根据全等三角形的性质以及等式性质，即可得到EC=EA，根据
∠EBF=∠EFB=∠EAC=∠ECA，即可得出BF∥AC.根据E不一定是BC的中点，可得BE=CE不一定成立.
【详解】
解：由折叠可得，AD＝AF，DC＝FC，
又∵平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，
∴AF＝BC，AB＝CF，
在△ABF和△CFB中，
∴△ABF≌△CFB(SSS)，故①正确；
∴∠EBF＝∠EFB，
∴BE＝FE，
∴BC﹣BE＝FA﹣FE，即EC＝EA，故②正确；∴∠EAC＝∠ECA，
又∵∠AEC＝∠BEF，
∴∠EBF＝∠EFB＝∠EAC＝∠ECA，
∴BF∥AC，故③正确；
∵E不一定是BC的中点，
∴BE＝CE不一定成立，故④错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质和平行四边形的性质，熟练掌握二者是解题的关键.
3．（2021·全国九年级专题练习）如图，将
▱
ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．若
▱
ABCD周
长为20，则△ABE周长为（ ）
A．1 B．5 C．10 D．20
【答案】C
【分析】
由平行四边形ABCD是周长为20，推出AB+AD=10，利用翻折变换的性质，推出△ABE的周长=AB+AD即
可解决问题．
【详解】
∵平行四边形ABCD是周长为20，
∴AB+AD=10，
由翻折可知：EB=DE，
∴△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=10，
故选：C．【点睛】
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．（2019·天津九年级一模）如图，将 折叠，使顶点D落在 边上的点E处，折痕为 ，则
下列结论一定正确的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据折叠的性质，可得出DF=EF，再结合题目有，四边形CBEF是平行四边形，继而有BC=EF，即可得出
正确答案．
【详解】
解：由折叠的性质得， ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ．
∴ ，∴ ．
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点是折叠的性质以及平行四边形的判定定理及其性质，属于中等难度题．失分的原因有2个：（1）不能熟练运用折叠的性质；（2）未掌握平行四边形的性质与判定．
5．（2019·广西钦州市·八年级期末）如图，在 中， 为边 上一点，将 沿 折叠至
处， 与 交于点 ，若 ， ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由平行四边形的性质可得∠B=∠D=52°，由三角形的内角和定理可求∠DEA的度数，由折叠的性质可求
∠AED'=∠DEA=108°．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D=52°，且∠DAE=20°，∴∠DEA=180°﹣∠D－∠DAE=108°．
∵将△ADE沿AE折叠至△AD'E处，∴∠AED'=∠DEA=108°．
故选B．
【点睛】
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质是本题的关键．
二、填空题
6．（2019·扬州市梅岭中学八年级月考）如图，将
▱
ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若
∠1=∠2=44°，则∠B=______
【答案】114
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD=∠BAC=∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC=∠ACD=∠B′AC= ∠1，再由三角形内角和定理求出∠B即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，
∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC= ∠1=22°，
∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°.
故答案为：114°．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；解题的关键是熟
练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数．
7．（2021·江苏九年级专题练习）如图，
▱
ABCD中，AB=5，AD=6，点E在BC上，将
▱
ABCD沿AE折叠，
点B刚好与点C重合，则AE=____．
【答案】4．
【分析】
由点B恰好与点C重合，可知AE垂直平分BC，根据勾股定理计算AE的长即可．
【详解】
解：∵翻折后点B恰好与点C重合，
∴AE⊥BC，BE=CE．
∵BC=AD=6，
∴BE=3，∴AE ．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，勾股定理，根据翻折特点发现AE垂直平分BC是解决问题的关
键．
8．（2018·全国八年级课时练习）如图，
▱
ABCD中， ， ， ，折叠
▱
ABCD使C
落在A处，折痕为EF，点E、F分别在BC、AD上，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】
连接AC、 由题意四边形AECF是菱形，设 ，在 中， ，
，可得 ， ，推出 ，在 中，根据
，列出方程即可解决问题．
【详解】
连接AC、CF．由题意四边形AECF是菱形，设 ，
在 中， ， ，
， ，
，
在 中， ，
，
，
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了翻折变换、平行四边形的性质、勾股定理、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加
常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
9．（2014·河南九年级一模）如图，先将一平行四边形纸片ABCD沿AE，EF折叠，使点E，B′，C′在同一直线上，再将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，则∠AEG=__度．
【答案】45.
【解析】
试题分析：利用翻折和平角定义易得组成∠AEF的两个角的和等于平角的一半，得出∠AEF=90°，再利用
将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，得出∠AEG=∠GEA′进而得出答案．
试题解析：根据沿直线折叠的特点，△ABE≌△AB′E，△CEF≌△C′EF，
∴∠AEB=∠AEB′，∠CEF=∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF=180°，
∴∠AEB′+∠C′EF=90°，
∵点E，B′，C′在同一直线上，
∴∠AEF=90°，
∵将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，
∴∠AEG=∠GEA′= ∠AEF=45°
考点：翻折变换（折叠问题）．
10．（2020·浙江杭州市·八年级期中）如图，将 沿对角线 进行折叠，折叠后点D落在点F处，
交 于点E，有下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中
正确结论的是__________．
【答案】①②③
【分析】根据SSS即可判定△ABF≌△CFB，根据全等三角形的性质以及等式性质，即可得到EC＝EA，根据∠EBF＝
∠EFB＝∠EAC＝∠ECA，即可得出BF∥AC．根据E不一定是BC的中点，可得BE＝CE不一定成立．
【详解】
解：由折叠可得，AD＝AF，DC＝FC，
又∵平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，
∴AF＝BC，AB＝CF，
在△ABF和△CFB中，
，
∴△ABF≌△CFB（SSS），故①正确；
∴∠EBF＝∠EFB，
∴BE＝FE，
∴BC-BE＝FA-FE，即EC＝EA，故②正确；
∴∠EAC＝∠ECA，
又∵∠AEC＝∠BEF，
∴∠EBF＝∠EFB＝∠EAC＝∠ECA，
∴BF∥AC，故③正确；
∵E不一定是BC的中点，
∴BE＝CE不一定成立，故④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】
本题主要考查了折叠问题，全等三角形的判定与性质以及平行线的判定的运用，解题时注意：折叠是一种
对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三、解答题
11．（2021·江苏九年级专题练习）如图，把平行四边形纸片 沿 折叠，点 落在点 处，
与 相交于点 ．（1）连接 ，则 与 的位置关系是 ；（2） 与 相等吗？证明你的结论．
【答案】（1） ；（2） 与 相等，详见解析.
【分析】
（1）根据 ， ，即可得到 ，再根据三角形内角和定理，即可得到
，进而得出 ；
（2）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到 ，进而得出 ．
【详解】
解：（1）连接 ，
在平行四边形 中，
， ，
把平行四边形纸片 沿 折叠，点 落在点 处.
， ，
，
.
，
.
，
故答案为 ；
（2） 与 相等．
由折叠可得， ，
，
，，
．
【点睛】
本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的
形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
12．（2019·江西南昌市·八年级月考）如图，将□ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的F处，点E在
AD上.
（1）求证：四边形ABFE为平行四边形；
（2）若 ，求四边形ABFE的周长.
【答案】（1）见解析；（2）12.
【分析】
（1）根据折叠的性质得到∠CFE=∠CDE，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，∠B=∠D，由平行线的判
定得到AE∥BF，即可得到结论；
（2）根据折叠的性质得到ED=EF，则AE+AB=AE+ED=AD，从而求出四边形ABFE的周长．
【详解】
（1）证明：
∵将 □ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的F处，
∴∠CFE=∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B=∠D，
∴AE∥BF，∠B=∠CFE，∴AB∥EF，
∴四边形ABFE为平行四边形；
（2）∵将 □ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的F处，
∴DE=EF，
∵四边形ABFE为平行四边形，
∴EF=AB=ED，
∵BC=6，
∴AD=6，
∴AE+AB=AE+ED=AD=6，
∴四边形ABFE的周长=AB+BF+EF+EA=12，
故四边形ABFE的周长为：12.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，折叠的性质，熟练掌握全等三角形及平行四边形知识是解题的关键．
13．（2016·山西九年级专题练习）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点
F处，DF交AB于点E．
（1）求证： ；
（2）判断AF与BD是否平行，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）根据折叠的性质可证∠CDB =∠EDB，由平行四边形的性质，可证∠CDB =∠EBD，等量代换可证得
结论；
（2）根据（1）结论可知DE=BE，然后由平行四边形的对边相等和等量代换，可知AE=EF，从而根据等边
对等角可得∠EAF=∠EFA，再由三角形的内角和得出∠EDB= ∠EFA，因此可证得AF∥BD（或由AB与BD
互相平分证得四边形ADBF是平行四边形）.
【详解】（1）由折叠可知：∠CDB =∠EDB
∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC∥AB
∴∠CDB =∠EBD
∴∠EDB=∠EBD
（2）∵∠EDB=∠EBD
∴DE=BE
由折叠可知：DC=DF
∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC=AB
∴AE=EF
∴∠EAF=∠EFA
△BED中,∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°
即2∠EDB+∠DEB=180°
同理△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°
∵∠DEB=∠AEF
∴∠EDB= ∠EFA
∴AF∥BD
考点：折叠变换，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和
14．（2020·长沙市中雅培粹学校八年级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝
60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得到△A′PB．
（1）如图2所示，当PA′⊥BC时，求线段PA的长度．
（2）当∠DPA′＝10°时，求∠APB的度数．
【答案】（1）PA＝5+5 ；（2）85°或95°或5°；【分析】
（1）作BH⊥AD于H．利用特殊直角三角形边角关系 求出AH，BH，即可解决问题．
（2）分情况讨论，求出∠APA′，利用翻折不变性解决问题即可．
【详解】
解：（1）如图2中，作BH⊥AD于H．
在Rt△ABH中，
∵∠AHB＝90°，AB＝10，∠A＝60°，
∴∠ABH＝30°，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵PA′⊥BC，
∴PA′⊥AD，
∴∠APA′＝90°，
∴∠HPB＝∠BPA′＝45°，
∵BH⊥AD，
∴∠HBP＝45°，
∴ ，
∴ ；
（2）①如图1-1，图1-1
当PA′在直线AD的右侧时，
∵∠DPA′＝10°，
∴∠APA′＝180°﹣∠DPA′＝180°﹣10°＝170°，
由翻折的性质可知： ；
②如图1-2
图1-2
当PA′在直线AD的左侧时，由翻折的性质可知： ，
③如图1-3图1-3
当点P在AD的延长线上时，由折叠知， ，
故∠APB的度数为85°或95°或5°；
【点睛】
本题考查翻折变换，平行四边形的性质，特殊直角三角形边角关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决
问题，属于中考常考题型．
15．（2019·浙江上虞区·）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝ ，BC＝8，∠B＝60°，将平行四边形
ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D′处，折叠后点C的对应点为C′，D′C′交BC于点G，
∠BGD′＝32°．
（1）求∠D′EF的度数；
（2）求线段AE的长．
【答案】（1）∠D'EF＝76°；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据折叠的性质可得：∠D＝∠ED'G＝60°，∠DEF＝∠D'EF，根据平行线的性质有∠DEF＝∠EFB.
等量代换得到∠D'EF＝∠EFB，在四边形 中，根据四边形的内角和即可求解.
（2）过点E作EH⊥AB于点H，设AE＝x，根据平行线的性质有∠HAD＝∠B＝60°，且EH⊥AB，求出
根据中点的性质有 根据勾股定理即可求解.
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝60°，AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB.
∵将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D′处，
∴∠D＝∠ED'G＝60°，∠DEF＝∠D'EF，
∴∠D'EF＝∠EFB，
∵∠BGD′＝32°
∴∠D'GF＝148°
∵∠D'GF+∠EFB+∠D'EF+∠ED'G＝360°，
，
∴∠D'EF＝76°；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，
设AE＝x，
∵AD∥BC，
∴∠HAD＝∠B＝60°，且EH⊥AB，
∴
∵点D'是AB中点，
∴
∵HE2+D'H2＝D'E2，
∴∴x＝ ，
∴ .
【点睛】
考查平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理等，综合性比较强，注意题目中辅助线是作法.
16．（2019·广东潮州市·九年级其他模拟）如图，在 中，点 ， 分别在边 ， 上，
，把平行四边形沿直线 折叠，使得点 ， 分别落在 ， 处，线段 与线段 交于
点 ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】
（1）根据平行四边形得出DC∥AB，推出∠2=∠FEC，由折叠得出∠1=∠FEC=∠2，即可得出答案；
（2）由平行线的性质推出∠DEG=∠EGF=∠B′FG，求出DE=B′F，证△DEG≌△B′FG即可．
【详解】
（1）∵在平行四边形ABCD中，DC∥AB，
∴∠2=∠FEC，
由折叠得：∠1=∠FEC，
∴∠1=∠2；
（2）∵∠1=∠2，
∴EG=GF，
∵AB∥DC，∴∠DEG=∠EGF，
由折叠得：EC′∥B′F，
∴∠B′FG=∠EGF，
∴∠DEG=∠B′FG，
∵DE=BF=B′F，
∴DE=B′F，
在 和 中，
，
∴△DEG≌△B′FG（SAS），
∴DG=B′G．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查
学生的推理能力．
17．（2020·河北九年级其他模拟）将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D
落到D′处，折痕为EF．
（1）求证：△ABE≌△AD′F；
（2）连接CF，判断四边形AECF是否为平行四边形？请证明你的结论．
（3）若AE＝5，求四边形AECF的周长．
【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、平行四边形，证明过程见解析；(3)、20
【解析】
试题分析：(1)、根据ABCD为平行四边形得出AB=CD，∠B=∠D，AD∥BC，根据折叠得出AB=AD′，根据
AD∥BC得出∠BEA=∠EAD，根据D′F∥AE得出∠EAD=∠D′FA，从而说明∠BEA=∠D′FA，得出三角形全等；(2)、根据△ABE≌△AD′F 得出AE=AF，根据折叠得出AE=EC，从而说明AF=CE，根据ABCD′是平行四边形
得出BC∥AD′，即AF∥BC，从而说明平行四边形；(3)、根据题意得出AE=EC=5，根据四边形AECF的周长
=2(AE+EC)得出答案.
试题解析：(1)、∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB=CD，∠B=∠D，AD∥BC
又∵点C与点A重合，点D落在点D′处 ∴CD=AD′ 即AB=AD′ ∵AD∥BC ∴∠BEA=∠EAD
又∵D′F∥AE ∴∠EAD=∠D′FA ∴∠BEA=∠D′FA ∴△ABE≌△AD′F(AAS)
(2)、连接CF，四边形AECF为平行四边形
由(1)得：△ABE≌△AD′F ∴AE=AF 根据折叠可得：AE=EC ∴AF=EC
又∵四边形ABCD′是平行四边形 ∴BC∥AD′ ∴AF∥EC ∴四边形AECF为平行四边形
(3)、∵AE=EC AE=5 ∴四边形AECF的周长=2(AE+EC)=2×(5+5)=20.
考点：(1)、平行四边形的判定；(2)、三角形全等的判定与性质.
18．（2019·辽宁鞍山市·八年级月考）如图1，在△ABO中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8．以OB
为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求点B的坐标；
（2）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（3）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
【答案】(1)（4 ，4）；(2)见解析;(3)1.
【分析】
（1）由在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，根据勾股定理即可求得AB与OA的长，即可求得
点B的坐标；
（2）首先可得CE∥AB，D是OB的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证得BD=AD，
∠ADB=60°，又由△OBC是等边三角形，可得∠ADB=∠OBC，根据内错角相等，两直线平行，可证得
BC∥AE，继而可得四边形ABCD是平行四边形；（3）首先设OG的长为x，由折叠的性质可得：AG=CG=8-x，然后根据勾股定理可得方程（8-x）2=x2+（4
）2，解此方程即可求得OG的长．
【详解】
在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8，
∴AB＝ OB＝ ×8＝4，
OA²＝OB²-AB²
∴OA= = =4
∴点B的坐标为（4 ，4）；
（2）证明：∵∠OAB＝90°，
∴AB⊥x轴，
∵y轴⊥x轴，
∴AB∥y轴，即AB∥CE，
∵∠AOB＝30°，
∴∠OBA＝60°，
∵DB＝DO＝4
∴DB＝AB＝4
∴∠BDA＝∠BAD＝120°÷2＝60°，
∴∠ADB＝60°，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，
∴∠ADB＝∠OBC，
即AD∥BC，
∴四边形ABCE是平行四边形；
（3）设OG的长为x，
∵OC＝OB＝8，
∴CG＝8﹣x，
由折叠的性质可得：AG＝CG＝8﹣x，在Rt△AOG中，AG2＝OG2+OA2，
即（8﹣x）2＝x2+（4 ）2，
解得：x＝1，
即OG＝1．
【点睛】
此题考查了折叠的性质，平行四边形的判定，等边三角形的性质，以及勾股定理等知识．此题难度较大，
解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系．
