期末测试卷
考试时间：100分钟；满分：120分
一、单选题(共30分
√x−2
1．(本题3分)函数 y= 的自变量x的取值范围是( )
x−3
A．x≠3 B．x>0且x≠3 C．x≥0且x≠3 D．x>2且x≠3
【答案】C
【详解】解：根据题意可得：¿，
解得：x≥0且x≠3
故选：C．
2．(本题3分)下列分解因式正确的是（ ）
A．−2x2+4x=−2x(x+2) B．x2+xy+x=x(x+ y)
C．x(x−y)+ y(y−x)=(x−y) 2 D．x2+6x−9=(x−3) 2
【答案】C
【详解】解：−2x2+4x=−2x(x−2)，
故A不符合题意；
x2+xy+x=x(x+ y+1)，
故B不符合题意；
x(x−y)+ y(y−x)
=x(x−y)−y(x−y)
=(x−y)(x−y)
=(x−y) 2，
故C符合题意；
x2+6x−9不能因式分解，
故D不符合题意，
故选：C．
m 2
3．(本题3分)若关于x的方程 − =1的解为负数，则m的取值范围是（ ）
x+1 x+1
A． m<2 B． m<3
C． m<2且3m≠1 D． m<3且m≠2
【答案】D
m 2
【详解】解： − =1，
x+1 x+1
m−2=x+1，
x=m−3，
∵原方程解为负数，
1∴m−3<0，
∴m<3，
∵x+1≠0，
∴m−3+1≠0，
∴m≠2，
∴m<3且m≠2，
故选：D．
4．(本题3分)已知n为正整数，若一个三角形的三边边长分别是n、n+2、n+5，则满足
条件的三角形中周长最短的为（ ）
A．13 B．16 C．19 D．22
【答案】C
【详解】解：∵(n+5)−(n+2)<n<(n+5)+(n+2)
即3<n<2n+7
∴n的最小整数解为4，
∴三角形三边分别为4,6,9，周长为4+6+9=19，
故选：C．
5．(本题3分)如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是
射线OA上的一个动点．若PM=4，则PN的长度不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】解：当PN⊥OA时，PN的值最小，
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA
∴PM=PN，
∵PM=4，
∴PN的最小值为4．
故选：A．
6．(本题3分)如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A
的度数是（ ）
2A．36° B．45° C．54° D．72°
【答案】A
【详解】解：设∠A=x°
∵BD=AD，
∴∠A=∠ABD=x°，∠BDC=∠A+∠ABD=2x°，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=2x°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠BCD=2x°，
在△ABC中x+2x+2x=180，解得：x=36，
∴∠A=36°．
故选：A．
7．(本题3分)北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出
售这两种吉祥物礼品，售价如图所示，小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，
如果设购买冰墩墩礼品x件，则能够得到的不等式是（ ）
A．100x+80(10−x)>900 B．100+80(10−x)<900
C．100x+80(10−x)≥900 D．100x+80(10−x)≤900
【答案】D
【详解】解：设购买冰墩墩礼品x件，则购买雪容融礼品(10−x)件，
根据题意，得：100x+80(10−x)≤900，
故选：D．
8．(本题3分)如图，P是△ABC内一点，点P到三边AB，AC，BC的距离PD=PE=PF，
∠BPC=140°，则∠BAC的度数为（ ）．
3A．120° B．80° C．100° D．70°
【答案】C
【详解】∵点P到三边AB，AC，BC的距离PD=PE=PF，
∴BP，CP是∠ABC，∠ACB的角平分线，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，
∵∠BPC=140°，
∴∠PBC+∠PCB=40°，
∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=80°，
∴∠BAC=180°−80°=100°，
故选：C．
9．(本题3分)如图，在△ABC中，点O是△ABC的两内角平分线的交点，过点O作EF ∥
BC分别交AB,AC于点E,F，已知△ABC的周长为8，BC=x，△AEF的周长为y，则表
示y与x的函数图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：∵点O是∠ABC和∠ACB两个内角平分线的交点,EF∥BC ,
∴∠OBC=∠EOB,∠OBC=∠EBO,
4∴∠EOB=∠EBO，
∴△EBO是等腰三角形,
同理△OFC是等腰三角形,即BE=EO,CF=OF,
∴△AEF的周长y=AE+EF+AF=AB+AC,
∵△ABC的周长为8,BC=x,
∴y=8−x，即x是关于y的一次函数，图像是递减的直线，
∵三角形中两边之和大于第三边
∴y>x，即8−x>x
得x<4，即0<x<4
故选：B
10．(本题3分)如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且
B(6,2)，，直线y=2x+1以每秒1个单位的速度向下平移，经过t秒该直线可将平行四边
形OABC分成面积相等的两部分，则t的值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【详解】解：∵平行四边形是中心对称图形，
设t秒后直线可将平行四边形OABC分成面积相等的两部分，则直线经过平行四边形的对
角线的交点
∵点B(6,2)，
∴平行四边形对角线的交点坐标为(3，1)
当y=2x+b过(3，1)时，则1=2×3+b
解得：b=−5，
∴y=2x+1向下平移6个单位得到y=2x−5，
6÷1=6
∴经过6秒该直线可将平行四边形OABC分成面积相等的两部分．
故选：D．
二、填空题(共18分
11．(本题3分)为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利召开，某中学举行了以二十大
5精神为主题的知识竞赛，一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错一题倒扣2
分，璐璐有1题没答，大赛组委会规定总得分不低于80分获奖，璐璐要想获奖，最多只能
错______道题．
【答案】2
【详解】解：设璐璐错x道题，则答对了(19−x)题，
根据题意得：5(19−x)−2x≥80，
15
解得：x≤ ，
7
∵ x为正整数，
∴ x的最大值为2，
故答案为：2．
x m2
12．(本题3分)若关于x的分式方程 −2= 无解，则m的值为___________．
x−3 x−3
【答案】±√3
【详解】解：方程两边都乘x−3，得
x−2(x−3)=m2，
即x=6−m2
∵原方程增根为x=3，
∴把x=3代入整式方程，得m=±√3．
故答案为：±√3．
13．(本题3分)如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为6，周长为16，腰AC的垂直平分
线EF分别交AC，BC边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上的一个动
点，则△CDM的周长的最小值为______________．
【答案】7
【详解】解：EF是AC的垂直平分线，
∴连接AD即可得到CM+DM的最小值，最小值等于AD，
∵等腰三角形ABC的底边BC的长为6，周长为16，
16−6
∴AB=AC= =5，
2
6∵点D为BC边的中点，AB=AC
∴CD=3，∠ADC=90°，
∴AD=√AC2−CD2=√52−32=4，
∴C =CM+DM+CD=AD+CD=3+4=7，
△CDM
故答案为：7．
14．(本题3分)已知平面直角坐标系内有一点P(−1，−2)，连接OP，将线段OP绕着点O
旋转90度，点P落在点P′的位置，则P′的坐标为___．
【答案】（−2，1）或（2，−1）
【详解】将线段OP绕着点O顺时针旋转90度时，P′的坐标为（−2，1），
将线段OP绕着点O逆时针旋转90度时，P′的坐标为（2，−1），
综上，P′的坐标为（﹣2，1）或（2，−1）．
故答案为：（﹣2，1）或（2，−1）．
15．(本题3分)如图，已知△ABC的面积为12，将△ABC沿BC平移到△A′B′C′，使B′和
C重合，连接AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为______．
【答案】6
【详解】解：连接A A′ ,
由平移的性质得，A A′∥CC′,A A′=CC′，△ABC≌△A′CC′，
∴四边形A A′C′C是平行四边形，S =S =12，
△ABC △A′CC′
∴A′D=CD,
71 1 1
∴S =S = S = S = ×12=6，
△C′DC △A′DC′ 2 △A′CC′ 2 △ABC 2
故答案为：6．
16．(本题3分)如图，在平面直角坐标系中，已知A(5,10),B(3,−4)，C为线段AB的中
点，点P是线段OA上的一个动点，连接OB,OC,PB,PC，当AP的值为____________时，
将△BCP沿边PC所在直线翻折后得到的△MCP与△ACP重叠部分的面积为△ABP面积的
1
．
4
【答案】5√2
【详解】解：∵ A(5,10),B(3,−4)，
∴AB=√(5−3) 2+(10+4) 2=√196+4=10√2，
如图，作B关于PC的对称点B′，连接AB′，B′C，取AC的中点D，
∵ C为线段AB的中点，
1
∴S =S = S ，
△PBC △APC 2 △ABP
∴△PDC为△MCP与△ACP重叠部分，
81 1
∴ S = S = S ，
△PDC 2 △APC 4 △ABP
1
∵ △MCP与△ACP重叠部分的面积为△ABP面积的 ，
4
∴ PB′过点D，
∵对称，
∴S =S ，
△PBC △PB′C
1
∵ △MCP与△ACP重叠部分的面积为△ABP面积的 ，
4
1
∴S =S −S = S ，
△DCB′ △PB′C △PDC 2 △PB′C
∴ PD=DB′，
∵AD=DC，
∴四边形APCB′为平行四边形，
∴AP=B′C，
∵对称，
∴CB=CB′，
1
∴AP=BC= AB=5√2．
2
故答案为：5√2．
三、解答题(共72分
17．(本题8分)解不等式组¿，并将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数
解．
【答案】1≤x<4，数轴表示见解析，整数解为1、2、3
【详解】解：15−9x≤10−4x，
移项合并得，−5x≤−5，
系数化为1得，x≥1，
∴不等式的解集为x≥1，
x−1 x+2 x
− > −2，
3 6 2
去分母得，2(x−1)−(x+2)>3x−12，
去括号得，2x−2−x−2>3x−12，
移项合并得，−2x>−8，
系数化为1得，x<4，
∴不等式的解集为x<4，
∴不等式组的解集为1≤x<4，
9在数轴上表示解集如下：
，
∴整数解：1．2．3．
x2 ( 1 )
18．(本题8分)先化简，再求值： ÷ +x−1 ；从−1,0,1,2中任选一个代入求
x2−1 x+1
值
1
【答案】 ，1
x−1
x2 ( 1 )
【详解】解： ÷ +x−1
x2−1 x+1
x2 [ 1 (x+1)(x−1)]
＝ ÷ +
(x+1)(x−1) x+1 x+1
x2 1+x2−1
＝ ÷( )
(x+1)(x−1) x+1
x2 x+1
＝ ⋅
(x+1)(x−1) x2
1
＝ ，
x−1
根据分式有意义的条件得x≠±1且x≠0，
∴x只能为2，
1
当x＝2时，原式＝ =1．
2−1
19．(本题8分)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到
点D，使AB=2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．
(1)试说明AF与DE互相平分；
(2)若AB=8，BC=12，求DO的长．
【答案】(1)见解析
(2)DO=√21
【详解】（1）解：∵E、F分别是BC、AC的中点，
10∴EF是△ABC的中位线，
1
∴EF∥AB且EF= AB，
2
1
又AB=2AD，即AD= AB，
2
∴AD∥EF，AD=EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，BC=12，
∴由勾股定理得 AC=√BC2−AB2=√122−82=4√5，
又由（1）知，OA=OF，且AF=CF，
1
∴OA= AC=√5，
4
1
∴在△AOD中，∠DAO=90°，AD= AB=4 ,OA=√5 ,
2
∴由勾股定理得 DO=√DA2+OA2=√42+(√5) 2 =√21．
20．(本题9分)笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B，其中AB=BC，
由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H
（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得AC=√5千米，CH=2千米，
AH=1千米．
(1)判断△BCH的形状，并说明理由；
(2)求原路线BC的长．
【答案】(1)△BCH是直角三角形，理由见解析
5
(2)BC= 千米．
2
【详解】（1）解：△BCH是直角三角形，
理由是：在△ACH中，
∵CH2+AH2=22+12=5，AC2=(√5) 2=5，
∴CH2+AH2=AC2，
∴△ACH是直角三角形且∠CHA=90°，
∴∠CHB=90°，
11∴△BCH是直角三角形；
（2）解：设BC=x，则BH=x−1，
∴CH2+BH2=BC2，即22+(x−1) 2=x2，
5 5
解得x= ，即BC= 千米．
2 2
21．(本题9分)如图，在▱ABCD中，AB>AD．
(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①在AB上截取AE，使得AE=AD；
②作∠BCD的平分线交AB于点F．
(2)连接DE交CF于点P，猜想△CDP的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)①见解析；②见解析；
(2)△CPD是直角三角形，证明见解析．
【详解】（1）如图，线段AE，射线CF即为所求；
（2）结论：△CPD是直角三角形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CDE=∠AED，
∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠ADE=∠CDE，
∵CF平分∠BCD，
∴∠DCP=∠BCP，
∵AD∥CB，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴2∠CDP+2∠DCP=180°，
∴∠CDP+∠DCP=90°，
∴∠CPD=90°，
12∴△CDP是直角三角形．
22．(本题9分)在2022年卡塔尔世界杯期间，某商店分两次购入某款纪念册和某款吉祥物
两种商品进行销售，若两次进价相同，第一次购入25件纪念册和20件吉祥物共花费5250
元，第二次购入20件纪念册和25件吉祥物共花费6000元．
(1)分别求每件纪念册和每件吉祥物的进价．
(2)为满足市场需求，商店准备第三次购入纪念册和吉祥物共500件，且购入吉祥物的数量
不超过纪念册数量的2倍．若进价不变，每件纪念册与每件吉祥物的售价分别为65元、
220元，求购入纪念册和吉祥物分别多少件时，商店获得利润最高．
【答案】(1)每件纪念册的进价是50元，每件吉祥物的进价是200元；
(2)购入纪念册167件，吉祥物333件时，商店获得利润最高．
【详解】（1）解：设每件纪念册的进价是x元，每件吉祥物的进价是y元，
¿，
解得：¿，
答：每件纪念册的进价是50元，每件吉祥物的进价是200元；
（2）解：设购入纪念册为m件时，商店获得利润最高，此时吉祥物为(500−m)件，
由题意得：500−m≤2m，
500
解得：m≥ ，
3
每件纪念册的利润为65−50=15元，每件吉祥物的利润为220−200=20元，
设商店获得利润y=15m+20(500−m)=10000−5m，
500
∵ ≈166.7，
3
∴当m=167时，y取得最大值，
∴500−m=500−167=333件，
∴购入纪念册167件，吉祥物333件时，商店获得利润最高．
23．(本题10分)阅读理解完成任务：教材第121页阅读与思考中有一种因式分解的方法叫
十字相乘法，书中描述分解因式x2+3x+2的过程如下：先分解二次项系数，分别写在十
字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然
后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如分解图），这样，我们就可以得到：
x2+3x+2=(x+1)(x+2)
13某同学看完教材没完全懂，问老师后就懂了，老师讲解如下：利用十字相乘法分解
6x2+7x−3，首先分解二次项系数6，可分解为1×6或2×3或(−1)×(−6)或(−2)×(−3)，
分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项－3，可分解为−1×3或1×(−3)，
分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，这样就会出现16种情况（如下分
解图），求代数和等于一次项系数7，符合分解的分解图有2种情况（就是方框框起的两
种情况）．所以得到：6x2+7x−3=(2x+3)(3x−1)或
6x2+7x−3=(−2x−3)(−3x+1)．
十字相乘法公式：abx2+(ad+bc)x+cd=(ax+c)(bx+d)（其中，a，b，c，d为常数）
阅读以上材料，完成以下任务：请用十字相乘法分解下列多项式，要求写出一种符合分解
的分解图．
(1)x2−7x+12
(2)2x2+3x+1
【答案】(1)(x−3)(x−4)
(2)(2x+1)(x+1)
【详解】（1）解：分解图如下：
∴x2−7x+12=(x−3)(x−4)；
（2）分解图如下：
∴2x2+3x+1=(2x+1)(x+1)．
1424．(本题11分)（1）问题发现：如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、E
在同一条直线上，连接AE．
①∠AEC的度数为______；
②线段AE、BD之间的数量关系为______；
（2）拓展探究：如图②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
点B、D、E在同一条直线上，CM为△EDC中DE边上的高，连接AE，试求∠AEB的度
数及判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，点
B、D，E在同一条直线上，请直接写出∠EAB+∠ECB的度数．
【答案】（1）①120°；②相等；（2）90°；BE=AE+2CM，理由见详解；（3）180°
．
【详解】（1）解：如图①所示，
∵ △ABC和△EDC都是等边三角形，
∴ EC=DC,AC=BC,∠ECD=∠ACB=∠CDE=60°，
∴∠ECD−∠ACD=∠ACB−∠ACD，
∴∠ECA=∠DCB，
在△AEC与△BDC中，
¿，
∴△AEC≌△BDC(SAS)
∴∠AEC=∠BDC,AE=BD，
∵∠CDE=60°，点B、D、E在同一条直线上，
∴∠BDC=120°，
∴∠AEC=∠BDC=120°，
故①的答案为：120°；
②的答案为：相等；
（2）解：如图②所示，
∵ △ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴ EC=DC,AC=BC,∠ECD=∠ACB=90°,∠CDE=∠CED=45°，
∴∠ECD−∠ACD=∠ACB−∠ACD，
15∴∠ECA=∠DCB，
在△AEC与△BDC中，
¿，
∴△AEC≌△BDC(SAS)
∴∠AEC=∠BDC,AE=BD，
∵∠CDE=45°，点B、D、E在同一条直线上，
∴∠BDC=135°，
∴∠AEC=∠BDC=135°，
∴∠AEB=∠AEC−∠CEB=135°−45°=90°，
∵ △EDC都是等腰直角三角形，CM⊥DE，
∴CM=EM=MD，
∴ED=2CM，
∴BE=BD+DE=AE+2CM，
∴ ∠AEB的度数为90°，线段CM、AE、BE之间的数量关系为：∴BE=AE+2CM；
（3）解：根据（1）（2）中结论可知：△AEC≌△BDC，得∠AEC=∠BDC，
∵ △ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，
180°−36°
∴∠CDE=∠ABC= =72°，
2
∴∠AEC=∠BDC=180°−72°=108°，
∴∠AEC+∠ABC=108°+72°=180°，
∴∠EAB+∠ECB=360°−180°=180°．
16
