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专题 8.3 利用传统方法求角度和距
离
题型一 求异面直线的夹角
题型二 求直线与平面的夹角
题型三 求平面与平面的夹角
题型四 已知夹角求距离
题型五 求几何体的体积
题型六 利用等体积法求点到面的距离
题型一 求异面直线的夹角
例1．（2023春·全国·高一专题练习）在棱长为2的正方体 中， 为底面
A
1
B
1
C
1
D
1
的中心， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是________.
【答案】 /
【分析】根据给定条件，作出并证明异面直线 与 所成角，再计算作答.
【详解】在棱长为2的正方体 中，取 中点 ，连接
，如图，
因为 为 的中点，有 ，则四边形 是平行四边形，
于是 ，又 ，即有四边形 是平行四边形，
因此 ，则 是异面直线 与 所成的角或补角，
而 为底面A B C D 的中心，则 ，又 平面 ，
1 1 1 1
从而 平面 ，而 平面 ，则 ，在 中， ，于是 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值是 .
故答案为：
例2．（2023·河北·校联考一模）如图，在三棱锥 中， ， ，且
，点E，F分别为 ， 的中点，则异面直线 与 所成角的大小为
__________， 与 所成角的余弦值为__________.
【答案】
【分析】根据异面直线夹角的定义作辅助线，构造三角形.
【详解】
取 的中点G，连接 ， ，则 ， ，故 或其补角为异面直线
与 所成的角，
过A作 平面 于点O，连接 ， ， ，则 ，
又 ，且 ，故 平面 ，故 ，同理可得 ，
即 为 的垂心，故 ，又 ， ， 平面 ，
平面 ，故 平面 ，故 ，即 与 所成角为 ；
所以 ，由 可得 ，故 ，
即异面直线 与 所成角的余弦值为 ；
故答案为：① ，② .
练习1．（2023春·广东广州·高一广州四十七中校考期中）如图，在正四面体 中，是 的中点，P是线段 上的动点，则直线 和 所成角的大小（ ）
A．一定为 B．一定为 C．一定为 D．与P的位置有关
【答案】A
【分析】连接 ，可以证到 ， ，从而证到 平面 ，所以
，即可得解．
【详解】解：连接 ,
四面体 是正四面体， 是 的中点,
、 是等边三角形，
， ．
平面 ， 平面 ， ，
平面 ，又 平面 ，
，
直线 与 所成角为 .
故选：A．
练习2．（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）如图，在四棱锥
中， 平面 ，四边形 为平行四边形， 且 为
的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别取 的中点 ，连接 ，则可证明
为异面直线SC与DE所成的角，分别在三角形中由勾股定理求出 ， 和
的长度，利用余弦定理计算得到答案.
【详解】如图所示：
分别取 的中点 ，连接 .
由 且 可得 是等边三角形，
则 且 ， 且 ，故 且 ，
所以四边形 为平行四边形，故 ，
因为 ，所以 为异面直线SC与DE所成的角（或其补角），
因为 平面 ， 平面 ，∴ ， ，
故 和 均为直角三角形，
所以 ， ，
，
由余弦定理得 .
则异面直线 与 所成的角的余弦值为 .故选：B
练习3．（2023·江苏·高三专题练习）如图，在直三棱柱 中， 是等边三
角形， ，D，E，F分别是棱 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成
角的余弦值是______.
【答案】
【分析】通过构造平行线将异面直线所成角转化为相交线的夹角，解三角形即可.
【详解】如图，在棱 上取一点 ，使得 ，取 的中点 ，连接 ， ，
，由于 ， 分别是棱 ， 的中点，所以 ， ，
故四边形 为平行四边形，进而 ，
又因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ，所以 ，则 或其
补角是异面直线 与 所成的角.
设 ，则 ， ， .
从而 ， ，
， ，
故 ，
故异面直线 与 所成角的余弦值是 .
故答案为： .练习4．（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知三棱柱 中，
， ，则异面直线 与 所成角的余弦值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将三棱柱补成如图所示的四棱柱 ，则异面直线 与 所成角
即为 ，设 ，求出 ，由余弦定理求解即可.
【详解】解析：将三棱柱补成如图所示的四棱柱 ，
连接 ，由四棱柱的性质知， ，
所以异面直线 与 所成角即为 与 所成角，
则所求角为 ，设 ，则 ,
由余弦定理可得： ，
同理可得 ，因为 ， ，所以 ，
所以 ，
故选：C.
练习5．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，正方体 中，E，F分别是，DB的中点，则异面直线EF与 所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据异面直线的夹角的求法和线面位置关系即可求解.
【详解】
如图所示，连接直线 ，
因为 分别为直线 和直线 的中点，
所以 为 的中位线，
所以 ，
则异面直线EF与 所成角的正切值即为直线 与 所成角的正切值，
因为 ,
所以 平面 ,
平面 ,
所以 ,
所以 为直角三角形，
所以 .
故选：B.
题型二 求直线与平面的夹角
例3．（2021春·广东佛山·高三佛山市南海区第一中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中， 平面 ， ，且 平分 ， 为 的中点，
， .
(1)证明 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成的角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设 ，得到 是三角形 的中位线，故 ，利用线面
平行的判定定理即可得证；
（2）证明 平面 ，可得 即为直线 与平面 所成的角，再解 即
可.
【详解】（1）令 ，连结 ，
∵ 平分 ，∴ ，
又 ，∴ ，∴ ，
点 为 的中点，
为 的中点， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ；
（2）由（1）可知 ，
平面 ， 平面 ， ，
又 平面 ， 平面 ，
即为直线 与平面 所成的平面角，
在 中， ， ， ，
直线 与平面 所成角的正切值为 .例4．（2022秋·浙江杭州·高二统考期末）如图，在三棱锥 中， 是 的中点，
平面 ， ， ， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）证明 ，原题即得证；
（2）连结 ， 就是直线 与平面 所成的角，解直角三角形求出 ，
，即得解.
【详解】（1）∵ 平面 ∴
又∵ ， ， 平面 ，
∴ 平面
（2）连结 ，由（1）知 平面
∴ 就是直线 与平面 所成的角，
中， ，∴ .
中， ，∴ .∴ ，
∴ ．
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
练习6．（2023春·山东临沂·高三校考期中）如图，已知点 是正方形 所在平面外一
点， ， 分别是 ， 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 中点为 ，求证：平面 平面 .
(3)若 平面 ， ，求直线 与面 所成的角.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ， ，即可证明四边形 为平行四边形，所
以 ，从而得证；
（2）依题意可得 即可得到 平面 ，再结合（1）的结论，即可得证；
（3）依题意可得平面 平面 ，由面面垂直的性质得到 平面 ，则
即为直线 与面 所成的角，再根据边长的关系得解.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ， ，
因为 是 的中点，所以 且 ，
又 是 的中点， 是正方形，所以 且 ，
所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .（2）因为 为 的中点， 是 的中点
所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ， ， 平面 ，所以平面 平面 .
（3）因为 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
又 为正方形，所以 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，
所以 即为直线 与面 所成的角，又 ，所以 为等腰直角三角
形，
所以 ，
即直线 与面 所成的角为 .
练习7．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）米斗是称量粮食的量器，是古代
官仓､粮栈､米行及地主家里必备的用具､如图为一倒正四棱台型米斗，高为40cm.已知该正
四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球
心重合，则该正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意作出正四棱台的对角面， 为外接球球心，为线段 中点，过点 作
，垂足为 ，则 即为所求角.
【详解】由题意，作出正四棱台的对角面，如图
为正四棱台上底面正方形对角线， 为正四棱台下底面正方形对角线，
为外接球球心，为线段 中点，则 ，
过点 作 ，垂足为 ，则 即为所求角.
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为 .故选: D.
练习8．（2023·全国·高三专题练习）在长方体 中， ， ，
，则 与平面 所成角的正切值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】连接 ，利用线面角定义知 为所求的角，在直角 中，即可求解.
【详解】在长方体 中， 平面 ，
是 与平面 所成的角，
连接 ， 平面 ， ，
又 ， ， ，所以 ，
在直角 中， ，即 与平面 所成角的正切值为 ．
故选：D．
练习9．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）如图，在正四棱柱ABCD-ABC D 中，
1 1 1 1
AA=2AB，E、F分别为AA、AC的中点.
1 1(1)求证：EF∥平面CDA B；
1 1
(2)求EF与平面DBB D 夹角的余弦值.
1 1
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面平行的判定，只要证明 平行于平面CDA B 内一条直线即可；
1 1
（2）如图，利用面面垂直确定线面角为 ，解三角形即可.
【详解】（1）由 为 交点，连接 交于点 ，
连接 ，由 为 中点，
则 ∥ ，
由 平面CDA B， 平面CDA B，
1 1 1 1
所以EF∥平面CDA B；
1 1
（2）连接 交于点 ，连接 ，
由 平面 ，则 ，
又 ，且 ，
所以 平面 ，
所以平面 ，
又平面 平面 ，
作 于 ，则 平面 且 为 中点，
则 为EF与平面DBB D 所成角，
1 1
由AA=2AB，不妨设 ，
1
则 ， ，所以 .
练习10．（2023·全国·模拟预测）如图，在多面体ABCDE中，平面 平面 ，
平面 ， 是边长为2的正三角形， ， ．
(1)点 为线段 上一点，求证： ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 中点 ，证得 平面 ，得到 ，且 ，得到所
以四边形 为平行四边形，所以 ，再由 ，证得 平面 ，
得到 平面 ，即可证得 ；
（2）过 作 垂直于 ，证得 平面 ，得到 即为 与平面 所成
角，在直角 ，即可求得 与平面 所成角的正弦值.
【详解】（1）证明：取 中点 ，连接 ，因为 是边长为2的正三角形，可得 ，
因为平面 平面，平面 平面 ，且 平面 ，
所以 平面 ，且 ，
又因为 平面 ，所以 ，
因为 ，可得 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
由 ，且 为 的中点，可得 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ，
所以 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 .
（2）解：在 中， ，且 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
如图所示，过 作 垂直于 ，交 延长线于点 ，即 ，连结 ，
因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
所以 即为 与平面 所成角,
在直角 中，可得 ，
在直角 中，可得 ，
所以 ，即 与平面 所成角的正弦值为 .题型三 求平面与平面的夹角
例5．（2023·全国·高三专题练习）（多选）如图，正四棱柱 中，
，E，F分别为 ， 的中点，则下列结论错误的是（ ）
A． 平面BEF
B．直线 与直线BF所成的角为
C．平面BEF与平面ABCD的夹角为
D．直线 与平面ABCD所成的角为
【答案】ABC
【分析】对于A，若 平面BEF，则 ，与 矛盾；对于B，假设直
线 与直线BF所成的角为 ，可得 平面 ，所以 ，显然这是不可
能的；对于C，可证得 即为平面BEF与平面ABCD的夹角，求 判断即可；
对于D：直线 与平面ABCD所成的角即为直线 与平面ABCD所成的角 .
【详解】对于A，如图，连接 ，由题意 ，又E，F分别为 ， 的中点，
可得 ，若 平面BEF，则 ，进而 ．这显然不
成立，故 与平面BEF不垂直，A错误；
对于B，假设直线 与直线BF所成的角为 ，即 ，由正四棱柱的性质可知
平面 ，而 平面 ，所以 ，又 与 相交， 、面 ，所以 平面 ，而由正四棱柱的性质可知 平面 ，
所以 ，显然这是不可能的，所以假设不成立，因此B错误；
对于C，分别延长 ，DA交于点P，连接PB，则直线PB即为平面 与平面ABCD
的交线．连接BD， ，因为 且 ，所以 ，所以
，又 平面 ， 面 ，所以 ，又
面 ，所以 平面 ，又 面 ，所以
，所以 即为平面BEF与平面ABCD的夹角，易知
，故 ，C错误；
对于D，可证 ，则直线 与平面ABCD所成的角为 ，又根据题意易知
，D正确．
故选：ABC．
例6．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知四面体ABCD，
D在面ABC上的射影为 ， 为 的外心， ， .
(1)证明：BC⊥AD；
(2)若E为AD中点，OD=2，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）根据题意，连接 并延长 交 于 ，连接 ，由线面垂直的判
定定理可得 面 ，即可证明BC⊥AD；
（2）解法一：取 中点 ，连接 ，作 垂直 交于点 ，连接 ，由题意可
得 即为平面 与平面 夹角的平面角.
解法二：建立空间直角坐标系，通过空间向量的坐标运算，结合二面角的公式即可得到结
果.
【详解】（1）
连接 并延长 交 于 ，连接 ，
因为O恰好为 ABC的外心，所以 ，
又 ，△ ，所以 ，
所以 ，即 是 的角平分线，
又 ，所以由等腰三角形三线合一可得 ，
因为D在面ABC上的投影为O，所以 面ABC，
又 面ABC，所以 ，
又 面 ，所以 面 ，
又 面 ，所以 .
（2）
解法一：在 中，由（1）与等腰三角形三线合一可知 是 的中点，
由（1）知 ， 面ABC，
取 中点 ，连接 ，因为 ， , 面ABC,
作 垂直 交于点 ，连接 ， 即为平面 与平面 夹角的平面角.由题可得 ， ，
，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
练习11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，四边形 为正方
形， 平面 ， ，求平面 与平面 所成二面角的大小．
【答案】
【分析】设平面 平面 ，证得 平面 ，从而证得 ，得到
为平面 与平面 所成二面角的平面角，在直角 ，即可求解.
【详解】解：因为 ，且 平面 ， 平面 ，所以 平面
，
如图所示，设平面 平面 ，且 平面 ，所以 ，
因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又因为 为正方形，可得 ，
因为 且 平面 ，所以 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
所以 为平面 与平面 所成二面角的平面角，
在直角 ，可得 ，所以 ，
即 为平面 与平面 所成二面角的大小为 .
故答案为： .练习12．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）已知，正三棱柱 中，
，延长 至 ，使 .
(1)求证： ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过底面的边角关系可得 ， ，进而可证得 平面
，从而得证；
（2）法一：取 中点 ，联结 ，可证得 为二面角 的平面角，从而
得解.
法二：建立空间直角坐标系用向量的方法求解.
【详解】（1）因为是正三棱柱 ，所以 ，
，且 ，从而
又 ，所以 ，
，即 ，
又 ， 、 ，
平面 ，又 ，
（2）解法一：取 中点 ，联结 .所以 ，又 ，故 ，
因为 平面 ， ，所以 ，
又 ， 、 ，
所以 平面 ，又 ，所以 ，
所以 为二面角 的平面角，
因为 所以 ，
平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
解法二：以直线 为 轴，直线 为 轴，直线 为z轴建立空间直角坐标系.
则 ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，
令 ，则 ，所以 ，
又平面 的一个方向量 ，
设二面角 的大小为 ，则 ，
平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
练习13．（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）如图，在圆柱 中， ，
为圆 上一定点， 为圆 上异于点 的一动点， ，过点 作平面 的垂线，
垂足为 点.
(1)若 ，求证： .
(2)若 为等边三角形，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）由线面垂直证线线垂直即可；
（2）由二面角的定义，找到二面角的平面角，在三角形中求二面角的余弦值大小即可.
【详解】（1）证明：由圆柱的性质得： ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）过点 作 垂足为 ，过 作 于 ，连接 ，
由已知 ，所以 ， ，
所以 ， ，所以 ，
所以 ，所以 为二面角 的平面角，
又因为 为等边三角形， ，
所以 ，在直角三角形 中， ，
，所以 ，所以 ，
在直角三角形 中， ，
所以 .
练习14．（2023春·吉林·高三校联考期中）如图，四棱柱 的底面 是
菱形， 平面 ， ， ， ，点 为 的中点.
(1)求证：直线 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 交 于点 ，连接 ，根据线面平行的判定定理求解；
（2）连接 ， ，可证明 为二面角 的平面角，利用余弦定理求解余
弦值即可.
【详解】（1）连接 交 于点 ，连接 ，如图，
则 为 的中点，
由于 是 的中点，故 ，
∵ 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；（2）连接 ， ，
因为 ， 是 的中点，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
由底面 是菱形，得 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
则 为二面角 的平面角，
， ， ，
由余弦定理可知 ，
∴二面角 的余弦值为 .
练习15．（2023春·全国·高三专题练习）如图，在圆锥 中，已知 底面 ，
， 的直径 ， 是 的中点， 为 的中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积；
(3)求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
(3)
【分析】（1）连接 ，先根据 是等腰直角三角形证出中线 ，再结合
证出 ，利用平面与平面垂直的判定定理，可证出平面 平面 ；
（2）依题意可得 ，则 ，再根据 计算可得.
（3）过 分别作 于 ， 于 ，再连接 ，根据三垂线定理证明
为二面角 的平面角，最后分别在 、 、 中计算出 、
和 ，最后求出所求二面角的余弦值．
【详解】（1）连接 ，
， 是 的中点，
，
又 底面 ， 底面 ，
，
， 平面 ，
平面 ，而 平面 ，
平面 平面 .
（2）因为 是 的中点， 是 的直径，所以 ，
所以 ，
所以 .
（3）在平面 中，过 作 于 ，由（1）知，平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
，
在平面 中，过 作 于 ，连接 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，从而 ．
故 为二面角 的平面角，
在 中， ，在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
所以 ，
故二面角 的余弦值为 .
题型四 已知夹角求距离
例7．（2023·上海徐汇·统考三模）如图，已知顶点为 的圆锥其底面圆 的半径为8，点
为圆锥底面半圆弧 的中点，点 为母线 的中点.
(1)若母线长为10，求圆锥的体积；
(2)若异面直线 与 所成角大小为 ，求 、 两点间的距离.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，求出圆锥的高，再利用锥体的体积公式计算作答.
（2）取 的中点 ，作出异面直线 与 所成角，再利用线面垂直的性质结合勾股
定理求解作答.
【详解】（1）圆锥 的底面圆半径为8，母线长为10，而 ，则 ，
解得 ，所以圆锥的体积为 .
（2）取 的中点 ，连接 , ，
由弧 为圆锥底面的半圆弧知圆锥底面圆心 在 上且为 中点，
为母线 的中点，则 与 所成角为 或其补角，
由 平面 ，得 平面 ， 平面 ，则 ，
于是有 ，由 是半圆弧 的中点可得 ，
则 ，
所以 .
例8．（2023春·河南安阳·高三安阳一中校考阶段练习）如图所示，在平行四边形ABCD
中， ， ，E为边AB的中点，将 沿直线DE翻折为 ，
若F为线段 的中点．在 翻折过程中，
(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 ，求 与面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 的中点 ，通过证平面 平面 ，可得 面 .
（2）利用二面角的平面角的定义先找出二面角 的平面角即为 ，再利用面
面垂直的性质定理找到平面 的垂线，从而作出 与面 所成的角，计算可得答
案.
【详解】（1）证明：取 的中点 ，连接 ，为线段 的中点， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
又 ， ， 四边形 为平行四边形，则
平面 ， 平面 ，可得 平面 ，
又 ， ， 平面 ，
可得平面 平面 ， 平面 ，
则 面 .
（2）取 中点 ， 中点 ，连接 ， ， ，
由 ， ， 为边 的中点，
得 ，所以 为等边三角形，从而 ， ，
又 ， 为 的中点所以 ，又 是等边三角形，
所以 ，所以 为二面角 的平面角，所以 ，
过点 作 ，过 作 交于 ，连接 ，
是等边三角形，所以可求得 ， ，所以 ， ，
， ， ， ，
所以 ， ，又 ， ， 面 ，
所以 面 ，又 ，所以 面 ，
平面 ，所以面 面 ，
由 ，在 中易求得 ，又 ，
所以 ， ，
面 面 ， 面 ，
所以 面 ，所以 为 与平面 所成的角，在 中可求得 ，所以 ，
与面 所成角的正弦值为
练习16．（2023·上海·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯
形， ， ， ， ， 分别为棱 中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若平面 平面 ，直线 与平面 所成的角为 ，且 ，求二面
角 的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形性质和三角形中位线性质，结合线面平行的判定可得
平面 ， 平面 ，由面面平行的判定可证得结论；
（2）根据面面垂直的性质可证得 平面 ，由线面角定义可知 ，根据
二面角平面角的定义可知所求二面角的平面角为 ，由长度关系可得结果.
【详解】（1） 为 中点， ， ， ， ，
四边形 为平行四边形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
分别为 中点， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
， 平面 ， 平面 平面 .
（2） 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
，
平面 ， 即为直线 与平面 所成角，即 ；
设 ，则 ，
平面 ， 平面 ， ， ；， ， 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
即为二面角 的平面角，
， ， ，
即二面角 的大小为 .
练习17．（2023·上海·高三专题练习）如图，正四棱柱 中， ，点
E、F分别是棱BC和 的中点．
(1)判断直线 与 的关系，并说明理由；
(2)若直线 与底面ABCD所成角为 ，求四棱柱 的全面积．
【答案】(1)相交；理由见解析
(2)
【分析】（1）连结 .先根据三角形的中位线得出 ，且 .然后
证明四边形 是平行四边形，即可推出四边形 是梯形，进而得出结论；
（2）由题意知 ，推得 .在 中，解得 ，即可求出四棱
柱的面积.
【详解】（1）如图1，连结 .
因为 分别是 的中点，所以 ，且 .
由正四棱柱的性质可知， ，且 ，
所以，四边形 是平行四边形，
所以， ，且 ，
所以 ，且 .
所以，四边形 是梯形，所以，直线 与 相交.
（2）
如图2，连结 ，则 即为直线 与底面ABCD所成角，即 ，
则在 中，有 .
设 ，由题意知 ，则 ，
在 中，有 ，
所以 .
所以，四棱柱 的全面积为 .
练习18．（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）如图所示，三棱台 中，
底面 ， ．
(1)证明： 是直角三角形；
(2)若 ，问 为何值时，直线 与平面 所成角的正弦值为 ？【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）结合棱台的特征及条件先证得 平面 ，由 即可得结论；
（2）作 ，先证 为直线 与平面 所成角，设 边长，结合条件解
直角三角形得出含参表示的 边长，作商即可解得 .
【详解】（1）∵ 平面 ， 平面 ，∴
又 ， ， 平面 ，∴ 平面 ，
∵三棱台 中， ∴ 平面 ，
又 平面 ， ，故 是直角三角形．
（2）
在平面 内作 ，垂足为 ，连接 ．
由（1）知， 平面 ，又 平面 ， ，
， 平面 ， 平面 ，
是 在平面 上的射影，即 为直线 与平面 所成角．
设 ，则 ， ，
∵三棱台 中， ，
， ．
在 中， ， ，
在 中， ，
解得 ．
∴ 当 时，直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
练习19．（2021春·广东佛山·高三佛山市南海区第一中学校考阶段练习）如图，四棱锥
的底面是正方形， 底面 ， 是 上一点.(1)求证：平面 平面 ；
(2)当 的值为多少时，二面角 的大小为 .
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）根据题意，分别证得 和 ，得到 面 ，结合面面垂
直的判定定理，即可证得平面 平面 .
（2）作 于 ，连接 ，证得 是二面角 的平面角，利用余弦
定理，建立等量关系式，结合直角三角形的性质，即可求解.
【详解】（1）证明（1）四棱锥 的底面是正方形，可得 ，
因为 底面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 且 平面 ，所以 面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）解：作 于 ，连接 ，
因为 底面 ， ，可得 ，
由 底面 ， 底面 ，所以 ，
又因为 ， ，所以 平面 ，
又由 平面 ，所以 ，
同理可证： 平面 ，且 平面 ，所以 ，
所以 和 全等，因为 ，所以 ，且
所以 是二面角 的平面角，
要使 ，只需 ，
解得 ，
又因为 ，可得 ，
因为 ，且 ，所以 ，可得 ，
因为 ，所以 ，可得 ，
又因为 ，所以 ，所以
故当 时，二面角 的大小为 .
练习20．（2023·河南·校联考模拟预测）在四棱锥 中， 底面ABCD，
， ， ，且二面角 为 ，则四棱锥
的侧面积为（ ）
A． B．10 C． D．11
【答案】C
【分析】作出辅助线，得到 为二面角 的平面角，并结合余弦定理求出各
边长，得到 ，可证 ，求出各个侧面的面积，得到侧面积.
【详解】因为 ， ，所以 为正三角形，
取BC的中点E，连接PE，AE，则 ．
因为 底面ABCD， 平面ABCD，所以 ，又 ，
所以 平面PAE，则 ，则 为二面角 的平面角，
所以 ，所以 ， ．
因为 ， ， ，所以由余弦定理得 ，
则 ，所以 ，
因为 底面ABCD， 平面ABCD，所以 ，又 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，则 ，
故 ， ，
， ，
所以四棱锥 的侧面积为 ．
故选：C
题型五 求几何体的体积
例9．（2023春·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，
平面 ，平面 平面 ．
(1)证明：四边形 是正方形；
(2)若 ， 为 上一点，且满足 ，求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）只需证 ，即可求证四边形 是正方形.
（2）根据椎体体积公式，即可求解.
【详解】（1）证明：
如图，过点 作 交 于点 ；
因为面 面 ，面 面 , ， 面 ,
所以 面 ，而 面 ，所以 ．
又因为 面 ，而 面 ， ，而 ， ， 面 ， 面 ，
故 面 ，而 面 ，故 ，
由题意四边形 是菱形，∴四边形 是正方形．
（2）∵
设点 到面 的距离为 ，则
由
∵
例10．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是边长
为2的菱形， ，AC与BD交于点O， 底面ABCD， ，点E，F分
别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．
(1)求证：平面 平面PCD；
(2)求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
【分析】（1）根据中位线定理和面面垂直的判定即可求解；
（2）根据等体积法即可求解.
【详解】（1）因为底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O
所以O为AC中点，点E是棱PA的中点，F分别是棱PB的中点，
所以OE为三角形 的中位线，OF为三角形 的中位线，
所以 , ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
而 , 平面 ， 平面 ，
平面 平面PCD.
（2）因为底面ABCD是边长为2的菱形， ，
所以 为等边三角形，
所以 ，
因为 底面ABCD，
底面ABCD， 底面ABCD，
所以 ， ，
所以 和 均为直角三角形，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，
根据体积相等法可知 ，
所以 ，
所以 .
，
故三棱锥 的体积为 .练习21．（2023·贵州·校联考模拟预测）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学
术语，指的是一个类似隧道形状的几何体.如图，在羡除 中，底面 是边长
为2的正方形， .
(1)证明：平面 平面 .
(2)求四棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2) .
【分析】（1）作出辅助线，由等腰三角形三线合一得到线线垂直，求出等腰梯形的高，得
到 ，故 ，进而证明出线面垂直，得到面面垂直；
（2）根据比练习关系得到 ，证明出线面垂直，求出 ，
从而求出答案.
【详解】（1）分别取 和 的中点 ，连接 ，
因为底面 是边长为2的正方形， ，
所以 .
在梯形 中， ，
分别作 垂直于 ，垂足分别为 ，则 ，
故由勾股定理得 ，
所以 ，
易知 ，故 .
又 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）连接 .因为 ，所以四边形 的面积 ，所以 .
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，且 .
因为 ，所以 ，
即四棱锥 的体积为 .
练习22．（2023春·高三平湖市当湖高级中学校联考期中）如图，在正方体
中 ， 分别是棱 的中点，设 是线段 上一动点.
(1)证明： //平面 ；
(2)求三棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）结合正方体的性质，利用线面平行的判定及性质即可证明；
（2）利用等体积法求解三棱锥体积即可.
【详解】（1）连结 ， ，
因为正方体 ，所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
取 中点 ，连结 ，
因为 是 和 的中点，
所以 ， ，且 ， ，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，且 ，
因为 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，且 ，
所以 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
（2）因为正方体 ，
所以点 到平面 的距离与点 到平面 的距离相等，
所以三棱锥 的高 ，
所以 .
练习23．（2023·青海海东·统考模拟预测）如图，四棱锥 的底面是等腰梯形，
， ， ， 底面ABCD， 为棱 上的一点.
(1)证明： ；
(2)若三棱锥 的体积为 ，求 的值.【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过点 作 ，垂足为 ，根据等腰三角形的性质得到 ，
利用余弦定理求出 ，从而得到 ，由线面垂直得到 ，即可证明
平面 ，从而得证；
（2）设 ， ，则 ，求出 ，即可求出 ，从而得解.
【详解】（1）证明：过点 作 ，垂足为 ，
在等腰梯形 中，因为 ， ，所以 ， ，
在 中， ，则 ，则
，
因为 底面 ， 底面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
（2）设 ， ，则 ，
因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，
即当三棱锥 的体积为 时， .
练习24．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）如图，在直三棱柱
中， ， ， ， ，点D为棱AB的中点，点E为棱
上一点.(1)证明： ；
(2)求三棱锥 的体积；
(3)求直线 与平面 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)20
(3)
【分析】（1）先证明出 平面 ，利用线面垂直的性质即可证明 ；
（2）利用等体积法即可求解；
（3）先判断出 为直线 与平面 所成的角，在 中利用余弦的定义
直接求解.
【详解】（1）∵三棱柱 是直三棱柱，∴平面 平面ABC.
∵ ， ， ，∴ ，∴ .
∵平面 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
又 平面 ，∴ .
（2）∵三棱柱 是直三棱柱，
∴点E到平面ABC的距离即 的长，为5.
∵D是AB的中点，∴ ，
∴ .
（3）（3）由（1）知 平面 ，
∴ 为直线 与平面 所成的角.
在 中， ， ，
∴ ，∴ ，即直线 与平面 所成角的余弦值为 .
练习25．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，四边形 与四
边形 是全等的矩形， ，若 是 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)如果 ，求三棱锥 与多面体 的体积比值.
【答案】(1)证明见解析
(2) .
【分析】（1）通过证明 平面 ，即可证明平面 平面 ；
（2）分别求出三棱锥 与多面体 的体积，即可得出三棱锥 与多
面体 的体积比值.
【详解】（1）由题意证明如下：
∵ ，所以 ，
又因为 ，且 ， 面 ， 面
∴ 平面 ，
又 平面 ，所以 .
，即 ，所以 ，所以 ，
同理 ，所以 ，即 .
又由于 ，
∴ ，
∵ ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
∵ 平面 ，
∴平面 平面 .（2）由题意及（1）得，
几何体 为直三棱柱， ，
∵ ，
，
∴ ，
而 ，
∴ .
题型六 利用等体积法求点到面的距离
例11．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）如图所示，正三棱柱
中各条棱长均为2，点 分别为棱 的中点．
(1)求异面直线 和 所成角的正切值；
(2)求点 到平面 的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连 ， ，转化为求 的正切值即可；
（2）利用等体积法可求出结果.
【详解】（1）连 ， ，因为 分别为棱 的中点，所以 ，
所以 （或其补角）是异面直线 和 所成的角，
因为正三棱柱 中各条棱长均为2，点 分别为棱 的中点．
所以 ， ， ，因为 ，所以 ，
所以 .
（2）连 ，
依题意可得 ，
， ，
，
设点 到平面 的距离为 ，
由 得 ，得 ，
得 .即点 到平面 的距离为 .
例12．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在直角三角形 中，
，将 沿 折起到 的位置，使
平面 平面 ，点 满足 .(1)证明： ；
(2)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据图中的几何关系，利用面面平行证明线面垂直，再证明线线垂直；
（2）运用等体积法求解.
【详解】（1）
在直角三角形 中，因为 ，所以 ，
即在四棱锥 中， ， 平面PDB， 平
面PDB，
所以 平面 ，从而 平面 ，
如图，在 上取一点 ，使得 ，连接 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以四边形 是矩形，所以 ， 平面MEF， 平面
MEF， 平面MEF，
在 中， ，所以 ， 平面MEF, 平面MEF，
平面MEF，
又因为 ， 平面PBD， 平面PBD，所以平面 平面 ，
所以 平面 ，故 ；
（2）连接 ，因为平面 平面 ，交线为 ，且 ，所以 平面
，所以三棱锥 的体积 ，
所以 ，
在 中，计算可得 ，由余弦定理得 ，所以
，
，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，故 ；
综上，点M到平面PBE的距离为 .
练习26．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）如图在多面体 中，
， 平面 ， 为等边三角形， ， ，
，点M是AC的中点.
(1)若点G是 的重心，证明：点G在平面 内；
(2)求点G到 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先取 中点N，得到G在线 上，再利用中位线定理证得 ，
从而得证；
（2）利用等体积法与解三角形的相关知识，求得 到面 的距离，从而利用比练习
得到G到 的距离.
【详解】（1）取 中点N，连接 ， ，如图所示，因为点G是 的重心，故G一定在中线 上，
因为点M是AC的中点，点N是 的中点， ，
所以MN是梯形 的中位线，
所以 ，且 ，
又 ，所以 ，所以四边形 是平行四边形，
因为点 ， 平面 ，
所以点 平面 ，即点G在平面 内.
.
（2）因为 平面 ， ，所以 平面 ，
又 为等边三角形， ， 是 的中点，则 ，且 ，
则 ，
又因为 ，
，
在三角形 中 ，
所以 ，
则 ，
设 到面 的距离为 ，则由 ，得 ，解得 ，
又点G是 的重心，所以G到平面 的距离为
练习27．（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）如图，在正三棱柱
中， 为 上一点， ， ， 为 上一点，三棱锥的体积为 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 的中点 ，由线面垂直的判定可证得 平面 ，利用
三棱锥体积公式可构造方程求得 ，结合长度关系证得四边形 为平行四边形，由
平行关系可得 平面 ，根据面面垂直的判定可证得结论；
（2）利用等体积转化，即 ，结合棱锥体积公式可构造方程求得结果.
【详解】（1）证明：分别取 的中点 ，连接 ，
为等边三角形， 为 中点， ；
平面 ， 平面 ， ；
又 ， 平面 ， 平面 ；分别为 中点， ， ，
，解得： ，
， ，则 ，又 ，
四边形 为平行四边形， ，又 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 .
（2）取 中点 ，连接 ，
为等边三角形， 为 ， ；
平面 ， 平面 ， ；
， 平面 ， 平面 ；
， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
点 到平面 的距离即为点 到平面 的距离，即 ；
， ，又 ， ，
；
又 ， ， ；
设点 到平面 的距离为 ，则 ，
解得： ，即点 到平面 的距离为 .
练习28．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）如图，在四棱锥
中，平面 平面 ，已知底面 为梯形， ，， .
(1)证明： .
(2)若 平面 ， ，求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）余弦定理求得 ，进而易知 ，利用面面垂直的性质得
平面 ，最后由线面垂直的性质证结论；
（2）利用等体积法求点 到平面 的距离.
【详解】（1）因为 ， ，由余弦定理得 ，
所以 ，则 ，
因为平面 平面 ，且相交于 ， 面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 .
（2）因为 平面 ，所以 ，
由 平面 ，则 ，故 ，
在△ 中 ， ， ，
设点 到平面 的距离为 ，所以 ，解得 ，
即点 到平面 的距离为 .
练习29．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）如图，在三棱柱 中，底面
平面 是正三角形， 是棱 上一点，且 ．(1)求证： ；
(2)若 且二面角 的余弦值为 ，求点 到侧面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2) .
【分析】（1）分析图中的几何关系，根据线面垂直证明线线垂直；
（2）根据条件构造三角形，解三角形即可.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，
为等边三角形， ；
， 为 中点， ，
， 为 中点， 为 中点，又 为 中点，
， ；
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ， ；
， 平面 ， 平面 ，
平面 ， ，又 ， ；
（2）取 中点 ，连接 ，
由三棱柱结构特征知： ，又 ， ，即 四点共面，由（1）知： 平面 ， 平面 ， ， ，
是二面角 的平面角， ，
作 ，垂足为 ，
， ， ， 平面 ， 平面 ，
设 ，则 ，又 ， ，
， ，
，解得： ，
又 ， ，
即 ，解得： ，
综上，点 到侧面 的距离为 ；
练习30．（2023·陕西西安·统考一模）在斜三棱柱 中， 是边长为2的
正三角形，侧棱 ，顶点 在平面 的射影为 边的中点 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明线面垂直，再根据面面垂直判定定理证明面面垂直即可；
（2）应用等体积方法求解点到平面距离.
【详解】（1） 且 为 的中点， ，又 平面 平面 ，
平面 .故 平面 ，又 平面 ，
平面 平面 .
（2）设点 到平面 的距离为 是边长为2的正三角形，
，
根据等体积公式可得 ，解得 -
